Tổng Ramanujan và mối liên hệ giữa các hàm số số học

TỔNG RAMANUJAN VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC HÀM SỐ SỐ HỌC VĂN NAM Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng Tổng Ramanujan để nghiên cứu về các mối quan hệ giữa các hàm số số học. Từ các kết quả này, chúng ta có thể sử dụng tích phân phức để xấp xỉ các giá trị trung bình của một vài hàm số số học bởi các hàm sơ cấp. 1 GIỚI THIỆU Việc xấp xỉ giá trị trung bình của các hàm số học với các hàm sơ cấp có thể thực hiện bằng phương pháp sơ cấp (xem [2]), với một số kết quả như sau: khi x→∞,∑ n≤x τ(n) = xlnx+O(x), ∑ n≤x ϕ(n) = 3 pi2 x2 +O(xlnx). Trong bài báo này, thông qua tổng Ramanujan, chúng tôi sẽ trình bày các mối liên hệ giữa các hàm số học. Từ các mối liên hệ này, cho phép chúng ta xấp xỉ giá trị trung bình của các hàm số học với các hàm sơ cấp bằng phương pháp tính tích phân phức. Đặt Gn là nhóm các căn bậc n của đơn vị, và Pn là tập các căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, tức là tập các phần tử sinh của trường chia đường tròn Rn(Q) trên Q. Xét n ∈ N∗ và k ∈ Z. Khi đó tổng Ramanujan(xem [4]) được định nghĩa như sau Cn(k) = ∑ η∈Pn ηk. Rõ ràng Cn(0) = ϕ(n) và Cn(1) = µ(n), vì −Cn(1) là hệ tử bậc ϕ(n)− 1 của đa thức chia đường tròn bậc n (xem [1]). Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế. ISSN 1859-1612, Số 02(18)/2011: tr. 14-19 TỔNG RAMANUJAN VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC HÀM SỐ HỌC 15 Xét tổng Rn(x) = Cn(0) + Cn(1)x+ · · ·+ Cn(n− 1)xn−1; khi đó rõ ràng Rn(0) = Cn(0) = ϕ(n) và Rn(1) = n−1∑ k=0 Cn(k) = 0. Ngoài ra, với n, k ∈ Z, ta ký hiệu δn|k = 1, nếu n là ước của k;0, nếu n không là ước của k. Ký hiệu ϕ(n) là hàm Euler, µ(n) là hàm Mo¨bius, τa(n) là số nghiệm của phương trình x1 . . . xa = n (x1, . . . , xa chạy qua tất cả các số nguyên dương một cách độc lập, đặc biệt τ2(n) = τ(n) là hàm số các ước của n), σs(n) là hàm tổng các lũy thừa s của các ước của n. Và ký hiệu ζ(s) = ∞∑ n=1 1 ns , trong đó s là số phức với phần thực R(s) = σ > 1, là hàm Zeta-Riemann. Hàm Zeta-Riemann có thể được thác triển giải tích lên toàn bộ mặt phẳng phức, ngoại trừ cực đơn s = 1 với thặng dư bằng 1, bằng phương trình hàm sau (xem [7]): ζ(s) = χ(s)ζ(1− s), trong đó χ(s) = 2s−1pis cos pis 2 Γ(s) . Và ta có ζ(s¯) = ζ(s), R(s) = σ > 1, ngoài ra theo nguyên lý đối xứng thì điều này vẫn còn đúng với mọi s. 2 KẾT QUẢ CHÍNH CỦA BÀI BÁO Mệnh đề 1. Ta có ∑ d|n Cd(k) = δn|kn; 16 VĂN NAM và từ đó suy ra Cn(k) = ∑ d|n µ( n d )dδd|k. Chứng minh: Do Gn = ⋃ d|n Pd, nên ∑ d|n Cd(k) = ∑ d|n ∑ θ∈Pd θk = ∑ θ∈Gn θk = n−1∑ l=0 (ξkn) l, (1) trong đó ξn là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Nếu n không là ước của k thì ξkn 6= 1 và vì ξkn là một căn bậc n của đơn vị nên (ξkn) n = 1. Do đó từ (1) ta có ∑ d|n Cd(k) = 1− (ξkn)n 1− ξkn = 0 = δn|kn; Còn nếu n là ước của k thì k = mn, với m ∈ Z. Từ đó suy ra (ξkn) l = (ξmln ) n = 1, với mọi l = 0, . . . , n− 1. Vì vậy, trong trường hợp này ta cũng có∑ d|n Cd(k) = n = δn|kn. Tóm lại, ta luôn có ∑ d|n Cd(k) = δn|kn. Và từ đó, theo công thức nghịch đảo Mo¨bius ta được Cn(k) = ∑ d|n µ( n d )dδd|k. Mệnh đề 2. Ta có Cn(k) = µ( n (k,n) )ϕ(n) ϕ( n (k,n) ) . TỔNG RAMANUJAN VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC HÀM SỐ HỌC 17 Chứng minh: Ta đã có Cn(k) = ∑ d|n µ(n d )dδd|k = ∑ d|(k,n) µ(n d )d. Từ đó Cn(k) = ∑ de=h dµ( ne h ) = ∑ de=h dµ(n1e), với h = (k, n) và n = hn1. Mặt khác, vì µ(n1e) = µ(n1)µ(e), nếu (n1, e) = 1;0, nếu (n1, e) 6= 1. nên Cn(k) = ∑ e|h,(n1,e)=1 dµ(n1)µ(e) = µ(n1)h ∑ e|h,(n1,e)=1 µ(e) e = µ(n1)h ∏ p|n,p-n1 (1− 1 p ) = µ(n1) n n1 ∏ p|n,p-n1 (1− 1 p ) = µ(n1) ϕ(n) ϕ(n1) = µ( n (k,n) )ϕ(n) ϕ( n (k,n) ) . Mệnh đề 3. Ta có i) ζ(s) ∑ n≥1 Cn(k) ns = σs−1(k) ks−1 , k ∈ N∗. ii) ζ(s− 1) ζ(s) = ∑ n≥1 ϕ(n) ns , R(s) = σ > 2. iii) 1 ζ(s) = ∑ n≥1 µ(n) ns . iv) (ζ(s))a = ∑ n≥1 τa(n) ns , với a ∈ N∗. Chứng minh: 18 VĂN NAM i) Với R(s) = σ > 1, ta có ζ(s) ∑ n≥1 Cn(k) ns = ∑ n≥1 1 ns ∑ n≥1 Cn(k) ns = ∑ n≥1 ∑ d|n Cd(k) ns = ∑ n≥1 δn|kn ns = k∑ n=1 δn|kn ns , (∗) do khi n > k thì vì k > 0 nên n - k, tức δn|k = 0. Suy ra ζ(s) ∑ n≥1 Cn(k) ns = ∑ d|k δ k d |k (k d )s−1 = ∑ d|k ds−1 ks−1 = σs−1(k) ks−1 . ii) Với R(s) = σ > 2, thì theo (∗) ta có ζ(s) ∑ n≥1 ϕ(n) ns = ζ(s) ∑ n≥1 Cn(0) ns = ∑ n≥1 n ns = ∑ n≥1 1 ns−1 = ζ(s− 1). Từ đó suy ra ζ(s− 1) ζ(s) = ∑ n≥1 ϕ(n) ns , R(s) = σ > 2. iii) Theo (∗) ta có ζ(s) ∑ n≥1 µ(n) ns = ζ(s) ∑ n≥1 Cn(1) ns = ∑ n≥1 δn|1n ns = 1. Từ đó suy ra 1 ζ(s) = ∑ n≥1 µ(n) ns . iv) Với R(s) = σ > 1, ta có (ζ(s))a = ∑ x1≥1 · · · ∑ xa≥1 1 (x1 . . . xa)s = ∑ n≥1 τa(n) ns . 3 KẾT LUẬN Từ các hệ thức đã được xác định trong Mệnh đề 3, ta có thể xấp xỉ giá trị trung bình của các hàm σ(n), ϕ(n), µ(n), τa(n) với các hàm sơ cấp, bằng phương pháp lấy tích phân phức. TỔNG RAMANUJAN VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC HÀM SỐ HỌC 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Nam (2006). Các hàm số số học và một số ứng dụng vào việc nghiên cứu trường chia đường tròn. Đề tài NCKH cấp trường, T.04− TN − 65. [2] Văn Nam (1999). Giáo trình Số luận. ĐHSP Huế. [3] Akhtari Shabnam (2002). On the Cyclotomic Polynomials with +1 or −1 Coefficients. B.Sc., Sharif University of Technology. [4] Motose K. (2005). Ramanujan’s Sums and Cyclotomic Polynomials ,. Math. J. Okayama Univ. [5] Hardy G. H. (1956). Theory of Number. Oxford. [6] Kostrikin A. I. (1999). Exercises in algebra. Gordon and Breach. [7] Titchmarsh E. K. (1953). Theory of the Riemann Zeta - Function. Mercury-Press. Title: RAMANUJAN’S SUMS AND THE RELATIONSHIPS AMONG ARITHMETIC FUNCTIONS Abstract: In this paper, we due to Ramanujan’s Sums to research the relationships among arithmetic functions. From these results, we can use the complex integral to approximate the mean values of the arithmetic functions by some elementary functions. ThS. VĂN NAM Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Huế