Điều kiện không thoả mãn và sự tồn tại cân bằng

Nguyễn Minh Trang Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 57(9): 27 – 31 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐIỀU KIỆN KHÔNG THOẢ MÃN VÀ SỰ TỒN TẠI CÂN BẰNG Nguyễn Minh Trang* Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – Đại học Thái Nguyên TÓM TẮT Bài báo này trước hết giới thiệu mô hình cân bằng của bài toán kinh tế bao gồm các nhà sản xuất và các đại lý tiêu thụ, giá của các mặt hàng do nhà sản xuất quy định, đồng thời nhà sản xuất cũng quy định tỉ lệ lợi nhuận chia cho các đại lý. Một cân bằng của bài toán là một gói hàng hoá cùng với hệ thống giá của gói hàng hoá đó sao cho các ràng buộc về cân bằng cung cầu và ràng buộc về ngân sách được thoả mãn. Chúng tôi cũng giới thiệu hai bổ đề cần thiết cho chứng minh cân bằng. Cuối cùng, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của cân bằng với giả thiết không thoả mãn được phát biểu cho mọi đại lý: bất kể gói hàng hoá là gì cũng t ồn tại một gói hàng hoá khác mà đại lý đó thực sự ưa thích hơn (do lợi nhuận lớn hơn). Từ khoá: Sự tồn tại cân bằng, không thoả mãn, không chênh lệch giá, cân bằng với phép chia. 1. GIỚI THIỆU ∗ ∗ Nguyễn Minh Trang, Tel: 0912660982, Khoa Cơ bản trường Đại học KTCN – ĐH Thái Nguyên Bài toán điểm cân bằng là một bài toán mới và là ứng dụng quan trọng của toán học trong lĩnh vực kinh tế. Bài toán điểm cân bằng xuất hiện lần đầu trong nghiên cứu của Arrow-Debreu [2], đó là bài toán kinh tế với tập tiêu thụ sản phẩm của các đại lý không bị chặn dưới và không gian hàng hoá tiêu thụ hữu hạn chiều (nghĩa là số mặt hàng hữu hạn và không giới hạn lượng hàng hoá tối thiểu). Đây là bài toán cân bằng giản đơn chỉ bao gồm hữu hạn các đại lý và các mặt hàng theo giá thị trường, chưa có sự xuất hiện của các nhà sản xuất. Một cân bằng của bài toán này là một gói hàng hoá và hệ thống giá của gói hàng hoá đó sao cho ràng buộc về ngân sách được thoả mãn, nghĩa là lư ợng tiền đại lý bỏ ra mua hàng hoá phải bằng tổng lượng vốn đầu tư ban đầu của đại lý và nếu đại lý muốn mua được gói hàng hoá có lợi ích lớn hơn thì b ắt buộc lượng tiền bỏ ra phải nhiều hơn. Bài toán này yêu cầu một điều kiện cơ bản đảm bảo cho sự tồn tại cân bằng, đó là điều kiện không thoả mãn (nonsatiation): bất kể gói hàng hoá là gì cũng t ồn tại một gói hàng hoá khác mà đại lý đó thực sự ưa thích hơn (do lợi nhuận lớn hơn). Các nghiên cứu tiếp theo của nhiều tác giả giải quyết bài toán điểm cân bằng chủ yếu theo hai hướng. Thứ nhất, các tác giả đưa ra các điều kiện khác nhau để thay thế cho điều kiện không thoả mãn, ví dụ như các điều kiện không chênh lệch giá (no- arbitrage). Hart O. D. đưa ra điều kiện không chênh lệch giá yếu (weak no market arbitrage) năm 1974, Page F. H. Jr. đưa ra điều kiện không chênh lệch giá không bị chặn (no unbounded arbitrage) năm 1987, gần đây là điều kiện chênh lệch giá bị chặn (bounded arbitrage) của Allouch N. năm 1999 và điều kiện chênh lệch giá rời rạc (inconsequential arbitrage) của nhóm tác giả Page F. H. Jr., Wooders M. H. và Monteiro P. K. năm 2000 Các điều kiện này được chứng minh là cần và đủ cho sự tồn tại cân bằng. Hướng phát triển thứ hai của bài toán điểm cân bằng là mở rộng mô hình bài toán. Nếu Nguyễn Minh Trang Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 57(9): 27 – 31 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên như mô hình cân bằng giản đơn chỉ xét ràng buộc ngân sách của các đại lý tiêu thụ và các mặt hàng theo giá thị trường thì mô hình cân bằng mở rộng có sự góp mặt của cả các nhà sản xuất phân phối hàng hoá cho các đại lý. Người đầu tiên giới thiệu mô hình này là Debreu G. Năm 1959. Năm 1999, Dana R. – A., Le Van C. và Magnien F. Đã chứng minh sự tồn tại cân bằng với mô hình có các nhà sản xuất phân phối hàng hoá và quy định giá bán cho các đại lý. Bài báo này nằm trong hướng phát triển thứ hai của bài toán điểm cân bằng. Bài báo giới thiệu mô hình cân bằng mở rộng với các nhà sản xuất và các đại lý tiêu thụ, trong đó các nhà sản xuất quy định giá của các mặt hàng, đồng thời quy định tỉ lệ lợi nhuận chia cho các đại lý – phép chia lợi nhuận này là mới đối với bài toán điểm cân bằng. 2. MÔ HÌNH CÂN BẰNG Ta xét một hệ thống kinh tế bao gồm J nhà sản xuất và I đại lý tiêu thụ (I, J hữu hạn) với l mặt hàng, lp∈ là giá của các mặt hàng do các nhà sản xuất quy định. Với mỗi đại lý tiêu thụ i I∈ , kí hiệu: l iX ⊂  là tập hàng hoá tiêu thụ; :i iu X →  là hàm lợi ích của đại lý i; l ie ∈ là vốn ban đầu của đại lý i. Với mỗi nhà sản xuất j J∈ , kí hiệu: l jY ⊂  j, ijθ j I 0 1ijθ≤ ≤ 1ij i I θ ∈ =∑ . Ta kí hiệu bài toán này là ( ) ( ) ( ){ },, , , ,i i i j iji I j J i I j JE X u e Y θ∈ ∈ ∈ ∈= Mỗi bộ ( )( ) ,( )i i I j j Jx y∈ ∈ ∈ | | | |( ) ( )l I l J×  là một phân phối của bài toán. Nếu i i ji I i I j Jx e y∈ ∈ ∈= +∑ ∑ ∑ thì ( )( ) ,( )i i I j j Jx y∈ ∈ được gọi là một phân phối khả thi của bài toán. Ký hiệu A là tập các phân phối khả thi ( ) ( )( ), : i j i ji I j J i I j J i i j i I i I j J x y X Y x e y ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ = ∈ ×   = +   ∏ ∏ ∑ ∑ ∑ A Và iA là hình chiếu của A lên thành phần thứ i. . Một cân bằng (tựa cân bằng) của bài toán E là một bộ ( )* * *( ) ,( ) ,i i I j j Jx y p∈ ∈ ∈ | | | |( ) ( ) ( \{0})l I l J l× ×   thoả mãn: (a) * *i i j i I i I j J x e y ∈ ∈ ∈ = +∑ ∑ ∑ (ràng buộc về cân bằng cung cầu); (b) Với mỗi i ta có * * * *· · sup · ,i i ij j j J p x p e p Yθ ∈ = +∑ và với mỗi i ix X∈ mà *( ) ( )i i i iu x u x> thì * * *· · sup ·i i ij j j J p x p e p Yθ ∈ > +∑ * * *( · · sup · )i i ij j j J p x p e p Yθ ∈ ≥ +∑ (ràng buộc về ngân sách); (c) Với mỗi *, j jj J y Y∈ ∈ , ta có * * *· sup ·j jp y p Y= , trong đó: sup · sup · j j j j y Y p Y p y ∈ = . Nguyễn Minh Trang Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 57(9): 27 – 31 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Như vậy, một cân bằng của bài toán E là một phương án của bài toán thoả mãn ràng buộc về cân bằng cung cầu, nghĩa là tổng hàng hoá tiêu thụ của các đại lý phải bằng tổng đầu tư ban đầu và sản xuất của nhà sản xuất; và ràng buộc về ngân sách, nghĩa là lượng tiền đại lý bỏ ra mua hàng hoá phải bằng tổng lượng vốn đầu tư ban đầu của nhà sản xuất cho đại lý đó và l ợi nhuận tối đa chia cho các đại lý, nếu đại lý muốn có lợi ích lớn hơn thì bắt buộc lượng tiền bỏ ra phải nhiều hơn. 3. Gọi ( )0,B n là hình cầu tâm 0 bán kính n, đặt ( )0, , ,ni iX X B n i I= ∩ ∈ ( ) 0, , nj jY Y B n j J= ∩ ∈ . Vì i ie X∈ , ta có n i ie X∈ với mọi n đủ lớn. Với mỗi ( ), ( )lp q S +∈ ∩ ×  , trong đó S là hình cầu đơn vị của 1l+ , ta định nghĩa các ánh xạ đa trị , :n n li i iQ Xξ +× →  bằng cách đặt: ( ) ( ) , : · · , { } n n i i i i i n ij j j J p q x X p x p e p q ξ θ ∈ = ∈ ≤ + +∑ ∏ ( ) ( ), , : {n ni i iQ p q x p qξ= ∈ ni ix X′∈ ( )i iu x′ ( )i iu x> ( )· · }ni i ij j j J p x p e p qθ ∈ ′ ≥ + +∑ ∏ trong đó ( ) max ·n njj p p Y=∏ . Ta có bổ đề sau về niQ . 1. [4] Cho các giả thiết (G1) Với mỗi , ii I X∈ là tập lồi, đóng, khác rỗng. (G2) Với mỗi i I∈ , hàm iu là tựa lõm chặt và nửa liên tục trên. (G3) Với mỗi , jj J Y∈ là tập lồi, đóng, khác rỗng và tập j j J Y Y ∈ =∑ đóng. Khi đó ánh xạ niQ là nửa liên tục trên có giá trị khác rỗng, lồi, compact với mỗi i I∈ . Bổ đề 2. (Gale-Nikaido-Debreu) [3] Cho P ≠ ∅ là nón lồi đóng trong không gian tuyến tính l . 0 { : · 0, }lP q q p p P= ∈ ≤ ∀ ∈ là nón cực của P và S là hình cầu đơn vị trong l . Giả sử ánh xạ đa trị : lZ S P∩ →  là nửa liên tục trên và Z(p) là tập khác rỗng, lồi, compact. Hơn nữa, với mỗi p S P∈ ∩ , tồn tại ( )z Z p∈ sao cho · 0p z ≤ . Khi đó, tồn tại p S P∈ ∩ sao cho 0( ) .Z p P∩ ≠∅ Tậ của đại lý i tại i ix X∈ , kí hiệu là ( )i iP x , được định nghĩa như sau: ( ) { : ( ) ( )}.i i i i i i i iP x y X u y u x= ∈ > Đại lý i được gọi là không có điểm thoả mãn nếu với mỗi i ix X∈ đều tồn tại i ix X′∈ sao cho ( ) ( ).i i i iu x u x′ > Nghĩa là tập thực sự ưa ích hơn của đại lý i, ( )i iP x ≠ ∅ với mọi i ix X∈ . Điều kiện (nonsatiation) cho mọi đại lý được phát biểu như sau: (NS) ( )i iP x ≠ ∅ i ix X∈ .[1] Từ hai bổ đề trên, ta đưa ra định lý về sự tồn tại cân bằng và tựa cân bằng của bài toán E với điều kiện không thoả (NS) cho mọi đại lý. Định lý. Nguyễn Minh Trang Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 57(9): 27 – 31 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (i) Cho các giả thiết (G1), (G2), (G3), (NS) và: (G4) tập các phân phối khả thi A compact, (G5) i i ij j j J e X Yθ ∈   ∈ −    ∑ với mọi i. Khi đó bài toán E tồn tại một tựa cân bằng. (ii) Cho các giả thiết (G1), (G2), (G3), (G4), (NS) và: (G6) inti i ij j j J e X Yθ ∈   ∈ −    ∑ với mọi i I∈ ; ( )i iP x là tập mở tương đối trong iX với mọi i I∈ , mọi i ix A∈ . Khi đó E tồn tại một cân bằng. Chứng minh. (i) Gọi ( )nj pφ là tập nghiệm của ( ) n j p∏ , nghĩa là ( )nj jy pφ∈ khi và chỉ khi · max · .nj jp y p Y= Với mỗi ( ), ( )lp q S +∈ ∩ ×  , trong đó S là hình cầu đơn vị của 1l+ , ta định nghĩa ánh xạ nz bằng cách đặt: { } ( , ) ( , ) ( ) | | . n n n i i j i I i I j J z p q Q p q e p I φ ∈ ∈ ∈   = − −    × − ∑ ∑ ∑ Theo bổ đề 1, dễ dàng suy ra nz là nửa liên tục trên có giá trị khác rỗng, lồi, compact. Với ( , )nx z p q∈ ta viết ( | |),n ni i j i I i I j J x x e y I ∈ ∈ ∈   = − − × −    ∑ ∑ ∑ trong đó: ( , ), ( )n n n ni i j jx Q p q y pφ∈ ∈ . Vì ( , )n ni ix Q p q∈ nên ( )· · · · , nn i i ij j j J n i ij j j J p x p e p q p e p y q θ θ ∈ ∈ ≤ + + = + + ∑ ∏ ∑ suy ra: · · · | | · | | , n n i i ij j i I i I i I j J n i j i I j J p x p e p y I q p e p y I q θ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ≤ + + = + + ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ hay: | | 0.n ni i j i I i I j J p x e y I q ∈ ∈ ∈   − − − ≤    ∑ ∑ ∑ Như vậy ( , )· 0p q x ≤ với mọi ( ),p q ∈ S ∩ ( l × )+ , ( , ) nx z p q∈ . Sử dụng bổ đề 2, ta suy ra tồn tại ( ),n np q ∈ S ∩ ( )l +×  sao cho ( ) 0, ( )n n n lz p q +∩ × ≠ ∅  . Vì 0( ) (0 )ll + −× = ×   nên với mọi ,i I∈ ,j J∈ tồn tại ( , )n n n ni ix Q p q∈ và ( )n n nj jy pφ∈ thoả mãn: (1) 0,n ni i j i I i I j J x e y ∈ ∈ ∈ − − =∑ ∑ ∑ (2) ( )· · nn n n n ni i ij j j J p x p e p qθ ∈ ≤ + +∑ ∏ với mọi i I∈ , và với ni ix X′∈ mà ( ) ( )ni i i iu x u x′ > thì (3) ( )· · nn n n ni i ij j j J p x p e p qθ ∈ ′ ≥ + +∑ ∏ . Từ (1) ta có ( , )n ni jx y A∈ . Nguyễn Minh Trang Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 57(9): 27 – 31 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Vì A compact, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử * *( , ) ( , )n ni j i jx y x y→ . Vì ( ), ( )n n lp q S +∈ ∩ ×  và S ∩ ( )l +×  compact nên ta cũng có th ể giả sử ( ) ( )* *, ,n np q p q→ . Từ (1) và (2) suy ra: (4) * * 0,i i j i I i I j J x e y ∈ ∈ ∈ − − =∑ ∑ ∑ (5) ( )* * * * *· ·i i ij j j J p x p e p qθ ∈ ≤ + +∑ ∏ với mọi ,i I∈ trong đó: ( )* *max · jj p p Y=∏ . Lấy i ix X∈ sao cho * ( ) ( )i i i iu x u x> , đặt *(1 )i i ix x x λ λ λ= + − với ( ]0,1λ∈ . Do iu tựa lõm chặt nên *( ) ( )i i i iu x u x λ > . Hơn nữa, iu là nửa liên tục trên và *n i ix x→ nên ( ) ( )ni i i iu x u xλ > với mọi n đủ lớn, từ (3) suy ra ( )· · ,nn n n ni i ij j j J p x p e p qλ θ ∈ ≥ + +∑ ∏ Hay: ( ) *·( (1 ) ) · . n i i nn n n i ij j j J p x x p e p q λ λ θ ∈ + − ≥ + +∑ ∏ Cho n →+∞ ta được ( ) * * * * * * · (1 ) · · . i i n i ij j j J p x p x p e p q λ λ θ ∈ + − ≥ + +∑ ∏ Tiếp theo cho 0λ → ta được (6) ( )* * * * *· · .ni i ij j j J p x p e p qθ ∈ ≥ + +∑ ∏ Như vậy từ (5) và (6) suy ra với mọi ,i I∈ ( )* * * * *· · ni i ij j j J p x p e p qθ ∈ = + +∑ ∏ hay với mọi ,i I∈ ta có ( )* * * * * · · | |ni i ij j i I i I i I j J p x p e p I qθ ∈ ∈ ∈ ∈ = + +∑ ∑ ∑∑ ∏ và do đó * * * *· | | .i i j i I i I j J p x e y I q ∈ ∈ ∈   − − =    ∑ ∑ ∑ Nhưng vì (4) nên ta suy ra *| | 0I q = . Do đó * 0q = và * 0p ≠ . Vậy ( )* * *( ) ,( ) ,i i I j j Jx y p∈ ∈ là tựa cân bằng của bài toán E. (ii) Ta chỉ cần chứng tỏ rằng với giả thiết (G6) thì tựa cân bằng trên là một cân bằng. Lấy i ix X∈ mà *( ) ( )i i i iu x u x> . Theo chứng minh trên ta có * * * * * * · · sup · · · . i i ij j j J i ij j j J p x p e p Y p e p y θ θ ∈ ∈ ≥ + = + ∑ ∑ Giả sử rằng (7) * * * *· · ·i i ij j j J p x p e p yθ ∈ = +∑ . Từ đó, vì ( )inti i ij jj Je X Yθ∈∈ −∑ nên * *inf · · ,i ij j i j J p X Y p eθ ∈   − <    ∑ Nguyễn Minh Trang Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 57(9): 27 – 31 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên nghĩa là tồn tại ,i i j jx X y Y′ ′∈ ∈ sao cho * *· · ,i ij j i j J p x y p eθ ∈   ′ ′− <    ∑ suy ra (8) * * * * * * · · · · · i ij j i j J ij j i j J p x p y p e p y p e θ θ ∈ ∈ ′ ′< + ≤ + ∑ ∑ Đặt (1 )i i ix x x λ λ λ′= + − với 0λ > , theo giả thiết (G6), ( ) { }* *: ( ) ( )i i i i i i iP x x u x u x= > là tập mở nên với mọi λ đủ nhỏ: (9) *( ) ( )i i i iu x u xλ > . Mặt khác, từ (7) và (8) ta có * * * * * * * * * ·( (1 ) ) · (1 ) · · · (1 ) · · . i i i i ij j i j J ij j i j J p x x p x p x p y p e p y p e λ λ λ λ λ θ λ θ ∈ ∈ ′ ′+ − = + −   < +      + − +    ∑ ∑ hay là: (10) * * * *· · · .i i ij j j J p x p e p yλ θ ∈ < +∑ Ta thấy (9), (10) mâu thuẫn với ( )* * *( ) ,( ) ,i i I j j Jx y p∈ ∈ là tựa cân bằng của E. Như vậy với : i ix X∈ mà * ( ) ( )i i i iu x u x> thì * * * *· · ·i i ij j j J p x p e p yθ ∈ > +∑ , với mọi .i I∈ Nghĩa là: ( )* * *( ) ,( ) ,i i I j j Jx y p∈ ∈ là cân bằng của E. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Allouch N., Le Van C., Page F. H. Jr. (2001), "Arbitrage, equilibrium, and nonsatiation", typescript, University of Paris 1, CERMSEM. [2]. Arrow K. J.,Debreu G. (1954), "Existence of equilibrium for a competitive economy", Econometrica, 22(3), 265-290. [3]. Florenzano M., Le Van C. (1986), "A note on Gale-Nikaido-Debreu lemma and the existence of equilibrium", Economics Letters, 22, 107-110. [4]. Le Van C., Nguyen Ba Minh (2007), "No-arbitrage condition and existence of equilibrium with dividends", Journal of Mathematical Economics, 43, 135-152. Nguyễn Minh Trang Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 57(9): 27 – 31 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên SUMMARY NONSATIATION CONDITION AND THE EXISTENCE OF EQUILIBRIUM Nguyen Minh Trang* University of Technology, Thai Nguyen University In this paper we first introduce the model of equilibrium in an economy having goods, producers and consumers. The prices of goods and the ratio of the profit that consumers get from producers are decided by the producers. An equilibrium of the economy is a list of consumtion goods with their prices and the producing goods which satisfies the matket clearing and budget constraint. We also introduce two lemmas for the proof of the existence of equilibrium. The nonsatiation condition is stated for every consumer: whatever the commodity bundle may be, there exists another consumption bundle she/he strictly prefers. With this condition, we then give the proof of the existence of equilibrium. Key words: Existence of equilibrium, nonsatiation, no-arbitrage, equilibrium with dividends.