Bài giảng môn Toán kinh tế

ntchuyen@gmail.com NTC_2010 TOÁN KINH TẾ TRƢỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE 137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304 www.math.hcmus.edu.vn/~ntchuyen/ispace Toán kinh tế NTC_2010 Chương trình • Chương 1. Đại số tuyến tính và toán xác suất. • Chương 2. Giới thiệu về mô hình toán kinh tế. • Chương 3. Phương pháp đơn hình và bài toán đối ngẫu. • Chương 4. Bài toán vận tải. Toán kinh tế NTC_2010 Tài liệu tham khảo • Đại số tuyến tính & Quy hoạch tuyến tính – GSTS. Ngô Thành Phong, ĐHKHTN TPHCM 2001. 4 §1. Ma trận - Khái niệm ma trận - Ma trận vuông - Các phép toán trên ma trận A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 1. Khái niệm ma trận • Định nghĩa ma trận: Ma trận cấp mxn là bảng số thực hình chữ nhật có m dòng và n cột . 11 1 1 1 1 ... ... ... ... ... ... j n i ij in m mj mn a a a a a aA a a a                 Cột j Dòng i 5 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ví dụ 1.  1 4 20 2 5A  A là ma trận thực cấp 2x3 gồm 2 dòng và 3 cột 11 12 13 21 22 231; 4; 2; 0; 2; 5a a a a a a      Phần tử của A: Ví dụ 2 1 2 1 3 3 2 5 1 4 A            6 1. Khái niệm ma trận A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Tập hợp tất cả các ma trận cấp mxn được ký hiệu là Mmxn(R) Ma trận A có m dòng và n cột thường được ký hiệu bởi   nmij aA   Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận không, ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j). Định nghĩa ma trận không        000 000 A 7 1. Khái niệm ma trận A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Nếu số dòng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A được gọi là ma trận vuông cấp n. Định nghĩa ma trận vuông 2 1 3 2 A        Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu bởi Mn(R) 8 2. Ma trận vuông A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 2 3 1 1 3 4 0 5 2 1 3 7 2 1 6 8             Các phần tử a11, a22,,ann tạo nên đường chéo chính của ma trận vuông A. Ma trận đường chéo là ma trận có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. Lúc đó ma trận đường chéo được ký hiệu: diag(a11, a22,,ann) với aii là các phần tử nằm trên đường chéo chính. 9 2. Ma trận vuông A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác trên nếu Định nghĩa ma trận tam giác trên              200 630 312 A  ij n nA a  ij 0, a i j   Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác dưới nếu Định nghĩa ma trận tam giác dưới 2 0 0 4 1 0 5 7 2 A           ij n nA a  ij 0,   a i j 10 2. Ma trận vuông A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị, tức là (aij = 0, i ≠ j; và aii = 1 với mọi i). Định nghĩa ma trận đơn vị            100 010 001 I 2. Ma trận vuông Ma trận đơn vị cấp n được ký hiệu bởi In 11 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 3. Các phép toán ma trận Hai ma trận bằng nhau nếu: 1) cùng cấp; 2)các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau (aij = bij với mọi i và j). a. Hai ma trận trận bằng nhau 12 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 23 93 01 42            TA 32 904 312         A Chuyển vị của là ma trận cấp nXm thu được từ A bằng cách chuyển dòng thành cột.   mnij T aA   b. Ma trận chuyển vị   nmij aA   Ví dụ 13 3. Các phép toán ma trận A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 14 Ma trận vuông A thỏa aij = aji với mọi i = 1,.n và j =1,,n được gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu A = AT) Định nghĩa ma trận đối xứng              073 741 312 A Tính chất: a) (AT)T= A; b) AT = BT  A =B 3. Các phép toán ma trận A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 c. Phép nhân ma trận với một số. Nhân ma trận với một số, ta lấy số đó nhân với tất cả các phần tử của ma trận.        503 421 A        1006 842 2 A Ví dụ Tính chất: a) ()A= (A); b) (A)T =AT 3. Các phép toán ma trận 15 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Tổng A + B: Cùng cấp Các phần tử tương ứng cộng lại d. Cộng hai ma trận               741 623 ; 503 421 BA        1244 1002 BA Ví dụ 3. Các phép toán ma trận 16 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Tính chất: a) A + B = B + A; c) (A + B) + C = A + ( B + C); b) A + 0 = A; d) (A + B) = A + B; e) ( + )A = A + A; f) (A + B)T = AT + BT ; 3. Các phép toán ma trận 17 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 e. Nhân hai ma trận với nhau ( ) ; ( )pij m i pj nA a B b   nmijcCAB  )( với pjipjijiij bababac  ...2211 1 2 1 2 * * * ... ... ... * j j i i ip pj ij b b AB a a a b c                             3. Các phép toán ma trận 18 TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 11 12 13 21 22 23 1 2 2 2 1 4 3 0 1 4 1 0 2 4 3 c c c A B c c c                                          342 103 221 ; 014 412 BA Ví dụ Tính AB 11c   2 1 4 1 3 2           2 1 ( 1) 3 4 2 7        12 13 21 22 23 7      3. Các phép toán ma trận 19 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 2 1 1 ; 4 1 3              A B Ví dụ Tìm ma trận X, thỏa AX = B. Xác định cấp của ma trận X là 2x1. AX=B a X b        Đặt 2 1 1 4 1 3 a b                 2 1 4 3 a b a b             2 1 4 3 a b a b       2 1 , 3 3 a b   2/ 3 Vaäy 1/ 3 X        3. Các phép toán ma trận 20 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 a. A(BC) = (AB)C; b.A(B + C) = AB + AC; e. (AB) = (A)B = A(B). d. ImA = A = AIm Tính chất của phép nhân hai ma trận c. (B+C)A = BA+CA; Chú ý: 1. Nói chung BAAB  2. ACAB  CB  0AB 00  BA3. 3. Các phép toán ma trận 21 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010     1 2 4 3 8 53 4 2 1 20 13     4 3 1 2 13 202 1 3 4 5 8     1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0     1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 3. Các phép toán ma trận 22 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 f. Lũy thừa ma trận. n n A A A A A   0Qui öôùc: A I 2A A A  3A A A A   Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó 3. Các phép toán ma trận 23 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 1 3 . 0 1 A        Ví dụ Tính A2; A3, từ đó suy ra A200 2 1 3 1 3 0 1 0 1 A A A             1 1 6 0        3 2 1 6 1 3 0 1 0 1 A A A             1 1 9 0        200 1 0 1 200 3 A         3. Các phép toán ma trận 24 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 2 3 . 0 2        A Ví dụ Tính A200 2 3 1 3/ 2 2 0 2 0 1 A               1 2 0 1 a       1 1 Ta coù: 0 1 0 1 n a na            200200 200 200 3002 2 0 2 A          3. Các phép toán ma trận 25 A. MA TRẬN TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài 1. Phép toán nào sau đây thực hiện được và tính toán kết quả: 2 1 0 1 1 3 2 1 . 3 1 2 7 5 1 0 0 a              1 2 1 2 3 . 2 3 4 5 6 b             2 1 0 1 . 3 3 1 2 7 c        1 3 2 1 . 0 5 1 0 0 d       1 0 1 2 4 1 6 0 1 . 0 3 0 3 5 2 4 2 4 1 2 4 3 3 3 1 e                          1 2 4 1 0 1 . 2 0 0 4 3 2 1 1 1 f             B. BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài 2. Cho 3 ma trận vuông A, B, C cấp n. Điều nào sau đây luôn đúng?    )a AB C A BC  )b A B C AB AC        )c A kB kA B k AB  ) d AB BA B. BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài 3. Cho Phép toán nào sau đây thực hiện được? Và tính kết quả đó. 2 5 1 3 1 6 4 ; 3 0 4 0 2 7 5 A B                .a A B .b A B . Tc A B . Td A B B. BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài 4. Tìm x, y nếu Bài 5. Tìm x, y, z, w thỏa: 1 3 6 . 5 3 x x y y                1 1 1 1 . 0 1 0 1 x y x y z w z w                           B. BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài 6. Cho các ma trận A, B như sau: a) Tính b) Tìm ma trận X sao cho 2 1 1 2 1 0 ; 0 1 4 3 2 2 A B                  2 3 2 ; 2 ; .T T T TA B AA BB A A B B   B. BÀI TẬP 2 TB X BA  TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài 7. Tìm số thực x, y, z, w biết rằng: 6 4 3 1 2 3 x y x x y z w w z w                     B. BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài 9. Tính Bài 10. Cho . Tính Gợi ý: Áp dụng nguyên lý qui nạp. 2003 0 1 . 1 0       1 2 0 1 A        .nA B. BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 1. Nguyên lý cộng Giả sử để làm công việc A có 2 phương pháp - Phương pháp 1 có n cách làm - Phương pháp 2 có m cách làm Khi đó số cách làm công việc A là n+m Ví dụ. An có 3 áo tay dài, 5 áo tay ngắn. Để chọn 1 cái áo thì An có mấy cách C. Các nguyên lý đếm TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 2. Nguyên lý nhân Giả sử để làm công việc A cần thực hiện 2 bước - Bước 1 có n cách làm - Bước 2 có m cách làm Khi đó số cách làm công việc A là n.m Ví dụ: A B C Có 3.2 =6 con đường đi từ A đến C Phép đếm TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Ví dụ: Cho tập X ={1,2,3,4,5,0} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 2 Giải. Gọi số có 3 chữ số là abc TH1 . c=0. Khi đó c có 1 cách chọn a có 5 cách chọn ( aX\{0} ) b có 4 cách chọn ( bX\{a, 0} ) TH1 có 1.4.5 =20 TH2 . c≠0. Khi đó c có 2 cách chọn a có 4 cách chọn ( aX\{c, 0} ) b có 4 cách chọn ( bX\{a, c} ) TH2 có 2.4.4 =32 Vậy có 20+32 =52 TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm 3- Nguyên lý Dirichlet       k n       k n k n k n       1 k n k n k n        Nếu có n vật đặt trong k hộp vật là số nguyên dương nhỏ nhất thoả điều kiện hay [x] gọi là hàm sàn trên của x  tồn tại 1 hộp chứa ít nhất 5 4 1 5 4       4 5 2 4 5       5 4 0 5 4        , , Ví dụ 2.9: TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Ví dụ. Có 20 chim bồ câu ở trong 7 cái chuồng. Khi đó sẽ có ít nhất 1 chuồng có 3 con bồ câu trở lên - Trong 1 nhóm có 367 người thì ít nhất có 2 người sinh cùng ngày 3. Nguyên lý chuồng bồ câu (Derichlet) Gọi là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng x. Giả sử có n chim bồ câu ở trong k chuồng. Khi đó tồn tại ít nhất một chuồng chứa từ bồ câu trở lên. /n k   x   TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Trong một nhóm có 366 người thì ít nhất có 2 người trùng ngày sinh nhật? Một năm có 365 ngày  n=365, k=366 Theo Nguyên lý Dirichlet 366 2 365         tối thiểu có 2 người trùng ngày sinh nhật Giải: Ví dụ TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Trong một nhóm có 28 từ tiếng Anh thì ít nhất có 2 từ bắt đầu bằng cùng một chữ cái? 28 28 2 26 26         ít nhất có 2 từ bắt đầu trùng chữ cái Bảng chữ cái tiếng Anh có 26 mẫu tự  n=26, k=28 Theo Nguyên lý Dirichlet Giải: a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Ví dụ TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Ví dụ. Cho tập X ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Lấy A là tập hợp con của X gồm 6 phần tử. Khi đó trong A sẽ có hai phần tử có tổng bằng 10. Giải. Ta lập các chuồng như sau: {1,9} {2,8} {3,7} {4,6} {5} Do A có 6 phần tử nên trong 6 phần tử đó sẽ có 2 phần tử trong 1 chuồng. Suy ra đpcm TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Tính lƣợng SV tối thỉểu cần có ghi tên vào danh sách lớp A, để chắc chắn có ít nhất 6 SV có cùng một điểm trong thang điểm 5? 6 1 5 5 n n         516 5  n 255*5 n Theo Nguyên lý Dirichlet  Vậy tối thiểu có 26 SV ghi tên vào DS lớp Giải: 261)5*5( n Ví dụ Cách 1: Cách 2: TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Tính lượng SV tối thỉểu cần có ghi tên vào danh sách lớp CC02, để chắc chắn có ít nhất 5 SV có cùng một điểm trong thang điểm 10? Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3): Bài 3.1: Thời khoá biểu trường xx học từ thứ 2 đến thứ 7. CMR nều trường có 7 lớp thì it nhất có 2 lớp học cùng ngày? Bài 3.2: TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3): Bài 3.3: Mỗi SV trong lớp A đều có quê ở 1 trong 64 tỉnh thành. Trường cần phải tuyển bao nhiêu SV để đảm bảo trong 1 lớp A có ít nhất: a/ 2 SV có quê cùng tỉnh b/ 10 SV có quê cùng tỉnh c/ 50 SV có quê cùng tỉnh Lớp có 32 SV, CMR có ít nhất 2 SV có tên bắt đầu cùng 1 chữ cái? Bài 3.4: TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 CMR trong 5 số chọn từ tập hợp 8 số {1,2,3,4,5,6,7,8} bao giờ cùng có 1 cặp số có tổng bằng 9? CMR trong 6 số bất kỳ chọn từ tập hợp 9 số nguyên dương đầu tiên {1,2,3,4,5,6,7,8,9} bao giờ cũng chứa it nhất 1 cặp số có tổng bằng 10? Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3): Bài 3.5: Bài 3.6: TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 4. Nguyên lý bù trừ. Cho A và B là hai tập hữu hạn. Khi đó |A  B|= |A|+|B| - |A  B| A  B B A TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm A  B A  C BC A  B  C A B C |A  B  C|=? TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Ví dụ. Trong một lớp ngoại ngữ Anh Pháp. Có 24 HS học Tiếng Pháp, 26 học sinh học Tiếng Anh. 15 học sinh học Tiếng Anh và Tiếng Pháp. Hỏi lớp có bao nhiêu người Giải. Gọi A là những học sinh học Tiếng Pháp B là những học sinh học Tiếng Anh Khi đó. Số học sinh của lớp là |A  B |. Theo nguyên lý bù trừ ta có |A  B|= |A|+|B| - |A  B|=24+26-15=35 TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm  10,9,8,7,6,5,4,3,2,1A   9,7,5,3,1A1   10,8,6,4,2A2  8,5,4,1A3 133221321321321 AAAAAAAAAAAAAAA  Ví dụ 2.2: Cho các tập hợp nhƣ sau Hãy chứng minh 1 2 3 4 5 8 6 7 9 10 TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm THỰC HÀNH:  12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1X   9,7,3,1X1   ,10,6,4,2X2  11,10,7,5X3 321133322211321 XXXXXXXXXXXXXXX  .............................XXX 321   ..............?.................X3   ................?................XXX 321   21 XX  ................?...............XX 32   ................?................XX 13  ? 1X  ..............?.................X2  .. .. .. .. .. .. .. .. .. Ví dụ 2.3: TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm 1. Hoán vị Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp đặt có thứ tự n phần tử của A được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử ký hiệu là Pn Pn = n! = n.(n-1).(n-2)1 Quy ước 0! =1 Ví dụ. Cho A ={a,b,c}. Khi đó A có các hoán vị sau abc,acb, bac,bca, cab,cba TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 C. Các nguyên lý đếm Ví dụ. Cho X ={1,2,3,4,5}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được tạo từ tập X  5! D. Giải tích tổ hợp TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 2. Chỉnh hợp. Định nghĩa. Cho A là tập hợp gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k phần tử (1 k n) sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n ký hiệu là - Công thức   ! ! k n n A n k   k nA Ví dụ. Cho X ={abc}. Khi đó X có các chỉnh hợp chập 2 của 3 là: ab, ba, ac, ca, bc, cb. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 D. Giải tích tổ hợp Ví dụ. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ 1,2,3,4,5,6. Kết quả: 3 6A D. Giải tích tổ hợp TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 3.Tổ hợp. Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. Số tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là hay k nC      k n   ! ! ! k n n C k n k   Tính chất n k k n nC C   1 1 k k k n n nC C C    D. Giải tích tổ hợp TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ví dụ. Cho X = {1,2,3,4}. Tổ hợp chập 3 của 4 phần tử của X là {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4} , {2,3,4} Một lớp có 30 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 bạn - Số cách chọn là tổ hợp chập 10 của 30. 10 30C D. Giải tích tổ hợp TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Từ một tập thể gồm 15 nam và 10 nữ, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một tổ gồm 8 ngƣời mỗi trƣờng hợp sau: a) Không có điều kiện gì thêm. b) Tổ có 5 nam và 3 nữ. c) Tổ có số nam nhiều hơn nữ. d) Tổ có ít nhất một nữ. d) Tổ trưởng là nữ. e) Tổ có cả nam lẫn nữ. D. Giải tích tổ hợp TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Có bao nhiêu byte thỏa điều kiện trong mỗi trƣờng hợp sau: a) Không có điều kiện gì thêm. b) Chứa đúng 3 bit 1. c) Chứa ít nhất 3 bit 1. d) Có 2 bit 1 và chúng không nằm gần nhau. e) Không có ba bít 1 nào gần nhau. D. Giải tích tổ hợp TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Sự kiện ngẫu nhiên E. Xác suất MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN: PHÉP THỬ SỰ KIỆN KHÔNG GIAN MẪU NGẪU NHIÊN Không gian mẫu hữu hạn Không gian mẫu vô hạn đếm đƣợc Không gian mẫu vô hạn không đếm đƣợc Sự kiện cơ bản Sự kiện chắc chắn Sự kiện không thể Sự kiện A hoặc B Sự kiện đồng thời A và B Sự kiện A mà không B Sự kiện xung khắc Sự kiện đối lập Rời rạc Liên tục TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) E. Xác suất PHÉP THỬ = Một bộ điều kiện xác định (thí nghiệm, quan sát hiện tượng) SỰ KIỆN KHÔNG GIAN MẪU SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN = Kết quả của Phép Thử  Ký hiệu: A, B,C = kết quả không đoán trước (tiên đoán) được =  Sự kiện ngẫu nhiên (có thể có) của Phép thử ngẫu nhiên Card A = Số phần tử của A TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) E. Xác suất Tung đồng tiền 1 lần = Phép thử ngẫu nhiên    ( , ) (0,1)Sap Ngua  Không gian mẫu  Mỗi Sự kiện là 1 điểm của Không gian mẫu Card R = 2 (0 và 1)    , 0,1Sap Ngua  Ví dụ 2.13: Card R = cặp (0,1) TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 E. Xác suất Tung đồng tiền 3 lần  (0,0,0),(0,0,1)(0,1,1),(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) Không gian mẫu ?  Tung đồng tiền 2 lần  (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) Không gian mẫu  (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) ĐỒ THỊ 13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) Card R = 4 Card R = ? Ví dụ 2.14: Ví dụ 2.15: TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 E. Xác suất Gieo một con xúc xắc Không gian mẫu     1 2 3 4 5 61,2,3,4,5,6 , , , , ,w w w w w w  Gieo 2 con xúc xắc cùng lúc Không gian mẫu ?  (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,4), (,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6)                     13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) Card R = 6 Card R = ? Ví dụ 2.16: Ví dụ 2.17: TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 E. Xác suất 13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) KHÔNG GIAN MẪU  =  Sự kiện ngẫu nhiên (có thể có) của Phép thử ngẫu nhiên  hữu hạn  vô hạn đếm đƣợc  vô hạn không đếm đƣợc Card  = hữu hạn Card  = N (Số tự nhiên) Card  = Không đếm đƣợc Rời rạc Liên tục TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 E. Xác suất 13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) SỰ KIỆN SK ngẫu nhiên = Kết quả của Phép Thử  Ký hiệu: A, B,C = kết quả không đoán trước (tiên đoán) được Card A = 1 SK cơ bản  Card A =  SK chắc chắn  Card A = Ø SK không thể  ĐẠI SỐ SK (các Quan hệ- Phép toán SK) SK hoặc A hoặc B  HỢP SK đồng thời A và B  SK A mà không B  SK xung khắc SK đối lập và SK tất yếu Nhóm đđủ các SK (phân hoạch) BA BA BA BA A A A A   ji AA 1 n i A    TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 E. Xác suất 13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt) A: SK có ít nhất 1 mặt sấp (S) B: SK ngửa (N) ở lần tung thứ 2 C: cả 2 lần đều mặt sấp (S)         , , , , , , ,A B S N N S N N S S   Tung 1 đồng tiền 2 lần. Giả sử:  SNBA  CB B và C là 2 SK xung khắc SK tất yếu  SS,NSBA  Ví dụ 2.18: TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 1/ Định nghĩa cổ điển E. Xác suất Các định nghĩa-khái niệm về xác suất Xác suất của A là tỉ số của số kết quả thích hợp cho A (m) trên số kết quả đồng khả năng (n) của phép thử số trường hợp xảy ra A số trường hợp của không gian mẫu  n m )A(P Xác suất của A SK không thể SK tất yếu SK bất kỳ 0 n 0 )A(P0m  1 n n )A(Pnm  1 n n )A(P0nm0  HỆ QUẢ TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 E. Xác suất Các định nghĩa xác suất (tt) Trong một thùng kín chứa 20 quả cầu giống nhau.Trong đó có 10 quả màu trắng, 6 màu xanh, còn lại là màu đỏ. Nếu lấy ngẫu nhiên một quả thì xác suất rút đƣợc .......... là bao nhiêu? a/ quả trắng? b/ quả xanh? c/ quả đỏ? d/ quả đen? e/ quả trắng hoặc xanh? f/ quả trắng hoặc xanh hoặc đỏ? Ví dụ 2.19: TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 E. Xác suất Các định nghĩa xác suất (tt) Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt, đƣợc đánh số từ 1 đến 12. Số 1,4,7,10,12 tô màu đỏ; số 2,5,8,11 tô màu xanh; các số còn lại tô màu đen. Tính xác suất để khi ném nó lên thì xuất hiện: a/ Mặt màu cam? b/ Mặt màu đỏ hoặc xanh? c/ Mặt màu đỏ hoặc xanh hoặc đen? Ví dụ 2.20: TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài tập 4.1: Bài tập về nhà DẠNG 4 (Homework-4): Trong một thùng kín chứa 50 viên bi giống nhau.Trong đó có 25 viên màu xanh, 15 màu đỏ, còn lại là màu cam. Nếu lấy ngẫu nhiên hai viên cùng lúc thì xác suất rút đƣợc 2 viên bi màu .......... là bao nhiêu? a/ cùng xanh? b/ xanh và cam? c/ cam và đỏ? d/ khác màu? TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài tập 4.2: a/ 2 mặt màu trắng? b/ 2 mặt cùng màu nâu hoặc vàng? c/ ít nhất có 1 mặt màu vàng hoặc trắng? d/ 2 mặt có tổng bằng 10? e/ 2 mặt có hiệu bằng 8? f/ 2 mặt có màu khác nhau? Bài tập về nhà DẠNG 4 (Homework-4): Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt, đƣợc đánh số từ 1 đến 12. Số 1,4,7,10 tô màu vàng; số 2,5,6,9,12 tô màu nâu; các số còn lại tô màu trắng. Tính xác suất để khi ném một lần hai hộp đồng thời lên thì xuất hiện: TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Bài tập 4.3: Bài tập về nhà DẠNG 4 (Homework-4): Gieo 3 hột xí ngầu (số 1 và 4 sơn màu đỏ: còn lại sơn màu đen) cùng lúc. Tính số trƣờng hợp có thể xảy ra khi xuất hiện: a/ 3 mặt có số giống nhau b/ 3 mặt có số khác nhau c/ 2 mặt có màu đỏ d/ 2 mặt có màu đen e/ Tổng giá trị 3 mặt là 12 f/ Tổng giá trị 3 mặt là 9 TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Định nghĩa Nhóm các biến cố của một phép thử được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố nếu thỏa mãn 2 tính chất: Hệ đầy đủ các biến cố 1 2 3, , ,..., nA A A A 1 2 3 ... nA A A A     i jA A  E. Xác suất Ví dụ: Trong phép thử tung đồng xu, ta đặt biến cố A1= “xuất hiện mặt sấp” A2= “xuất hiện mặt ngửa” P(A1)=P(A2)=0,5 khi đó {A1, A2} là hệ đầy đủ các biến cố TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Giải: = “xạ thủ thứ i không bắn trúng thú” a) A= A1A2A3 (ít nhất 1 viên trúng) b) B= (cả ba xạ thủ đều bắn trượt) Ví dụ: Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào một con thú. Gọi biến cố Ai=“xạ thủ thứ i bắn trúng thú”, i=1, 2, 3. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua Ai: a) A= “thú bị trúng đạn” b) B= “thú không bị trúng đạn” c) C=“thú bị trúng 3 viên đạn” d) D= “thú bị trúng 1 viên đạn” 1 2 3 1 2 3A A A A A A A      iA E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 c) C= A1A2A3 (cả 3 xạ thủ đều cùng bắn trúng thú) 1 2 3 1 2 3 1 2 3) ( ) ( ) ( )d D A A A A A A A A A         E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ví dụ 1: Một hộp đựng bi gồm có 12 viên bi trắng và 8 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi trong hộp. a. Xác suất lấy được 1 bi trắng: b. Xác suất lấy được 1 bi xanh: 12 ( ) 20 P T  8 ( ) 20 P X  E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ví dụ 2: Một thùng có 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen giống nhau về kích thước. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng đó. Tính xác suất lấy được: a) 2 quả cầu màu trắng b) 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen. Giải a) A= “lấy được 2 quả cầu trắng” b) B= “lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen” 2 3 2 8 3 ( ) 28 C P A C   1 1 3 5 2 8 . 15 ( ) 28 C C P B C   E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Các tính chất cơ bản của xác suất Giả sử A là một biến cố . Khi đó 1) và 2) Nếu thì 3) Tính cộng tính: a. nếu A và B là 2 biến cố xung khắc: P(A  B)= P(A) + P(B) b. nếu A và B là 2 biến cố ngẫu nhiên bất kỳ: P(AB)= P(A) + P(B) – P(AB) 0 ( ) 1P A  ( ) 1 ( )P A P A  A B ( ) ( )P A P B E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Giải. Đặt A= “lấy được ít nhất 1 bi đỏ”. Khi đó = “lấy được 3 bi xanh” Ví dụ 1: Một hộp có 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 bi đỏ. A 3 6 3 10 ( ) 1 ( ) 1 0,8333 P A P A C C      E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi Toán, 50 sinh viên giỏi Văn, 20 sinh viên giỏi cả Toán lẫn Văn. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp. Tính xác suất để sinh viên đó giỏi ít nhất 1 trong 2 môn. ( ) ( ) ( ) ( ) 40 50 20 7 100 100 100 10 P T V P T P V P T V         E. Xác suất Giải. Đặt T=“sinh viên được chọn giỏi Toán” V=“sinh viên được chọn giỏi Văn” Khi đó TV=“sinh viên được chọn giỏi ít nhất 1 trong 2 môn” TV=“sinh viên được chọn giỏi cả 2 môn” TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Ví dụ 3: Một hộp chứa 5 cầu trắng, 3 cầu xanh và 4 cầu đen cùng kích thước. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 cầu. Tính xác suất để: a) Cả 3 cầu cùng màu (A) b) Có đúng 2 cầu cùng màu (B) c) Có ít nhất 2 cầu cùng màu (C) d) Cả 3 cầu khác màu nhau (D) E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 Giải: a) Đặt: At= “3 cầu rút được màu trắng” Ađ= “3 cầu rút được màu đỏ” Ax= “3 cầu rút được màu xanh” Do chỉ rút 1 lần 3 cầu nên A= At Ađ  Ax Do At, Ađ, Ax xung khắc nên P(A)= P(At) + P(Ađ) + P(Ax) 3 3 3 5 4 3 3 12 3 44 C C C C     E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 b) Bt= trong 3 cầu rút được có 2 cầu trắng Bđ= trong 3 cầu rút được có 2 cầu đen Bx= trong 3 cầu rút được có 2 cầu xanh P(B)= P(Bt)+ P(Bđ)+ P(Bx) 2 1 2 1 2 1 5 7 4 8 3 9 3 12 . . . 29 44 C C C C C C C     E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 c) P(C)= P(B) + P(A) 3 29 32 44 44 44        ) P D 1 P C d D C   32 12 1 44 44    E. Xác suất TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ Phương trình đại số tuyến tính •Dạng ma trận của hệ phương trình ĐSTT. •Phép toán sơ cấp biến đổi dòng của ma trận. •Phương pháp Gauss – Jordan. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Hệ Phương trình ĐSTT gồm m phương trình và n ẩn số có dạng: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ... n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b             Hệ Pt ĐSTT trên có thể viết lại dưới dạng ma trận AX B TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Trong đó: 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n m m mn a a a a a a A a a a             1 2 n x x X x             1 2 m b b B b             A được gọi là ma trận hệ số. X: là ma trận ẩn số. B: ma trận hằng số TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Ngoài ra ta có ma trận hệ số nới rộng 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 ... | ... | | ... | n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b             TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 1: Cho hệ phương trình 1 2 3 1 2 3 2 3 4 7 2 5 3 x x x x x x       Dạng ma trận AX=B trong đó 2 3 4 1 2 5 A        1 2 3 x X x x          7 3 B        Ma trận hệ số nới rộng 2 3 4 | 7 1 2 5 | 3 A        TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 2: Cho ma trận hệ số nới rộng 1 0 1 2 | 1 0 1 0 3 | 0 A        Hệ phương trình ĐSTT tương ứng với ma trận hệ số nới rộng trên là 1 3 4 2 4 2 1 3 0 x x x x x      TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận – (e1): Hoán vị hai dòng cho nhau i k d dA A  . – (e2): Nhân 1 dòng với số 0  , i i d dA A  . – (e3): Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần dòng khác i i k d d dA A   . Chú ý 1) Trong thực hành ta thường làm i i kd d dA B   . 2) Sau 1 số hữu hạn các PBĐSC dòng ta được ma trận B tương đương với A, ký hiệu B A. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 16. Cho hai ma trận 2 1 1 1 2 3 3 1 2 A           và 1 2 3 0 1 7 / 5 0 0 0 B            . Chứng tỏ A B . TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải 1 2 2 2 1 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 1 0 5 7 3 1 2 0 5 7 d d d d d d d d A                              3 3 2 2 2 1 5 1 2 3 0 1 7 / 5 0 0 0 d d d d d A B               . TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Ma trận dạng bậc thang chính tắc: 1. Nếu một hàng có một số khác không thì số khác không bên trái nhất bằng 1, được gọi là phần tử chính. 2. Những hàng gồm toàn những phần tử 0 nằm ở dưới cùng. 3. Nếu hai hàng kề nhau có phần tử chính thì phần tử chính của hàng trên nằm bên trái phần tử chính hàng dưới. 4. Mỗi cột có phần tử chính thì các phần tử khác đều bằng không. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Ma trận dạng bậc thang: 1. Ma trận bậc thang có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0. 2. Trên hai dòng khác không, phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác không đầu tiên của dòng trên. Dòng 0 là dòng gồm tất cả các phần tử bằng 0. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 18. 1 0 2 0 0 3 0 0 0 A           , 0 1 2 3 0 0 4 5 0 0 0 1 B           , In là các ma trận bậc thang; 0 2 7 0 3 4 0 0 5 C           , 2 3 5 0 0 0 0 1 3 D           không phải là các ma trận bậc thang. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính • Phƣơng pháp Gauss – Jordan giải hệ PT ĐSTT: Gồm 3 bước: Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng: Bước 2: Sử dụng các phép BĐSC trên dòng rút gọn ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang chính tắc. Bước 3: Biện luận nghiệm. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 1: Giải hệ PT ĐSTT sau: íï + + = -ïïïï - + =ì ïïï - - =ïïî 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 4 10 18 3 2 3 6 25 x x x x x x x x x Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng: é ù-ê ú ê ú = -ê ú ê ú ê ú- -ê úë û % 4 10 18 1 1 3 2 3 6 1 25 2 A Bước 2: Tiến hành thuật toán Gauss - Jordan: é ù-ê ú ê ú -ê ú ê ú ê ú- -ê úë û 2 5 9 1 3 2 6 1 25 1 1 3 ¾ ¾ ¾®1 / 2d TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính é ù-ê ú ê ú - -ê ú ê ú ê ú- -ê úë û 2 5 9 3 2 11 12 16 2 1 5 0 0 - - ¾ ¾ ¾ ¾®2 3 1 1 3d d d d é ù-ê ú ê ú -ê ú ê ú ê ú-ê úë û - 5 9 2/ 3 11/ 2 12 3 16 2 1 0 10 5 ( )- ¾ ¾ ¾ ¾®2 / 3d é ù-ê ú ê ú -ê ú ê ú ê ú ê úë û - 11/ 3 5/ 3 2/ 3 1 8 1 0 0 1 0 0 1/ 3 8 - + ¾ ¾ ¾ ¾¾®1 3 2 22 12d d d d ( )- ¾ ¾ ¾ ¾®3 / 8d é ù-ê ú ê ú -ê ú ê ú ê ú-ê úë û 5/ 3 11 11/ 3 2/ 1 0 0 1 0 0 1 / 3 1 3 - - ¾ ¾ ¾ ¾ ¾®1 2 3 311 / 3 2 / 3dd d d é ù ê ú ê ú -ê ú ê ú ê ú-ê úë û 1 0 0 0 1 0 0 10 1 2 3 Bước 3: Hệ có nghiệm duy nhất íï =ïïïï = -ì ïïï = -ïïî 1 2 3 2 3 1 x x x TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính • Phƣơng pháp Gauss giải hệ PT ĐSTT: Gồm 3 bước: Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng. Bước 2: Sử dụng các phép BĐSC trên dòng rút gọn ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang. Bước 3: Giải ngược từ dưới lên trên tìm nghiệm hệ PT. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 2: Giải hệ PT ĐSTT sau: íï + + = -ïïïï - + =ì ïïï - - =ïïî 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 5 9 3 2 3 6 25 x x x x x x x x x Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng: é ù-ê ú ê ú = -ê ú ê ú ê ú- -ê úë û % 2 5 9 1 1 3 2 3 6 1 25 1 A Bước 2: Tiến hành thuật toán Gauss: é ù-ê ú ê ú - -ê ú ê ú ê ú- -ê úë û 2 5 9 3 2 11 12 16 2 1 5 0 0 - - ¾ ¾ ¾ ¾®2 3 1 1 3d d d d TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính é ù-ê ú ê ú -ê ú ê ú ê ú-ê úë û - 5 9 2 11 8 1 8 2 0 3 0 0 - ¾ ¾ ¾ ¾® 3 24d d Bước 3: Hệ có nghiệm duy nhất íï =ïïïï = -ì ïïï = -ïïî 1 2 3 2 3 1 x x x TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss: 2 1 3 3 2 1 x y z y z x y z            . Giải   3 3 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 1 3 3 0 1 3 3 2 1 1 1 0 0 2 2 d d d A B                          . Hệ 2 1 3 3 3 6 2 2 1 x y z x y z y z z                     . TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 8. Giải hệ phương trình: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 5 2 4 2 12 6 18 5 5 3 18 8 23 6 2 x x x x x x x x x x x x x x x                     . Giải.   1 6 2 5 2 4 2 12 6 18 5 5 3 18 8 23 6 2 A B                  2 2 1 3 3 1 2 3 1 6 2 5 2 4 0 0 2 8 1 3 0 0 2 8 0 10 d d d d d d                   TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính 3 3 2 1 6 2 5 2 4 0 0 2 8 1 3 0 0 0 0 1 7 d d d                 . 1 2 3 4 5 4 6 3 5 4 ( , ) 7. x x x x x                       TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 9. Giải hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 5 2 5 3 3 4 3 2 1 2 7 = 1 x x x x x x x x x x x              . Giải.   2 2 1 3 3 1 5 4 5 2 5 2 5 3 3 0 13 5 2 7 0 39 15 6 11 d d d d d d A B                   3 3 2 3 5 2 5 3 3 0 13 5 2 7 0 0 0 100 d d d                . Vậy hệ phương trình vô nghiệm. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 10. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính: x 4 5 1 2 7 11 2 3 11 6 1 y z x y z x y z             . A. 15 4 0 x y z       ; B. Hệ có vô số nghiệm; C. 15 79 4 21 x y z             ; D. 15 79 4 21 x y z             . TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải.   2 2 1 3 3 1 2 3 1 4 5 1 0 1 21 4 0 1 21 4 d d d d d d A B                  . Hệ 15 79 4 5 1 4 21 21 4 x x y z y D y z z                        . TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính VD 23. Công ty X có 3 cửa hàng I, II, III cùng bán 4 mặt hàng: tivi, tủ lạnh, máy giặt, máy lạnh với giá bán tương ứng (triệu đồng / chiếc) cho bởi ma trận  3 5 4,5 6,7A  . 1.6 Một số ứng dụng của ma trận trong kinh tế VD 22. Một khách hàng mua tại siêu thị X lượng gạo, thịt, rau (đơn vị: kg) cho bởi ma trận (12; 2; 3)A  với giá tương ứng (ngàn đồng / kg) cho bởi (9; 62; 5)B  . Khi đó,   12 2 3 9 62 5 (247) TTAB   . Vậy số tiền khách hàng phải trả là 247.000 đồng. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Lượng hàng bán được trong ngày của 3 cửa hàng tương ứng 3 dòng của ma trận 2 1 4 5 0 2 6 1 5 2 0 2 B           . Hãy cho biết ý nghĩa các phần tử của tích TBA ? Giải. 3 2 1 4 5 62,5 5 0 2 6 1 43,7 4,5 5 2 0 2 38,4 6,7 TBA                             . Vậy số tiền cửa hàng I, II, III bán được trong ngày lần lượt là: 62,5; 43,7; 38,4 (triệu đồng). TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Chỉ số giá Laspeyres và Paasche VD 24. Giả sử bán (ngàn đồng / kg) của gạo, đường và bột mì vào các ngày 1/1 và 1/6 lần lượt cho bởi 2 cột của ma trận 10 11 20 19 30 32 P           . Một người A trong hai ngày đó đã mua vào lượng hàng tương ứng cho bởi 2 cột của ma trận 4 3 2 3 3 4 Q           . TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Khi đó, ta có: 10 11 4 2 3 170 178 20 19 3 3 4 210 218 30 32 TV Q P                    . Từ ma trận V, ta suy ra: + 11 170v  : tiền mua hàng 1/1 theo giá ngày 1/1. + 12 178v  : tiền mua hàng 1/1 theo giá ngày 1/6. + 21 210v  : tiền mua hàng 1/6 theo giá ngày 1/1. + 22 218v  : tiền mua hàng 1/6 theo giá ngày 1/6. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính 1) Nếu lấy ngày 1/1 làm cơ sở thì 11v , 12v lần lượt là giá của tổng lượng hàng người A mua tại ngày cơ sở tính tại ngày cơ sở và ngày 1/6. Khi đó: 12 11 1,047 v v  được gọi là chỉ số Laspeyres. 2) Nếu lấy ngày 1/6 làm cơ sở thì 21v , 22v lần lượt là giá của tổng lượng hàng người A mua tại ngày cơ sở tính tại ngày 1/1 và ngày cơ sở. Khi đó: 22 21 1,038 v v  được gọi là chỉ số Paasche. TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Bài tập 1. Tính AB - BA 1 2 2 3 . , 4 1 4 1 a A B              2 3 1 1 2 1 . 1 1 0 , 0 1 2 1 2 1 3 1 1 b A B                      1 1 1 7 5 13 . 0 1 1 , 0 7 5 0 0 1 0 0 7 c A B                     TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Bài tập 2. Giải hệ bằng PP Gauss - Jordan 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 10 . 3 2 2 1 5 4 3 4 x x x a x x x x x x          1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 7 . 2 2 4 17 3 2 2 14 x x x b x x x x x x          1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 . 2 5 4 5 3 4 2 12 x x x c x x x x x x          1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 . 5 2 6 5 3 4 7 x x x d x x x x x x          1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 8 . 3 2 4 15 5 4 1 x x x e x x x x x x          1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 . 2 5 8 4 3 8 13 7 x x x f x x x x x x          TOÁN KINH TẾ Chƣơng 1: MA TRẬN & XÁC SUẤT NTC-2010 F. Hệ phương trình đại số tuyến tính Bài tập 3. Giải các hệ sau 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 5 7 9 1 . 2 3 4 5 2 2 11 12 25 22 4 x x x x x a x x x x x x x x x x                1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 14 3 2 10 . 6 2 3 5 3 x x x x x x b x x x x x x x x              