Bộ điều khiển PID bền vững cho hệ thống tay máy robot

BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀN VỮNG CHO HỆ THỐNG TAY MÁY ROBOT NGUYỄN VĂN MINH TRÍ Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng LÊ VĂN MẠNH Trường Đại học Công nghiệp TP Hồ Chí Minh Tóm tắt: Bài báo nêu lên phương pháp thiết kế bộ điều khiển của bộ PID bền vững để áp dụng vào điều khiển các hệ phi tuyến nhiều đầu vào - nhiều đầu ra có các thành phần tác độ ng không định. Các tham số của bộ điều khiển PID được xác định bằng công thức mới sử dụng ngưỡng thay đổi của các thành phần không xác định và nhiễu bên ngoài. Sự hội tụ của hệ thống được chứng minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov. Kết quả mô phỏng trên tay máy hai bậc tự do chứng tỏ tín hiệu điều khiển không còn hiện tượng rung và sai lệch tĩnh của hệ thống hội tụ về không. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Bộ điều khiển PID (Proportional-Integral-Derivative) được sử dụng rộng rãi trong nhiều ứng dụng điều khiển vì tính đơn giản và hiệu quả của nó. Ba thông số của bộ điều khiển là: hệ số tỉ lệ KP, hệ số tích phân KI và hệ số vi phân KD, việc chọn các thông số này cho phù hợp với hệ thống cần điều khiển là khó khăn. Trong những năm gần đây, đã có sự quan tâm sâu rộng trong tự điều chỉnh ba thông số của bộ điều khiển. Các phương pháp tự điều chỉnh PID dựa trên các kỹ thuật phản hồi thông tin [1, tr. 2]. Bộ điều khiển PID bền vững là một trong những chiến lược để giải quyết vấn đề điều khiển với hệ thống không xác định. Tính năng chính của PID bền vững là giúp hệ thống ổn định nhanh với sự biến đổi các tham số và những nhiễu bên ngoài tác động. Ứng dụng khác nhau của PID bền vững này có thể được áp dụng điều khiển cho các hệ thống như: hoạt động của robot, máy bay, hệ thống không xác định... Trong bài báo này, bộ điều khiển PID bền vững được đưa ra cho hệ thống không xác định nhiều đầu vào và nhiều đầu ra (MIMO) như tay máy robot. Mục đích là để hệ thống đạt được sự ổn định nhanh với sự biến đổi tham số và những nhiễu bên ngoài tác động. Trong nghiên cứu này, các thông số PID được xác định theo các hệ số Kconst, C, I và φ. 2. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN Xét một hệ thống phi tuyến MIMO biểu diễn phương trình trạng thái của tay máy q!!= a(q,q!!)+ B(q)u + d(t), (1) trong đó u ∈ Rn là vectơ các lực tổng quát, q∈ Rn là vectơ các biến khớp, B(q) là ma trận nghịch đảo của ma trận môment quán tính tay máy H(q)= H T (q)> 0,H (q)∈ Rn×n , Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 02(14)/2010: tr. 5-15 6 NGUYỄN VĂN MINH TRÍ - LÊ VĂN MẠNH a(q,q!!)= H −1[C(q,q!)q! + g(q)] với C(q,q!)q! ∈ Rn là vectơ lực coriolis và lực ly tâm, g(q)∈ Rn là vectơ lực trọng trường, d ∈ R n là vectơ nhiễu không xác định. ⎧ a ≤ A ⎪ ⎪ −1 Giả thuyết rằng: ⎨ B = H ≤ H , (2) ⎪ ⎩⎪ d ≤ D n Gọi qd ∈ R là vectơ quỹ đạo mong muốn và e = qd − q;e! = q!d − q! là vectơ sai lệch bám và đạo hàm của chúng. Chọn σi = Ciei + e!i , trong đó C = diag(C1,C2,...,Cn ); Ci ∈R; Ci > 0; i =1,...,n Chọn u = K sgn(σ), (3) trong đó K = diag(K1,K2,...,Kn ); Ki = K > 0; i =1,...,n T sgn(σ)= [sgn(σ1 ),sgn(σ2 ),...,sgn(σn )] Định lý 1: Cho hệ thống (1) thỏa mãn giả thiết (2) với u chọn theo (3), trong đó K = H(A+ D + η + Ce! + q!!d ); η > 0, thì sai lệch bám của hệ thống e sẽ hội tụ về 0. Chứng minh: Đạo hàm của σ là: σ! = Ce! + q!!d − q!!⇔ σ! = Ce! + q!!d − a(q,q!!)− B(q)K sgn(σ)− d(t). 1 ChọnV = σ T σ ≥ 0⇒ 3 2 ! T T T V3 = σ .σ! = σ (Ce! + e!!)= σ [Ce! + q!!d − a(q,q!!)− B(q)K sgn(σ)− d(t)] ! T −1 V3 = σ B(q) B (Ce! + q!!d − a(q,q!!)− d(t))− K sgn(σ) [ ] ! T V3 ≤ σ B(q)sgn(σ)[ H ( Ce! + q!!d + a(q,q!!) + d(t) )− K] ! Rõ ràng V3 ≤ 0 nếu K ≥ H(A+ D + η+ Ce! + q!!d ) với η là hằng số dương nhỏ bất kỳ. 1 Theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov thì: V = σ T σ ≥ 0 có V! ≤ 0 , sẽ đảm bảo hệ thống 3 2 3 có σ→0. Khi σ = 0 = Ce+ e! tương đương với Ciei + e!i = 0;i =1,...,n. Với Ci > 0 thì ei → 0 khi t→∞ mà tốc độ hội tụ phụ thuộc vào giá trị của Ci. Nhận xét 1: Từ định lý 1 ta thấy rằng e → 0 khi e! → 0 và !q!d có giới hạn vì tính chất vật lý của hệ thống. Nên có thể tìm được một hằng số E sao cho: Ce! + q!!d ≤ E (4). Từ đó ta có thể chọn K = (A+ D +η + E)H là hằng số. BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀ VỮNG CHO HỆ THỐNG TAY MÁY ROBOT 7 Hệ quả : Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) thỏa mãn, u chọn theo (3), trong đó: K = (A + D +η + E)H = Kconst , (5) thì sai lệch bám của hệ thống e sẽ hội tụ về 0. Nhận xét 2: Từ luật điều khiển (3), ta có thể xây dựng một luật điều khiển PID như sau: T u = [u1,u2,...,un ] , ⎧− Kconst khi σi < −φi ⎪ t ⎪K .C + I K C .I u const i i .e const .e! i i e dt khi σ (6) i = ⎨ i + i + ∫ i −φi ≤ i ≤ φi ⎪ φi φi φi 0 ⎪ ⎩Kconst khi σi > φi i =1,...,n Giả thiết rằng: Với mọi limqd (t)= qconst , limq!d (t)= 0, limd(t)= dconst . t→∞ t→∞ t→∞ T Cho mỗi cặp (qconst, dconst), luôn tồn tại một điểm cân bằng [qconst,0] và một tín hiệu điều khiển tĩnh u sao cho đảm bảo ổn định: 0 = a(qconst ,0)+ B(qconst )u + dconst . (7) Định lý 2: Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) và (7) thỏa mãn và một luật khiển (6) T T với K chọn như (5) thì điểm cần bằng của hệ thống kín, [q,q!] = [qconst ,0] , là ổn định toàn cục. Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh bằng 2 phần. Phần 1 sẽ chứng minh rằng với tham số bộ điều khiển được chọn sẽ mang quỹ đạo hệ thống vào một vùng lân cận nhỏ T T bất kỳ quanh điểm cân bằng [q,q!] = [qconst ,0] . Phần tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng tham số của bộ điều khiển được chọn sẽ đảm bảo sự ổn định toàn cục của điểm cân bằng. * Chứng minh phần 1: Xét hệ thống nhỏ thứ i - Khi σi > φi thì ui = Kconst.sign(σi), do đó theo hệ quả 2 thì trạng thái hệ thống sẽ được đẩy vào bên trong một lớp biên L = q σ ≤φ . i { i i i } - Khi σi ≤ φi , σ i = Ciei + e!i => e!i = −Ciei +σ i 1 Tồn tại một số Mi sao cho Mi.(-Ci) + (-Ci).Mi = - 1 => Mi = . 2Ci 2 ! 2 Chọn V4 = Mi.ei ⇒ V4 = −2.Mi.Ci.ei + 2.Mi.ei.σi 2 2 1 φ 2 ⎛ φ ⎞ V! e e . ; Nếu e i thì V! e i 0 4 ≤ − i + i σ i i ≥ 4 = − i + ⎜ ⎟ ≤ Ci Ci ⎝ Ci ⎠ 8 NGUYỄN VĂN MINH TRÍ - LÊ VĂN MẠNH φi Kết quả trạng thái hệ thống sẽ hội tụ trong vùng có ei ≤ Ci Suy ra e!i ≤ − Ciei +σi ⇔ e!i ≤ φi +φi = 2φi ⎧ φi ⎫ Hệ thống sẽ hội tụ về vùng Ω= ⎨ei ≤ ∩ e!i ≤ 2φi ∩ σ i ≤ φi ⎬,i = 1,...,n bao quanh ⎩ Ci ⎭ T T điểm cân bằng (e = 0,e! = 0), hay là điểm cân bằng [q, q!] = [qconst ,0] . * Chứng minh phần 2: Xét hệ thống nhỏ thứ i Đặt s I dt , tính hiệu điều khiển (6) trở thành: ui = Kconst.sat(si/φi) (8) i =σi + i ∫σi Khi σi ≤ φi , có 4 khả năng xảy ra: ! Nếu s!i = σ!i + Iσ i = 0, σi sẽ tiến về 0 với tốc độ hội tụ là Ii, và ei → 0 khi t → ∞ như chứng minh ở định lý 1. " Nếu s!i = σ!i + Iiσi 0 hoặc s!i = σ!i + Iiσi > 0khi σi < 0, ta cho thể nhân 2 2 hai vế của bất đẳ ng thức để được: σ!iσi + Iiσi < 0 ⇔σ!iσi < −Iiσi ≤ 0 ! 2 ⇔ Vi = σiσ!i < −Iiσi = −2IiVi ≤ 0, do đó ei→0 khi t→∞ như chứng minh ở định lý 1. # Nếu s!i = σ!i + Iiσi < 0 khi σi < 0, điều này đồng nghĩa là hàm si luôn giảm khi si<0. ! Do đó, sau một thời gian xác định, si<-φi, và luật điều khiển (3) đảm bảo V3 ≤ 0 , ei → 0 khi t → ∞ như chứng minh ở định lý 1. $ Nếu s!i = σ!i + Iiσi > 0khi σ i > 0, điều này đồng nghĩa là hàm si luôn tăng khi si >0. ! Do đó, sau một thời gian xác định, si >φi, và luật điều khiển (3) đảm bảo V3 ≤ 0 , ei → 0 khi t→ ∞ như chứng minh ở định lý 1. Giả thiết (7) suy ra rằng có tồn tại điểm cân bằng với: ei = 0, e!i = 0, e!!i = 0,ui = ui ,si = si ; Trong đó si = I iCi lim (qdi − qi )dt = const t→∞ ∫ 1 Đặt ~s = s − s và một hàm Lyapunov : V = ~s 2 ; Đạo hàm V , ta được: i i i 5i 2 i 5i V! = ~s .s! = − ~s 2 + ~s 2 s − s + s! với s I dt , C e e! 5i i i i i ( i i i ) i =σi + i ∫σi σ i = i i + i V! ~s 2 ~s 2 C e e! I C e e! dt s C e! e!! I C e e! 5i = − i + i ( i i + i + i ∫( i i + i ) − i + i i + i + i ( i i + i )) BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀ VỮNG CHO HỆ THỐNG TAY MÁY ROBOT 9 ! ~ 2 ~2 V5i = −si + si (Ciei + e!i + Ii (Ciei )dt − si + Cie!i + e!!i + Ii (Ciei + e!i )+ Iiei ) ∫ V! ~s 2 ~s 2 C I I C e 1 I C e! e!! I C e dt s 5i = − i + i (( i + i + i i ) i + ( + i + i ) i + i + i ∫( i i ) − i ) V! ~s 2 ~s 2 C I I C e 1 I C e! e!! I C q q dt s 5i ≤ − i + i (( i + i + i i ) i + ( + i + i ) i + i + i i ∫( di − i ) − i ) Vì e 0, e! 0, e!! 0, I C q q dt s 0 khi t , bất đẳ ng thức i → i → i → ( i i ∫( di − i ) − i )→ → ∞ trên chỉ ra rằng các trạng thái của hệ thống thứ i sẽ tiến về điểm cân bằng (ei = 0,e!i = 0). Tổng quát hoá cho cả hệ thống, ta có điểm cân bằng (e = 0,e! = 0), hay T T [q, q!] = [qconst ,0] là ổn định toàn cục. 3. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG 3.1. Mô hinh toán học tay máy robot 2 bậc tự do [3] Xét hình chiếu bằng cánh tay robot như hình 1, gọi q là véc-tơ vị trí của hai khớp, khi T đó: q = [q1 q2] . Hàm Lagrange của cánh tay robot được xác định bởi: L(q,q!) = K(q,q!)− P(q) (9), trong đó, K, P là tổng động năng và tổng thế năng của hệ thống. Hình 1. Hình chiếu bằng của tay máy robot Phương trình Lagrange-Euler chính là lực tổng quát tác động lên khâu thứ i được xác d ⎡∂L q,q! ⎤ ∂L q,q! định bởi: ( ) ( ) (10) τ i = ⎢ ⎥ − ;i = 1÷ 2 dt ⎣ ∂q! ⎦ ∂q! Phương trình động lực học nhận được bằng cách áp dụng phương trình Lagrange: 10 NGUYỄN VĂN MINH TRÍ - LÊ VĂN MẠNH 2 2 2 τ1 = m1lC1 + m2l1 + m2lC2 + 2m2l1lC2 cos(q2 )+ I1 + I 2 q!!1 + [ ] (11) 2 2 + [m2lC2 + m2l1lC2 cos(q2 )+ I 2 ]q!!2 − 2m2l1lC2 sin(q2 )q!1q!2 − m2l1lC2 sin(q2 )q!2 2 2 2 τ 2 = [m2lC 2 + m2l1lC 2 cos(q2 )+ I 2 ]q!!1 + [m2lC 2 + I 2 ]q!!2 + m2l1lC 2 sin(q2 )q!1 (12) 3.2. Mô phỏng và kết quả Kconsti .Ci + Ii Ci .I i Kconsti Với thông số: K Pi= ; K Ii = ; K Di= φi φi φi a) Với Kconsti, Ii, φi (i = 1÷3) là hằng số và Ci lần lượt là C1 = 3; C2 = 10; C3 = 30 và quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3 Dap ung q va qd 50 u13 40 u12 u11 30 20 10 0 -10 u dieu khien -20 -30 -40 -50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ThoiSai gian lech [s] e 1.5 e13 e12 e11 1 0.5 Sai lech e 0 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 DapThoi ung gian q va [s] qd 50 Dap ung q va qd u23 50 40 u22 u23u21 30 u22 40 u21 20 30 10 200 q qd -10 10 -20 u dieu khien -300 -40 -10 -50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -20 Thoi gian [s] 0 0.5 1 Sai1.5 lech e 2 2.5 3 0.4 Thoi gian [s] e23 0.35 e22 e21 0.3 0.25 0.2 0.15 Sai lech e 0.1 0.05 0 -0.05 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Thoi gian [s] Hình 2. Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám của hệ {tương ứng với u1i, u2i và e1i, e2i (i = 1÷3)} BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀ VỮNG CHO HỆ THỐNG TAY MÁY ROBOT 11 * Nhận xét: Ta thấy Ci nhỏ quỹ đạo của các khâu bám được quỹ đạo chuẩn chậm so với Ci lớn hơn. Nếu Ci lớn thì sai lệch ei của các khâu nhanh tiến về 0 nhưng hệ có sự dao động. Tóm lại Ci ảnh hưởng đến sự tác động nhanh của hệ. b) Với Ci, Ii, φI (i = 1÷3) là hằng số và Kconsti lần lượt là Kconst1 = 0,1; Kconst2 = 0,6; Kconst3 = 1500 và quỹ đạo đặt là một đa Dapthứ ungc b qậ vac 3qd 50 u13 40 u12 u11 30 20 10 0 -10 u dieu khien -20 -30 -40 -50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ThoiSai gian lech [s]e 1.6 e13 1.4 e12 e11 1.2 1 0.8 0.6 Sai lech e 0.4 0.2 0 -0.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 DapThoi ung gian q va [s] qd 50 u23 40 u22 u21 30 20 10 0 -10 u dieu khien -20 -30 -40 -50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ThoiSai gian lech [s] e 0.4 e23 0.35 e22 e21 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 Sai lech e 0.05 0 -0.05 -0.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Thoi gian [s] Hình 3. Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám của hệ {tương ứng với u1i, u2i và e1i, e2i (i = 1÷3)} * Nhận xét: Ta thấy: Khi Kconsti nhỏ, hệ có sự dao động so với Kconsti lớn. Khi Kconsti lớn, tín hiệu điều khiển có sự thay đổi của u rất nhanh. Tóm lại Kconsti phụ thuộc vào hệ và ảnh hưởng đến sự ổn định của hệ. 12 NGUYỄN VĂN MINH TRÍ - LÊ VĂN MẠNH c) Với Ci, Kconsti, φi (i = 1÷3) là hằng số và Ii lần lượt là I1 = 0,01; I2 = 2; I3 = 5 và quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3 Dap ung q va qd 50 u13 40 u12 u11 30 20 10 0 u dieu khien -10 -20 -30 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ThoiSai gian lech [s] e 1.6 e13 1.4 e12 e11 1.2 1 0.8 0.6 0.4 Sai lech e 0.2 0 -0.2 -0.4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 DapThoi ung gian q va [s] qd 50 u13 40 u12 u11 30 20 10 0 u dieu khien -10 -20 -30 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ThoiSai gianlech [s]e 0.4 e23 0.35 e22 e21 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 Sai lech e 0.05 0 -0.05 -0.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Thoi gian [s] Hình 4. Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám của hệ {tương ứng với u1i, u2i và e1i, e2i (i = 1÷3)} * Nhận xét: Ta thấy Ii nhỏ quỹ đạo của các khâu bám được quỹ đạo chuẩn chậm so với Ii lớn đồng thời sai lệch tĩnh của hệ cũng lớn hay sai lệch ei chậm tiến về 0. Khi tăng Ii có sự vọt lố dẫn đến sự dao động của hệ. Tóm lại Ii ảnh hưởng đến sự tác động nhanh và sai lệch tĩnh. d) Với Ci, Kconsti, Ii (i = 1÷3) là hằng số và φi lần lượt là φ1 = 0,05; φ2 = 2; φ3 = 5 và quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3 BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀ VỮNG CHO HỆ THỐNG TAY MÁY ROBOT 13 Dap ung q va qd 50 u13 u12 40 u11 30 20 10 u dieu khien 0 -10 -20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ThoiSai gian lech [s] e 1.6 e13 1.4 e12 e11 1.2 1 0.8 0.6 0.4 Sai lech e 0.2 0 -0.2 -0.4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 DapThoi ung gian q va [s] qd 50 u23 u22 40 u21 30 20 u dieu khien 10 0 -10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ThoiSai gian lech [s] e 0.4 e23 0.35 e22 e21 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 Sai lech e 0.05 0 -0.05 -0.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Thoi gian [s] Hình 5. Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám của hệ {tương ứng với u1i, u2i và e1i, e2i (i = 1÷3)} * Nhận xét: Ta thấy φi nhỏ hệ có sai lệch bám nhỏ so với φi lớn nhưng tín hiệu điều khiển có sự thay đổi của u rất nhanh. Tóm lại φi phụ thuộc vào hệ, ảnh hưởng đến sự dao động của hệ. e) Nhận xét chung Kết quả mô phỏng cho thấy, sự hội tụ và sai lệch của hệ thống sẽ thay đổi khi các thông số Kconsti, Ii, φi, Ci (i = 1÷3) thay đổi và được xác định bằng công thức: 14 NGUYỄN VĂN MINH TRÍ - LÊ VĂN MẠNH Kconsti .Ci + Ii Ci .I i Kconsti K Pi= ; K Ii = ; K Di= φi φi φi Từ kết quả mô phỏng trên và việc xác định các thông số của bộ điều khiển ta tính được các hệ số KPi, KIi, KDi dễ dàng, kết quả này có được nhờ vào việc chứng minh bộ điều khiển PID bền vững ở mục II. Đây là kết quả mang tính khoa học cao khi mà các hệ số của bộ điều khiển PID cho đối tượng phi tuyến MIMO được xác định bằng công thức rõ ràng. 4. KẾT LUẬN Bài báo đã nêu được phương pháp xây dựng bộ điều khiển PID bền vững và áp dụng để điều khiển một hệ phi tuyến MIMO như tay máy robot. Các kết quả mô phỏng một hệ phi tuyến MIMO cho thấy độ chính xác của quỹ đạo có thể khống chế được theo yêu cầu cho trước. Các hệ số của bộ điều khiển PID được xác định bằng các công thức tường minh, phụ thuộc vào các thông số Kconsti, Ii, φi, Ci. Sự ổn định của hệ thống kín đã được chứng minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov, sau đó bộ điều khiển PID bền vững này được áp dụng để điều khiển tay máy robot 2 bậc tự do. Ảnh hưởng của sự thay đổi các thông số Kconsti, Ii, φi, Ci đến chất lượng đầu ra của hệ thống cũng được phân tích và trình bày. Các kết quả mô phỏng cho thấy tín hiệu điều khiển không còn sự thay đổi nhanh và sai lệch bám của hệ thống đảm bảo tiến về không. Những kết quả này một lần nữa chứng minh lý thuyết và thể hiện tính khả thi của bộ điều khiển PID bền vững được đưa ra trong bài báo. Bộ điều khiển PID bền vững được đư a ra sẽ giảm được việc tính toán phức tạp của thành phần tín hiệu điều khiển tương đương trong bộ điều khiển trượt trước đây [4]. Thêm vào đó các hệ số bộ điều khiển PID thông thường [5] chỉ xác định tường minh khi đối tượng điều khiển là tuyến tính. Riêng bộ điều khiển PID bền vững đưa ra được áp dụng cho đối tượng phi tuyến. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A. Leva (1993). PID autotuning algorithm based on relay feedback. IEE Porc-Control Theory Appl., Vol. 140, 328-337. [2] Q. G. Wang, B. Zou, T. H. Lee, and Q. Bi (1997), Auto-tuning of multivariable PID controller from decentralized relay feedback. Automatica, Vol. 33, 319-330. [3] Mark W. Spong, Seth Hutchinson, and M. Vidyasagar (2004). Robot Modeling and Control, Wiley. [4] Lê Tấn Duy (2003). Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ tay máy robot. Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, Số 4. [5] Vũ Tú Anh (2008), Bộ điều khiển PID số cho động cơ DC ứng dụng ASIC, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng. BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀ VỮNG CHO HỆ THỐNG TAY MÁY ROBOT 15 Title: ROBUST PID CONTROLLER TO APPLY CONTROL ROBOT MANIPULATOR Abstract: This paper presents a design method of robust PID controller for MIMO nonlinear systems with bounded uncertainties. PID controller parameters are obtained by proposed equations using boundary of uncertainties and external disturbances. System convergence is proven basing on the Lyapunov stability theory. Simulation results for two DOF robotic manipulator show that chattering of control signals is eliminated and system tracking errors tend to zero. TS. NGUYỄN VĂN MINH TRÍ Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng. ĐT: 0935.646268. Email: ngvminhtri@yahoo.com. ThS. LÊ VĂN MẠNH Trường Đại học Công nghiệp TP Hồ Chí Minh. ĐT: 0905.959353. Email: manhlevan.vn@gmail.com.