Chuyên đề Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP ----™&˜---- HÌNH KHÔNG GIAN Chuyên đề: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau GV hướng dẫn: Ngô Hải Dương Người thực hiện: Nhóm 2. Năm học: 2014 - 2015 MỤC LỤC DANH SÁCH NHÓM 2 Từ Thị Hồng Linh (nhóm trưởng) Hoàng Nữ Khánh Huyền Trần Phương Hà Ngô Thị Minh Hạnh Trần Hải Yến Hà Thị Khánh Huyền Trần Thị Thanh Tâm Hà Thị Huyền Trang LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Nếu đường thẳng ∆ cắt cả a và b lần lượt tại M và N, đồng thời vuông góc với cả a và b thì đường thẳng ∆ được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Độ dài đoạn MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Khi đó có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa b và song song với a. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua a và vuông góc với a. Mặt phẳng (Q) cắt b tại N và cắt (P) theo giao tuyến a’. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua N và vuông góc với (P) thì ∆ nằm trong (Q) và cắt a tại M. Như vậy ∆ cùng vuông góc với cả a và B nên ∆ chính là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b, còn độ dài đoạn MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Nhận xét: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. Phương pháp: Nếu a b thì ta dựng đoạn vuông góc chung của a và b như sau: Dựng mặt phẳng (α) chứa b và vuông góc với a. Tìm giao điểm O= a (α) Dựng OH b Đoạn OH chính là đoạn vuông góc chung của a và b. Ví dụ : Minh Hạnh Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SAmp(ABCD) và SA= a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 1, SB và AD; 2, BD và SC; Giải: 1) Ta có DA mp(SAB) tại A. Gọi AH là đường cao của tam giác vuông SAB thì AH là đường vuông góc chung của SB và AD. Vậy d(SB;AD) = AH. Vì tam giác SAB vuông cân nên 2) Ta có BD mp(SAC) tại tâm O của hình vuông ABCD. Kẻ OKSK (K SC) thì OK là đường vuông góc chung của BD và SC. Như vậy d (BD;SC) = (ở đó AI là đường cao của tam giác vuông SAC), mặt khác Vậy . Nếu a, b không vuông góc với nhau thì có thể dựng đoạn vuông góc chung của a và b theo hai cách sau: Cách 1: Dựng mặt phẳng (α) chứa b và song song với a. Dựng hình chiếu A’ của một điểm A(α) trên(α). Trong (α) dựng đường thẳng a’ đi qua A’ và song song với a cắt b tại M, từ M dựng đường thẳng song song với AA’ cắt a tại N. Đoạn MN chính là đoạn vuông góc chung của a và b. Ví dụ 1:Phương Hà Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. SA vuông góc với đáy góc tạo bởi SC và (SAB) là . Gọi E,F là trung điểm của BC và SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DE và CF. Giải: Vì = Từ C dựng CI song song với DE ta có CI = DE = . Ta có mặt phẳng (CFI) chứa CF và song song với DE. Ta có d(DE,CF)= d(DE,(CFI))= d(D,(CFI))= 12 d(H,(CFI)) với H là chân đường cao hạ từ F lên AD Dựng Ta có Ta có FH = Nhận xét : Trong bài toán này ta đã tạo ra khối chóp FHCI để quy về bài toán cơ bản là : Tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên (FCI). Việc làm này giúp bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Ví dụ 2: Hoàng.Khánh Huyền (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính Giải: + Gọi I là trung điểm của BC. Do MN//BC nên N là trung điểm của AC. Do đó, IN//AB hay + Trong mp(ABC) kẻ Trong mp(SAJ) kẻ + Theo giải thiết ta có: Từ (*), (**) ta có: . Từ (1), (2) ta có: . + Ta có: ; . + Xét tam giác vuông SAJ có: . Vậy Cách 2: Dựng mặt phẳng (α) vuông góc với a tại O, (α) cắt b tai I. Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên (α). Trong (α) dựng OH b tại H. Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B. Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A. Đoạn AB chính là đoạn vuông góc chung của a và b. Ví dụ : Huyền Trang Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF không cùng thuộc một mặt phẳng và AB = a, AD = AF = a2. AC vuông góc với BF. Tính khoảng cách giữa AC và BF. Vẽ AK BF . Từ K kẻ KH AC (1) Ta có : BF (AKC) AK BF AC BF AK ∩ AC = A BF KH (2) Từ (1) và (2) suy ra HK là đường vuông góc chung của AC và BF.(theo định nghĩa) ∆ABF vuông tại A AK = AB.AFBF = a22a3 = a63 Ta có : AC (BHK) AC BF AC HK HK ∩ AC = H AC BH ∆ABC vuông tại B AB2 = AH.AC AH = a2a3 = a3 ∆AHK vuông tại H HK2 = AK2 – AH2 = 6a29 - a23 = 3a29 d(AC,BF) = HK = a33 BÀI TẬP Bài 1: (ĐH khối B năm 2002) –Hà.Khánh Huyền Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D. Giải : Ta có AB1 A1B (vì BAA1B1 là hình vuông) A1B AD (vì AD (BAA1B1)) A1B (B1AD) A1B B1D (1) Vì DD1 (A1B1C1D1) DD1 A1C1 Do A1B1C1D1 là hình vuông nên A1C1 B1D1 Từ đó A1C1 (B1DD1) A1C1 B1D (2) Từ (1) và (2) suy ra : B1D (A1BC1) (3) Bây giờ ta tìm giao điểm của B1D với (A1BC1) . Gọi H là giao điểm của AB1 và A1B. Trong mặt chéo (B1A1DA) rõ ràng : HC1 B1D = G. Do B1H = HA = C1D GH = GC1 G là trọng tâm của tam giác A1BC1. Vì A1BC1 là tam giác đều nên GH A1B , còn GH B1D vì B1D (A1B1C1). Như thế GH là đường vuông góc chung của A1B và B1D nên nó chính là khoảng cách giữa A1B và B1D. Ta có : Bài 2: (A_2010) – Thanh Tâm Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM, . Tính Giải: + Trong mp(SCH) kẻ . + Mặt khác, Xét hai tam giác vuông AMD và DNC có AM=DN, AD=DC. Từ đó ta có: AMD = DNC ADM = DNC DNC + ADM = 90 NHD = 90 hay DMCN (**) AMD + ADM = 90 Từ (*), (**) suy ra: . Từ (1), (2) suy ra: HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC. + Ta có: . Xét tam giác vuông SHC ta có: Vậy Bài 3:(ĐH khối B năm 2007) Hà.Khánh Huyền Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC theo a. Giải : Gọi P là trung điểm của AB .Khi đó MP // AB (1) Ta có SE // DA và SE = DA SE // BC Có SE = BC SEBC là hình bình hành EB // SC (2) Vậy từ (1) , (2) MP // SC Lại có PN // AC nên (MNP) // (SAC) d(MN, AC) = d((MNP),(SAC)) = d(H,(SAC)) = OH = (với H, O lần lượt là giao điểm của BD với NP và AC). Bài 4 (Đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2006) Hà.K.Huyền Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN. Giải : Ta có : BC // MN MN // (A’BC) d(MN,A’C) = d(MN,(A’BC)) = d(M,(A’BC)) (1) Ta có : Lại có Từ đó .Vì thế nếu kẻ thìvà (2) Từ (1) , (2) suy ra d(MN,A’C)=a24 Bài 5: Hoàng.K.Huyền Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là tam giác đều, (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính Giải: Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I, M lần lượt là trung điểm của AD và OD; N là giao điểm của d và IM. + Ta có: + Trong mp(SMN) kẻ Theo giả thiết: Mặt khác ta có: . Từ (*), (**) suy ra: . Từ (1), (2) suy ra: . + Xét tam giác SMN có: với . Do đó, . Vậy Bài 6 : Thanh Tâm Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=SB=SC=a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SA. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và CN. Giải: Cách 1: Dựng đường thẳng đi qua N và song song với SM, cắt AB tại E. Ta có: nên . Trong kẻ , ta có: Mà nên . Trong , kẻ . Vậy H là hình chiếu vuông góc của S trên . Từ H kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN tại K, từ K kẻ đường thẳng song song với SH cắt SM tại I thì IK là đoạn vuông góc chung của SN và CN. Mặt khác: . Tính SH=? Ta có: Trong tam giác vuông CSF, ta có: Suy ra: . Vậy . Cách 2: Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của SB và CA, E là giao điểm của NP và SM. Khi đó: NQ song song với CS. (1) Mà CS (2). Từ (1), (2) suy ra NQ NQ SM. Lại có SM NP nên SM. Ta có: SM tại E , từ E dựng hình bình hành CSEH. Ta có: Vì vậy, NH là hình chiếu của NC trên . Kẻ EF NH tại F , từ F kẻ đường thẳng song song với SM cắt CN tại I, từ I kẻ đường thẳng song song với EF cắt SM tại K thì IK chính là đoạn vuông góc chung của CN và SM. Mặt khác ta có: IK=EF. Tính EF=? Trong tam giác EHN vuông tại E có đường cao EF, có: Suy ra: . Vậy . Bài 7: Hồng Linh Cho hai tia chéo nhau Ax và By hợp với nhau một góc 60°, nhận AB=a làm đoạn vuông góc chung. Trên By lấy C với BC=a. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên Ax. Tính d(AC,BD). Dựng Ay’// By → AB (y’Ax) Dựng CH Ay’ →ABCH là hình vuông cạnh a và CH (y’Ax). Dựng hình bình hành BDEC. Ta có: BD//CE→BD//(ACE) d(BD,AC)=d(D,(ACE)) Dựng DK Ay’→DK (AHC)→DK AC Gọi DK AE=J Dựng KM AC→AC (MKD)→DM AC Vậy suy ra (MKD) (ACE) theo giao tuyến MJ Dựng DL MJ→DL (ACE)→DL (ACE) →DL=d(D,(ACE)) Tính DL: Ta có: AD (CDH) AD CDADCHCDCH=C → AD DH→∆ADH vuông tại D →AD= AH2 (Vì A =60) = BC2 = a2 DK=AD.sin60° = AD32 = a34 AK=AD.cos60= AD2 =a4 Dựng IL’//DK Lại có I là trung điểm DH →IL’ là đường trung bình của HDK →IL’= DK2 = a38 L’H=IL’.cot30= a38. 3= 3a8 AL’=AH - L’H=a - 3a8 = 5a8 Áp dụng định lí Talet cho ∆AIL’ có JK//IL’: JKIL' = AKAL' = a45a8 =25 →JK= 25.IL’= 2a340 = a320 Ta có KM//HO( cùng vuông góc với AC) → MKOH = AKAH= a4a = 14 → MK= OH4 =AH24 = a224 =a28 Mà SDMJ=SDKM – SMJK = 12DK.MK - 12JK.MK = 12(DK – JK).MK = 12(a34 - a320). a28 = a2680 Mà SDMJ= 12DL.MJ → DL=2SDMJMJ =2.a2680MJ MJ=MK2+JK2 =a232+3a2400 = a31202 →DL= a2680 . 202a31 = a331 =a9331 Bài 8 Hồng Linh Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Tính khoảng cách giữa A’B và B’C. Theo giả thuyết ta suy ra : ∆A’B’C’ là tam giác đều cạnh a. CC’( A’B’C’) Gọi I, J lần lượt là tâm của hai hình vuông A’ABB’và BB’C’C. M là trung điểm A’C’. Ta có: JM là đường trung bình của ∆C’A’B →JM= A'B2 và JM//A’B →A’B//(B’JM) B’C (*) Gọi N là trung điểm của B’C’. Ta có: A’N(BB’C’C)A’NB'C'A’NC'CB'C'∩C'C=C' → A’NB’C (1) Gọi L là trung điểm BB’. Ta có NL là đường trung bình của ∆BB’C’ →NL//BC’ Mặt khác BC’ B’C → NL B’C (2) Lại có NL∩ A’N=N (3) Từ (1),(2),(3) suy ra (A’NL) B’C (MB’J) → (A’NL) (MB’J) theo giao tuyến KG (**) (G=A’N B’M→ G là trọng tâm ∆ đều A’B’C’) Từ (*),(**) suy ra d(A’,KG)=d(A’B,B’C) Từ A’ kẻ A’H KG Ta có: A’N là đường trung tuyến của ∆ đều A’NL → A’N = a32 NL là đường trung bình của ∆B’DC’→NL= a22 A’L=A'B'2+B'B22 =a2+a24 = a52 G là trọng tâm ∆ đều A’B’C’→ GN= 13A’N= a36 Trong ∆ vuông GNK ta có: GK=NG2+NK2 =a362+a242= a526 ∆A’HG ∽ ∆KNG(g.g) →A'HKN = A'GKG →A’H= A'GKG . KN →A’H= a55 = d(A’B,B’C) Bài 9.Hồng Linh Cho hình lập phương ABCD.A”B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N là trung điểm BC và DD’. Tính khoảng cách của hai đường thẳng BD và MN. Gọi I là giao điểm của AD’ và A’D →I là trung điểm A’D Lại có N là trung điểm DD’ → NI là đường trung bình ∆A’D’D → NI= 12 A’D’ Mặt khác : MB = 12 BC BC, A’D’ song song và bằng nhau → MBIN là hình bình hành → MN//BI (1) Gọi K là trung điểm CD Ta có : MK//BD (MK đường trung bình ∆DBC) (2) Từ (1),(2) suy ra (MNK)//(A’BD) Gọi O, J lần lượt là giao điểm của AC với BD và KM Từ A, J lần lượt kẻ hai đường thẳng vuông góc với A’O cắt A’O tao H và H’. DB(AOH)A'ODB(A'O là trung tuyến ∆ cân A'DB)AODBAO∩A'O=O →DBAH Lại có AHA’O và A’O DB=O →AH(A’DB)→A là chân hình chiếu vuông góc của A lên (A’DB). → d(A,(A’BD))= AH Chứng minh tương tự ta có H’ là chân hình chiếu vuông góc của J lên (A’DB). → d(J,(A’BD))= JH’ ∆AOH ∽ ∆JOH’(g.g) → JH'AH = JOAO Ta có: d(BD,MN)=d((MNK),(A’BD))=d(J,(A’BD)) AJ(A’BD)=O nên d(J,(A'BD))d(A,(A'BD)) = JH'AH = JOAO = 12 Do đó: d(BD,MN)= 12 AH = 12 d(A,(A’BD)) Áp dụng hệ thức lượng vào ∆ vuông A’AO có AH A’O 1AH2= 1AA'2 +1AO2 =1a2 + 1a222 =3a2 →AH= a3 →JH’ = a23 = a36 =d(BD,MN) Bài 10. Hồng Linh Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AD. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng DM và D’N. Trong mp(ABCD) vẽ hình chữ nhật DMIJ. DM//IJ (D’JN)→ DM//(D’JN) D’N→ d(DM,D’N)=d(DM,(D’JN))=d(D,(D’JN)) Dựng DH D’J(1) Ta có: IJ (D’JD)JIJDJIDD'JD∩DD'=D→JI DH(2) Và D’JJI=J (3) Từ (1)(2)(3) suy ra DH (D’JN) →H là hình chiếu vuông góc của D lên (D’JN) → d(D,(D’JN))=DH Dựng hình chữ nhật HKPD ta có PKD’N và DM suy ra PK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Tính DH: Áp dụng hệ thức lượng cho ∆ D’JD vuông tại D: 1DH2 = 1DD'2 + 1DJ2 = 1a2 + 1a222 = a33 Bài 11: (Trần Yến)Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB b) SA và BD Giải: Gọi I là hình chiếu của S lên (ABCD) M là trung điểm của BC Ta có AD ⊥ SI AD ⊥IM => AD ⊥ (SIM) Lại có BM⊥IMBM ⊥SI (BM//AD) => BM ⊥ (SIM) =>SM là hình chiếu của SB trên (SIM) Từ I dựng IH ⊥SM => IH là khoảng cách giữa SB và AD Dựng hình chữ nhật HKIP => KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SB và AD d(AD,SB) = IH Xét ∆SIM vuông tại I có: 1IH2 = 1IS2 + 1IM2 ó1IH2 = 1a322 + 1a2 ó1IH2 = 73a2 ó IH = a217 b) Gọi O là tâm của đáy (ABCD) E là giao điểm của đường thẳng song song với DB cùng và đường thẳng song song với AC L và J là trung điểm của EA và DO Ta có BD//AE ( theo cách dựng) => BD // (SEA) Lại có IL // SL ( L và J là trung điểm của EA và DO) Dựng IH ⊥ SL => IH ⊥ (SEA) Dựng JR // IH => JR ⊥ (SEA) Suy ra d(BD, SA) = d(BD, (SEA)) = d(J, (SEA)) = JR Dựng hình chữ nhật RKPJ => KP là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BD Ta có JR = 2 IH Xét ∆SIL vuông tại I 1IH2 = 1IS2 + 1IL2 ó1IH2 = 1a322 + 1a22 ó IH = a34 => JR = a32 Bài 12: (Trần Yến) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, cạnh bên AA’= a2 , BD= 2a, AD’⊥ BA’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và BA’ Giải: Gọi I là tâm của đáy ABCD E là giao điểm của D’I và B’B Dễ thấy BE//DD'BE=DD' A’B // AE ( A’AEB là hình bình hành ) mà AE ∈ (ADE) => A’B // (ADE) Ta có AIBDAIB'D' => AI ⊥ (BDD’B’) => (AD’E) ⊥ ( BDD’B’) Dựng BH⊥ D’E => BH ⊥ (AD’E) Suy ra d(A’B,AD’) = d( A’B, (AD’E)) = d(B, (AD’E)) = BH Dựng hình chữ nhật BHKP => KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng A’B và AD’ Xét ∆IBE vuông tại B 1BH2 = 1BE2 + 1BI2 ó1BH2 = 1a22 + 1a2 ó BH = a63 DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN Bài 1(Minh Hạnh). Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c. 1, Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng(ACC’A’); 2, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’; 3, Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’C) và (A’C’D); Giải: 1, Kẻ BH AC( H AC) Do mp(ABCD) mp(ACC’A’) nên BH mp(ACC’A’). Vậy d(B;mp(ACC’A’)) = BH. Vì BH.AC = BA.BC nên BH = từ đó BH= 2, Ta có BB’ và AC’ là hai đường thẳng chéo nhau mà BB’// mp(ACC’A’) nên D(BB;AC’) = d(BB’; mp(ACC’A’)) = d(B;mp(ACC’A’)) = 3, Cách 1: Dễ thấy mp(AB’C) // mp(A’C’D). Kẻ DKAC ( K AC) và KK’ vuông góc với mp(A’B’C’D’). Kẻ đường cao KI của tam giác KK’D. Khi đó AC mp(KK’D), mặt khác A’C’// AC, từ đó A’C’ mp(KK’D). Vậy mp(KK’D) mp(A’C’D). Do K’D là giao tuyến của hai mp( A’C’D) và (KK’D) và KIK’D nên KImp(A’C’D). Từ đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng (A’C’D) và (ACB’) là KI. Xét vuông KK’D với đường cao KI ta có (1) Vì ADC vuông tại D và DK là đường cao của nó nên (2) Từ (1), (2) ta có Cách 2. Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên mp(ACB’) // mp(DA’C’) và đường chéo BD’ cắt hai mặt phẳng trên lần lượt tại G, G’ (trọng tâm tam giác ACB’ và tam giác A’C’D) mà BG = GG’ = G’D’. Kẻ qua B đường thẳng vuông góc với mp(ACB’), cắt mp(ACB’) và mp(A’C’D) lân lượt tại H và H’ thì có BH = HH’. Như vậy khoảng cách giữa hai mp (ACB’) và mp(A’C’D) bằng HH’ và bằng BH là khoảng cách từ đỉnh B đến mp(ACB’) của tứ diện BACB’ có BA, BC. BB’ vuông góc từng đôi. Ta lại có: Từ đó BH = Chú ý: Khi ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương thì từ cách giải trên ta thấy: 1, d(B;mp(ACC’A’)) = 2, d(BB’;AC’) = d(B;mp(ACC’A’)) = 3, d((ACB’);(A’C’D)) = Bài 2. (Minh Hạnh) Đường thẳng AM tạo với mặt phẳng chứa tam giác đều ABC một 600. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AM và đường thẳng BC, biết rằng cạnh của tam giác đều bằng a và MAB=MAC. Giải: Vì MAB=MAC nên hình chiếu của đường thẳng AM trêm mp (ABC) là đường phân giác của góc AH của BAC. Dễ thấy , từ đóMAH chính là góc giữa AM với mp(ABC). Trong mặt phẳng (AHM) kẻ đường cao HK của tam giác AHM thì HK chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC. Ta có KAH=60°, từ đó HK= AH.sin600 hay HK = Vậy khoảng cách giữa AM và BC bằng Bài 3: (Minh Hạnh) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AD’, điểm N thuộc đoạn thẳng BD sao cho AM = DN = . 1, Xác định x để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất. 2, Khi MN ngắn nhất, hãy chứng tỏ MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và DB, đồng thời MN // A’C. Giải: Cách 1. 1, Kẻ MHAD tại H thì MH(ABCD) và . Tương tự, kẻ NKAD tại K thì . Suy ra Áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông MHN và HKN, ta có: = = Vì thỏa mãn nên MN ngắn nhất bằng khi . 2, +Khi MN ngắn nhất thì , MN=. Ta có = = Do đó , suy ra AMMN. Vậy MNAD’. Tương tự ta cũng chứng minh được MNBD. Vậy MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và BD. + Khi , thì DN= nên DN= . Vậy nếu I là giao điểm của hai đường thẳng NC và AD thì theo định lý Ta-lét ta có (hình bên). , suy ra I là trung điểm của AD và . Tương tự ta cũng có A’M đi qua I và . Vậy trong tam giác IA’C, ta có , suy ra MN // A’C. Cách 2. 1. đặt thì và Ta có Tương tự, Suy ra Do đó Vậy MN ngắn nhất bằng khi ( thỏa mãn ). 2. + Khi MN ngắn nhất, nghĩa là , ta có Ngoài ra Suy ra Vậy MNAD’ và MNBD hay MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và BD. + Ta có Suy ra A’C // MN. Bài 2: Phương Hà Cho đường tròn đường kính AB=2R trong mặt phẳng (P). C là một điểm chạy trên đường tròn. Trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA=a<2R. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và SB. Xác định vị trí của C trên đường tròn sao cho EF là đường vuông góc chung của AC và SB.Khi đó, tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(SBC). Giải: *Xác định vị trí điểm C trên đường tròn để EF là đường vuông góc chung của AC và SB: Cách 1: Do ACBCSCBC(định lí ba đường vuông góc). Từ đó suy ra FA=FC(1) Như thế (1) đúng với mọi vị trí của C trên đường tròn. Để EF là đường vuông góc chung của AC và SB thì chỉ cần EF. Ta có EFSBES=EB Vậy C là đường giao của hai đường tròn : đường tròn đường kính AB=2R đã cho và đường tròn tâm B bán kính a. Vì a < 2R nên tồn tại 2 giao điểm như vậy Cách 2 : Dễ thấy ACB là tam giác vuông tại C mà SA nên =. Tam giác SAB vuông tại A, tam giác SCB vuông tại C mà F là trung điểm của SB, từ đó AF=CF. Mặt khác EA=EC. Vậy EF. Từ đó, EF là đường vuông góc chung của AC và SB khi và chỉ khi ES=EB. Xét các tam giác vuông SAE và BCE ta thấy ES=EB khi và chỉ khi SA=BC Vậy điểm C thuộc đường tròn đã cho sao cho BC=a thì EF là đường vuông góc chung của AC và SB. * Khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC): Ta có d(A ;(SCB) ) = AH, trong đó AH là đường cao của tam giác vuông SAC. AH= , Mà AC=, SC=2R. Từ đó, ta có AH= .