Ổn định hóa hệ thống hai cánh quạt nhiều đầu vào nhiều đầu ra dựa trên phương pháp quy hoạch động của Bellman

Đặng Danh Hoằng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 128(14): 155 - 160 162 ỔN ĐỊNH HÓA HỆ THỐNG HAI CÁNH QUẠT NHIỀU ĐẦU VÀO NHIỀU ĐẦU RA DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG CỦA BELLMAN Nguyễn Thị Mai Hương1, Mai Trung Thái1, Lại Khắc Lãi2*, Đỗ Thị Tú Anh3 1Trường Đại học Kỹ Thuật Công Nghiệp – ĐH Thái Nguyên, 2Đại học Thái Nguyên, 3Đại học Bách khoa Hà Nội TÓM TẮT Điều khiển dự báo theo mô hình trước đây hầu như ít quan tâm đến tính ổn định của hệ thống. Hệ thống hai cánh quạt nhiều đầu vào nhiều đầu ra (Twin Rotor MIMO system - TRMS) là một hệ thống phi tuyến, có đặc tính động học khá phức tạp [11]. Các tác giả trong [10] đã xét tính ổn định của hệ thống TRMS theo phương pháp ràng buộc điểm cuối. Bài báo này đưa ra kết quả áp dụng điều khiển dự báo trực tiếp trên nền quy hoạch động cho hệ thống TRMS để xét tính ổn định của hệ. Các kết quả mô phỏng khi cửa sổ dự báo tiến đến vô cùng cho thấy các tham số trạng thái của đối tượng tiến về không (điểm cân bằng của hệ thống) chứng tỏ hệ thống ổn định toàn cục. Từ khoá: Tham số trạng thái, hệ thống hai cánh quạt nhiều đầu vào nhiều đầu ra, sự ổn định, quy hoạch động, điều khiển dự báo GIỚI THIỆU CHUNG* Tối ưu hóa trong điều khiển dự báo là một vấn đề khó đang được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Từ trước đến nay người ta chủ yếu sử dụng các phương pháp tìm nghiệm có hướng trên cửa sổ dự báo hữu hạn để tối ưu hóa trong điều khiển dự báo như phương pháp gradient, Newton – Raphson (Newton – Optimization, Newton type), hay Gauss – Newton vì các phương pháp này khá thuận lợi cho dạng các bài toán tối ưu bị ràng buộc. Cũng đã có một vài ứng dụng các phương pháp tối ưu hóa khác không sử dụng hướng tìm như Levenberg-Marquardt hay trust region, song tất cả các phương pháp tối ưu hóa đa được sử dụng đó đều chỉ có thể được cài đặt với cửa sổ dự báo hữu hạn, do đó không đảm bảo được tính toàn cục của nghiệm tối ưu tìm được và dẫn đến việc khó đảm bảo được tính ổn định trong hệ thống [2]. Phương pháp quy hoạch động là một công cụ rất tốt cho việc giải bài toán tối ưu nhiều biến và đảm bảo được tính toàn cục của nghiệm tối ưu. Tuy nhiên hiện nay phương pháp này mới được áp dụng để giải bài toán tối ưu cho hệ * Tel: tuyến tính có tham số là hằng số hoặc tham số biến đổi theo thời gian. Bài báo này chúng tôi áp dụng phương pháp quy hoạch động để giải bài toán tối ưu cho hệ thống có tham số phụ thuộc trạng thái TRMS. MÔ HÌNH TRMS Hình 1 là hệ thống TRMS Rotor ®u«i Hép b¶o vÖ Rotor chÝnh Hép b¶o vÖ Chèt quay §èi träng Trô TRMS 33-220 C¸nh tay ®ßn tù do Hình 1. Hệ thống TRMS Xét hệ thống TRMS có mô hình dự báo như sau: ˆ ˆ ˆ( 1 ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ˆ ˆ( ) ( ( )) ( ) x k i k A x k i k x k i k B x k i k u k i k y k i k C x k i k x k i k                (1) 0,1,..., 1pi N  Nguyễn Thị Mai Hương và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 128(14): 161 - 165 163 Để xác định được tín hiệu điều khiển ku tại cửa sổ dự báo hiện tại, sao cho sự ảnh hưởng của sai lệch mô hình k tới chất lượng ổn định 0kx là nhỏ nhất ứng với mô hình dự báo (1), ta sẽ sử dụng hàm mục tiêu dạng toàn phương [1]: 1 2 2 0 min        P k k N k i k iQ R i J x u (2) trong đó: 2 k T kk i k i k iQ x x Q x   và 2 T kk i k i k iR u u R u   với , k kQ R là hai ma trận đối xứng xác định dương tùy chọn. Để tăng tính mềm dẻo cho bộ điều khiển sau này, ta có thể thay đổi , k kQ R theo k , tức là thay đổi dọc theo trục thời gian at kT . Khi cửa sổ dự báo là vô hạn (  PN ) thì việc tối ưu hóa được thực hiện như sau: hàm mục tiêu (2) sẽ viết lại được thành: 2 2 0 min k k k i k iQ R i J x u        (3) phương pháp quy hoạch động cho ra kết quả sau [1]:   1T T k k k k kk ku R B LB B LA x     (4) trong đó L là nghiệm đối xứng của:   1T T T k k k k k k k kL Q A L I B R B LB B L A           (5) Các biến trạng thái, các đầu vào và các đầu ra của TRMS như sau:   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ah h h h T av v v v x k i k k S k k i k k S k k      (6)  ( ) ( ) ( ) T h vu k U k U k (7)  ( ) ( ) ( ) T h vy k k k  (8) Trong đó: iah: dòng điện phần ứng của động cơ đuôi (A) ωh: Vận tốc góc của cánh quạt đuôi (rad/s) Sh: Vận tốc góc của cánh tay đòn TRMS trong mặt phẳng ngang mà không bị ảnh hưởng bởi cánh quạt chính (rad/s) iav: Dòng điện phần ứng của động cơ đuôi (A) ωv: Vận tốc góc của cánh quạt chính (rad/s) Sv: Vận tốc góc của cánh tay đòn TRMS trong mặt phẳng thẳng dọc mà không bị ảnh hưởng của cánh quạt đuôi (rad/s) v: Vị trí theo phương thẳng đứng (pitch angle) của cánh tay đòn TRMS (rad) Uh: Tín hiệu điện áp đầu vào của động cơ đuôi (V) Uv: Tín hiệu điện áp đầu vào của động cơ chính (V) Các phương trình không gian trạng thái liên tục phi tuyến của TRMS được đưa ra trong [10]: 6 1 2 7 3 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos sin cos cos ah ah h ah ah h h ah ah ah ah h tr h ah hh tr tr tr t h v h h h v v m v v hh av v v v R k i i f U L L L k B f i J J J l f f f S D E F k S D d i dt S                                                                                     2 8 4 5 9 2 sin 1 ( ) ( ) ( )( cos ) ( ) ( ) cos sin 0.5 sin 2 v v av av v av v v av av av av v mr v av v mr mr mr v m g h v v v v v h v v t v h v E F R k i f U L L L k B f i J J J f l k f J g A B C H J k S J                                                                                      (9) trong đó , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ah ah ah h tr tr t m av av av v mr mr m g v t R L k J B l D E F k R L k J B l k g A B C H J k   là các hằng số dương, h và v được tính như sau: Nguyễn Thị Mai Hương và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 128(14): 161 - 165 164 2 2 cos cos sin m v v h h v v k S D E F          (10) t h v v v k S J     (11) f1 đến f9 là các hàm phi tuyến. Khi Lah<<Rah và Lav<<Rav mà không mất đi tính chính xác, số bậc của hệ thống có thể giảm xuống bậc 6 như sau:  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T h h h v v vx k k S k k k S k k    (12) 2 1 6 2 7 3 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos sin cos cos sin ( ) ah h tr h ah h h h hh tr ah tr tr tr ah t h v h h h v v m v v hh v v av v v mr mr v v k B f k f U J R J J J R l f f f S D E F k S D E F kd J Rdt S                                                                           4 8 5 9 2 ( ) ( ) ( )( cos ) ( ) ( ) cos sin 0.5 sin 2 mr v av v v v v mr mr mr av v m g h v v v v v h v v t v h v B f k f U J J J R f l k f J g A B C H J k S J                                                                    (13) Mặc dù số bậc của mô hình giảm xuống nhưng không ảnh hưởng đến độ chính xác của mô hình, nhưng có ảnh hưởng đáng kể đến khối lượng tính toán do đó giảm tải cho bộ xử lý và tăng tốc độ của bài toán tối ưu. Phương trình không gian trạng thái phi tuyến của hệ thống TRMS có thể xấp xỉ và được biểu diễn như phương trình không gian trạng thái trạng thái phụ thuộc sau: ( ) ( )  dx A x x B x u dt (14) Trong đó: 2 / / / 2 10 10 10 10 10 2 / / 2 ( ) 0 0 0 0 0 cos cos 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ( )) cos 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ( 0 0 thp nah h tr tr ah tr tr t fhp n h v vfh chp n vfh m v v v v v m v v tvp nav v mr v mr av mr mr vfv t fvp n v m g h v kk B J R J J l k k k k k f f f f k f A x kk B J R J J k k k l k J                           11 cos ) ( ) 0 0 0 1 0 v vfv v v v t v k f J J k J                                         1 2 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 ah h tr ah av v mr av k k J R B x k k J R                            Ma trận ( )A x và ( )B x phụ thuộc vào các tham số trạng thái. 1 x k Hình 2. Lưu đồ thuật toán phương pháp quy hoạch động THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO CHO TRMS TRÊN NỀN QUY HOẠCH ĐỘNG Xét phương trình không gian trạng thái phụ thuộc của TRMS (14) ( ) ( )  dx A x x B x u dt Sai k := 0 Đo xk Xác định Ak , Bk Tính L ku k := k+1 TRMS k ≥ N Dừng Đúng Nguyễn Thị Mai Hương và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 128(14): 161 - 165 165 Tại t = k.Ts Trong đó Ts: là chu kì trích mẫu (đủ nhỏ) ( )  kx t x với ( 1)  s sk T t kT ( )  ku t u với ( 1)  sk T t kTs Suy ra ( ) ( ) k k dx A x x B x u dt với s( 1)  sk T t kT Thay 1   k k s x xdx dt T ta được: 1 ( ) ( ) [I+ ( )] ( ) ˆ ˆ( ) ( )           k k s k k s k k s k k s k k k k k k k k k k x x T A x x T B x u T A x x T B x u A x x B x u A x B u (15) Lưu đồ thuật toán của phương pháp quy hoạch động được biểu diễn trong Hình 2. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG Đáp ứng thời gian của các biến trạng thái của TRMS được đưa ra trong các hình vẽ từ Hình 3 đến Hình 8 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 Thoi gian (s) T ra n g t h a i (x 1 ) Hình 3. Đáp ứng thời gian của biến trạng thái thứ nhất 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Thoi gian (s) T ra n g t h a i (x 2 ) Hình 4. Đáp ứng thời gian của biến trạng thái thứ hai 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Thoi gian (s) T ra n g t h a i (x 3 ) Hình 5. Đáp ứng thời gian của biến trạng thái thứ ba 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 Thoi gian (s) T ra n g t h a i (x 4 ) Hinh 6. Đáp ứng thời gian của biến trạng thái thứ tư 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Thoi gian (s) T ra n g t h a i (x 5 ) Hinh 7. Đáp ứng thời gian của biến trạng thái thứ năm 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -15 -10 -5 0 5 10 Thoi gian (s) T ra n g t h a i (x 6 ) Hình 8. Đáp ứng thời gian của biến trạng thái thứ sáu Với thời gian mô phỏng là 200s, các kết quả mô phỏng cho thấy: biến trạng thái thứ nhất (ωh) và biến trạng thái thứ tư (ωv) tiến về không ngay ở những giây đầu tiên của quá trình mô phỏng, biến trạng thái thứ hai và thứ ba (Sh, αh) tiến về không ở thời điểm khoảng giây thứ 30 và 2 biến trạng thái thứ năm và Nguyễn Thị Mai Hương và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 128(14): 161 - 165 166 thứ sáu (Sv, αv) cũng tiến về 0 ở thời gian mô phỏng khoảng giây thứ 100. Vậy khi cửa sổ dự báo (Np) tiến ra vô cùng, cả 6 tham số trạng thái của hệ thống TRMS đều tiến dần về 0, điều đó chứng tỏ hệ thống ổn định toàn cục. KẾT LUẬN Bằng phương pháp quy hoạch động của Bellman, chúng tôi đã xây dựng bộ điều khiển dự báo cho hệ thống TRMS để xét tính ổn định của hệ thống khi cửa sổ dự báo là vô hạn. Kết quả mô phỏng trên Matlab chứng tỏ hệ thống ổn định toàn cục, kết quả này cũng chứng minh tính đúng đắn của phương pháp luận đã được xây dựng trong tài liệu [1]. Các nghiên cứu tiếp theo có thể xét đến tính bền vững của hệ thống TRMS. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đỗ Thị Tú Anh, Nguyễn Doãn Phước, Ổn định hóa hệ song tuyến liên tục với bộ điều khiển dự báo, tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 2014, số 06, Tập 120, trang 73 – 79. 2. Grüne, L. and Pannek, J. (2010): Nonlinear model predictive control. Theory and Algorithms. Springer. 3 Twin Rotor MIMO System 33-220 User Manual, 1998 (Feedback Instruments Limited, Crowborough, UK). 4 A. Rahideh, M.H. Shaheed, Mathematical dynamic modelling of a twin rotor multiple input– multiple output system, Proceedings of the IMechE, Part I. Journal of Systems and Control Engineering 221 (2007) 89–101. 5. Ahmad, S. M., Shaheed, M. H., Chipperfield, A. J., and Tokhi, M. O. Nonlinear modelling of a twin rotor MIMO system using radial basis function networks. IEEE National Aerospace and Electronics Conference, 2000, pp. 313–320. 6. Ahmad, S. M., Chipperfield, A. J., and Tokhi, M. O. Dynamic modelling and optimal control of a twin rotor MIMO system. IEEE National Aerospace and Electronics Conference, 2000, pp. 391–398. 7. Shaheed, M. H. Performance analysis of 4 types of conjugate gradient algorithm in the nonlinear dynamic modelling of a TRMS using feedforward neural networks. IEEE International Conference on Systems, man and cybernetics, 2004, pp. 5985–5990. 8. Islam, B. U., Ahmed, N., Bhatti, D. L., and Khan, S. Controller design using fuzzy logic for a twin rotor MIMO system. IEEE International Multi Topic on Conference, 2003, pp. 264–268. 9. A. Rahideh, M.H. Shaheed, state model pridictive control for a nonlinear system, Journal of the Franklin Institute 348 (2011) 1983-2004. 10. A. Rahideh, M.H. Shaheed, constrained output feedback model predictive control for nonlinear systems, Control Engineering Practive 20 (2012) 431-443. 11. Nguyễn Thị Mai Hương, Mai Trung Thái, Nguyễn Hữu Chinh, Lại Khắc Lãi. Nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số trạng thái trong hệ thống hai cánh quạt nhiều đầu vào nhiều đầu ra. Tạp chí Khoa học Công nghệ – Đại học Thái Nguyên, 2014, số 06, tập 120, trang 87 – 92 SUMMARY STABILIZATION FOR TWIN ROTOR MIMO SYSTEM BASED ON BELLMAN’S DYNAMIC PROGRAMMING METHOD Nguyen Thi Mai Huong1, Mai Trung Thai1, Lai Khac Lai2*, Do Thi Tu Anh3 1College of Technology - TNU, 2Thai Nguyen University, 3Hanoi University of Science and Technology Before Model Predictive Control was rarely interested in the stability of the systems. The Twin Rotor MIMO system (TRMS) is a nonlinear object, having a complex dynamic [11]. The authors of [10] have considered the stability of the TRMS with the method of terminal equality constraints. This paper indicates the survey results apply Model Predictive Control for the TRMS based on Bellman’s dynamic programming method in order to consider the stability of this system. All of the state parameters reach to zero (the equation point of the system) prove the stable global of the system when the predictive window (NP) goes to infinity with simulation results. Keywords: State parametters, Twin rotor MIMO system (TRMS), stable, dynamic programming, model predictive control Ngày nhận bài:18/9/2014; Ngày phản biện:05/11/2014; Ngày duyệt đăng: 25/11/2014 Phản biện khoa học: PGS.TS Nguyễn Thanh Hà – Đại học Thái Nguyên * Tel: