Tích phân - Những điều cần nói đến - Võ Minh Hùng

TÍCH PHÂN : “NHỮNG ĐIỀU CẦN NÓI ĐẾN“ Như chúng ta đã biết, tích phân là một đối tượng không thể thiếu trong đề thi đại học, hầu hết các câu tích phân xuất hiện trong đề thi gần đây đều không khó. Tuy nhiên không loại trừ khả năng vào một ngày đẹp trời nào đó, nhóm tác gỉa đề thi nổi hứng dành tặng chúng ta một câu tích phân “hay, lạ và khó” nhất là lại với trường hợp của kì thi năm 2015 sắp tới – một năm có nhiều sóng gió, biến động trong ngành giáo dục. Vì vậy để không bị bỡ ngỡ, thất vọng khi gặp một câu tích phân như thế ở kì thi đại học sắp tới, chúng ta cần chuẩn bị tốt hành trang, vũ khí để dành phần thắng trong cuộc chiến ! Bản thân tôi cũng là một học sinh bình thường như các bạn, tôi không thông minh vượt bậc như “con nhà người ta”, cũng không siêng năng, chăm chỉ cho lắm. Tuy nhiên tôi có cá tính rằng đã học cái gì thì cần hiểu bản chất của nó, tôi rất ghét phải thừa nhận một cách mơ hồ, không có căn cứ - điều mà chúng ta gặp ở mọi nơi, từ cách dạy của gíao viên cho tới các bộ sách tham khảo Vì vậy tôi đã cố gắng đi tìm ra một số chân lý mà không phải ở đâu bạn cũng được dạy và điều đó thực sự quan trọng để gíup chúng ta tiến sâu hơn, rèn luyện tốt lối tư duy riêng biệt không giống ai và thậm chí có thể gỉai một bài toán với thời gian bằng một phần 3 thời gian người khác giải. Tất cả điều đó, các bạn sẽ được gặp trong tập tài liệu sau ./. Hãy luôn nhớ rằng : Một trong những phương pháp học toán là sau mỗi bài toán chúng ta cần tìm ra những “điểm nhấn “ để có thể hiểu vấn đề một cách “ thông thái “ hơn. Vậy để làm được điều đó, người học toán cần điều gì? 1. Suy nghĩ thật kỹ, thật thấu đáo về vấn đề được đặt ra. 2. Tìm mối liên hệ giữa các kiến thức xung quanh vấn đề đó. 3. Tự đặt câu hỏi xung quanh một vấn đề nhỏ để tìm cách tổng quát thích hợp. (Tài liệu không hoàn toàn do chính tôi sáng tác, một số bài tập, kinh nghiệm được sưu tầm từ quá trình tôi tìm hiểu, học hỏi ) Tôi luôn sẵn sàng thảo luận để học hỏi, sẻ chia để vươn lên cùng tất cả mọi đối tượng, mọi lúc, mọi nơi Chân thành cảm ơn ! Thành Vinh, ngày 29.12.2014 Võ Minh Hùng ( @zanter ) – THPT LVT Góp ý xin gửi về : motdemmuathu@gmail.com ĐẦU TIÊN CẦN NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC : XIN PHÂN TÍCH QUA MỘT BÀI TOÁN NHỎ SAU: Bài toán : Tính tích phân I = Nhận xét 1: Quan sát thấy được hàm số dưới dấu tích phân có dạng phân thức. Vậy kiến thức sẽ sử dụng cho hàm phân thức là gì? Chắc chắn chúng ta nghĩ đến nguyên hàm Vậy để sử dụng được công thức này chúng ta cần phải tìm mọi cách biến đổi về dạng đó ! Nhận xét 2: Ở đây chỉ xuất hiện 2 hàm số lượng giác là sinx và cosx . Vậy có cách nào biểu diễn thông qua một yếu tố không ? Ta cùng tìm kiếm kiến thức để giải quyết. - Hướng 1: Chia cả tử và mẫu cho cosx ta được từ đó đặt t= tgx Þ I = - Hướng 2: Đặt thì Với hướng trên ta có thể tính được tích phân có dạng tổng quát sau: Các bạn hãy làm bài toán trên và tự mình nghĩ ra đề bài và giải nhé! Nhận xét 3: Xuất phát từ quan hệ của sinx và cosx . Điều gì đặc biệt trong cận của tích phân ? - Hướng 3: Đặt x= ( đây là cách đặt ẩn phụ mà không làm thay đổi cận của tích phân đã có dịp trao đổi cùng các bạn). Khi đó : Þ Thật đáng kinh ngạc .. !!!! Với hướng trên ta có thể tính được tích phân tổng quát sau: Các bạn hãy làm bài toán trên và tự mình nghĩ ra đề bài và giải nhé! Nhận xét 4: Nếu dùng biến đổi lượng giác thì như thế nào ? - Hướng 4: Biến đổi f(x) = và ta tính được bình thường. - Hướng 5: Biến đổi f(x) = và ta tính với các tích phân bình thường của hàm lượng giác. Nhận xét 5: Vì tích phân có dạng hàm phân thức nên nếu ta biến đổi tử thức để tìm cách viết được qua mẫu số và đạo hàm của mẫu thì hay quá ! - Hướng 6: Biến đổi Nhận xét 6: Quan sát tích phân cần tìm ta thấy sự sai khác của tử số và mẫu số, vậy nếu ta tìm được một tích phân khác có “họ hàng” với nó thì sao nhỉ ? Trả lời câu hỏi đó ta đi xét tích phân ( gọi là tích phân liên kết của tích phân I) . Từ hai tích phân trên ta đi giải hệ : sẽ tìm được I . Trên đây chỉ là một bài toán mang tính chất minh hoạ cho lối tư duy giải toán tích phân mà thôi. Và như tôi đã nói ở đầu rằng khi gỉai mỗi bài toán cần tìm ra điểm nhấn ẩn trong đề bài. Tiếp theo tôi muốn giới thiệu với các bạn một lối tư duy có tên “KHỔ TRƯỚC SƯỚNG SAU” thông qua một ví dụ đơn giản : Đề bài : Tính nguyên hàm : Giải : Ta có : Nhận xét : Đến đây chúng ta đã có thể nghĩ ra nhiều cách gỉai khác nhau, nhưng việc lựa chọn sao cho cách gỉai nào là tối ưu nhất mới là quan trọng Cách 1 : Đặt . Đến đây bạn đã biết cách giải ! Cách 2 : Đặt nhiều hơn tí nữa nhé! Đặt Cũng hay đấy ! Tuy nhiên đây chưa phải là tối ưu đâu. Cách 3 : Đặt Ta có : Vậy : BẠN THẤY KHÔNG ? VIỆC ĐẶT ẨN T CÀNG KHÓ KHĂN THÌ SAU ĐÓ CHO TA KẾT QUẢ THẬT DỄ DÀNG ! CÓ THỂ BẠN CHƯA THẤY ĐƯỢC HIỆU QUẢ CAO TRONG BÀI TOÁN NÀY VÌ NÓ KHÁ ĐƠN GIẢN, NHƯNG HÃY THỬ LÀM THẾ VỚI BÀI TOÁN KHÁC, BẠN SẼ BẤT NGỜ ĐẤY ! To Be Continued