Tóm tắt lí thuyết Toán 12 - Tốt nghiệp THPT và ôn thi Đại học

B            2 2 2 A B M A B M A B M x x x y y y z z z * Công thức tính tọa độ trọng tâm tam giác: G là trọng tâm tam giác ABC               3 3 3 A B C G A B C G A B C G x x x x y y y y z z z z * Khoảng cách giữa hai điểm (công thức tính độ dài đoạn thẳng):           2 2 2B A B A B AAB x x y y z z 4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Cho        1 2 3 1 2 3; ; ; ; ;a a a a b b b b . *      1 1 2 2 3 3.a b a b a b a b *    2 2 2 2 1 2 3a a a a *     2 2 2 1 2 3a a a a  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 44 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ *           1 1 2 2 3 3. 0a b a b a b a b a b 5. Góc giữa hai vectơ:               1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . cos , . a b a b a ba b a b a b a a a b b b 6. Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng: a) Định nghĩa:              2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 , ; ; a a a a a a a b b b b b b b Chú ý:   a b ad bc c d b) Tính chất: - Nếu        ,c a b thì:        c a c b -   ,a b cùng phương         , 0a b -    , ,a b c đồng phẳng         , . 0a b c -            , . sin ,a b a b a b c) Diện tích tam giác: Cho tam giác ABC có diện tích là S. Khi đó:      1 , 2 S AB AC d) Thể tích khối hộp: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Khi đó:        , . 'V AB AD AA (đvtt) e) Thể tích khối tứ diện: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V. Khi đó:       1 , . 6 V AB AC AD  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 45 : 0987.503.911 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1. Phương trình chính tắc: Phương trình mặt cầu tâm  ; ;I a b c bán kính R:           2 2 2 2x a y b z c R 2. Phương trình tổng quát: Trong không gian Oxyz, phương trình :       2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d với    2 2 2 0a b c d là phương trình mặt cầu tâm  ; ;I a b c , bán kính    2 2 2R a b c d Chú ý: Nếu phương trình cho dưới dạng       2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d với    2 2 2 0a b c d thì mặt cầu có tâm    ; ;I a b c , bán kính    2 2 2R a b c d 3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng   : * Nếu      ,I d R : mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung * Nếu      ,I d R : mặt phẳng   tiếp xúc mặt cầu (S), khi đó   gọi là tiếp diện của mặt cầu (S). Điều kiện để mặt phẳng   tiếp xúc mặt cầu là     ;Id R * Nếu      ,I d R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo 1 đường tròn có phương trình        ptmc S ptmp (C). (C) gọi là đường tròn giao tuyến trong không gian. 4. Cách xác định tâm của đường tròn giao tuyến có phương trình        ptmc S ptmp trong không gian:  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 46 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ * Gọi H là tâm đường tròn (C). Lập phương trình IH (IH qua I và nhận   n làm VTPT) * Tọa độ H là nghiệm của hệ      pt ptmp IH 4. Cách tính bán kính đường tròn trong không gian có phương trình        ptmc S ptmp Áp dụng            2 2 2 ,I r R IH R d , với I là tâm mặt cầu. 5. Mặt cầu qua 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng (ngoại tiếp tứ diện ABCD): - Gọi phương mặt cầu (S) cần tìm có phương trình là:       2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d (1) - Do  , , ,A B C D S nên thay tọa độ của A,B,C,D vào phương trình (1) ta được hệ 4 phương trình 4 ẩn a,b,c,d. - Giải hệ tìm được a,b,c,d từ đó có được phương trình mặt cầu (S) cần tìm. 6. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng  : Do mặt cầu (S) tiếp xúc mặt phẳng  nên  ,( )R d I  với I là tâm của mặt cầu. 7. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc đường thẳng d: Do mặt cầu (S) tiếp xúc đường thẳng d nên  ( )R d I d với I là tâm của mặt cầu. 8. Viết phương trình mặt phẳng  chứa đường thẳng d và tiếp xúc mặt cầu (S): * Gọi  là mặt phẳng chứa d. Lập phương trình mặt phẳng  dưới dạng chùm mặt phẳng.  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 47 : 0987.503.911 * Do  tiếp xúc mặt cầu (S) nên      ,I R d . Từ đây chọn  và tìm  . 9. Viết phương trình mặt cầu (S) qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng  * Gọi         2 2 2: 2 2 2 0S x y z ax by cz d * Thay tọa độ điểm A, B, C vào phương trình trên và tâm  ; ;I a b c vào phương trình  rồi giải hệ tìm được a,b,c,d. 10. Viết phương trình mặt phẳng  tiếp xúc mặt cầu (S) tại H: Mặt phẳng  tiếp xúc mặt cầu (S) tại H là mặt phẳng đi qua H và có vectơ pháp tuyến là  IH (I là tâm mặt cầu) 11. Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) biết nó song song 1 2,d d : * Tìm VTCP của 1d là  1u , VTCP của 2d là  2u . Tính         1 2, , ,n u u A B C * Gọi   là mặt phẳng song song 1 2,d d nên có VTPT là         1 2, ; ;n u u A B C và có phương trình là     0Ax By Cz m * Điều kiện để   là tiếp diện của (S) là     , .Id R Từ điều kiện này tìm m và có được phương trình tiếp diện (I là tâm mặt cầu (S)) 12. Tìm tọa độ tiếp điểm H của mặt cầu (S) và mặt phẳng  : * Gọi H là tiếp điểm. Lập phương trình IH (H qua I và nhận    n làm VTPT) * Tọa độ của H là nghiệm của hệ      pt ptmp IH 13. Tìm tọa độ tiếp điểm H của mặt cầu (S) và đường thẳng d: * Gọi   là mặt phẳng qua I và vuông góc với d. Lập phương trình mặt phẳng   (   qua I và nhận  du làm VTPT)  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 48 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ * Tọa độ tiếp điểm H của mặt cầu (S) và đường thẳng d là nghiệm của hệ        ptmp ptñt d 14. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại 2 điểm A, B sao cho AB=L: Áp dụng            2 2 ,( ) 2 LR d I d 15. Viết phương trình mặt phẳng   qua M (M nằm trong mặt cầu (S)) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất: * Ta có  2 2r R IH , r nhỏ nhất  IH lớn nhất. Mặt khác IH IM , nên IH lớn nhất khi IH=IM, khi đó H M , do đó  IM . * Vậy mặt phẳng   cần tìm cính là mặt phẳng qua M và nhận  IM làm VTPT. 16. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng   : * Tìm I’ đối xứng với tâm I của mặt cầu (S) qua mặt phẳng   * Mặt cầu (S’) có tâm I’ và bán kính R’=R (R là bán kính của mặt cầu (S)). Từ đó lập được phương trình (S’). 17. Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua đường thẳng  : * Tìm I’ đối xứng với tâm I của mặt cầu (S) qua đường thẳng  . * Mặt cầu (S’) có tâm I’ và bán kính R’=R (R là bán kính của mặt cầu (S)). Từ đó lập được phương trình (S’). 18. Tìm điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ đó đến mặt phẳng   đạt GTLN (GTNN): * Tìm tâm I của mặt cầu (S). * Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc   dưới dạng tham số (d qua I và có VTCP là    n )  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 49 : 0987.503.911 * Tọa độ giao điểm của d và (S) là nghiệm của hệ        ptñt ptmc d S (tìm được M và N) * Tính           , , , M N d d . So sánh hai khoảng cách trên, số lớn là GTLN, số nhỏ là GTNN. Từ đó chọn M, N thích hợp.  PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:  n là VTPT của mặt phẳng    giá của  n vuông góc với mặt phẳng n α 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: * Mặt phẳng   đi qua  0 0 0; ;M x y z và nhận    ; ;n A B C thì phương trình mp   là:           0 0 0 0A x x B y y C z z * Mỗi phương trình dạng        2 2 20 0Ax By Cz D A B C đều là phương trình của một mặt phẳng xác định, và    ; ;n A B C là một VTPT của mặt phẳng đó. * Mặt phẳng   cắt các trục Ox,Oy,Oz theo các giao điểm      ;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c thì phương trình của mặt phẳng   là:   1x y z a b c (phương trình theo đoạn chắn. Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng: Dạng 1:  mp là mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 50 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ α M A B Phương pháp: - Tìm tọa độ trung điểm M của AB - Tìm tọa độ vectơ  AB -   là mặt phẳng qua M và có VTPT là  AB Dạng 2:  mp là mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C α n =[AB,AC] A C B Phương pháp: - Tìm:   ,AB AC - Tìm:        ,n AB AC -  mp là mặt phẳng qua A và có VTPT là  n Dạng 3:  mp là mặt phẳng qua A và chứa đường thẳng (d) ud n A B Phương pháp: - Chọn B thuộc (d) -  mp là mặt phẳng qua A và có VTPT là        , dn AB u Dạng 4:  mp qua điểm  0 0 0; ;M x y z và song song mặt phẳng      : 0Ax By Cz D n =(A;B;C) β α M Phương pháp: -    ; ;n A B C là VTPT của  mp - Do     / / nên  n cũng là VTPT của  mp -  mp là mặt phẳng qua M và có VTPT là  n  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 51 : 0987.503.911 Dạng 5:  mp qua hai điểm M, N và vuông góc mặt phẳng      : 0Ax By Cz D nβ α β M N Phương pháp: - Tìm  MN ;     ; ;n A B C là VTPT của   . - Tìm        ,n MN n . -  mp là mặt phẳng qua M và có VTPT là  n Dạng 6:  mp chứa đường thẳng (d) và vuông góc      : 0Ax By Cz D d u nR α R M Phương pháp: - Chọn  M d - Tìm  u là VTCP của (d),  u là VTCP của (d),   n là VTPT của   - Tìm        ,n u n . -  mp là mặt phẳng qua M và có VTPT là  n Dạng 7:  mp đi qua M và vuông góc hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 52 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ nQnP (α) (Q) (P) M Phương pháp: - Tìm:  Pn là VTPT của (P);  Qn là VTPT của (Q). - Tìm        ,P Qn n n . -  mp là mặt phẳng qua M và nhận  n làm VTPT. Dạng 8:  mp tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I tại điểm  M S I M Phương pháp: - Tìm tâm I của mặt cầu (S). - Tìm  IM -  mp là mặt phẳng đi qua M và có VTPT là  IM Dạng 9:  mp đi qua M và vuông góc đường thẳng (d) cho trước a (α) M Phương pháp: - Tìm  a là VTCP của đường thẳng (d). - Do  mp song song với (d) nên  a cũng là VTPT của  mp . Dạng 10:  mp qua M và song song với hai đường thẳng    1 2,d d cho trước  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 53 : 0987.503.911 a2 a1 d2 d1 (α) M Phương pháp: - Tìm:  1a là VTCP của  1d ;  2a là VTCP của  2d - Tìm        1 2,n a a -  mp là mặt phẳng qua M và có VTPT là  n Dạng 11:  mp là mặt phẳng chứa đường thẳng  1d và song song đường thẳng  2d a2 a1 d2 d1 (α) M Phương pháp: - Chọn điểm M thuộc  1d -   là mặt phẳng qua M và có VTPT là        1 2,n a a Dạng 12:  mp chứa hai đường thẳng cắt nhau    1 2,d d a2 a1 d2 d1 (α) M Phương pháp: - Chọn điểm M thuộc  1d hoặc  2d . - VTPT của   là        1 2,n a a Dạng 13:  mp chứa hai đường thẳng    1 2/ /d d u1 d2d1 A B Phương pháp: - Chọn   1A d ,   2B d -  mp là mặt phẳng qua 3 điểm A và có VTPT là        1,n AB u  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 54 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ Dạng 14:  mp chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), đồng thời vuông góc mặt phẳng (R) nR α R M N Phương pháp: - Chọn M,N thuộc    P Q (bằng cách cho x=0, x=1,và thay vào hệ        ptmp P ptmp Q tìm y,z) -  mp là mặt phẳng qua M,N và vuông góc (R) (dạng 4) Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng   qua  0 0 0; ;M x y z , song song d và vuông góc mặt phẳng   : Khi đó mặt phẳng   :             0 0 0 ; ; ,d qua M x y z VTPT n u n Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: cắt Ox tại  ;0;0A a , cắt Oy tại  0; ;0B b , cắt Oz tại  0;0;C c : Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là   1x y z a b c  PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ  a gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng (d)  giá của  a song song hoặc trùng (d). 2. Các dạng phương trình đường thẳng: Cho điểm  0 0 0; ;M x y z và vectơ    ; ;u a b c  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 55 : 0987.503.911 * Đường thẳng (d) qua M và nhận  u làm VTCP có phương trình tham số là              0 0 0 x x at y y bt t z z ct * Đường thẳng (d) qua M và nhận  u làm VTCP có phương trình chính tắc là      0 0 0 , , 0x x y y z z a b c a b c 3. Các dạng toán viết phương trình đường thẳng: Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) qua 2 điểm AB Phương pháp: - Tìm  AB - (d) là đường thẳng qua A và có VTCP là  AB Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và song song đường thẳng   Phương pháp: - Tìm vectơ  u là VTCP của   - (d) là đường thẳng qua A và có VTCP là  u . Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc mặt phẳng   Phương pháp: - Tìm  n là VTPT của mặt phẳng   . - (d) là đường thẳng qua A và có VTCP là  n Dạng 4:Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) Phương pháp: - Tìm  Pn là VTPT của mp(P),  Qn là VTPT của mp(Q). - Tìm        ,P Qu n n - Chọn điểm M thuộc giao tuyến bằng cách cho 1 ẩn bằng 0 thay vào pt (P) và mp(Q) giải hệ tìm được 2 ẩn còn lại.  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 56 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ - (d) là đường thẳng qua M và nhận  u làm VTCP Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và song song 2 mặt phẳng (P) và (Q) (hoặc song song với giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)) Phương pháp: - Tìm  Pn là VTPT của mp(P),  Qn là VTPT của mp(Q) - Tìm        ,P Qu n n - (d) là đường thẳng qua A và có VTCP là  u Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu của đường thẳng   lên mặt phẳng (P) Phương pháp: - Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc mặt phẳng (P) (xem dạng 5 của phương trình mặt phẳng) - Chọn     N P Q bằng cách cho 1 ẩn bằng 0, thay vào pt (P) và pt (Q), giải hệ tìm được 2 ẩn còn lại. - Tìm        ,P Qu n n - (d) là đường thẳng qua N và có VTCP là  u Dạng 7:Viết phương trình đường thẳng (d) là đường cao kẻ từ A của tam giác ABC Phương pháp: - Tìm          , , ,AC BC n AC BC - Tìm        ,u n BC - (d) là đường thẳng qua A và có VTCP là  u Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng (d) là đường trung trực của cạnh BC của tam giác ABC Phương pháp: - Tìm          , , ,AC BC n AC BC  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 57 : 0987.503.911 - Tìm        ,u n BC - Tìm M là trung điểm của BC - (d) là đường thẳng qua M và có VTCP là  u Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng (d) là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau    1 2,d d Phương pháp: - Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  2d và song song  1d (dạng 11 phương trình mặt phẳng) -Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa  1d và vuông góc mặt phẳng (P) (dạng 6 phương trình mặt phẳng) - Tìm giao điểm M của đường thẳng  2d và mặt phẳng (Q). - (d) là đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) (dạng 3 phương trình đường thẳng) Cách khác: - Chuyển phương trình 1 2,d d dưới dạng tham số. - Gọi  1M d dưới dạng chứa tham số 1t và  2N d dưới dạng chứa tham số 2t . Tính vectơ  MN . - Do        1 2 MN u MN u . Từ đây tìm được 1 2,t t và có M,N - Đường vuông góc chung qua M và nhận  MN làm VTCP. Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước: d2 d1 d M N A C1: * Chuyển d1,d2 về phương trình tham số * Gọi  1 2,M d N d (tọa độ M,N chứa 1 2,t t ). Tính   ,AM AN . * Do  AM cùng phương  AN nên từ đk cùng phương tìm được 1 2,t t và có được M,N.  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 58 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ * Đường thẳng cần tìm qua A và có VTCP  AM Cách khác: * Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa  1d (xem dạng 3 của phương trình mặt phẳng) * Tìm giao điểm M của mặt phẳng (P) và  2d *  d là đường thẳng qua 2 điểm A,M (dạng 1) Dạng 11: Viết phương trình đường hẳng (d) qua A, vuông góc và cắt đường thẳng  : u A M * Tìm VTCP của  là   u * Gọi M (tọa độ M chứa tham số t). Tính  AM *    AM u . Từ đây tìm t và có M. Đường thẳng cần tìm qua M và nhận  AM làm VTCP α HA Cách khác: * Gọi   là mặt phẳng qua A và vuông góc  . Lập phương trình mặt phẳng   (qua A và nhận u  làm VTPT) * Tọa độ giao điểm H của mặt phẳng   và  là nghiệm của hệ        ptmp pt . .* Đường thẳng cần tìm qua A và nhận  AH làm VTCP.  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 59 : 0987.503.911 Dạng 12: Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng   và cắt 2 đường thẳng d1,d2: d2d1 α A B * Tìm giao điểm A của 1d và mp   : Giải hệ:        1pt d ptmp * Tìm giao điểm B của 2d và mp   : Giải hệ:        2pt d ptmp * Đường thẳng d chính là đường thẳng qua A và nhận  AB làm VVTCP. Dạng 13: Viết phương trình đường thẳng (d) song song  và cắt 2 đường thẳng 1 2,d d : u d d2 d1 M N * Chuyển phương trình 1 2,d d dưới dạng tham số chứa 1 2,t t . * Gọi  1 2,M d N d (tọa độ M, N chứa 1 2,t t ). Tính  MN *  MN cùng phương   u , từ đây tìm 1 2,t t và có M,N. * Đường thẳng cần tìm qua M và nhận   u làm VTCP Dạng 14: Viết phương trình đường thẳng (d) qua giao điểm của   và  , nằm trong   và vuông góc  : * Tìm giao điểm A của   và  : giải  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 60 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ [nα,u ] nα dα A hệ        ptmp ptdt * Dường thẳng d qua A và có VTCP là          ,u n u Dạng 15: Viết phương trình đường thẳng d qua M vuông góc d1 và cắt d2: d ud1d1 d2 M N * Chuyển phương trình d2 về dạng tham số. Gọi N thuộc d2 (tọa độ N chứa tham số t). Tính vectơ  MN * Do    1d MN u , từ phương trình này ta tìm được tham số t, từ đó tìm được N. Đường thẳng d qua M và có VTCP là  MN Dạng 16: Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc mặt phẳng   và cắt 2 đường thẳng d1, d2: d d2 d1 α M N * Chuyển phương trình d1, d2 về dạng tham số. * Gọi M thuộc d1 dưới dạng chứa tham số t1, N thuộc d2 dưới dạng chứa tham số t2. Tính vectơ  MN . * Do  MN cùng phương   n , từ đó tìm được tham số 1 2,t t ta tìm được M,N * Đường thẳng cần tìm qua M và nhận  MN làm VTCP Dạng 17: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc hai đường thẳng 1 2,d d : Khi đó (d) là đường thẳng qua M và có VTCP là        1 2 ,d du u u Dạng 18: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M song song mặt phẳng   và vuông góc đường thẳng   :  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 61 : 0987.503.911 u nα d α M * Đường thẳng (d):            , Qua M VTCP u n u Dạng 19: Viết phương trình đường thẳng (d) qua M song song mặt phẳng   và cắt đường thẳng  : nα d α N M * Chuyển phương trình  thành phương trình tham số. * Gọi N thuộc  (tọa độ N chứa tham số t). Tính  MN * Do    MN u nên từ đây tìm được t, từ đó có N. * Đường thẳng d cần tìm qua M và nhận vectơ  MN làm VTCP  VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 1. CM   cắt   : Ta chứng minh : : ' : ' : 'A B C A B C 2. CM      : Ta chứng minh    ' ' ' ' A B C D A B C D 3. CM   //   : Ta chứng minh    ' ' ' ' A B C D A B C D 4. CM , 'd d đồng phẳng: Ta chứng minh         , ' . ' 0u u MM với  , ' 'M d M d 5. CM , 'd d cắt nhau:         , ' . ' 0u u MM và : : ' : ' : 'a b c a b c 6. CM d // d’: Ta chứng minh          0 0 0 0 0 0: : ' : ' : ' ' : ' : 'a b c a b c x x y y z z 7. CM d d’: Ta chứng minh  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 62 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ          0 0 0 0 0 0: : ' : ' : ' ' : ' : 'a b c a b c x x y y z z 8. CM d và d’ chéo nhau: ta chứng minh         , ' . ' 0u u MM với  , ' 'M d M d 9. CM d cắt   : Ta chứng minh:    0aA bB cC 10. CM d//   : Ta chứng minh           0 0 0aA bB cC M d M 11. CM d    : Ta chứng minh           0 0 0aA bB cC M d M Chú ý: * CM      ' ta chứng minh   ' ' ' 0AA BB CC * CM  'd d ta chứng minh    . ' 0u u * CM  d ta chứng minh : : : :a b c A B C . * Chứng minh    ; ; , ; ;A A A B B CA x y z B x y z nằm về 2 phía đối với      : 0Ax By Cz D , ta chứng minh:          0A A A B B BAx By Cz D Ax By Cz D  KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 1. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng      : 0P Ax By Cz D           , 2 2 2 . . .M M M M P A x B y C z D d A b C 2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P)//(Q):                , , ,P Q A Qd d A P 3. Khoảng cách giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P), với (d)//(P):                , , ,d P A Pd d A d  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 63 : 0987.503.911 4. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d): (không có công thức tính trong chương trình chuẩn, nhưng có thể tính theo các bước sau đây) * Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc đường thẳng (d). * Tìm giao điểm H của (d) và (P) * Khi đó      ,A d d AH 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song  1d //  2d :                1 2 2 1; , ,d d A dd d A d 6. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau    1 2,d d : * Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  2d và song song  1d . * Tìm M thuộc  1d . * Khi đó              1 2, ,d d M P d d 7. Góc giữa hai mp (P): 1 1 1 1A x B y C z D 0    và mp(Q): 2 2 2 2 A x B y C z D 0    thì      n .1 2 os = .1 2 n c n n =         1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2.1 1 1 2 2 2 A B B C C A B C A B C Với   ( ( ), ( )( )mp Q mp P 8. Góc giữa đường thẳng (d):            0 0 0 x x at y y bt z z ct và mặt phẳng (P): Ax By Cz D 0    là n .Psin = . d d u n uP      = a        2 2 2 2 2 2. bB cC A B C b ca với   (( ), ( ))D mp P  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 64 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ 9. Góc giữa hai đường thẳng (D1) :            1 1 1 0 0 0 x x a t y y b t z z c t và (D2):            / / 0 2 / / 0 2 / / 0 2 x x a t y y b t z z c t thì      .1 2 os = .1 2 u u u u c =       1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 a a b b c c a b c a b c với   1 2(( ), ( ))D D  TÌM MỘT SỐ ĐIỂM ĐẶC BIỆT 1. Tìm giao điểm M của đường thẳng (d):          0 0 0 x x at y y bt z z ct và mặt phẳng (P):     0Ax By Cz D Phương pháp: -  M d nên    0 0 0; ;M x at y bt z ct (1) -  M P nên tọa độ M phải thỏa mãn phương trình của (P). Thay tọa độ của M vào phương trình (P) giải tìm được t. - Thay t vừa tìm vào (1) ta tìm được tọa độ của M. 2. Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên mặt phẳng (P): (P) M H Phương pháp: - Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc với mặt phẳng (P). - Tìm giao điểm H của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P). - H chính là hình chiếu cần tìm. 3. Tìm M’ đối xứng điểm M qua mặt phẳng (P):  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 65 : 0987.503.911 (P) M' M H Phương pháp: - Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên mặt phẳng (P) - M’ đối xứng với M qua mp(P)  H là trung điểm của MM’. - Áp dụng công thức trung điểm ta tìm được tọa độ M’ 4. Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên đường thẳng (d): d (P) M H Phương pháp: - Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc đường thẳng (d). - Tìm giao điểm H của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P). - H là hình chiếu cần tìm Cách khác: - Chuyển phương trình của (d) về dạng tham số, suy ra VTCP  u . - H thuộc (d) nên tọa độ H chứa t. Tính  MH . - Do    MH u nên từ đây tìm được t và có H. 5. Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng (d) d (P) M' M H Phương pháp: - Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên đường thẳng (d). - M’ đối xứng m qua (d)  H là trung điểm MM’. - Áp dụng công thức trung điểm ta tìm được tọa độ điểm M.  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 66 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ 6. Tìm chân đường cao H kẻ từ A của tứ diện ABCD A B C D Phương pháp: - Gọi  ; ;H x y z - Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:               . 0 . 0 , . 0 AH BC AH BD BC BD BH  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 67 : 0987.503.911 MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN ÔN LẠI TAM THỨC BẬC HAI, PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 I. Tam thức bậc hai: 1. ĐN: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng:  2ax bx c , trong đó x là biến số; a, b, c là các số thực  0a . Chú ý: + Ta thường đặt     2f x ax bx c . + Nếu  0b thì ta có tam thức bậc hai dạng    2f x ax c + Nếu  0c thì ta có tam thức bậc hai dạng    2f x ax bx 2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai       2 0f x ax bx c a . Gọi   2 4b ac . Khi đó: - Nếu   0 thì   . 0a f x ,  x R (tức là  f x cùng dấu với a). - Nếu   0 thì     . 0,a f x x R (tức là  f x cùng dấu với a với mọi  2 bx a ,     0 2 bf x x a ) - Nếu   0 thì  f x có hai ngiệm phân biệt  1 2 1 2,x x x x và: +           1 2. 0, ; ;a f x x x x +       1 2. 0, ;a f x x x x . Bảng xét dấu: a>0 x  1x 2x  f(x) + 0 - 0 + a<0 x  1x 2x  f(x) - 0 + 0 - II. Phương trình bậc hai:  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 68 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ 1. ĐN: Phương trình bậc hai là mệnh đề chứa biến có dạng     2 0 0ax bx c a . Trong đó x là ẩn số; a,b,c là các số thực đã biết. 2. Cách giải: Gọi   2 4b ac . Khi đó: - Nếu   0 : phương trình vô nghiệm. - Nếu   0 : phương trình có nghiệp kép  1 2 2 bx x a - Nếu   0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt        1 2,2 2 b bx x a a . * Chú ý: - Nếu hệ số b của phương trình là số chẵn, ta có công thức nghiệm thu gọn như sau: Gọi    2' 'b ac (trong đó ' 2 bb ). Khi đó: + Nếu  ' 0 : phương trình vô nghiệm. + Nếu  ' 0 : phương trình có nghiệp kép  1 2 'bx x a + Nếu   0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt        1 2 ' ' ' ',b bx x a a . - Nếu hai hệ số a và c có dấu trái ngược nhau thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt. - Nếu hệ số b=0, phương trình có dạng:  2 0ax c   2 cx a + Nếu a, c trái dấu nhau thì phương trình có hai nghiệm là   1,2 cx a + Nếu a, c cùng dấu nhau thì phương trình vô nghiệm. - Nếu hệ số c=0, phương trình có dạng               1 2 2 0 0 0 x ax bx x ax b bx a  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 69 : 0987.503.911 3. Định lí Viét: - Nếu phương trình bậc hai   2 0ax bx c có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thì tổng và tích của hai nghiệm đó là:           1 2 1 2 bS x x a cP x x a - Hai số thực có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số thực đó là nghiệm của phương trình   2 0x Sx P . * Chú ý: - Nếu tam thức bậc hai     2f x ax bx c có hai nghiệm 1 2,x x thì có thể viết lại thành       1 2f x a x x x x . - Nếu phương trình bậc hai   2 0ax bx c có hệ số a,b,c thỏa    0a b c thì phương trình có hai nghiệm là:  1 21, cx x a - Nếu phương trình bậc hai   2 0ax bx c có hệ số a,b,c thỏa    0a b c thì phương trình có hai nghiệm là:    1 21, cx x a 4. Xác định dấu các nghiệm số của phương trình bậc 2:   2 0ax bx c : - Phương trình có hai nghiệm trái dấu   0ac - Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu      0 0c a - Phương trình có hai nghiệm cùng dương           0 0 0 b a c a  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 70 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ - Phương trình có hai nghiệm cùng âm           0 0 0 b a c a 5. Một số biểu thức đối xứng đối với các nghiệm của phương trình bậc 2: III. Bất phương trình bậc hai: 1. Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai là mệnh đề chứa biến thuộc 1 trong 4 dạng sau:            2 2 2 20; 0; 0; 0ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c , trong đó x là ẩn số; a,b,c là các số thực đã biết. 2. Cách giải: - Xét dấu tam thức bậc hai ở vế trái (dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để lập bảng xét dấu). - Dựa vào bảng xét dấu để chọn các khoảng chứa x mà làm cho vế trái thỏa mãn dấu của bất phương trình (nếu bất phương trình cho >0 thì lấy phần dấu “+”, <0 thì lấy phần dấu “ – ”, còn nếu có dấu “=” thì lấy luôn nghiệm của tam thức). * Chú ý: Nguyên tắc chung để giải các bất phương trình là: - Chuyển tất cả về bên trái của dấu bất đẳng thức, còn vế phải phải là số 0. Nếu có ẩn số ở mẫu số thì khi quy đồng không được bỏ mẫu. - Phải xét dấu biểu thức ở vế trái. - Dựa vào bảng xét dấu để chọn tập nghiệm cho phù hợp với chiều bất phương trình. *       22 2 21 2 1 2 1 2 2x x x x x x S P *          33 3 31 2 1 2 1 2 1 23 3x x x x x x x x S PS *    2 2 1 2 1 2 1 1 x x S x x x x P *      2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2x x S P x x x x P  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 71 : 0987.503.911 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT Cung 0  6  4  3  2 2 3 3 4  3 2 2 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0  1 2  2 2 –1 0 1 tan 0 3 3 1 3   3 –1 0  0 cot  3 1 3 3 0  3 3 –1  0  II. GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC: 1. Công thức quy đổi độ – Rađian:    180 a (a tính bằng độ,  tính bằng rad) 2. Số đo góc và cung lượng giác theo độ và radian. sđ(ox, ot) = a0 + k3600 hoặc sđ(ox, ot) =  + k2 , k  Z. (với 00  a < 3600 , 00   < 2) sđ AB = a0 + k3600 hoặc sđ AB =  + k2 , k  Z. (với 00  a < 3600 , 00   < 2) 3. Công thức tính độ dài cung: l= .R ( tính bằng rad) III. NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1: 1. Hằng đẳng thức lượng giác:  sin2x + cos2x = 1       2 2 2 2 sin 1 cos cos 1 sin x x x x           2 2 sin 1 cos cos 1 sin x x x x  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 72 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ  1+tan2x = 2 1 cos x  cos2x =  2 1 1 tan x  cosx =   2 1 1 tan x  1+cot2x = 2 1 sin x  sin2x =  2 1 1 cot x  sinx =   2 1 1 cot x  tanx.cotx = 1  tanx = sin 1 cos cot x x x  cotx = cos 1 sin tan x x x  Chú ý: Trong các công thức có chứa dấu () , việc chọn dấu (+) hoặc dấu (–) cần nhận xét giá trị của cung x trên đường tròn lượng giác.   4 4 21sin cos 1 sin 2 2 x x x   6 6 23sin cos 1 sin 2 4 x x x 2. Cung liên kết: –x (đối)  – x (bù)  2 – x (phụ)  + x (lệch pi)  2 + x (lệch pi/2) sin –sinx sinx cosx –sinx cosx cos cosx –cosx sinx –cosx –sinx tan –tanx –tanx cotx tanx –cotx cot –cotx –cotx tanx cotx –tanx Cos đối, sin bù, phụ chéo, lệch pi tan, côtan 3. Chú ý: a + b =   1800 cosb = –cosa sinb = sina a + b =  2  900 cosb = sina sinb = cosa ABC   sin B C sinA    cos B C cosA   tan B C –tanA  sin cos 2 2 B C A  cos sin 2 2 B C A  tan cot 2 2 B C A sin(x + k2) = sinx cos(x + k2) = cosx tan(x + k) = tanx cot(x + k) = cotx  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 73 : 0987.503.911 IV. NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2: 1. Công thức cộng: sin(a  b) = sina.cosb  sinb.cosa cos(a  b) = cosa.cosb  sina.sinb tan(a  b) =   tan tan 1 tan .tan a b a b sin tổng bằng tổng sin.cos cos tổng bằng hiệu đôi cô đôi chàng tan tổng bằng tổng hai tan 1 trừ tan tích mẫu mang thương sầu 2. Công thức nhân: cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a =   2 2 1 tan 1 tan a a sin2a = 2sina.cosa =  2 2 tan 1 tan a a ; tan2a =  2 2tan 1 tan a a 3. Công thức hạ bậc: 2 1 cos2sin 2 aa ; 2 1 cos2cos 2 aa ;   2 1 cos2tan 1 cos2 aa a Chú ý:    2 21 cos 2sin ; 1 cos 2cos 2 2 x xx x 4. Công thức tính theo t :  tan 2 at   2 2sin 1 ta t ;   2 2 1cos 1 ta t ;   2 2tan 1 ta t 5. Công thức biến đổi tích thành tổng: 2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b) 2sina.sinb = –[cos(a + b) – cos(a – b)] 2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b) 6. Công thức biến đổi tổng thành tích:    cos cos 2cos cos 2 2 a b a ba b     cos cos 2sin sin 2 2 a b a ba b    sin sin 2sin cos 2 2 a b a ba b  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 74 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ    sin sin 2cos sin 2 2 a b a ba b tana + tanb = sin( ) cos .cos a b a b tana – tanb = sin( ) cos .cos a b a b Sin cộng sin bằng 2 sin.cos Sin trừ sin bằng 2 cos.sin Cos cộng cos bằng 2 cos.cos Cos trừ cos bằng trừ 2 sin.sin Tình anh cộng với tình em Bằng sin hai đứa, (chia) cos ta cos mình Hệ quả: cosx + sinx =    2 sin( ) 2 cos( ) 4 4 x x cosx – sinx =    2 sin( ) 2 cos( ) 4 4 x x V. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN             2 sin sin 2 u v k u v u v k     cos cos 2u v u v k    tan tanu v u v k    cot cotu v u v k Chú ý: - Khi gặp phương trình dạng sinu=cosv, tanu=cotv thì áp dụng công thức cung phụ để đưa về dạng cơ bản. - Khi gặp phương trình dạng sinu=-sinv, tanu=-tanv, cotu=-cotv thì áp dụng công thức cung đối, cosu=-cosv thì áp dụng công thức cung bù để đưa về dạng cơ bản. VI. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT                 sin 0 ; sin 1 2 ; sin 1 2 2 2 u u k u u k u u k                cos 0 ; cos 1 2 ; cos 1 2 2 u u k u u k u u k  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 75 : 0987.503.911                 tan 0 ; tan 1 ; tan 1 4 4 u x k u u k u u k VII VII. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢC GIÁC: 1. Phương trình lượng giác cơ bản: a) Phương trình sin x m * Điều kiện có nghiệm: 1m  * Tìm góc a sao cho sin a m (sử dụng MTCT: 1sina m ). Ta được: sin sinx a và áp dụng công thức:   2 sin sin 2 u v k u v u v k k               Hay 0 0 0 360 180 360 u v k u v k        nếu trong phương trình có cho độ. * Trường hợp đặc biệt: sin 0u u k   sin 1 2 2 u u k     sin 1 2 2 u u k       * Nếu không phải là giá trị đặc biệt thì có thể sử dụng công thức: arcsin 2 sin arcsin 2 u m k u m u m k             arcsin 2 2 m          *  sin sin ; cos sin ; cos sin 2 2 u u u u u u                     b) Phương trình cos x m * Điều kiện có nghiệm: 1m  * Tìm góc a sao cho cosa m (sử dụng MTCT: 1cosa m ). Ta được: cos cosx a và áp dụng công thức:   2 cos cos 2 u v k u v u v k k              Hay 0 0 360 360 u v k u v k        nếu trong phương trình có cho độ.  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 76 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ * Trường hợp đặc biệt: cos 0 2 u u k     cos 1 2u u k    cos 1 2u u k      * Nếu không phải là giá trị đặc biệt thì có thể sử dụng công thức: arccos 2 cos arccos 2 u m k u m u m k            arcsin 2 2 m          *  cos cos ; sin cos ; sin cos 2 2 u u u u u u                       c) Phương trình tan 2 x m x k           * Tìm góc a sao cho tana m (sử dụng MTCT: 1tana m ) Ta được: tan tanx a và áp dụng công thức tan tanu v u v k    Hay 0180u v k  nếu trong phương trình có độ. * Đặc biệt: tan 0 tan 1 4 u u k u u k               * Nếu m không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng công thức: tan arctan arctan 2 2 u m u m k m                *  tan tan ; cot tan ; cot tan 2 2 u u u u u u                     d) Phương trình  cot x m x k  * Tìm góc a sao cho cot a m (sử dụng MTCT: 1 1 tana m        ) Ta được: cot cotx a và áp dụng công thức cot cotu v u v k    Hay 0180u v k  nếu trong phương trình có độ. * Đặc biệt:  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 77 : 0987.503.911 cot 0 2 tan 1 4 u u k u u k                 * Nếu m không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng công thức:  cot arccot 0 arccotu m u m k m       *  cot cot ; tan cot ; tan cot 2 2 u u u u u u                     2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: Dạng Đặt Điều kiện 2 sin 0asin x b x c   t = sinx 1 1t   2cos cos 0a x b x c   t = cosx 1 1t   2tan tan 0a x b x c   t = tanx ( ) 2 x k k Z    2cot cot 0a x b x c   t = cotx ( )x k k Z  Giải lấy nghiệm t thích hợp sau đó áp dụng phương trình cơ bản. Chú ý: 2 2cos2 2cos 1 1 2sinx x x    2 2sin 1 cosx x  2 2cos 1 sinx x  3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a) Dạng phương trình: sin cosa x b x c  b) Điều kiện có nghiệm: 2 2 2a b c  c) Phương pháp giải: Chia hai về của phương trình cho 2 2a b Ta được phương trình: 2 2 2 2 2 2 sin cosa b cx x a b a b a b      Đặt 2 2 2 2 cos sina b a b a b       . Ta được phương trình:  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 78 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ   2 2 2 2 sin cos sin cos sinc cx x x a b a b          (*) (*) là phương trình dạng cơ bản. 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx a) Dạng:  . . . .   2 2a sin x b sinx cosx c cos x d 1   b) Phương pháp giải: * Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không? Lưu ý: cosx = 0 2sin 1 sin 1. 2 x k x x        * Khi cos 0x  , chia hai vế phương trình (1) cho 2cos 0x  ta được: 2 2.tan .tan (1 tan )a x b x c d x    * Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: 2( ) . 0a d t b t c d     5. Phương trình đối xứng, phản đối xứng: a) Dạng: .( ) . .a sinx cosx b sinx cosx c 0    b) Phương pháp giải: * Đặt: cos sin 2.cos ; 2. 4 t x x x t           2 211 2sin .cos sin .cos ( 1). 2 t x x x x t       * Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa 2.t  Suy ra x. Chú ý: * cos sin 2 cos 2 sin 4 4 x x x x                  * cos sin 2 cos 2 sin 4 4 x x x x                   6. Phương trình lượng giác khác: Để giải một phương trình lượng giác chưa phải là các dạng quen thuộc ta cần sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa phương trình về dạng quen  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 79 : 0987.503.911 thuộc, có thể phân tích phương trình đã cho về dạng phương trình tích hoặc áp dụng tính chất bất đẳng thức để đưa về hệ phương trình để giải. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng: * Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng phương trình cơ bản đã biết (đưa về cùng một cung hoặc cùng một hàm số lượng giác,...). * Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích: 0 . 0 0 A A B B       * Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn số phụ (đối xứng, đặt tan 2 xt  ,) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1. Định lí cô sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC a, CA b, AB c   , ta có: Hệ quả: 2 2 2 cos 2 b c aA bc    ; 2 2 2 cos 2 a c bB ac    ; 2 2 2 cos 2 a b cC ab    @ Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác. Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c. Gọi , ,a b cm m m lần lượt là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Ta có:    2 2 2 2 . .cosa b c b c A    2 2 2 2 . .cosb a c a c B    2 2 2 2 . .cosc a b a b C  2 2 2 2 2( ) 4a b c am    2 2 2 2 2( ) 4b a c bm    2 2 2 2 2( ) 4c a b cm    ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 80 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ 2. Định lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC=a, CA=b, AB=c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: 2 sin sin sin a b c R A B C    3. Công thức tính diện tích tam giác: * 1 1 1. . . 2 2 2a b c S a h b h c h   * 1 1 1sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ca B   * 4 abcS R  * S pr * ( )( )( )S p p a p b p c    (Hê – rông) với 2 a b cp   4. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông MHB A C * Các hệ thức lượng giác:  sin cos ACB C BC    cos sin ABB C BC    tan cot ACB C AB    cot tan ABB C AC   * Các hệ thức về cạnh, đường cao, hình chiếu: 2 2 2AB AC BC  (Pi ta go) . . 2. ABCAB AC BC AH S  2 2 2 1 1 1 AB AC AH   2 .AB BH BC 2 .AC CH BC 2 .AH HB HC MA MB MC   LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 81 : 0987.503.911 ĐẠO HÀM 1. Bảng các đạo hàm: Hàm số ( )y f x Hàm số hợp ( ), ( )y f u u g x  ( )' 0C  C: hằng số / / /.x u xy y u /( ) 1x   / 1 2 x x   / ' 2 uu u  / 2 1 1 x x        / 2 1 'u u u         / 1.x x    / 1. . 'u u u    /sin cosx x  /sin '.cosu u u  /cos sinx x   /cos '.sinu u u   / 22 1tan 1 tan cos x x x     / 2 'tan cos uu u   / 2 1cot sin x x    / 2 'cot sin uu u   2. Các qui tắc tính đạo hàm: Cho các hàm số u, v, w lần lượt có đạo hàm / / /, ,u v w . Ta có: a)  / / / /u v w u v w     b)  / / /.u v u v uv  Hệ quả:  / /. .C u C u (C: hằng số) c) / / / 2 u u v uv v v        d) ( )u u x có đạo hàm theo x là /xu , ( )y f u có đạo hàm theo u là / uy thì hàm số [ ( )]y f u x có đạo hàm theo x là / / /.x u xy y u  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 82 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ 3. Đạo hàm cấp cao: * Đạo hàm của /y gọi là đạo hàm cấp 2, kí hiệu / /y * Đạo hàm của / /y gọi là đạo hàm cấp 3, kí hiệu / / /y * Đạo hàm của đạo hàm cấp  1n  gọi là đạo hàm cấp n, kí hiệu ( )ny 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: - Đạo hàm của hàm số  y f x tại điểm 0x là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm  0 0 0;M x y . - Nếu hàm số  y f x có đạo hàm tại điểm 0x thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm  0 0 0;M x y có phương trình là:     0 0 0'y y f x x x 5. Một số công thức khác: *  2 'ax b ad bcy y cx d cx d        *   2 2 2 2 ' b c amx anx m nax bx c y y mx n mx n          *              2 2 2 22 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' a b a c b c x x a b a c b cax bx cy y a x b x c a x b x c  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 83 : 0987.503.911 PHỤ LỤC Một số gợi ý cụ thể về cách học môn toán để chuẩn bị cho các kỳ thi TNPT và tuyển sinh vào các trường ĐH - Sau khi nghe giảng trên lớp cần đọc lại ngay và thực hiện các bài tập đơn giản để hiểu bài và ghi nhớ các công thức, tính chất cần thiết. Không phải chỉ đọc hiểu mà phải chủ động làm các bài tập áp dụng tới khi thành thục. Lần học thứ hai là làm các bài tập khó hơn, hãy cố gắng suy nghĩ để tìm ra cách giải và chỉ nên đọc các hướng dẫn khi đã làm hết cách nhưng không tự giải được. Lần học thứ ba là để hệ thống lại bài và làm bổ sung các bài tập mà trước đó ta chưa giải được. - Sau khi học xong một chương (gồm nhiều bài), nên thu xếp thời giờ để làm các bài tập mang tính tổng hợp kiến thức của toàn chương. Đây là cơ hội tốt để tập luyện cách huy động kiến thức liên quan cần thiết để giải các bài tập tương tự như các câu hỏi trong đề thi sau này, đồng thời cũng là dịp phát hiện những thiếu sót trong kiến thức cùng những sai lầm mà ta hay mắc phải. Việc giải ngay bài tập của từng bài với luyện giải các đề toán tổng hợp có những khác biệt rất lớn nên các em cần phải tập luyện để tích lũy kinh nghiệm. - Cần đọc trước bài sẽ nghe giảng trên lớp. Việc làm này rất cần thiết vì nhờ đó ta đã biết một số khái niệm, một số định nghĩa đồng thời biết được phần nào khó trong bài để tập trung chú ý, nhờ đó dễ dàng nắm vững nội dung bài giảng ngay tại lớp. - Thi ĐH môn toán ngoài nội dung chủ yếu trong chương trình lớp 12 còn có các câu hỏi liên quan đến các vấn đề đã học trong chương trình lớp 10, lớp 11 như bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và các bài toán về lượng giác. Do đó thí sinh cần có kế hoạch ôn tập một cách hệ thống các kiến thức nêu trên. Theo tôi, cách học hợp lý vào các ngày cận thi là giảm cường độ, chủ yếu là đọc lại, xem lại và hệ thống các nội dung đã được học. Cần chú ý vào các sai lầm mà mình hay mắc phải, cần xem kỹ các công thức mà ta nhớ không  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 4eyes1999@gmail.com 84 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ chắc chắn. Cần đảm bảo có sức khoẻ tốt nhất trước khi dự thi. Cần tập thức dậy sớm vào buổi sáng (tự thức dậy sẽ sảng khoái và có trạng thái tâm lý tốt hơn bị gọi dậy). Khi nhận được đề thi cần đọc thật kỹ để phân định đâu là các câu hỏi quen thuộc và dễ thực hiện (ưu tiên giải trước), còn các câu hỏi khó sẽ giải quyết sau. Thứ tự các câu hỏi được giải là theo khả năng giải quyết của thí sinh, không nên bị lệ thuộc vào thứ tự trong đề bài. Có thể đánh giá một câu hỏi nào đó là dễ và làm vào giấy thi nhưng khi làm mới thấy khó thì nên dứt khoát chuyển qua câu khác giải được dễ dàng, sau đó còn thời gian thì quay lại giải tiếp câu khó ấy. Trong khi thi không nên làm quá vội vã câu dễ (để rồi có sai sót đáng tiếc) và đừng sớm chịu thua câu khó. Hãy tận dụng thời gian thi dò lại các câu đã làm một cách cẩn thận và tập trung cao độ để tìm ra cách giải các câu khó còn lại. (TS Nguyễn Cam, khoa Toán - Tin ĐH Sư phạm TP.HCM) Để làm bài thi ĐH đạt điểm cao Thực hiện nguyên lý “3 Đ” Nguyên lý này được cô đọng và theo thứ tự: "Đúng - Đủ - Đẹp". Đúng chiến lược làm bài: Thực hiện theo chiến thuật: "Hết nạc vạc đến xương", tức là câu quen thuộc hoặc dễ làm trước, câu khó làm sau. Nếu câu khó thì bỏ qua, không làm ra hoặc làm sai thì nguy cơ trượt ĐH không lớn (bạn chỉ thua rất ít người làm được câu khó), nhưng nếu câu dễ mà không giải được, làm sai, làm không đến nơi đến chốn thì bạn rất dễ trượt (vì bạn sẽ thua hàng vạn người làm được câu dễ). Đúng đáp số: Nếu bài làm có đáp số đúng, bố cục ổn thì giáo viên chấm lần 1 có thể cho điểm tối đa và đánh ký hiệu để dễ thống nhất điểm với giáo viên chấm lần 2. Nếu đáp số sai thì thường giáo viên sẽ tìm điểm sai gần nhất để chấm cho nhanh. Vì vậy đúng đáp số là rất quan trọng, thậm chí có nhiều người lập luận chưa chính xác nhưng vẫn được điểm tối đa. Đúng chương trình SGK: Làm đúng đáp số nhưng bạn phải dùng kiến thức đã học trong chương trình SGK. Đúng thời gian: Có nhiều TS không biết phân bố thời gian, trình bày quá cẩn thận dẫn đến có câu đã giải xong trên giấy nháp nhưng hết thời gian để viết vào bài thi. Cũng có nhiều TS làm bài nhanh nhưng không xem lại bài kỹ nên bị mất điểm đáng tiếc.  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 GV: NGUYỄN THANH NHÀN 85 : 0987.503.911 Đủ các câu hỏi: TS cần điều tiết thời gian để làm hết các câu hỏi theo trình tự từ dễ đến khó, tránh tốn quá nhiều thời gian cho một câu hỏi để không còn giờ suy nghĩ câu khác. Trình bày đầy đủ: Do thang điểm chi tiết đến 0,25 nên những bài có lập luận đầy đủ sẽ dễ đạt điểm tối đa. Tìm lời giải đẹp: Khi gặp một bài toán, bạn cần ưu tiên cách giải cơ bản để xử lý nhanh mà không nên loay hoay mất thời gian tìm cách giải đẹp. Tuy nhiên ở một số bài toán đẳng cấp lại cần đến lối giải thông minh, ngắn gọn. Trình bày đẹp: Mặc dù trong môn Toán yếu tố đẹp bị xem nhẹ hơn rất nhiều so với yếu tố đúng, nhưng nếu 2 bài thi có nội dung tương tự nhau thì bài trình bày đẹp dễ được điểm cao hơn từ 0,5 đến 1 điểm. (Trần Phương Giảng viên môn Toán, Trung tâm Hỗ trợ phát triển tài năng, Liên hiệp Các hội khoa học - kỹ thuật Việt Nam)