Về phương pháp dạng cỡ với mật độ

VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠNG CỠ VỚI MẬT ĐỘ NGUYỄN THỊ THANH LOAN Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Bài báo đưa ra các định nghĩa về vi phân ngoài với mật độ của một dạng vi phân và đạo hàm riêng với mật độ của một hàm,... trong trường hợp các mật độ được xét riêng biệt ứng với các số chiều khác nhau. Với các định nghĩa đó, ta có được một số kết quả trong Hình học định cỡ với mật độ tương tự với các kết quả đã biết ở trường hợp cổ điển. 1 GIỚI THIỆU Sự mở rộng các khái niệm trong Hình học Riemann sang Hình học với mật độ và khảo sát các kết quả liên quan là một trong những chủ đề hình học được quan tâm nhiều trong thời gian gần đây. Trong thời gian gần đây xuất hiện nhiều kết quả liên quan đến Hình học với mật độ, đặc biệt trong đó là các kết quả của Frank Morgan và các cộng sự. Hình học định cỡ với mật độ cũng đã được xem xét với cùng một mật độ cho mọi chiều. Đoàn Thế Hiếu đã định nghĩa vi phân ngoài của một k-dạng vi phân  trên đa tạp Riemann M với mật độ eψ là dψ := e ψdeψ và đã chứng minh định lý cơ bản của Hình học định cỡ với mật độ, từ đó áp dụng để đưa ra một số kết quả và ví dụ về đa tạp con cực tiểu diện tích với mật độ bằng phương pháp dạng cỡ. [6] Nếu ta xét các mật độ riêng biệt cho các số chiều khác nhau thì sẽ như thế nào? Liệu có thể xây dựng các khái niệm để có được các kết quả tương tự với trường hợp cổ điển hay không? Với sự quan tâm đó chúng tôi đã bắt đầu tìm hiểu về Hình học định cỡ với mật độ và bước đầu có một số kết quả trình bày trong bài báo này. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 04(24)/2012: tr. 11-17 12 NGUYỄN THỊ THANH LOAN 2 VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠNG CỠ VỚI MẬT ĐỘ Xét đa tạp Riemann (M, g) với các hàm mật độ eφk dùng làm trọng số cho các thể tích k-chiều. Ta định nghĩa vi phân ngoài của một k-dạng vi phân ω như sau: dWkω := e φk+1deφkω. Một k-dạng vi phân w được gọi là W -đóng nếu dWkw = 0. Một k-dạng vi phân w được gọi là W -khớp nếu tồn tại (k − 1)-dạng vi phân η để w = dWk1η. Nhận xét 2.1. 1. Với hai k-dạng vi phân ω1, ω2 ta luôn có dWk(ω1 + ω2) = dWkω1 + dWkω2. 2. Dạng vi phân W -khớp là W -đóng. Thật vậy, giả sử (k + 1)-dạng vi phân w là W -khớp. Khi đó tồn tại k-dạng vi phân η để w = dWkη = e φk+1deφkη. dWk+1w = e φk+2deφk+1w = eφk+2deφk+1eφk+1deφkη = eφk+2ddeφkη = 0. Suy ra ω là dạng vi phân W -đóng. 3. Từ định nghĩa ta có: k-dạng vi phân w là W-đóng (t.ư. W-khớp) khi và chỉ khi eφkw là dạng đóng (t.ư. khớp). Như vậy ánh xạ w 7−→ eφkw là một đẳng cấu tuyến tính biến dạng vi phân W-đóng (t.ư. W-khớp) thành dạng đóng (t.ư. khớp). Suy ra HkWDR ≡ HkDR, và do đó HkWDR và HkDR có cùng chỉ số Betti. (Trong đó HkWDR = KerdWk ImdWk1 là nhóm đối đồng điều de Rham bậc k với mật độ.) Ta định nghĩa Wk-đạo hàm riêng của hàm (0-dạng) f như sau: Định nghĩa 1. ∂Wkf ∂Wkxi = eφkφk+1( ∂f ∂xi + ∂φk ∂xi f). VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠNG CỠ VỚI MẬT ĐỘ 13 Nhận xét 2.2. 1. Với mật độ thỏa eφk = eφ, ∀k (trường hợp một mật độ) ta có ∂2Wkf ∂Wkxi∂Wkxj = ∂2Wkf ∂Wkxj∂Wkxi (∗). Thật vậy, ∂2Wkf ∂Wkxi∂Wkxj = ∂Wk ∂Wkxj ( ∂f ∂xi + ∂φ ∂xi f) = ∂ ∂xj ( ∂f ∂xi + ∂φ ∂xi f) + ∂φ ∂xj ( ∂f ∂xi + ∂φ ∂xi f) = ∂2f ∂xi∂xj + ∂2φ ∂xi∂xj f + ∂φ ∂xi ∂f ∂xj + ∂φ ∂xj ∂f ∂xi + ∂φ ∂xj ∂φ ∂xi f = ∂2f ∂xj∂xi + ∂2φ ∂xj∂xi f + ∂φ ∂xj ∂f ∂xi + ∂φ ∂xi ∂f ∂xj + ∂φ ∂xi ∂φ ∂xj f = ∂2Wkf ∂Wkxj∂Wkxi . 2. Trong trường hợp tổng quát, (∗) không còn đúng nữa. Chẳng hạn xét Rn \{O} với mật độ eφk = rk với r là hàm khoảng cách từ điểm đến O, ta có ∂r ∂xi = xi r ; φk = k ln r; ∂φk ∂xi = kxi r2 ; ∂2Wkf ∂Wkxi∂Wkxj = ∂Wk ∂Wkxj [eφkφk+1( ∂f ∂xi + ∂φk ∂xi f)] = ∂Wk ∂Wkxj [ 1 r ( ∂f ∂xi + ∂φk ∂xi f)] = 1 r { ∂ ∂xj [ 1 r ( ∂f ∂xi + ∂φk ∂xi f)] + ∂φk ∂xj [ 1 r ( ∂f ∂xi + ∂φk ∂xi f)]} = 1 r {−xj r3 ( ∂f ∂xi + ∂φk ∂xi f) + 1 r ( ∂2f ∂xi∂xj + ∂2φk ∂xi∂xj f + ∂φk ∂xi ∂f ∂xj ) + 1 r ∂φk ∂xj ( ∂f ∂xi + ∂φk ∂xi f)} = 1 r2 [ ∂2f ∂xi∂xj + ∂2φk ∂xi∂xj f + ∂φk ∂xi ∂f ∂xj + ∂φk ∂xj ∂f ∂xi + ∂φk ∂xj ∂φk ∂xi f −kxixj r4 f ]− xj r4 ∂f ∂xi ; ∂2Wkf ∂Wkxj∂Wkxi = 1 r2 [ ∂2f ∂xi∂xj + ∂2φk ∂xi∂xj f + ∂φk ∂xi ∂f ∂xj + ∂φk ∂xj ∂f ∂xi + ∂φk ∂xj ∂φk ∂xi f −kxixj r4 f ]− xi r4 ∂f ∂xj . 14 NGUYỄN THỊ THANH LOAN Định lý 2.1. Nếu ω là k-dạng vi phân và ω = ∑ I ωIdxI thì dWkω = ∑ I ∑ α ∂WkωI ∂Wkxα dxαdxI . Chứng minh. dWkω = e φk+1deφkω = eφk+1d(eφk ∑ I ωIdxI) = eφk+1 ∑ I ∑ α (eφk ∂ωI ∂xα + eφk ∂φk ∂xα ωI)dxαdxI = ∑ I ∑ α eφkφk+1( ∂ωI ∂xα + ∂φk ∂xα ωI)dxαdxI = ∑ I ∑ α ∂WkωI ∂Wkxα dxαdxI . Kết quả trên tương tự với kết quả trong trường hợp cổ điển: “Nếu ω = ∑ I ωIdxI thì dω = ∑ I ∑ α ∂ωI ∂xα dxαdxI”. Tuy nhiên, kết quả với mật độ tương ứng với kết quả “d(ω1 ∧ ω2) = dω1 ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ dω2 với ω1, ω2 lần lượt là k-dạng và l-dạng” nói chung không còn đúng nữa. Đối với trường hợp eφk = eφ, ∀k (trường hợp một mật độ) ta có kết quả: \dφ(ω1 ∧ ω2) = dφω1 ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ dω2 với ω1, ω2 lần lượt là k-dạng và l-dạng”. Thật vậy, dφ(ω1 ∧ ω2) = eφdeφ(ω1 ∧ ω2) = eφ[d(eφω1) ∧ ω2 + (−1)keφω1 ∧ dω2] = eφd(eφω1) ∧ ω2 + (−1)keφeφω1 ∧ dω2 = dφω1 ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ dω2. Nhưng với mật độ eφk = rk với r là hàm khoảng cách từ điểm đến một điểm cho trước thì ta lại có kết quả với mật độ tương ứng: \dWk+l(ω1∧ω2) = dWkω1∧ω2+(−1)kω1∧dWlω2, với ω1, ω2 lần lượt là k-dạng và l-dạng” . Tổng quát lên với các mật độ thỏa điều kiện eφk+l = eφkeφl , kết quả trên còn đúng không? VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠNG CỠ VỚI MẬT ĐỘ 15 Định lý 2.2. Với mật độ thỏa eφk+l = eφkeφl và với ω1, ω2 lần lượt là k-dạng và l-dạng ta có dWk+l(ω1 ∧ ω2) = dWkω1 ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ dWlω2. Chứng minh. dWk+l(ω1 ∧ ω2) = eφk+l+1deφk+l(ω1 ∧ ω2) = eφk+l+1d(eφkω1 ∧ eφlω2) = eφk+l+1 [deφkω1 ∧ eφlω2 + (−1)keφkω1 ∧ deφlω2] = eφk+1deφkω1 ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ eφl+1deφlω2 = dWkω1 ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ dWlω2. Từ định lý ta có nhận xét Nhận xét 2.3. Với mật độ thỏa eφk+l = eφkeφl thì tích của hai dạng vi phânW -đóng là một dạng vi phân W -đóng. (Kết quả này tương tự như trong trường hợp cổ điển.) Áp dụng định lý Stokes ta có định lý sau Định lý 2.3 (Định lý Stokes với mật độ).∫ N eφk+1dWkw = ∫ ∂N eφkw Chứng minh.∫ N eφk+1dWkw = ∫ N eφk+1eφk+1deφkw = ∫ N deφkw = ∫ ∂N eφkw. Định nghĩa 2. 1. Với  là k-dạng vi phân, ξ là k-vector trên n-đa tạp Riemann (M, g), chuẩn mass của ξ và chuẩn comass của  lần lượt được định nghĩa là ∥ξ∥ = inf{ ∑ i √ g(βi, βi) | ξ = ∑ i βi, βi : đơn}, ∥∥ = sup{x(ξx) | x ∈M, ξx là k-vector đơn, ∥ξx∥ = 1}. 2. Một dạng vi phânW -đóng được gọi là một dạng cỡ với mật độ nếu nó có chuẩn comass bằng 1. 16 NGUYỄN THỊ THANH LOAN 3. Cho  là một dạng cỡ với mật độ. Ta nói k-đa tạp con N của đa tạp M được định cỡ bởi  nếu  đạt được giá trị lớn nhất trên các không gian tiếp xúc của N hầu khắp nơi. Khi đó thể tích và thể tích với mật độ của N lần lượt là V ol(N) = ∫ N , V olW (N) = ∫ N eφk. Định lý cơ bản của Hình học định cỡ được trình bày trong [1] là kết quả rất quan trọng của Hình học định cỡ, giúp chúng ta có thể giải quyết bài toán cực tiểu diện tích bằng phương pháp dạng cỡ. Xét trường hợp với một mật độ, Đoàn Thế Hiếu đã chứng minh định lý tương ứng, định lý cơ bản của Hình học định cỡ với mật độ, trong [6]. Mở rộng lên trường hợp ta đang xét, áp dụng định lý Stokes với mật độ ta cũng chứng minh được định lý sau mà ta cũng gọi là định lý cơ bản của Hình học định cỡ với mật độ Định lý 2.4. Mọi đa tạp con với biên được định cỡ bởi một dạng cỡ với mật độ đều cực tiểu diện tích với mật độ trong lớp các đa tạp con cùng biên đồng điều với nó. Chứng minh. Giả sử N là k-đa tạp con với biên được định cỡ bởi dạng cỡ với mật độ . Với bất kỳ k-đa tạp con N trong lớp các đa tạp con cùng biên đồng điều với N (∂N = ∂N và N −N = ∂A với A là một (k + 1)-xích nào đó); ta có V olW (N)− V olW (N) 6 ∫ N eφk− ∫ N eφk = ∫ ∂A eφk = ∫ A eφk+1dWk() = 0. Ví dụ 2.1. Xét hệ tọa độ trụ (ρ, φ, z) trên R3 \ {O} với mật độ eφ2 = ρ1. Phần tử diện tích dA = ρdφ ∧ dz là dạng cỡ với mật độ định cỡ các mặt trụ quay quanh trục Oz. Ví dụ 2.2. Xét Rn \ {O} với mật độ eφn1 = r1n. Phần tử thể tích bậc n− 1, dA = rn1dω, với dω là phần tử thể tích bậc n− 1 của siêu cầu đơn vị, là dạng cỡ với mật độ định cỡ các siêu cầu tâm O. VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠNG CỠ VỚI MẬT ĐỘ 17 3 KẾT LUẬN Bài báo đã trình bày một số kết quả liên quan đến phương pháp dạng cỡ với mật độ, đặc biệt là định lý cơ bản của Hình học định cỡ với mật độ. Hy vọng thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục phát triển vấn đề với những kết quả khởi đầu này. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Reese Harvey and H. Blaine Lawson, Jr. (1982), Calibrated geometries, Acta Math. 148, 47-157. [2] F. Morgan (2000), Geometric Measure Theory: a Beginner’s Guide, 3rd ed. Academic Press, London. [3] F. Morgan (2005), Manifolds with density, Notices Amer. Math. Soc. 52 , 853-858. [4] César Rosales, Antonio Canete, Vincent Bayle, Frank Morgan (2008), On the isoperi- metric problem in Euclidean space with density, Calc. Var. Partial Differential Equa- tions 31, no. 1, 27-46. [5] Doan The Hieu (2011), Some calibrated surfaces in manifolds with density, J. Geom. Phys. 61, no. 8, 1625-1629. [6] Doan The Hieu and Tran Le Nam (2008), On the Four Vertex Theorem on planes with radial density eφ(r), Colloquium Mathematicum, Vol. 113, No. 3, 169-174. [7] Doan The Hieu and Nguyen Minh Hoang (2009), Ruled minimal surfaces in R3 with density ez, Pacific Journal of Mathematics, Vol. 243 , No. 2, 277-285. Title: ON THE WEIGHTED CALIBRATION METHOD Abstract: This paper presents some definitions such as the weighted exterior derivative of a differential form or the weighted derivative of a function with various densities for different demensions. From the definitions, we get some results that are similar to the classical ones. ThS. NGUYỄN THỊ THANH LOAN Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế