Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán năm 2014-2015

iểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu * Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Ví dụ: Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + (2m + 1)x + 3 – m. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Đáp án Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + (2m + 1)x + 3 – m. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 1 điểm Tập xác định: y’ = 3mx2 – 6mx + 2m + 1 0,25 Hàm số có cực đại và cực tiểu y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 0,25 0,25 m 1 Vậy m 1 thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu 0,25 Bài tập luyện tập Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Định m để hàm số có ba cực trị. DẠNG 5: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1/ GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [ a; b] B1: Tìm các điểm x1, x2, ,xn trên (a; b), tại đó y’=0 hoặc không xác định B2: Tính f(x1), f(x2), , f(xn), f(a), f(b) B3: Kết luận GTLN =Max {f(x1), f(x2), .., f(xn), f(a), f(b)}và GTNN=Min{f(x1), f(x2), f(xn), f(a), f(b)} 2/ GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn (a; b) B1: Tìm các điểm x1, x2, ,xn trên (a; b), tại đó y’=0 hoặc không xác định B2: Lập bảng biến thiên và kết luận GTLN và GTNN 3/ Chú ý: Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì max f(x) = f(b) và min f(x) = f(a) Nếu f(x) gỉam trên đoạn [a; b] thì max f(x) = f(a) và min f(x) = f(b) Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a; b) và chỉ có một điểm cực trị x0 thuộc (a; b) thì f(x0) chính là GTNN hoặc GTLN. Có thể dùng BĐT để tìm GTLN và GTNN. 4/ Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [0; 4] Đáp án Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 4] 1 điểm Ta có 0,25 cho 0,25 0,25 Vậy 0,25 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Đáp án Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1 điểm Đặt t = , . Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên 0,25 . 0,25 y(0) = 1, y(1) = 2 0,25 0,25 Bài tập luyện tập Tìm GTLN, GTNN của các hàm số: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [0;2]. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn . Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 1] bằng -2. DẠNG 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Duøng ñoà thò bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình Phöông phaùp giaûi: B1: Biến đổi đưa về phương trình hoành độ giao điểm B2: Veõ ñoà thò (C) cuûa haøm y = f(x) (Thöôøng ñaõ coù trong baøi toaùn khaûo saùt haøm soá ) Soá nghieäm cuûa phöông trình laø soá giao ñieåm cuûa ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng y = (cùng phương với trục hoành vì là hằng số). Tuøy theo m döïa vaøo soá giao ñieåm ñeå keát luaän soá nghieäm. Ví dụ: Cho đồ thị (C): y = 8x4 – 9x2 + 1. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 8x4 – 9x2 + 1 = m Đáp án Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 8x4 – 9x2 + 1 = m (1) 1 điểm Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): y = m 0,25 Dựa vào đồ thị ta có: (C) và (D) không có điểm chung (1) vô nghiệm (C) và (D) có 2 điểm chung (1) có 2 nghiệm (C) và (D) có 4 điểm chung (1) có 4 nghiệm (C) và (D) có 3 điểm chung (1) có 3 nghiệm (C) và (D) có 2 điểm chung (1) có 2 nghiệm 0,5 Vậy: : Phương trình vô nghiệm Phương trình có 2 nghiệm : Phương trình có 3 nghiệm Phương trình có 4 nghiệm 0,25 Bài tập luyện tập 1. Cho hàm số . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x3 + 3x2 -1 = m . 2. Cho hàm số . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 - 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt. DẠNG 7: BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ Bài toán. Cho hai đồ thị và . Tìm tạo độ giao điểm của hai đường. Phương pháp B1 : Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đường B2 : Giải phương trình tìm nghiệm x. Giả sử phương trình có các nghiệm là , ta thế lần lượt các nghiệm này vào một trong hai hàm sô trên ta được các giá trị tương ứng là suy ra tọa độ các giao điểm. Chú ý : số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị và . Ví dụ: Định m để đồ thị (C): và đường thẳng (d): mx – y + 1 = 0 có hai điểm chung khác nhau. Đáp án Định m để đồ thị (C): và đường thẳng d: mx – y + 1 = 0 có hai điểm chung khác nhau. 1 điểm d: y = mx + 1 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 0,25 (C) và (d) có 2 điểm chung khác nhau (1) có 2 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt khác – 2 0,25 0,25 Vậy với thì (C) và (d) có 2 điểm chung khác nhau 0,25 Bài tập luyện tập 1. Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = x + 2. 2. Cho đồ thị (C): và đường thẳng d: y = x + m. Định m để d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt. 3.Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2(1). Tìm m để đường thẳng y=mx+2 cắt đồ thị của hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt. DẠNG 8: LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các trường hợp sau 1/ Tại điểm có toạ độ (x0;f(x0)) : B1: Tìm f ’(x) f ’(x0) B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0;f(x0)) là: y = (x–x0) + f(x0) 2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x0 : B1: Tìm f ’(x) f ’(x0), f(x0) B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là:y = (x–x0) + f(x0) 3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độä y0 : B1: Tìm f ’(x) . B2:Do tung độ là y0f(x0)=y0. giải phương trình này tìm được x0 f /(x0) B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là:y = (x–x0) + y0 4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k: B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm . B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên : =k (*) B3: Giải phương trình (*) tìm x0 f(x0) phương trình tiếp tuyến. Chú ý: Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0).a=-1. 5/ Đi qua điểm A(xA,yA). C I : b1: Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc k. Suy ra phương trình có dạng (d): y = k(x – xA) + yA b2: (d) tiếp xúc với (c) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm Giải hệ tìm k suy ra phương trình tiếp tuyến CII : Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua điểm cho trước ( kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số). b1 : Giả sử tiếp điểm là, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:. b2: Điểm , ta được: .Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến . Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại những điểm mà đồ thị giao với trục hoành có hoành độ âm. Đáp án Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại những điểm mà đồ thị giao với trục hoành có hoành độ âm. 1 điểm Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục Ox là: x3 – 3x2 + 2 = 0 0,25 Do điểm theo yêu cầu đề bài có hoành độ âm nên ta chọn 0,25 0,25 Vậy ta có tiếp tuyến cần tìm là: 0,25 Ví dụ 2: Cho đồ thị (C): y = x3 – 3x2 + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 9x + 1. Đáp án Cho đồ thị (C): y = x3 – 3x2 + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 9x + 1. 1 điểm d: y = 9x + 1 có hệ số góc kd = 9 Tiếp tuyến có hệ số góc k = kd = 9 0,25 . Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ta có: k = f’(x0) 0,25 0,25 0,25 Ví dụ 3: Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua A(0, 4) Đáp án Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua A(0, 4) 1 điểm f ’(x) = 4x3 – 8x Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm, tiếp tuyến d : y – y0 = f’(x0)(x - x0), y0 = f(x0) 0,25 0,25 0,5 Bài tập luyện tập Cho hàm số có đồ thị la (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)biết a/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5 b/ Tung độ tiếp điểm bằng -3. Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hoành độ x = 1. (Đề minh họa THPTQG 2015) 3. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết . 4. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến qua điểm . CHUYÊN ĐỀ II: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT A/TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Kiến thức cơ bản về lũy thừa : 1./ Định nghĩa: * * Cho * Cho tối giản) , ta có 2./ Các qui tắc về luỹ thừa : Cho + + + + + Kiến thức cơ bản về loga : 1./ Định nghĩa: Suy ra : 2./ Các tính chất và qui tắc biến đổi loga: Cho ta có + + + + + ; + ; + ; 1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit : a/ Phöông trình muõ- loâgarít cô baûn : Dạng ax= b ( a> 0 , ) b0 : pt vô nghiệm b>0 : Dạng ( a> 0 , ) Điều kiện : x > 0 b/Baát phöông trình muõ- loâgarít cô baûn : Daïng ax > b ( a> 0 , ) b0 : Bpt coù taäp nghieäm R b>0 : . , khi a>1 . , khi 0 < a < 1 Daïng ( a> 0 , ) Ñieàu kieän : x > 0 , khi a >1 , khi 0 < a < 1 Một số phương pháp giải Phương trình mũ, Phương trình logarit Phương Pháp 1. Ñöa veà cuøng cô soá : w = (0<a≠1) Û f(x) = g(x) w logf(x) = logg(x) (0<a ≠1) Û w > (a>1) Û f(x) >g(x) w > (0<a<1) Û f(x)< g(x) w Phương pháp 2. ñaët aån phuï a. +b. + g = 0 ; Ñaët : t = Ñk t > 0 a.+b.+ g = 0 ; ( vôùi a.b=1) Ñaët : t = (Ñk t > 0) Þ = a.+b.+ g. = 0 ; Ñaët t = a.loga2x +b.logax + g = 0 ; Ñaët : t = logx a.loga x +b.log x a + g = 0 ; Ñaët : t = logax Þ log x a = a.loga x +b. + g = 0 Ñaët : t =( t ³0 ) Phương pháp 3. Logarit hoùaï: af(x)=bg(x) ( a, b>0, ≠1) Û f(x)=g(x). logab B/MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: DẠNG 9: GIẢI PT- BPT MŨ VÀ LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN Ví dụ 1: Giải phương trình: Đáp án Giải phương trình: (1) 1 điểm Điều kiện: 0,25 0,25 0,25 0,25 Ví dụ 2: Giải phương trình: Đáp án Giải phương trình: (1) 1 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Ví dụ 3: Giải phương trình: Đáp án Giải phương trình: (1) 1 điểm Điều kiện: x > 0 (*) 0,25 0,25 0,25 ( thỏa điều kiện *) Vậy phương trình có nghiệm: x = 729 0,25 Chú ý: Bài toán trên có thể không đặt điều kiện (việc này nên dành cho học sinh khá, giỏi) Ví dụ 4: Giải bất phương trình: Đáp án Giải bất phương trình: (1) 1 điểm Điều kiện: 0,25 0,25 0,25 Kết hợp điều kiện (*), bất phương trình có nghiệm: 0,25 Bài tập luyện tập Giải các phương trình: Giải các phương trình: (Đề minh họa THPTQG 2015) Giải bất phương trình DẠNG 10: GIẢI PT- BPT MŨ VÀ LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Ví dụ 1: Giải phương trình: Đáp án Giải phương trình: (1) 1 điểm Chia hai vế cho , ta có: 0,25 Đặt 0,25 0,25 Với . Vậy phương trình có nghiệm x = 1 0,25 Ví dụ 2: Giải phương trình: Đáp án Giải phương trình: (1) 1 điểm Điều kiện: (2) 0,25 Đặt 0,25 0,25 , Kết hợp điều kiện (*), phương trình có nghiệm 0,25 Ví dụ 3: Giải bất phương trình: Đáp án Giải bất phương trình: (1) 1 điểm (2) 0,25 Đặt 0,25 Kết hợp điều kiện (*) ta có t > 1 0,25 . Vậy bất phương trình có nghiệm x > 3 0,25 Bài tập luyện tập Giải các phương trình: Giải các phương trình: Giải các bất phương trình: c) log2 x + log2x 8 ≤ 4 d) CHUYÊN ĐỀ III: TÍCH PHÂN 1/ Định nghĩa 1: Cho hàm số xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f (x) với mọi x thuộc K. Định nghĩa 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F(x) + C là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Kí hiệu ta có: 2/ Tính chất: Tính chất 1: Tính chất 2: Tính chất 3: Tính chất 4:Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì( a≠0) 3/ Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp : 4/ Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu: . Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| để chỉ hiệu số F(b) -F(a). Như vậy nếu F là một nguyên hàm của f trên k thì : = F(x)|=F(b) -F(a). 5/ Tính chất của tích phân 1)= 0 2)= – 3) + = 4) ± 5) = DẠNG 11: TÍNH TÍCH PHÂN, NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT. Ví dụ 1: Tìm Đáp án Tìm 1 điểm 0,5 = 0,25 = tanx – cot x + C 0,25 Ví dụ 2: Tính Đáp án Tính 1 điểm 0,25 = 0,25 = 0,25 = 0,25 Bài tập luyện tập Tìm các nguyên hàm sau: Tính các tích phân sau: Tính các tích phân sau: DẠNG 12: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Tính nguyên hàm baèng phöông phaùp ñoåi bieán. Phöông phaùp giaûi: b1: Ñaët t = (x) dt = b2: Thay nguyên hàm ñaõ cho theo bieán môùi, rồi tính nguyên hàm tìm ñöôïc . b3 Thay biến mới theo biến cũÞkết quả. Ví dụ 1: Tìm Đáp án Tìm 1 điểm Đặt u = x2 + x + 1 0,25 0,25 0,25 = 0,25 Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán. Phöông phaùp giaûi: b1: Ñaët t = (x) dt = b2: Ñoåi caän: x = a t =(a) ; x = b t = (b) b3: Vieát tích phaân ñaõ cho theo bieán môùi, caän môùi roài tính tích phaân tìm ñöôïc . Ví dụ 2: Tính Đáp án I = 1 điểm Đặt 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài tập luyện tập Tìm các nguyên hàm sau: Tính các tích phân sau: DẠNG 13: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Tính nguyên hàm baèng phöông phaùp tuøng phaàn: Coâng thöùc töøng phaàn : Phöông phaùp giaûi: B1: Ñaët moät bieåu thöùc naøo ñoù döôùi daáu nguyên hàm baèng u tính du. phaàn coøn laïi laø dv tìm v. B2: Khai trieån nguyên hàm ñaõ cho theo coâng thöùc töøng phaàn. B3: Tích phaân suy ra keát quaû. Chú ý: Thứ tự ưu tiên đặt u là “Nhất log, nhì đa, tam mũ, tứ lượng” Ví dụ 1: Tìm Đáp án I = 1 điểm Đặt 0,25 0,5 0,25 Tính tích phaân baèng phöông phaùp tuøng phaàn: Coâng thöùc töøng phaàn : Phöông phaùp giaûi: B1: Ñaët moät bieåu thöùc naøo ñoù döôùi daáu tích phaân baèng u tính du. phaàn coøn laïi laø dv tìm v. B2: Khai trieån tích phaân ñaõ cho theo coâng thöùc töøng phaàn. B3: Tích phaân suy ra keát quaû. Chú ý: Thứ tự ưu tiên đặt u là “Nhất log, nhì đa, tam mũ, tứ lượng” Ví dụ 2: Tính Đáp án 1 điểm Đặt 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài tập luyện tập Tìm các nguyên hàm sau: Tính các tích phân sau: DẠNG 14: TÍCH PHÂN TỔNG HỢP Ví dụ: Tính Đáp án 2 điểm 0,5 (trình bày bài toán theo phương pháp đổi biến) 0,5 (trình bày theo phương pháp tích phân từng phần) 0,5 0,5 Bài tập luyện tập Tính các tích phân sau: b. c . (Đề minh họa THPTQG 2015) DẠNG 15: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1/ Daïng toaùn1: Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi 1 ñöôøng cong vaø 3 ñöôøng thaúng. Coâng thöùc: Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] khi ñoù dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C) :y=f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a; x=b; y= 0 laø : Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và trục ox : f(x)=0 (1) B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: TH1: Nếu phương trình (1) vô nghiệm trong (a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: TH2: Nếu phương trình (1) có 1 nghiệm là x1(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: Chú ý: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 1 nghiệm làm tương tự trường hợp 2. 2/ Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng. Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x=a; x=b là : Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’) B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: TH1: Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: TH2: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x1(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: Chú ý: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 1 nghiệm làm tương tự trường hợp 2. Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2 – x2 và y = x Đáp án Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi các đường y = 2 – x2 và y = x 1 điểm Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường: 2 – x2 = x 0,25 0,25 0,25 (đvdt) 0,25 Bài tập luyện tập Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: DẠNG 16: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một vòng xung quanh trục ox là: Ví dụ: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = xex, x = 2 và y = 0. Tính thể tích của vật thể tròn xoay có được khi hình phẳng đó quay quanh trục Ox. Đáp án Cho hình phẳng giới hạn bỡi các đường: y = xex, x = 2 và y = 0. Tính thể tích của vật thể tròn xoay có được khi hình phẳng đó quay quanh trục Ox. 1 điểm Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y = xex và y = 0 là: xex = 0 0,25 Đặt 0,25 Đặt 0,25 (đvtt) 0,25 Bài tập luyện tập Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục hoành. CHỦ ĐỀ IV : SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan : Định nghĩa : Số phức là một biểu thức có dạng ; trong đó và . Các khái niệm liên quan : Cho số phức . Khi đó : Đơn vị ảo i Ÿi2 = -1 Ÿ i3 = -i Ÿ i4 = 1 gọi là phần thực và là phần ảo của số phức ; + Nếu , z gọi là số thuần ảo + Nếu , z gọi là số thuần thực + Nếu và , z gọi là số thuần thực hay thuần ảo đều được Số phức được biểu diễn bởi điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy. gọi là môđun của số phức . Số phức gọi là số phức liên hợp của số phức . Số thực a được xem là một số phức có phần ảo là 0. . Tập hợp các số phức kí hiệu là C Hai số phức bằng nhau : Cho Biểu diễn hình học số phức : y M x a b Số phức được biểu diễn bởi điểm M(a ;b) trong mặt phẳng Oxy Các phép toán trên tập hợp số phức : Phép cộng, trừ, nhân hai số phức : Chú ý : Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại số thông thường với chú ý rằng . Các quy tắc đại số đã áp dụng trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức. Cho . Khi đó : . Phép chia hai số phức: Căn bậc hai và phương trình bậc hai : Định nghĩa căn bậc hai của số thực a. *a=0 => a có một căn bậc hai là 0 * a là số thực dương. Khi đó a có hai căn bậc hai là : và . * a là số thực âm. Khi đó a có hai căn là : và . Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trong tập số phức : - Tất cả các phương trình bậc hai giải trong tập số phức đều có nghiệm. - Cách giải giống như giải trong tập số thực Giải pt : . Tính . Kết luận : Nếu thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt . Nếu thì phương trình có một nghiệm kép thực . Nếu khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là DẠNG 17: CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC Ví dụ: Xác định phần thực và phần ảo của số phức Đáp án Ta có phần thực của z là: và phần ảo của z là DẠNG 18: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC Ví dụ 1: Giải các phương trình a) 3x2 + x + 2 = 0 (1) a) Ta có D= −23 = 23 i2 < 0Þ phương trình có 2 nghiệm phức là: b) Ta có Gỉai (*) ta có: = − 3 = −3i2 <0 nên (2) có 2 nghiệm phức là: . Từ đó ta có các nghiệm của pt (2) là: x =1; Ví dụ 2: Khối D-2013 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tính môđun của số phức . Giải: Ta có: . Vậy môđun của số phức w bằng Ví dụ 3: Khối A-2014 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm phần thực và phần ảo của z Giải: Gọi , ta có phương trình đã cho trở thành : Vậy số phức z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3 Ví dụ 4: Khối D-2010 Tìm số phức z thỏa mãn: và là số thuần ảo. Giải: Gọi , ta có : và Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi : Vậy các số phức cần tìm là : 1+i ; 1-i ; -1+i ; -1-i DẠNG 19: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện cho trước Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: a)(1) b) (2) Giải: a) Đặt bởi điểm M(x; y) trong mp Oxy, ta có: Vậy tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa (1) là đường tròn có tâm I(0;-1), bán kính b) Đặt z = x + yi (x, yÎR) ta có Û |2 + x + yi| = |i − x − yi| Û (x + 2)2+ y2 = x2 + (1 − y)2Û 4x + 2y + 3 = 0. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa (2) là đường thẳng có phương trình: 4x + 2y + 3 = 0. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 : Thực hiện các phép tính và xác định phần thực, phần ảo và modun của các số phức sau đây: Bài 2 : a/ Cho . Tìm và . ĐS: -6-4i và b/ Cho . Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức . ĐS: môđun Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức: ĐS: Bài 4 : Tìm số phức , biết rằng : ĐS: a/ z = 2 - i b/ z = 2 -3i c/ z = 3 – 4i Bài 5 : Cho số phức và số phức . Tìm và biết rằng . ĐS: z = 3 + 2i và z’ = -2 + 5i Bài 6 : Cho số phức . Tìm z biết rằng . ĐS: z = 3+ 4i , z = -4 -3i Bài 7 : Cho số phức . Tìm z biết rằng . ĐS: z = 1+3i , z = -3-i Bài 8 : Cho số phức z thỏa . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong mp Oxy. Bài 9: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình Tính giá trị của biểu thức ĐS: A = 20 Bài 10: Tìm z biết: Bài 11: Tìm số phức z thỏa mãn: và ĐS: có hai số phức cần tìm z = 3 + 4i, z = 5 Bài 12: Giải phương trình sau trên tập số phức: ĐS: z = -8 -10i Bài 13: Cho số phức . Tìm z biết rằng là một số phức có phần thực bằng . Bài 14: Cho số phức . Tìm biết rằng là số thực. Bài 15: Cho số phức z thỏa . Xác định phần thực , phần ảo và môđun của số phức ĐS: a = 2, b = 3, Bài 16: Trong mp Oxy tìm tập hợp các điểm biễu diễn các số phức z thỏa a/ ĐS: là đường tròn tâm I(-2;5), bán kính R = 2 b/ ĐS: là hình tròn tâm I(3;-4), bán kính R = 3 Bài 17: Tìm số phức z thỏa: và là một số thuần ảo ĐS: . PHẦN IV: LƯỢNG GIÁC A. LÝ THUYẾT I. DẤU GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Góc ph tư GTr LG I II III IV + - - + + + - - + - + - + - + - II/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác: 0 p sina cosa a 0 B/ Các hệ thức cơ bản: Hệ quả: · sin2x = 1-cos2x ; cos2x = 1- sin2x · tanx= ; Sin4x + cos4x = 1 - 2sin2x.cos2x Sin6x + cos6x = 1 - 3sin2x.cos2x C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt: “ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch p” D/. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng: cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb tan(a – b) = tan(a + b) = 2. Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a tan2a = 3. Công thức nhân ba: sin3a = 3sina – 4sin3a cos3a = 4cos3a – 3cosa 4.Công thức hạ bậc: cos2a = sin2a = 5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan: v sinx = v cosx = tanx = v cotx = 6. Công thức biến đổi tổng thành tích 7. Công thức biến đổi tích thành tổng III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Các bước giải một phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của phương trình có nghĩa Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình đến một phương trình đã biết cách giải Bước 3: Giải phương trình và chọn nghiệm phù hợp (nếu có) Bước 4: Kết luận. 1. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác: Một số trường hợp đặc biệt: 2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác Dạng 1: . Đặt với . Giải phương trình theo t và kiểm tra điều kiện để chọn nghiệm t . Giải phương trình lượng giác cơ bản theo mỗi nghiệm t nhận được. Dạng 2: . . Đặt . Giải phương trình bậc hai theo t . Giải phương trình lượng giác cơ bản theo mỗi nghiệm t nhận được. . So với điều kiện ban đầu để chọn nghiệm x. 3. Phương trình bậc nhất theo : Dạng (1) . Kiểm tra điều kiện có nghiệm . Chia hai vế của phương trình (1) cho đưa về công thức cộng Đặt ta có phương trình: hay ta có phương trình: 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với : Dạng . Kiểm tra có phải là nghiệm của phương trình hay không ? . Sau đó chia hai vế của phương trình cho , ta có phương trình: 5. Phương trình đối xứng và phản xứng: Dạng Dạng 1: Phương trình đối xứng (1) . Đặt . Ta có: . Phương trình (1) trở thành phương trình bậc hai theo t, giải phương trình này và chọn thỏa điều kiện , sau đó giải phương trình ta tìm được x. Dạng 2: Phương trình phản xứng (2) . Đặt . Ta có: . Phương trình (2) trở thành phương trình bậc hai theo t, giải phương trình này và chọn thỏa điều kiện , sau đó giải phương trình ta tìm được x. 6. Phương trình lượng giác đưa về phương trình dạng tích: B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA: VD1: Cho góc và . Tính Giải: Ta có: Do nên Thế (2) vào (1) ta được: VD 2: Cho góc và . Tính Giải: Ta có: . Do đó VD 3: Giải phương trình: (1) Giải: VD 4: Giải phương trình: (1) Giải: Điều kiện Trường hợp cos2x =1 không thỏa điều kiện Với Vậy phương trình có hai họ nghiệm: VD 5: Giải phương trình: (1) Giải: VD 6: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: Vậy phương trình đã cho vô nghiệm VD 7: Giải phương trình . Giải: PT . Khi: . Khi : . Vậy: nghiệm của phương trình là , VD 8: Giải phương trình: . ( 1 ) Giải : Đặt sinx + cosx = t (). sin2x = t2 - 1 ( 1 )) Ta có phương trình sinx + cosx = Vậy nghiệm của phương trình là ( k) VD 9: Giải phương trình Giải: ĐK đó (thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: và C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho . Tính giá trị của các biểu thức sau: Bài 2. Cho . Tính giá trị của các biểu thức sau: Bài 3. Cho góc và . Tính . ĐS: Bài 4. Cho là góc mà Tính ĐS: Bài 5. Biết . Tính giá trị của biểu thức ĐS: A=2 Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau: Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau: a) b) c) d) Bài 8. Giải các phương trình : a) b) c) d/ e) f) sinx – cosx + 3sin2x – 1 = 0 g) Bài 9. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x: Bài 10. Giải các phương trình: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 2cos3x + sinx + cosx = 0. ĐS: x = (kÎZ) 8) ĐH Khối A-2014 9) ĐH Khối B-20140 10) ĐH Khối A-2013 11) ĐH Khối B-2013 12) ĐH Khối D-2013 13) ĐH Khối A-2012 14) ĐH Khối B-2012 15) ĐH Khối D-2012 PHẦN V: TỔ HỢP-XÁC SUẤT A. LÝ THUYẾT I. Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp 1. Hoán vị: Cho một tập hợp A gồm n phần tử (n 1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp theo thứ tự n phần tử của tập hợp A gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử (n 1) kí hiệu là . Ta có = n! =1.2.3(n-1).n (0!=1) 2. Chỉnh hợp * Cho tập A gồm n phần tử (n 1) và một số nguyên k với . Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.. Số các chỉnh hợp chập k của n được kí hiệu là: *Công thức tính : = với 3. Tổ hợp (Quy ước 0!=1) * Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với . Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A Số tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là * Công thức tính * Một số công thức và tính chất hoán vị, tổ hợp, chình hợp: với n nguyên dương k nguyên và với mọi (k,n nguyên) Pn = = n! (n nguyên dương) II. Nhị thức NiuTơn 1. Công thức nhị thức NiuTơn: Chú ý: Trong công thức (*): a) Số các hạng tử là n+1 b) Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử của công thức (*) bằng n. c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau 2. Một số đẳng thức đặc biệt: III. Xác suất của biến cố: 1. Định nghĩa: P(A)= Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số là xác suất của biến cố A. Ký hiệu P(A). Ta có : (n(A) là số phần tử của tập A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A, còn n() là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử). 2. Tính chất của xác suất : Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến phép thử một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện  Định lí : * P() = 0; P() = 1 * , với mọi biến cố A * Nếu A và B xung khắc thì: P() = P(A) + P(B) Hệ quả: , với mọi biến cố A DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN *Phương pháp chung để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đại số tổ hợp có thể tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghĩa. Ngoài các điều kiện thông thường để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm, cần đặc biệt chú ý các điều kiện tồn tại của là n nguyên dương, k nguyên không âm, ; gọi các điều kiện đó là Bước 2: Sử dụng các công thức để quy phương trình, bất phương trình, hệ phương trình về dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số Bước 3: Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số tìm nghiệm là n hoặc k, đối chiếu với điều kiện để chọn nghiệm thích hợp. VD1: Giải PT Giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: Với phương trình (1) tương đương với phương trình: Chia 2 vế cho x () vì VD2: Giải bất phương trình: Giải: Điều kiện để bất phương trình (1) có nghiệm là x thỏa mãn hệ: Với điều kiện , BPT (1) Bài tập đề nghị: BT 1: Tìm số tự nhiên k thỏa mãn hệ thức: ĐS: k=4; k=8 BT 2: Tìm số n nguyên dương thỏa mãn: ĐS: n=5 BT 3: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức : ĐS: Kết hợp với điều kiện ta được x = 3, và x = 4 là nghiệm của BPT (1) BT 4 Tìm số các số âm trong dãy số: với ĐS: 35 số hạng BT 5: a) Giải BPT ĐS: n = 3, n = 4 b) Giải hệ phương trình: ĐS: BT 6 :Giải các phương trình sau : 1) ĐS: x = 6 và x = 11 2) ĐS: x = 8 3) ĐS: x = 7 4) ĐS: x = 2 DẠNG 2: XÁC ĐỊNH HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIUTƠN *Dạng 3 về đại số tổ hợp sẽ giải quyết các bài toán : xác định hệ số thứ k, hệ số lớn nhất, số hạng thứ k, số hạng không chứa x, số hạng là số nguyêntrong khai triển nhị thức Niu tơn. VD1 : Trong khai triển của với k là hằng số dương, hệ số của x3 và của x bằng nhau. Tìm giá trị k Giải: Ta có Do gt ta có nên có hệ số và hệ số của số hạng chứa x là . Do k dương nên VD2: Trong khai triển của , hệ số của x6 là -7 và không có số hạng dạng x5 Cho biết Tìm p, q Giải: Ta có Theo gt ta có Vậy p = -1, q = 5 Bài tập đề nghị: BT 1 Tìm hệ số của trong khai triển thành đa thức của: P(x) = ĐS:= BT2: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển: biết BT 3:Cho đa thức được viết dưới dạng: P(x) = . Tính =? ĐS: =400995 BT 4:Tìm hệ số của và trong khai triển của biểu thức: P(x) = . ĐS: -662 và 560 BT 5: Trong khai triển tìm hệ số của số hạng chứa ĐS: -180 DẠNG 3: TÍNH XÁC SUẤT VD1: Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tìm xác suất để thẻ được lấy ghi số: a) Chẵn b) Chia hết cho 3 c) Lẻ và chia hết cho 3 Giải Không gian mẫu Gọi A là biến cố thẻ được lấy ghi số chẵn: A = {2,4,6,,20}, n(A) = 10 B là biến cố có thẻ ghi số chia hết cho 3 B = {3,6,9,,18}, n(B) = 6 C là biến cố có một thẻ lấy ra ghi số lẻ và chia hết cho 3 C = {3,9,15}, n(C) = 3 a) Xác suất của biến cố A: P(A) = = b) Xác suất của biến cố B: P(B) = = c) Xác suất của biến cố C: P(C) = = VD2: Một tổ gồm 7 nam, 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho trong hai người đó a) Cả hai người đều là nữ b) Không có người nữ nào c) Ít nhất một người là nữ d) Có đúng một người là nữ Giải: Không gian mẫu: chọn 2 người trong 10 người cho nên a) Gọi là biến cố chọn 2 người đều là nữ: Xác suất của biến cố : b) Gọi là biến cố mà 2 người được chọn không có người nữ nào, tức là chọn 2 người toàn là nam: Vậy c) Xác suất để chọn 2 người có ít nhất 1 người là nữ d) Gọi là biến cố chọn 2 người có đúng một người là nữ Xác suất của biến cố : P() = VD 3: Một hộp đựng 12 viên bi trong đó có 7 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Tính xác suất để khi lấy ra 3 viên bi có ít nhất 2 viên bi đỏ Giải: Không gian mẫu có phần tử. Có cách chọn ra 3 viên bi đỏ từ hộp và có cách chọn ra 2 bi đỏ và 1 bi xanh. Vây xác suất cần tính là VD 4: Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thư vào ba phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng phong bì của nó Giải: Số phần tử của không gian mẫu là 3! = 6. Gọi A là biến cố mà trong 3 phong bì có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ Trường hợp 1: có đúng 1 lá thư bỏ đúng địa chỉ số cách là Trường hợp 2: cả ba lá thư đều được bỏ đúng địa chỉ số cách là 1 Vậy VD5: Hai hộp chứa các quả cầu, hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một quả. Tính xác suất sao cho: a) Cả hai quả đều đỏ b) Hai quả cùng màu c) Hai quả khác màu Giải: Gọi A là biến cố lấy được quả đỏ từ hộp thứ nhất, xác suất của biến cố A là : Gọi B là biến cố lấy được quả đỏ từ hộp thứ hai, xác suất của biến cố A là : A và B là hai biến cố độc lập ; và là hai biến cố độc lập a) Xác suất để lấy được 2 quả cầu màu đỏ là  Xác suất đó là P(A.B) = P(A) . P(B) = .= 0.24 b) C là biến cố để lấy được 2 quả cùng màu nhau C = Xác suất của biến cố C là : = mà = c) Gọi D là biến cố lấy được hai quả cầu khác màu D = nên P(D) = P() = 1 – P(C) = 1 - 0.48 = 0.52 Bài tập đề nghị: BT1: Lớp học của Mai có 30 học sinh được đánh số thứ tự từ 1 đến 30, số thứ tự của Mai là 12. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp của Mai a) Tính xác suất để mai được chọn ĐS : b) Tính xác suất để Mai không được chọn ĐS : c) Tính xác suất để một bạn có số thứ tự nhỏ hơn số thự tự của Mai được chọn ĐS  BT2: Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên trên bàn tròn có 10 chiếc ghế. Tính xác suất sao cho nam nữ ngồi xen kẽ nhau ĐS : Xác suất phải tìm bằng BT3: Cho hai hộp bi, hộp thứ nhất có 7 bi xanh và 3 bi đỏ. Hộp thứ hai có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Từ mỗi hộp lấy ra một viên bi. Tính xác suất để: a) Lấy được 1 bi xanh và 1 bi đỏ b) Lấy được 2 bi đỏ c) Được ít nhất 1 bi đỏ ĐS: BT4: Từ các chữ số 0, 1, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong các số lập được. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4. ĐS : BT 5 :Khối B-2014 Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gởi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại. ĐS : BT6: Khối A-2014 Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh sớ chẵn. ĐS : BT 7 :Khối D-2014 Cho một đa giác đều n đỉnh, . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo HD :Vậy n=9 BT 8: Khối B-2013 Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu. ĐS : BT9 :Khối A-2013 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn. ĐS : Phần VI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I.GIẢI HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ THẾ. Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT còn lại trong hệ . *Loại thứ nhất , trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại Ví dụ 1 . Giải hệ phương trình Giải. Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có : thay vào (1) ta được (loại) Từ đó , ta được các nghiệm của hệ là : (1;-1) , (-2;) *Loại thứ hai , Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình Giải . Điều kiện : x≥1 ; y≥0 PT (1)( từ điều kiện ta có x+y>0) thay vào PT (2) ta được : *loại thứ ba , đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn , ẩn còn lại là tham số Ví dụ 3. Giải hệ phương trình Giải . Biến đổi PT (2) về dạng Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có từ đó ta được nghiệm Thay (3) vào (1) ta được : Thay (4) vào (1) ta được : Vậy nghiệm của hệ là : (0;4) , (4;0) , (;0) Bài tập: 1) ĐS: (1; 1) , (– 1; – 1) , ( ; –) , ( –; ) 2) ĐS: (–2; –2) 3/ 4) 5) 6) 7) II.GIẢI HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0. Ví dụ 4. Giải hệ phương trình Giải . Dễ thấy y=0 không thỏa mãn PT(1) nên HPT Đặt giải hệ ta được a=b=1 từ đó ta có hệ Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng. Ví dụ 5. Giải hệ phương trình Giải . Điều kiện : x +y ≠0 HPT Đặt ta được hệ Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( do |a|≥2 ) từ đó ta có hệ Bài tập : 1)2)3)4) 5/ ( ĐH Hàng Hải–2001) 6/ (ĐH TCKT – 2001) 7/ 8 / III.GIẢI HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng f(x)=0 (1)và f(x)=f(y) (2) với f là hàm đơn điệu trên tập D và x,y thuộc D .Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f đơn điệu * Loại thứ nhất , một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên để trên đó hàm f đơn điệu Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình Giải . Từ PT (2) ta có Xét hàm số có do đó f(t) nghịch biến trên khoảng (-1;1) hay PT (1) thay vào PT (2) ta được PT : Đặt a=x4 ≥0 và giải phương trình ta được *loại thứ hai , là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả hai trường hợp (1) và (2) Ví dụ 7. Giải hệ phương trình Giải . Đặt ta được hệ Trừ vế với vế 2 PT ta được : (3) Xét hàm số Vì do đó hàm số f(t) đồng biến trên R Nên PT (3) thay vào PT (1) ta được (4) Theo nhận xét trên thì nên PT (4) ( lấy ln hai vế ) Xét hàm số hay hàm g(a) nghịch biến trên R và do PT (4) có nghiệm a=0 nên PT (4) có nghiệm duy nhất a=0 Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là : x=y=1 Giải các hệ phương trình sau Bài tập đề nghị: Giải các hệ phương trình sau : a) j) K) l) Phần VII: Phương trình, bất phương trình vô tỉ cơ bản Dạng 1 : Phương trình Dạng 2: Phương trình Tổng quát: Dạng 3: Phương trình (chuyển về dạng 2) +) (1) và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : (2) Dạng 4: Dạng 5: > g(x) Û Dạng 6: < g(x) Û Dạng 7: Dạng 8: Dạng 9: Dạng 10: Phần VIII: Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất nhỏ nhất Dạng toán 1: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH DÙNG ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa: Chú ý : Khi chứng minh bằng định nghĩa cố gắng biến đổi hiệu A-B về một trong các dạng sau: ; ; ; Dạng toán 2: CHỨNG MINH BĐT BẰNG CÁCH ÁP DỤNG BĐT CÔSI BĐT CÔSI : cho 2 số không âm . Ta có Dấu bằng xảy ra khi Hệ quả: +Tổng 2 số không đổi, tích 2 số đạt giá trị lớn nhất khi 2 số bằng nhau. +Tích 2 số không đổi, tổng 2 số đạt giá trị nhỏ nhất khi 2 số bằng nhau. BĐT CÔSI : cho n số không âm . Ta có . Dấu bằng xảy ra khi Dạng toán 3: CHỨNG MINH BĐT DỰA VÀO BĐT BUNHIACÔPXKI BĐT Bunhiacopxki (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2) Dấu bằng xảy ra khi Tổng quát: ( a1b1+ a2b2++anbn)2 ≤ ( a1+ a2++an)2 ( b1+ b2++bn)2 Dấu bằng xảy ra khi Phần IX: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I/ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa: +. Vectơ gọi là vtcp của đường thẳng d nếu nó nằm trên d hoặc nằm trên đường thẳng song song với d +. Vectơ gọi là vtpt của đường thẳng d nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với d  2. Các dạng pt đường thẳng: a. Đường thẳng d đi qua điểm M(x0,y0) và có vtcp thì phương trình tham số của d là: và phương trình chính tắc của d là: với a1.a2≠0 b. Đường thẳng d đi qua điểm M(x0,y0) và có pvt thì : pttq d: a(x - x0)+ b(y - y0) = 0 Û ax + by + c = 0 c. Đường thẳng d đi qua điểm M(xo,yo) và có hsg là k thì phương trình d: y - yo = k (x- xo). 3.Các chú ý quan trọng +. Û +. cho d: ax + by + c = 0 và d’^ d thì d’: -bx + ay + c’ = 0 hoặc bx - ay + c’ = 0 +. cho d : ax + by + c = 0 và d’// d thì d’: ax + by + c’= 0 (c’≠ c) +. nếu d có vtcp thì d có hsg là (a1≠0) +. nếu d tạo với chiều dương trục ox một góc a thì d có hsg là k = tga +. đường thẳng d: y = ax + b có hsg là k = a +. cho d và d’ lần lượt có hsg là k và k’ thế thì : d // d’ Û k = k’ ; d ^d’ Û k.k’= -1 4. Các bài toán liên quan đên đường thẳng 4.1. Vị trí tương đối hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng d1: A1x + B1y + C1 = 0 và ; d2: A2x + B2y + C2 = 0 +.Û d1 cắt d2 ; +.Û d1 // d2 +. d1 º d2 4.2. Góc giữa hai đ/thẳng: + Cho hai đường thẳng d1: A1x + B1y + C1 = 0 và d2: A2x + B2y + C2 = 0 Gọi a là góc tạo bởi d1 và d2 thì : + d1 ^ d2 Û A1A2 + B1B2 = 0 4.3. Khoảng cách từ một điểm đến một đ/thẳng: Khoảng cách từ điểm M(xo,yo) đến đường thẳng : Ax + By + C = 0 là: 4.4 Xác định tọa điểm dùng phương trình đường thẳng: Ta thường sử dụng các kết quả sau: + + . + Thì tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: . II/ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương trình (C) : (x - a)2 + (y - b)2 = R2 (1) (C) : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (2) ( a2 + b2 - c > 0 ) Tâm I(a,b) I(a,b) Bán kính R Đ/k cần và đủ để đ/thẳng tiếp xúc với (C) là: d (I,) = R d (I,) = R III/ ELÍP 1.Định nghĩa : Cho hai điểm cố định với và hằng số 2a (a> c >0 ). +F1;F2 gọi là 2 tiêu điểm. +F1F2 =2c gọi là tiêu cự của (E) 2. Phương trình chính tắc (E) là : +2a gọi là độ dài trục lớn +2b gọi là độ dài trục nhỏ +Tâm sai của (E) : +M thuộc (E) thì ( gọi là bán kính qua tiêu ) MỘT SỐ ĐỀ MẪU TỰ GIẢI ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn thi: TOÁN- Thời gian: 180 phút ĐỀ 1 Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b)Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình: . Câu 2. (1,0 điểm) a) Cho sin a +cosa= 1,25 và . Tính sin 2a, cos 2a và tan2a. b) Tìm số phức z thỏa mãn: Câu 3. (0,5 điểm) Giải phương trình: . Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình: Câu 5. (1.0 điểm) Tính tích phân: Câu 6. (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mp(SAB) Câu 7. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (C): (x - 1) + (y + 1) = 20. Biết rằng AC=2BD và điểm B thuộc đường thẳng d: 2x - y - 5 = 0. Viết phương trình cạnh AB của hình thoi ABCD biết điểm B có hoành độ dương. Câu 8. (1.0 điểm) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình: x + y – 2z – 6 = 0. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mặt phẳng (P), tìm tọa độ tiếp điểm. Câu 9. (0,5 điểm) Có 2 hộp bi, hộp thứ nhất có 4 bi đỏ và 3 bi trắng, hộp thứ hai có 2 bi đỏ và 4 bi trắng . Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp 1 viên, tính xác suất để 2 bi được chọn cùng màu. Câu 10. (1.0 điểm) Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: xyz = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn thi: TOÁN- Thời gian: 180 phút ĐỀ 2 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. Câu 2.(1,0 điểm) a) Giải phương trình: b) Tìm phần thực phần ảo của số phức z thỏa . Câu 3.(1 điểm) a) Giải phương trình: b) Trong một hộp kín có 50 thẻ giống nhau được đánh số từ 1 đến 50. Lấy ngẫu nhiên 3 thẻ, tính xác suất lấy được đúng hai thẻ mang số chia hết cho 8. Câu 4: ( 1 điểm) Tính Câu 5: ( 1 điểm) Cho hình chóp có ABC là tam giác vuông tại B, , , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC biết . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). Câu 6: ( 1 điểm) Trong không gian (Oxyz) cho và và mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua gốc tọa độ, song song với AB và vuông góc với (P); tìm điểm N thuộc trục Oz sao cho N cách đều A và B. Câu 7: ( 1 điểm) Trong mặt phẳng (Oxy) cho hình thang cân ABCD ( cạnh đáy AB), AB = 2CD, . Gọi I là giao của hai đường chéo, đường thẳng đi qua I và vuông góc với hai cạnh đáy là . Tìm tọa độ điểm A biết diện tích của hình thang ABCD là , hoành độ của điểm I là 3 và trung điểm AB có tung độ không âm. Câu 8: ( 1 điểm) Giải hệ phương trình: Câu 9: ( 1 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa: . Tìm giá trị lớn nhất của ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn thi: TOÁN- Thời gian: 180 phút ĐỀ 3 Câu 1 ( 2,0 điểm). Cho hàm số (1). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . b) Tìm để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị sao cho tam giác vuông tại ( với là gốc tọa độ ). Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình . b. Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: Câu 3. (0,5 điểm) Giải phương trình: . Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình: . Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân : I =. Câu 6. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;2;0), B(0;4;0), C(0;0;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách C đến (P). Câu 7. (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’. ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’= b. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC). Tính tan và thể tích khối chóp A’.BB’C’C. Câu 8. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): và đường thẳng d: . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm M mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho góc =1200. Câu 9. (0,5 điểm) Một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng làm bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. Câu 10. (1.0 điểm) Cho 3 số thực khác 0 thỏa mãn: và .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn thi: TOÁN- Thời gian: 180 phút ĐỀ 4 Câu 1.(2,0 điểm): Cho hàm số : (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số (1) b) Dùng đồ thị (C) tìm các giá trị của m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. Câu 2.(1,0 điểm): Giải các phương trình sau: cos2x + (1 + 2cosx).(sinx – cosx) = 0 b) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 3 Câu 3.(1,0 điểm): Tính tích phân I = Câu 4.(1,0 điểm): Tìm số phức Z thỏa mãn đẳng thức: b) Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ. Người ta chọn ra từ đó 4 người để đi công tác , tính xác suất sao cho trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn. Câu 5.(1,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(- 4;1;3) và đường thẳng d: . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho Câu 6.(1,0 điểm):Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB=2a ,AD=a .Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc bằng 45 0 a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD) Câu 7.(1,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD có A(-1;3); Gọi M,N lần lượt thuộc hai cạnh BC,CD sao cho gọi H là giao của AM và BN , H(2;1). Tìm tọa độ điểm B biết rằng B nằm trên đường thẳng 2x-y+1=0. Câu 8.(1,0 điểm): Giải hệ phương trình sau Câu 9.(1,0 điểm): Cho a, b, c không âm và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn thi: TOÁN- Thời gian: 180 phút ĐỀ 5 Câu 1: (2.0 điểm) Cho hàm số . a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b/ Tìm các giá trị m để đường thẳng (d): cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB nằm trên đường thẳng . Câu 2a. (0.5 điểm) Thu gọn b. (0.5 điểm) Cho số phức . Tìm m để Câu 3. (0.5 điểm) Giải phương trình: Câu 4. (1.0 điểm) Giải hệ phương trình: Câu 5. (1.0 điểm) Tính tích phân Câu 6. (1.0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa và mặt bằng . Tính theo a thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa và AC với I là trung điểm AB. Câu 7. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn tâm . Chân đường cao hạ từ B, C của ABC lần lượt là . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK, biết rằng tung độ điểm A dương. Câu 8. (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng . Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d và viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I, cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt M, N sao cho tam giác IMN có diện tích bằng . Câu 9. (0.5 điểm) Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất để lấy được cả 3 viên bi đều màu đỏ. Câu 10. (1.0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn thi: TOÁN- Thời gian: 180 phút ĐỀ 6 Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số , với m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +) Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình (x, y Î R). Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân Câu 5. (0,5 điểm). Gọi S là tập hợp tất cả số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác xuất để số được chọn là số chẵn. Câu 6 (0,5 điểm) Cho số phức z thỏa . Tính môđun của số phức z Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : và . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N (5;-4). Câu 9. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm A(1;7;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với . Tìm tọa độ điểm M thuộc sao cho AM = . Câu 10 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức