Phát triển tư duy cho học sinh trung học cơ sở qua dạy học giải bài tập toán

Hồ Thị Mai Phương Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 94(06): 43 - 48 43 PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN Hồ Thị Mai Phương Trường Đại học Sư phạm- ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Rèn luyện và phát triển tư duy cho người học là một nhiệm vụ quan trọng trong dạy học. Toán học là môn khoa học có tính trừu tượng cao và tính logic chặt chẽ. Vì vậy, người học phải có phương pháp tư duy khoa học và mang tính sáng tạo. Môn toán có nhiều tiềm năng và cũng là môi trường tốt nhất để rèn luyện và phát triển tư duy của người học. Trong quá trình dạy toán bên cạnh việc dạy học sinh cách tìm lời giải bài tập nếu có phương pháp khai thác hệ thống bài tập, câu hỏi một cách thích hợp dựa trên những nguyên tắc cơ bản sẽ giúp các em biết tìm lời giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau, khai thác bài toán theo nhiều hướng và góc độ khác nhau, những hoạt động này sẽ góp phần rèn luyện và phát triển tư duy ở học sinh, nâng cao chất lượng dạy học đáp ứng yêu cầu dạy học phát triển hiện nay. Từ khóa: Rèn luyện, phát triển, tư duy, người học, giáo viên ĐẶT VẤN ĐỀ * Rèn luyện và phát triển tư duy (TD) cho người học là một nhiệm vụ quan trọng trong dạy học. Toán học là môn khoa học có tính trừu tượng cao và tính lôgic chặt chẽ. Tri thức trước là cơ sở cho tri thức sau và tri thức sau dựa vào tri thức trước. Vì vậy đòi hỏi người học phải có một phương pháp TD khoa học và mang tính sáng tạo. Bên cạnh đó với những đặc điểm ấy, môn toán có nhiều tiềm năng và cũng là một môi trường tốt để rèn luyện và phát triển TD của người học. Trong dạy học giải bài tập toán, người học không chỉ tiếp thu kiến thức, kĩ năng mà còn rèn luyện cách nghĩ, cách tư duy, cách học. Do vậy trong quá trình dạy học toán nói chung, giải bài tập toán nói riêng người thầy không chỉ dạy học sinh (HS) biết cách tìm tòi lời giải bài tập mà còn giúp các em biết TD để giải bài toán bằng các cách khác nhau, khai thác bài toán theo nhiều hướng, nhìn bài toán dưới nhiều góc độ. Chính những hoạt động này sẽ thúc đẩy việc rèn luyện và phát triển TD ở HS. TƯ DUY LÀ GÌ? - Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính qui luật của sự vật hiện tượng. * Tel: 0915590027; Email: hophuong1864@gmail.com Theo từ điển Tiếng Việt (Hoàng Phê, Nxb Khoa học Xã hội, Hà Nội, 1998). Tư duy là “Giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính qui luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, phán đoán và suy lí”. Tư duy mang tính khái quát, tính gián tiếp, tính trừu tượng. Sản phẩm của TD là những khái niệm, phán đoán, suy luận được biểu đạt bằng những từ, ngữ, câu TD là một hoạt động trí tuệ với quá trình bao gồm các bước sau: * Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ TD. Nói cách khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp. * Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thuyết và cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi. * Xác minh giả thuyết trong thực tiễn. Nếu giả thuyết đúng thì qua bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới. * Quyết định, đánh giá kết quả và đưa ra sử dụng. Quá trình TD được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ. MỘT SỐ NGUYÊN TẮC PHÁT TRIỂN TƯ DUY (1) Hiểu thấu và nắm vững kiến thức Câu phương ngôn “ có bột mới gột nên hồ” là kinh nghiệm được rút ra từ cuộc sống của nhân dân ta qua hàng nghìn năm và được vận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hồ Thị Mai Phương Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 94(06): 43 - 48 44 dụng vào mọi hoạt động của con người. Trong hoạt động TD, phải có kiến thức mới có cơ sở để dựa trên đó mà TD đúng đắn. Sự hiểu biết càng sâu sắc thì TD càng chính xác. Kiến thức càng vững vàng thì TD càng mạch lạc. Hiểu thấu và nắm vững kiến thức là nền tảng của TD trong học tập và giải toán, là cơ sở của việc tiếp nhận tri thức mới và để phát triển TD. Các kiến thức của toán học được sắp xếp theo một hệ thống chặt chẽ: tri thức sau dựa vào tri thức trước, chính quá trình học tập liên tục này là một khâu trong quá trình phát triển TD. Vì lẽ đó trong dạy học người thầy phải thường xuyên đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) để HS tiếp nhận kiến thức mới một cách dễ dàng, nhanh chóng và khắc sâu được kiến thức ấy. (2) Phát triển tư duy dựa trên sự thực hành và vận dụng kiến thức thường xuyên Để thấu hiểu và nắm vững kiến thức thì cần thực hành và vận dụng kiến thức thường xuyên. Nếu HS làm nhiều bài tập, tìm nhiều cách thức giải bài toán thì kiến thức thường xuyên được huy động, được củng cố ngày càng vững chắc; đồng thời luyện tập giải bài tập là cơ hội để HS tập luyện TD, tạo dựng kĩ năng TD và vì thế TD ngày càng được phát triển. Để rèn luyện và phát triển TD cho người học, GV phải dày công nghiên cứu, chọn lọc được hệ thống bài tập đa dạng, đào sâu được mọi khía cạnh của kiến thức để HS thực hành, chính hệ thống những bài tập ấy đòi hỏi HS phải tập luyện huy động kiến thức đã học một cách triệt để. HS được rèn luyện một phong cách suy nghĩ sâu sắc hơn và nhờ đó dần hình thành được kĩ năng huy động kiến thức góp phần phát triển TD (3) Tích luỹ kinh nghiệm và kĩ năng để phát triển tư duy Mỗi thao tác của TD đều phải do rèn luyện, củng cố thường xuyên, học tập mà có. Thực tế chứng tỏ rằng quá trình TD không phải lúc nào cũng được đi theo một con đường thẳng tắp để tới đích mà nó thường quanh co khúc khuỷu. Khi ta chọn được con đường đi đến đích thẳng tắp, đấy là lúc quá trình TD của ta sáng sủa, mạch lạc, mọi khâu trong quá trình đó đã được sắp đặt một cách tối ưu. Khi con đường đi tới đích quanh co khúc khuỷu thì sau khi tới đích ta cần nhìn lại để phân tích, phê phán những chỗ thiếu sót, loại đi những khâu thừa hoặc sắp xếp lại các khâu trong quá trình để TD được hợp lí hơn. Giải lại một bài toán theo một cách khác, hay khai thác bài toán theo những hướng khác nhau chính là để rút ra những kinh nghiệm về việc vận dụng các thao tác TD và cũng là để hoàn thiện phương pháp TD. Do vậy, việc tích luỹ kinh nghiệm rất cần thiết cho sự phát triển TD. Trong khi xem xét lại cách giải một bài toán ta đã phải tập luyện TD sâu sắc hơn. Vì thế, việc đúc rút kinh nghiệm không những tạo cho người học rèn luyện TD mà còn giúp họ hoàn thiện các thao tác TD của mình, làm cho TD có chất lượng hơn và đẩy nhanh sự phát triển TD. Nhà toán học nổi tiếng Pôlya đã nói: “Chúng ta học tập xuất phát từ kinh nghiệm, hay nói đúng hơn, chúng ta phải học tập từ kinh nghiệm. Sử dụng kinh nghiệm một cách có hiệu quả nhất là nhiệm vụ quan trọng của con người,” (4) Biết cách huy động và vận dụng kiến thức và kinh nghiệm vào việc phát triển TD Thấu hiểu và nắm vững kiến thức và thường xuyên thực hành vận dụng chúng, đó là những cơ sở vật chất cho sự phát triển của TD, đó chính là “bột” để gột nên “hồ”. Quá trình tích luỹ kinh nghiệm là cơ hội để phát triển TD. Nếu đã có một quá trình học tập với phong cách thường xuyên rút kinh nghiệm thì quá trình huy động kiến thức càng mau lẹ và những kiến thức được huy động là những kiến thức thực sự cần thiết. Trong dạy học giải bài tập toán ở trường THCS các nguyên tắc trên cần được quan tâm một cách triệt để, như vậy sẽ góp phần tích cực trong rèn luyện và phát triển TD. MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH Từ những nguyên tắc của TD để góp phần phát triển TD cho người học cần thực hiện trên cơ sở của một số biện pháp sau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hồ Thị Mai Phương Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 94(06): 43 - 48 45 * Giáo viên luôn tìm tòi những phương pháp dạy học tốt và luôn đổi mới PP dạy – học GV có phương pháp dạy học (PPDH) tốt và luôn đổi mới PPDH sẽ giúp HS nắm vững và hiểu thấu kiến thức. Cần lựa chọn một hệ thống câu hỏi cho từng bài học, cho từng khâu trong quá trình diễn ra của giờ học một cách khéo léo, có tính kích thích TD, phát huy sáng tạo và gây hứng thú học tập cho HS. Bên cạnh việc trau dồi những tri thức toán học qui định trong chương trình, cần quan tâm đến việc trau dồi cho HS về phương pháp học tập, phương pháp suy luận. * Lựa chọn hệ thống bài tập tốt và thường xuyên củng cố kiến thức cho HS Một hệ thống bài tập được coi là tốt nếu nó đảm bảo việc soi sáng, củng cố, đào sâu được những kiến thức mà HS đã học, gây được hứng thú học tập, làm cho HS ham mê học tập, nâng dần trình độ hiểu biết, kĩ năng giải toán, do đó phát triển được TD toán học cho HS. Cần tranh thủ mọi cơ hội để củng cố mọi kiến thức cho HS: củng cố khi dạy một kiến thức mới có liên quan, củng cố khi giải một bài tập cần vận dụng một kiến thức nào đó, củng cố trước và sau khi thi hết học kì hoặc hết năm học. * Thường xuyên tập luyện cho học sinh suy đoán và tưởng tượng, hướng dẫn HS biết phê phán và tích luỹ kinh nghiệm. Cần tạo nhiều cơ hội, nhiều tình huống buộc HS phải suy đoán: Suy đoán về kết luận của một định lý, về kết quả của một bài toán, về khả năng giải bài toán Sau mỗi bài toán khó hoặc một bài toán hay, HS biết dành thời gian để nhìn lại cách giải, nhận biết cách giải tốt, phê phán những chỗ rườm rà, tìm cách cải tiến phương pháp giải, đề xuất những cách giải hay, đồng thời phân tích, khai thác bài toán tương tự, bài toán tổng quát ( nếu có). Điều này giúp rèn luyện cho HS độc lập suy nghĩ, tự đặt các câu hỏi và tự tìm cách giải đáp chúng, đồng thời khuyến khích những hoạt động trí óc như đặt câu hỏi hoài nghi khoa học; tại sao? như thế nào?.. RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TD QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Bài tập có vai trò là giá mang hoạt động của học sinh. Bài tập toán được sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau, có nhiều ý nghĩa - Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo trong những khâu khác nhau của quá trình dạy học - Phát triển năng lực trí tuệ; rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ. Với ý nghĩa đó bài tập toán là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển TD của HS. Tuy nhiên, không phải bài tập nào cũng khai thác để thể hiện được đầy đủ chức năng có thể có của nó, mà có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên. Ở đây ta sẽ đi sâu vào việc dạy học giải bài tập toán với dụng ý khai thác nhằm rèn luyện và phát triển TD cho các em. Ví dụ: Mô phỏng việc rèn luyện và phát triển ở HS tư duy toán học thông qua việc khai thác những hoạt động dựa trên các nguyên tắc phát triển TD. Bài toán 1. Tính tổng 1 1 1 1 ... 1.2 2.3 3.4 1945.1946 S = + + + + Nhận xét. Đây là bài toán về dãy số viết theo qui luật, đòi hỏi HS phải có một thao tác TD tinh tế; đó là phải suy nghĩ, phán đoán, tìm tòi sáng tạo để tách được các số hạng của một tổng thành những hiệu hoặc tổng sao cho tổng đã cho có thể thu gọn thành một tổng có ít số hạng và có thể tính được. Những cách tách ấy sẽ rèn luyện cho HS nhận xét, phán đoán, thử nghiệm. *) Tìm cách giải bài toán bằng khai thác chuỗi câu hỏi (1) Tổng này có thể tính được bằng việc vận dụng kiến thức về phép cộng phân số không? (2) Hãy nhận xét mẫu số của các số hạng trong tổng có đặc điểm gì chung? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hồ Thị Mai Phương Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 94(06): 43 - 48 46 (3) Đã gặp những phép tính nào cho ta kết quả như sau không? 1 2.3 ; 1 3.4 ; , 1 ( 1)n n + , hoặc 1 1 2 3 − ; , 1 1 1n n − + . (4) Vậy để tính tổng trên hãy tìm liên hệ giữa câu hỏi (2) và câu hỏi (3). Cho biết áp dụng phép biến đổi nào sẽ có hiệu quả ? Như vậy, bằng khai thác câu hỏi giúp HS hiểu thấu, nắm vững kiến thức về phép cộng các phân số, bằng kinh nghiệm, suy đoán và tưởng tượng HS có được lời giải bài toán. Nhận thấy 1 1 1 1 2 1.2 1 2 = = − ; 1 2.3 = 3 2 1 1 2.3 2 3 − = − ; 1 3.4 = 1 1 3 4 − ;; 1 1 1 1945.1946 1945 1946 = − Vậy, 1 1 1 1 ... 1.2 2.3 3.4 1945.1946 S = + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 1945 1946 = − + − + − + + − 1 1 1945 1 1946 1946 = − = (5) Từ lời giải bài toán trên có thể khai thác được các bài toán tương tự không? *) Khai thác lời giải bài toán theo hướng phân tích tính chất đặc thù của mẫu số của các số hạng trong tổng. Bằng phê phán, tích luỹ kinh nghiệm, ghi nhớ, HS phân tích, khai thác bài toán theo hướng sáng tạo bài toán mới. Bài toán (BT) 1.1. Tính tổng S = 1 1.2.3 + 1 1 1 ... 2.3.4 3.4.5 48.49.50 + + + Hướng dẫn (HD): Bằng sự huy động kiến thức và kinh nghiệm từ lời giải bài toán 1 HS tiến hành qui lạ về quen bằng việc nhận thấy: 1 1 1 1 1.2.3 2 1.2 2.3   = −    Hoàn toàn bằng TD tương tự, HS tính được tổng 1 1 1 611 2 2.3 49.50 7350 S  = − =    BT1.2. Tính tổng 1 1 1 1 ... 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 47.48.49.50 S = + + + + HD. Từ kinh nghiệm TD qua việc tìm lời giải hai bài toán trên HS dễ dàng nhận thấy 1 1 1 1 1.2.3.4 3 1.2.3 2.3.4   = −    Tìm được tổng 1 1 1 1 8.49.50 1 . 3 1.2.3 48.49.50 3 48.49.50 S − = − =    *) Đề xuất bài toán tương tự trong trường hợp tổng quát hơn. Phân tích đặc điểm của bài toán nếu tăng các số hạng của tổng S lên ta có thể tính được tổng S dựa vào cách khai thác các câu hỏi như trên không? Ta có bài toán tương tự trong trường hợp tổng quát, rộng hơn như sau: BT 1.3. Tính 1 1 1 1 1 ... ... 1.2 2.3 3.4 1945.1946 ( 1)S n n= + + + + + + + BT 1.4. Tính ...( ) ( )( 2 ) [ ( 1) ][ ] b b bP a a b a b a b a n b a nb = + + + + + + + − + BT 1.5. Tính 1 1 1 ... 1.2.3 2.3.4 3.4.5 S = + + + + 1 1 ... 48.49.50 ( 1)( 2)n n n+ + + + Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hồ Thị Mai Phương Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 94(06): 43 - 48 47 BT 1.6. Tính 1 1 1 1 ... ... 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 47.48.49.50 S = + + + + + + 1 ( 1) ( 1)( 2)n n n n− + + *) Đề xuất bài toán mới: Từ cách giải và kết quả cuả bài toán, ta nhận thấy nếu tăng các số hạng của tổng S lên thì cách giải bài toán vẫn tương tự. Vấn đề mới đặt ra là khi tìm được tính qui luật của mẫu số trong các số hạng của tổng S thì ta tính được tổng S, từ đó đề xuất bài toán mới nhằm tạo ra chùm bài tập vận dụng, củng cố kiến thức về các phép toán trên phân số về dãy các phân số viết theo qui luật. Điều này không chỉ rèn luyện cho HS kĩ năng tìm lời giải và tích luỹ kinh nghiệm trong giải toán, kiến thức thường xuyên được củng cố và luyện tập góp phần phát triển TD cho HS. BT 1.7. Cho biểu thức S = 1 111 1 3 + + + 1 1 11 3 6 + + + + 1 1 1 11 ... 3 6 1993006 + + + + Mẫu số của các số hạng có dạng 1 2 3 1 1 1 1 1 1 ... k ku u u u u− + + + + + Với 1k ku k u −= + Chứng minh S > 1001. HD. Với kinh nghiệm TD qua các bài toán trên HS sẽ suy nghĩ để nhận biết bài toán qua những câu hỏi dẫn dắt. (1) Mẫu số của mỗi số hạng được viết theo qui luật nào? Liệu có thể qui mẫu về trường hợp bài toán 1 được không? Ta thấy: u1=1; u2 = 2 + u1 = 2 + 1 = 3 u3 = 3 + u2 = 3 + 3 = 2.3 u4 = 4 + u3 = 4 + 2.3 = 2.5 u5 = 5 + u4 = 5 + 2.5 = 3.5 u6 = 6 + u5 = 6 + 3.5 = 3.7 (2) Hãy tìm các biến đổi thêm chút nữa để tìm ra qui luật của các mẫu Ta có 1 1 2 1.2u = , 2 1 2 2.3u = ; , 1 2( 1)nu n n = + (3) bằng kinh nghiệm trong lời giải các bài toán trên hãy qui bài toán về bài toán quen thuộc đã biết 1 1 1 2 1 12 1 1.2 1 2u   = = = −    , 2 1 1 2 1 12 3 2.3 2 3u   = = = −    , 3 1 1 12 3 4u   = −    , , 1 2 2 1 12 1993006 3986012 1996.1997 1996 1997   = = = −    (4) Hãy tính tổng S và so sánh tổng S với 1001. Có thể thấy dạy học giải bài tập toán theo hướng như trên đó là quá trình để HS củng cố kiến thức tạo ra khả năng suy đoán, tưởng tượng, qui lạ về quen đúc rút tích luỹ kinh nghiệm giải toán góp phần rèn luyện và phát triển TD, HS sẽ hứng thú học hơn. Tư duy của học sinh không ngừng được nâng cao nếu trong quá trình dạy học, các nội dung được xây dựng và việc giải bài tập giáo viên biết khai thác câu hỏi bằng những tình huống gợi vấn đề. Việc rèn luyện và phát triển TD cho HS là một khâu quan trọng trong xu thế dạy học phát triển hiện nay. Giáo viên dạy toán nên tìm tòi để đưa ra các tình huống gợi vấn đề, gợi cho HS sự tò mò tìm hiểu, hứng thú học tập, việc tạo tình huống gợi vấn đề trong dạy học môn Toán nói chung giải bài tập toán nói riêng đòi hỏi người giáo viên phải không ngừng học hỏi nâng cao tay nghề, trình độ chuyên môn nghiệp vụ để tiết dạy có nhiều tình huống gây được cảm xúc và ngạc nhiên cho HS từ đó tạo cảm giác hưng phấn, hứng thú học tập, làm cho tiết bài tập không còn khô khan mà đầy lý thú, để HS xem việc giải bài tập toán là chân trời để khám phá, là phương tiện hiệu quả góp phần tích cực trong rèn luyện và phát triển TD. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Hồ Thị Mai Phương Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 94(06): 43 - 48 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn toán - Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. [2]. Nguyễn Thái Hoè, (2001), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, Nxb Giáo dục. [3]. Lê Thống Nhất, (2001), Rèn luyện kĩ năng giải toán THCS, Nxb Giáo dục. [4]. Sách giáo khoa toán, sách bài tập, môn toán THCS 2004, Nxb Giáo dục. [5]. Sách toán nâng cao và các chuyên đề toán ở trường THCS 2003, Nxb Giáo dục. [6]. Nguyễn Duy Thuận (2007), Phát triển tư duy toán học trong học sinh, Nxb Đại học Sư phạm [7]. Trần Thúc Trình (2003), Tư duy và hoạt động toán học, Hà Nội. SUMMARY DEVELOPMENT OF MIDDLE SCHOOL STUDENTS’ THINKING THROUGH TEACHING MATH EXERCISES Ho Thi Mai Phuong* College of Education – TNU Training and developing thinking for students is an important task in teaching. Mathematics is a scientific subject which is so abstract and strict logic that students are required to have scientific and innovative methods of thinking. Mathematics has a great potential and also the best environment to train and develop the thinking of students. In the process of teaching mathematics, the teacher not only teaches students how to find a solution, but also give exercises that help them to solve the problem of thinking in many different ways to exploit the problem in many directions. The activities will promote the training and development of students’ thinking. Key words: Training, development, thinking, learners, the teacher. Ngày nhận: 16/01/2012; Ngày phản biện:26/03/2012; Ngày duyệt đăng:12/06/2012 * Tel: 0915590027; Email: hophuong1864@gmail.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên