Tập bài giảng về “Tự động hoá thiết kế tàu thuỷ A1”

cụ quản lý đối tượng nó liền phát huy thế mạnh đến mức không ngờ được. Ngôn ngữ lập trình nếu kể đầy đủ phải bao gồm từ ngôn ngữ máy và ngôn ngữ gần với ngôn ngữ máy. Có thể xếp các ngôn ngữ máy tính vào trong năm nhóm, hay nói cách khác trong năm thế hệ của ngôn ngữ lập trình. Thế hệ đầu tiên giành chỉ các mã số 0 và số 1 mà mỗi bit của máy tính đều hiểu. Ngôn ngữ này làm người thông ngôn duy nhất trong những năm bốn mươi đến đầu những năm năm mươi. Tại thời điểm này máy chỉ có thể "hiểu" ngôn ngữ độc nhất là mã nhị phân (binary code), gồm 0 và 1. Ngôn ngữ đầu tiên này còn mang tên gọi "ngôn ngữ máy". Thế hệ thứ hai của ngôn ngữ máy tính đánh dấu bằng sự ra đời của ngôn ngữ Assembly, ngày nay có người dịch là hợp ngữ. Assembly giúp cho máy tính nhận diện và dịch sang ngôn ngữ máy các mã mnemonic như ADD (cộng, thêm vào), SUB (trừ), MOV (dịch chuyển) v v... Các chương trình sử dụng các mnemonic để viết được gọi là assembly, còn chương trình dịch assembly sang ngôn ngữ máy có tên gọi là Assembler. Ngôn ngữ Assembly ra đời trong những năm năm mươi và đến tận hôm nay còn giữ được vị trí rất cao trong làng ngôn ngữ lập trình, mặc dầu bản thân nó là cầu nối giữa "ngôn ngữ bậc thấp" với "ngôn ngữ bậc cao". Thế hệ thứ ba đánh dấu bằng sự ra đời và thống trị của "ngôn ngữ bậc cao" (tiếng Anh viết là HLL - high level languages), kể từ Algol, FORTRAN,... Ngôn ngữ bậc cao còn được gọi là ngôn ngữ thủ tục hoá. Sở dĩ có tên gọi như vừa nêu vì rằng cách diễn đạt bằng ngôn từ khi dùng HLL không khác gì làm thủ tục tính toán. Người ta viết các lệnh dưới dạng công thức tính như đang viết công thức toán vậy, không hề để ý đến nguyên lý làm việc của ngôn ngữ máy là thứ ngôn ngữ duy nhất máy có thể hiểu. Ví dụ khi cần tính "số quả còn lại C, nếu biết rằng tổng số quả A, em đã ăn B quả", người lập trình chỉ cần ra lệnh: C = A - B Để máy hiểu được ý trên nhất thiết phải dịch dòng lệnh này ra ngôn ngữ máy. Những bộ dịch cho HLL mang một trong hai tên gọi "compiler" hoặc "interpreter". Thứ tự truyền đạt lệnh đến máy có thể hình dung như sau: người lập trình ® compiler hoặc interpreter ® Assembler ® máy tính. Bạn đọc cần phân biệt hai tên gọi vừa nêu "compiler" và "interpreter" cùng làm một việc, trong tiếng Anh người ta dùng khái niệm "translation" (nghĩa của nó là dịch) để diễn đạt việc ấy. Compiler dịch toàn bộ chương trình giống như cách dịch toàn bộ bài nói của một ai đó từ tiếng nước này sang ngôn ngữ của nước chủ nhà. Trong khi đó interpreter dịch từng câu lệnh một, giống kiểu người phiên dịch (tiếng Anh gọi là interpreter) chuyển từng câu nói của một vị khách sang tiếng chủ nhà. Trường hợp bắt buộc phải có mặt cả hai thành phần cho công việc dịch là người phát biểu bằng tiếng nước ngoài và người phiên dịch. Compiler thực hiện công việc nhanh hơn, gọn hơn. Công việc kiểu sau chậm hơn vì phải chờ thông tin qua lại giữa người phát biểu và phiên dịch viên. Tuy nhiên interpreter có ưu điểm nổi trội là làm cho chương trình hoạt động thuận lợi và dễ dàng hơn. Vì không cần thiết phải dịch xong toàn bộ chương trình mới chạy chương trình, interpreter chuyển từng phần chương trình vào hoạt động nếu phần việc ấy đã được viết đúng bằng ngôn ngữ lập trình. Trường hợp có lỗi trong câu lệnh, interpreter phát hiện lỗi ngay tức thì và yêu cầu chỉnh lại ngay lúc đó. Sau mỗi lần chỉnh, nếu đúng, câu lệnh sẽ được thực thi ngay. Trong thực tế người ta đang kết hợp cả hai cách làm việc nhằm đẩy mạnh tốc độ thực hiện và tạo thuận lợi tối đa cho người dùng. Tại đây bạn đọc cần làm quen thêm với khái niệm mã nguồn và mã đối tượng. Mã chương trình được gọi là mã nguồn. Sản phẩm có xuất xứ từ mã nguồn, sau khi dịch gọi là mã đối tượng. Tất cả phần mềm khi bán ra đều được ghi lại dưới dạng mã đối tượng. Với các bản dịch người dùng không còn một khả năng nào để đọc, để nhận biết và không có cách nào để cải biên, thay đổi. Thế hệ thứ tư giành cho ngôn ngữ bậc rất cao (Very high level languages). Trong trào lưu này, nhờ những Generator, người ta chỉ cần đưa những đặc trưng chính của công việc, generator chuyển thông tin vào hệ thống làm việc của máy như đã miêu tả cho thế hệ trước, máy tính "tự động" tạo ra những chương trình ứng dụng. Ý này, phục vụ công việc quản lý cơ sở dữ liệu (tiếng Anh: Database Management) mang dáng dấp của ngôn ngữ thế hệ thứ tư này. Các ngôn ngữ SQL (viết tắt từ Structured Query Language), QBE (Query-by-Example) và QUEL (Query Language) là đại biểu xuất sắc nhất trong nhóm. Từ 1986 bắt đầu quá trình tiêu chuẩn hoá SQL. Năm 1992 ANSI chính thức thông qua tiêu chuẩn cho SQL-92. SQL đang được dùng trong các phiên bản Sybase SQL Server, Microsoft SQL Server, IBM OS/2 Extended Edition Database Manager, DEC RDb/VMS và Oracle Server for OS/2 vv... Trong tài liệu này sẽ không đề cập đến ngôn ngữ này, người viết chỉ có thể hứa nhanh chóng hoàn tất bản thảo giới thiệu tài liệu về các ngôn ngữ này. Thế hệ thứ năm gắn liền với nhóm ngôn ngữ trí tuệ nhân tạo (AI-Artificial Intelligence). Đây là ngôn ngữ không - thủ tục (khác với khái niệm ngôn ngữ thủ tục vừa nêu trên), gắn liền với trạng thái của đối tượng trong vấn đề đang giải quyết, với quan hệ giữa các đối tượng. Một trong các ngôn ngữ đang dùng có kết quả PROLOG, đang được người Nhật chấp nhận, phát triển và hoàn thiện. Ngôn ngữ mang tên Nhật HIMIKO xuất phát từ PROLOG, đang là cơ sở cho nhóm ngôn ngữ thế hệ thứ năm này. Trong lĩnh vực quản lý dữ liệu, sự gắn bó giữa ngôn ngữ thế hệ thứ tư và thứ năm đã sinh ra DATALOG chuyên phục vụ công tác hệ thống dữ liệu. Ngôn ngữ LDL (Logic Data Language) đang chiếm vị trí xứng đáng trong lĩnh vực truyền dữ liệu. Cần nói thêm, ngôn ngữ LISP cũng thuộc nhóm ngôn ngữ trí tuệ nhân tạo, được phát triển từ những năm sáu mươi tại Mỹ, ngày nay đang đóng vai trò hết sức quan trọng trong công cuộc tự động hoá thiết kế. Tài liệu về LISP và AutoLISP đề nghị bạn đọc tìm hiểu thêm qua sách chuyên đề của cùng người viết. Chương 2 TỰ ĐỘNG HÓA TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ THỦY TĨNH VÀ TÍNH CÂN BẰNG-ỔN ĐỊNH CỦA TÀU 2.1. PHƯƠNG PHÁP SỐ DÙNG TRONG TỰ ĐỘNG HOÁ TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ THỦY TĨNH VÀ TÍNH CÂN BẰNG-ỔN ĐỊNH CỦA TÀU Chương này sẽ giới thiệu với bạn đọc việc sử dụng các phương pháp tính thông dụng khi xử lý những bài toán thường gặp trong tính toán các yếu tố tính nổi – thủy lực của tàu. Các phương pháp được đề cập ở trong phạm vi tài liệu này bao gồm: phương pháp tích phân gần đúng, phương pháp nội suy và phương pháp bình phương nhỏ nhất. 2.1.1. Đa thức nội suy Lagrange Trong thực tế nhiều khi người ta phải giải bài toán ngược sau đây: Người ta không biết chính xác hàm số f(x) mà chỉ biết một tập rời rạc hữu hạn của đồ thị biểu diễn nó và một vài nét hết sức khái quát của hàm f(x); người ta muốn dựng lại hàm số f(x) và dĩ nhiên không thể nào dựng đúng nguyên xi hàm f(x) (vì bản thân hàm số f(x) cũng chưa được biết) nhưng người ta hy vọng rằng sẽ dựng được một hàm số có các tính chất như hàm số f(x) và dĩ nhiên đồ thị biểu diễn hàm số được dựng nên ít ra thì cũng gần trùng với đồ thị của hàm f(x) tại tập hợp các điểm rời rạc đã cho trước ví dụ như từ số liệu thống kê các đặc trưng của một số đối tượng khảo sát bất kỳ nào đó; từ kết quả thí nghiệm tại phòng thí nghiệm; từ số liệu thử mô hình tàu thủy tại bể thử v.v…. Ví dụ ta muốn phục hồi một hàm số f(x) tại mọi giá trị của x X [ a, b] nào đó mà chỉ biết một số hữu hạn gồm (n +1) giá trị của hàm số đó tại các điểm rời rạc x0 , x1, …, xn X [a, b] . Các giá trị rời rạc này được cho dưới dạng bảng sau: x x0 x1 x2 … xi …. xn y y0 y1 y2 … yi … yn Khi đó ta đặt vấn đề là tìm một đa thức bậc n : Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn, an ≠ 0 với a0, a1, …., an X R sao cho Pn(x) trùng với f(x) tại các nút xi , nghĩa là Pn(xi) = f(xi) = yi. Đa thức Pn(x) tìm được đó được gọi là đa thức nội suy. Ta chọn đa thức nội suy hàm số f(x) vì đa thức là loại hàm số đơn giản nhất và dễ xác định nhất. Như vậy ta sẽ có định lý sau: Nếu tồn tại đa thức nội suy Pn(x) của hàm số f(x) thì đa thức đó là duy nhất. CM: Thật vậy nếu có hai đa thức Pn(x) và Qn(x) cùng là đa thức nội suy của hàm f(x). Lúc đó theo định nghĩa ta có: Pn(xi) = yi ; Qn (xi) = yi. Vậy hiệu số Pn(xi) – Qn(xi) cũng là môt đa thức có bậc không vượt quá n và bị triệt tiêu tại n + 1 giá trị khác nhau xi, (Vì Pn(xi) – Qn(xi) = yi – yi = 0, ). Do vậy đa thức hiệu Pn(x) – Qn(x) phải đồng nhất bằng không, nghĩa là Pn(xi) ≡ Qn(xi). Có thể tồn tại nhiều đa thức nôi suy nhưng do tính duy nhất nên chúng có thể đều được quy về nhau được. Dưới đây chúng ta sẽ xây dựng đa thức nội suy theo kiểu Lagrange, gọi là đa thức nội suy Lagrange và được ký hiệu là Ln(x). Đa thức nội suy Lagrange được viết dưới dạng: f(x) = Pn(x) + Rn(x) (2.1) hoặc dạng đầy đủ: (2.2) trong đó (2.3) Cụ thể như sau: , Hiển nhiên Li(x) là đa thức bậc n và (2.4) Li(x) được gọi là đa thức Lagrange cơ sở. Đa thức mang tên gọi đa thức Lagrange, còn số hạng thứ hai của vế phải công thức (2.2) gọi là hàm sai số. Đa thức Pn(x) được hiểu là đa thức bậc n và được khai triển dưới dạng: Pn(x) = a0 (x - x1)(x - x2)... (x - xn) + + a1(x - x0)(x - x2)... (x - xn) + + a2(x - x0)(x - x1) (x – x3) ... (x - xn) + ... + ai(x - x0)(x - x1)... (x - xi-1)(x - xi+1)... (x - xn) ... an(x - x0)(x - x1)... (x - xn-2)(x - xn-1) (2.5) Các hệ số a0, a1, a2, ... được xác định từ quan hệ: Pn(xi) = f(xi) = yi; i = 0, 1, 2, ... (2.6) Lần lượt thay x = x0, x = x1, ... vào công thức (2.5) ta có thể xác định được công thức tính các hệ số ai . Ví dụ, từ Pn(x0) = f(x0) = y0 = a0(x0 - x1)(x0 - x2)... (x0 - xn) sẽ nhận được: = tương tự ta có thể viết: Hệ số thứ i có dạng tổng quát: (2.7) Thay các biểu thức vừa xác định vào vị trí a0, a1, ..., an sẽ nhận được công thức nội suy hay còn gọi đa thức Lagrange: (2.8) hoặc dưới dạng tổng quát ta có: , với Những trường hợp riêng của hàm nội suy Lagrange: Với n = 1: x x0 x1 y y0 y1 Đa thức nội suy có dạng (2.9) Hàm P1(x) là đoạn thẳng qua hai điểm (x0, y0) và (x1, y1), có tên gọi công thức nội suy tuyến tính. Thí dụ: Cho bảng số: x 1 2 y 17 27,5 Hãy lập đa thức nội suy tương ứng. Lời giải: Ở đây n = 1 nên đa thức nội suy sẽ có dạng đa thức bậc nhất. Như vậy đa thức được viết như sau: P1 (x) = Rút gọn biểu thức ta có: P1(x)= 6,5+ 10,5x Với n = 2: x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 Đa thức nội suy có dạng (2.10) Hàm thứ hai là đường parabol bậc hai qua ba điểm cho trước, gọi là nội suy bậc hai. Thí dụ: Cho bảng số: x 1 2 3 y 17 27,5 76 Hãy lập đa thức nội suy tương ứng. Lời giải: Ở đây n = 2 nên đa thức nội suy sẽ có dạng đa thức bậc 2. Như vậy đa thức được viết như sau: P2(x) = Rút gọn biểu thức ta có: P2(x)= 19x2 – 46,5x + 44,5 Với n =3 Thí dụ: Cho bảng số: x 1 2 3 4 y 17 27,5 76 210,5 Hãy lập đa thức nội suy tương ứng. Lời giải: Ở đây n = 3 nên đa thức nội suy sẽ có dạng đa thức bậc 3. Như vậy đa thức được viết như sau: (2.11) P3 (x) = Rút gọn biểu thức ta có: P3(x)= -3,5+ 41,5x - 29x2 + 8x3 2.1.2. Phương pháp bình phương nhỏ nhất 2.1.2.1. Đặt bài toán Giả sử có hai đại lượng (vật lý, hóa học, kỹ thuật …) x và y có mối liên hệ phụ thuộc nhau theo một số qui luật đã biết nào đó ví dụ như: y = a + bx y = a + bx + cx2 y = a+ b cosx + csinx y = aebx y = axb nhưng chưa biết các giá trị cụ thể của các tham số a, b,c. Muốn xác định chúng người ta cần thực hiện các thí nghiệm, các đo đạc v.v…. một số cặp giá trị tương ứng (xi, yi), với i =1,2,…, n theo bảng sau: x x1 x2 … xn y y1 y2 … yn rồi áp dụng phương pháp bình phương bé nhất để xác định các tham số a, b, c. 2.1.2.2. Xét trường hợp y = a + bx Giả sử y phụ thuộc x dạng bậc nhất y = a + bx và khi đó ta có yi - a - bxi = ei , i = 1,2, …, n là các sai số tại xi , do đó ta có (2.12) là tổng các bình phương của các sai số. S phụ thuộc vào tham số a và b còn xi và yi đã biết. Như vậy mục đích của phương pháp bình phương bé nhất là xác định các tham số a và b sao cho S bé nhất. Muốn vậy a và b phải là nghiệm của hệ phương trình sau: (2.13) tức là: (2.14) Từ bảng 2.1.2 ta sẽ tính được các tổng , thay vào hệ phương trình (2.14) rồi giải hệ đó ta sẽ nhận được a và b. Hệ (2.14) gọi là hệ chính tắc của phương pháp bình phương nhỏ nhất được viết cho dạng y = a + bx. 2.1.2.3. Thí dụ Cho biết sự phụ thuộc giữa hai đại lượng x và y có dạng y = a + bx và được cho ở bảng 2.1 Bảng 2.1 x - 1,1 2,1 3,2 4,4 5,2 y 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3 Hãy xác định các tham số a và b bằng phương pháp bình phương bé nhất. Lời giải: Bước 1. Lập bảng số như sau (Bảng 2.1.1): Bảng 2.1.1 xi yi xi yi n = 5 - 1,1 0,78 1,21 - 0,858 2,1 7,3 4,41 15,33 3,2 9,2 10,24 29,44 4,4 11,9 19,36 52,36 5,2 13,3 27,24 69,16 S = 13,8 = 42,48 = 62,26 = 165,432 Bước 2. Lập hệ phương trình sau: 5a + 13,8 b = 42,48 13,8a + 62,26 b = 165,432 Giải hệ phương trình này bằng một trong những pbhuwowng pháp đã biết chúng ta sẽ xác định được tham số : a = 2,9939036 y3 và b = 1,9935131y 2. Vậy ta viết được phương trình cuối cùng như sau: y = 3 + 2 x (2.15) Bây giờ chúng ta thử tính các giá trị mới của y tại các xi theo phương trình (2.15) và so sánh chúng với các giá trị yi đã cho bởi bảng 2.1. (Xem bảng 2.1.2) Bảng 2.1.2 x - 1,1 2,1 3,2 4,4 5,2 y (cũ) 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3 y (mới) 0,8 7,2 9,4 11,8 13,4 Như vậy quan hệ (2.13) xấp xỉ khá tốt với các số liệu đưa ra ở bảng 2.1.3 2.1.2.4. Các dạng quan hệ khác Các dạng quan hệ (2), (3) được giới thiệu ở mục 2.1.2.1. là các mối quan hệ tuyến tính đối với các tham số a, b và c nên cũng có thể giải quyết một cách tương tự. Chẳng hạn, nếu : y = a + bx + cx2 thí các tham số a, b và c là nghiệm của hệ phương trình chính tắc sau: (2.16) Trường hợp các mối quan hệ (4) và (5) ta phải biến đổi đôi chút vì đó là những mối quan hệ phi tuyến đối với các tham số a và b. Giả sử y = a ebx , với a > 0 Lấy lô-ga-rít thập phân hai vế ta được : lg y = lg a + bx lge. Đặt lg y = Y, lg a = A, blge = B , x = X Y Y = A + BX Đây chính là mối quan hệ y = a + bx mà ta đã xét ở trên. Từ bảng số liệu về mối quan hệ giữa y và x ta suy ra bảng số liệu về X và Y với chú ý: X = x ; Y = lg y Sau đó áp dụng cách làm ở trên và sẽ thu được A và B rồi từ đó suy ra a và b 2.1.2.5. Sơ đồ thuật toán của phương pháp bình phương nhỏ nhất a) Cho mối quan hệ y = a + bx 1. Tính các tổng 2. Giải hệ chính tắc : tìm a và b 3. Kết luận: Viết ra phương trình cuối cùng b) Cho mối quan hệ y = a ebx 1. Lấy lô-ga-rít hai vế của y = aebx 2. Chuyển bảng số giữa x và y thành bảng số X và Y 3. Tính các tổng 4. Giải hệ chính tắc để tìm A và B 5. Tính : a = aA, b = B/lge 6. Kết luận. 2.2. Các phương pháp tính gần đúng tích phân xác định 2.2.1. Đặt bài toán Xét tích phân xác định : Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có nguyên hàm là F(x) thì công thức Niu-tơn - Lép-nít cho: = F(b) – F(a) (2.17) Nhưng nếu không tìm được nguyên hàm của f(x) ở dạng sơ cấp hoặc nguyên hàm đó quá phức tạp thì tích phân I phải tính gần đúng. Sau đây sẽ trình bày hai công thức tính gần đúng tích phân I dựa trên tư tưởng thay hàm f(x) bằng một đa thức nội suy. 2.2.2. Công thức hình thang Ta chia [a, b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia xi : a = x0 < x1 < ….< xn-1 = b xi = a + i h, , với i = 0, 1, …, n Đặt yi = f(xi) Ta có = + +…+ (2.18) Để tính mỗi tích phân ở vế phải ta thay hàm f(x) bằng một đa thức nội suy bậc nhất P1(x). Với tích phân thứ nhất ta có: Đổi biến x = x0 + ht thì dx = hdt, ứng với x0 là t0 = 0 , ứng với x1 là t = 1, nên ta có . Vậy ta có : Về mặt hình học điều đó có nghĩa là: Thay diện tích hình thang cong x0M0M1x1 bởi diện tích hình thang thường x0M0M1x1 (Hình 2.1) x0 x1 M0 M1 Hình 2.1 Đối với tích phân thứ i + 1 ta có: Vậy công thức (2.18) được viết lại như sau: Nghĩa là (2.19) với và Công thức này gọi là công thức hình thang. 2.2.3. Đánh giá sai số Người ta đã chứng minh được rằng: (2.20) 2.2.4. Thí dụ Hãy tính gần đúng : Lời giải: Ta đã biết giá trị đúng của tích phân này là p/4. Do đó nếu biết số p thì ta có: I = 0,78539816 … Bây giờ ta tính gần đúng I bằng công thức hình thang rồi so sánh kết quả. Công việc được tiến hành như sau: Chia đoạn [0, 1] thành 10 khoảng (n =10) con bằng nhau với h = 0,1. Lập bảng trị số như sau ( bảng 2.2) Bảng 2.2 x f(x) = 1/(1 + x2) 0 1,000000 = y0 0,1 0,9900990 = y1 0,2 0,9615385 = y2 0,3 0,9174312 = y3 0,4 0,8620690 = y4 0,5 0,800000 = y5 0,6 0,7352941 = y6 0,7 0,6711409 = y7 0,8 0,6097561 = y8 0,9 0,5524862 = y9 1,0 0,500000 = y10 Áp dụng công thức hình thang (2.15) ta nhận được I y0,7849815 với sai số tương đối 0,054 %. 2.2.5. Sơ đồ tóm tắt công thức hình thang Phương án 1: Cho trước số khoảng chia n Xét tích phân ; Ấn định số khoảng chia n; Chia [a, b] thành n phần bằng nhau và tính ; xi = a + i h , i = 0, 1,…,n.; yi = f (xi) , i = 0, 1, …, n. Tính ; Kết quả: I y IT Phương án 2: Cho trước sai số Xét tích phân ; Ấn định sai số cho phép e; Dùng công thức (2.16) để xác định khoảng chia n sao cho sai số bé hơn sai số cho phép; 4) Tính ; xi = a + i h , i = 0, 1,…,n.; yi = f (xi) , i = 0, 1, …, n. 5) Tính 6) Kết quả : I yIT Với sai số 2.2.6. Công thức Simson Ta chia [a, b] thành 2n đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia xi: a = x0 < x1 < …< x2n = b xi = a + ih, , i = 0, 1, …, 2n Giả sử yi = f(xi) . Ta có: (2.21) Để tính mỗi tích phân ở vế phải ta thay f(x) bằng đa thức nội suy bậc hai P2(x). Với tích phân thứ nhất ta có : Đổi biến x = x0 + h t thì dx = h dt, ứng với t = 0, ứng với x2 là t = 2. Do đó: = . Vậy ta có: . Đối với các tích phân sau ta cũng tiến hành tương tự và nhận được: Thay vào công thức (2.17) ta được . Vậy ta có: với (2.22) trong đó Công thức (2.22) được gọi là công thức Simson. 2.2.7. Đánh giá sai số Người ta đã chứng minh được 2.2.8. Thí dụ Xét tích phân . Với bảng trị số (Bảng 2.2) đã cho ở trên ta có thể áp dụng công thức Simson vì 10 = 2 *5. Ta được I y 0,78539815 với sai số tương đối 0,000002% Đối chiếu với kết quả được xác định bởi công thức hình thang ta nhận thấy kết quả tính theo công thức Simson chính xác hơn nhiều. 2.2.9. Sơ đồ tóm tắt công thức Simson Phương án 1: cho trước số khoảng chia 2n Xét tích phân ; Xác định số khoảng chia 2n; Chia [a, b] thành 2n phần bằng nhau và tính ; xi = a + ih, với i= 0,1,…,2n; yi = f(xi ), i= 0,1,…, 2n Tính Kết quả I yIS Phương án 2: Cho trước sai số Xét tích phân ; Ấn định sai số phép tính e; Dùng công thức (2.19) để xác định số khoảng chia 2n sao cho sai số < sai số cho phép; Chia [a, b] thành 2n phần bằng nhau và tính ; xi = a + ih, với i= 0,1,…,2n; yi = f(xi ), i= 0,1,…, 2n; Tính ; Kết quả : I y IS với sai số . BÀI TẬP Cho hàm số y = lg x với các giá trị tương ứng của x và y cho trong bảng sau: x 50 55 60 65 y 1,6990 1,7404 1,7782 1,8129 Hãy tính đạo hàm của y tại x = 50 và so sánh với kết quả tính trực tiếp . Cho tích phân: Hãy chia đoạn con [0, 1] thành 10 đoạn con bằng nhau ( n=10) rồi tính gần đúng I và đánh giá sai số bằng : Công thức hình thang; b) Công thức Simson. Cho tích phân Hỏi phải chia đoạn [0,1] thành mấy (n = ?) đoạn con bằng nhau để khi tính I bằng công thức hình thang bảo đảm được sai số tuyệt đối < 3*10-4; Với n ấy khi tính bằng công thức Simson thì sai số là bao nhiêu? Hãy tính I với n đã chọn ở trên bằng công thức hình thang và công thức Simson đến 6 chữ số lẻ thập phân. 2.3. ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ĐỂ TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ TÍNH NỔI THỦY LỰC VÀ CÂN BẰNG-ỔN ĐỊNH CHO TÀU THỦY 2.3.1. Phương pháp hình thang Cho đường cong y = f(x) được thể hiện trên hình 2.2. Tọa độ các tung độ có khoảng cách DL bằng nhau. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong trong khoảng từ a đến b với trục hoành ox sẽ được xác định như sau: (2.23) trong đó: Ki = 1, 2, 2, ... , 2, 1 - hệ số tính toán của phương pháp hình thang. yi – giá trị tung độ tại vị trí thứ điểm thứ i trên trục ox. f(x) x y DL DL DL y0 y1 y2 y3 a b Hình 2.2 – Phương pháp hình thang 2.3.2. Phương pháp Simpson 2.3.2.1. Qui tắc thứ nhất của Simpson (Simpson I) Qui tắc này được áp dụng cho nhóm 3 tọa độ có khoảng cách bằng nhau .Cho đường cong y = f(x) biểu thị trên hình 2.3. Giả sử đây là đường cong bậc 2 và có phương trình biểu diễn như sau : y = a0 + a1x + a2x2. (2.24) Khi thay x = 0; x = DL và x = 2DL vào phương trình (2.24) ta thu được y0 = a0 ; y1= a0 + a1 DL + a2 DL2 y2 = a0 + 2a1DL + 4a2DL2 Suy ra a0 = y0; ; . Diện tích hình phẳng bao hàm dưới đường cong trong khoảng từ a đến b được xác định như sau: . (2.25) y = a0 + a1 x +a2 x2 x y DL DL y0 y1 y2 a b Hình 2.3 – Phương pháp Simpson I Thay các giá trị a0, a1, a2 vào (2.25) ta có : F = (1y0 + 4y1+ 1y2) DL/3. (2.26) Trong trường hợp chung có n khoảng chia đều nhau (với n là số chẵn) qui tắc thứ nhất của phương pháp Simpson cho nhóm 3 tọa độ kế tiếp nhau các hệ số tính toán được chọn như sau: 1 4 1 1 4 1 ... 1 4 1 1 4 1 + Ki: 1 4 2 4 2 ... 2 4 2 4 1 Hình 2.4. Sơ đồ xác định hệ số qui tắc Simpson I. Như vậy công thức tổng quát để tính diện tích được chắn bởi đường cong (2.24) trong khoảng a đến b áp dụng chi nhóm 3 tọa độ đều nhau được viết như sau : (2.27) trong đó: ; Ki = 1, 4, 2, 4, 2, ... ,4, 2, 4, 1 (theo hình 2.4) 2.3.2.2. Qui tắc thứ hai của Simpson (Simpson II) Qui tắc này được áp dụng cho nhóm 4 tọa độ có khoảng cách bằng nhau . Cho đường cong y = f(x) biểu thị trên hình 2.4. Giả sử đây là đường cong bậc 3 và có phương trình biểu diễn như sau : y = a0 + a1x + a2x2 +a3x3 (2.28) Khi thay x = 0; x = DL; x = 2DL và x = 3 DL vào phương trình (2.28) ta thu được y0 = a0; y1= a0 + a1 DL + a2 DL2 + a3DL3; y2 = a0 + 2a1DL + 4a2DL2 + 8a3DL3; y3 = a0 + 3a1DL + 9a2DL2 + 27a3DL3. Suy ra a0 = y0; ;; . Diện tích hình phẳng bao hàm dưới đường cong trong khoảng từ a đến b được xác định như sau: . (2.29) x a y = a0 + a1 x +a2 x2 + a3x3 y DL DL y0 y1 y2 b DL y3 . Hình 2.5 Phương pháp Simpson II Thay các giá trị a0, a1, a2 và a3 vào (2.29) ta có : F = (1y0 + 3y1+ 3y2 + 1y3) 3DL/8. (2.30) Trong trường hợp chung có n khoảng chia đều nhau (với n là bội số của 3) qui tắc thứ hai của phương pháp Simpson cho nhóm 4 tọa độ kế tiếp nhau, các hệ số tính toán được chọn như sau: Hình 2.6 Sơ đồ xác định hệ số Simpson II Như vậy công thức tổng quát để tính diện tích được chắn bởi đường cong (2.28) trong khoảng a đến b áp dụng chi nhóm 4 tọa độ đều nhau được viết như sau : (2.31) trong đó: ; Ki = 1, 3, 3,2, 3, 3, 2, ... ,2, 3, 3, 2, 3, 3, 1 (theo hình 2.6) Trong trường hợp số khoảng chia đều nhau với n là một số lẻ bất kỳ không phải là bội số của 3, ta có thể kết hợp áp dụng đồng thời cả hai qui tắc của phương pháp Simson. Ví dụ khi n = 5 ta có thể xác định các hệ số tính toán như sau (Hình 2.7): 1 4 1 1 3 3 1 + 1 4 2 3 3 1 Hình 2.7 Sơ đồ xác định hệ số khi n = 5 Trong cùng một khoảng tính toán, nếu có khoảng chia không đều nhau giữa các nhóm tọa độ thì hệ số Simson sẽ được điều chỉnh tỷ lệ thuận với tỷ số giữa các khoảng chia đó. 2.3.3. Phương pháp Tre-bư-sev Giả sử ta có đường cong được biểu diễn trên hình 2.8. Diện tích hình phẳng được chắn bởi đường cong y = f(x) trong khoảng từ - L/2 đến + L/2 được xác định như sau: . (2.32) Trong công thức (2.32) khoảng cách giữa các tung độ không bằng nhau, vị trí các tung độ thay đổi tùy theo số đường thẳng góc dùng trong tính toán n và đối xứng với nhau qua trục oy. Vị trí các tung độ được cho trong bảng 2.3. y x4 x3 x2 x1 L x6 x7 x8 x9 y1 y2 y3 y4 y6 y7 y8 y9 x Hình 2.8 Chia tọa độ theo phương pháp Tre-bư-sev Vị trí các đường thẳng góc xác định theo phương pháp Tre-bư-sev Bảng 2.3 Số đường thẳng góc Vị trí đường thẳng góc (khoảng cách tính tới diểm giữa của đường đáy tính theo nửa chiều dài diện tích) Bậc của phương trình 2 0,5773 2 3 0 0,7071 3 4 0,1870 0,7947 4 5 0 0,3745 0,8325 5 6 0,2666 0,4225 0,8662 6 7 0 0,3239 0,5297 0,8839 7 8 0,1026 0,4062 0,5938 0,8974 8 9 0 0,1679 0,5288 0,6010 0,9116 9 10 0,0838 0,3227 0,5000 0,6873 0,9162 10 2.4. TÍNH NỔI - THUỶ LỰC TÀU THUỶ 2.4.1. Tính các đại lượng hình học vỏ tàu Từ đường hình lý thuyết tiến hành tính các giá trị đặc trưng hình học vỏ tàu. Thứ tự tính toán chia làm hai giai đoạn: Các đại lượng đặc trưng của mặt đường nước; Các đại lượng đặc trưng của mặt đường sườn tàu. Sau hai phần tính vừa nêu tiến hành tính toán các yêu tố tính nổi và thủy lực (gọi tắt là các yếu tố thủy tĩnh) cho toàn tàu. Hình 2.9. Hệ tọa độ chuẩn 2.4.1.1. Đại lượng hình học của mặt đường nước Biểu diễn đường nước bất kỳ của tàu (hình 2.9) dạng đường cong y = f(x), các phép tính đại lượng hình học của mặt đường nước được đưa về dạng sau. Diện tích mặt đường nước A w (2.33) trong đó: Ki = 1, 2, 2, ..., 2, 1; DL = L/n ( n =10 hoặc 20). Hình 2.10. Mặt đường nước Momen tĩnh diện tích so với trục 0y (2.34) trong đó: i – hệ số cánh tay đòn momen tĩnh, sau 0y mang dấu trừ, trước 0y mang dấu cộng. Hoành độ trọng tâm mặt đường nước (2.35) Momen quán tính mặtđường nước so với trục 0y (2.36) Momen quán tính mặt đường nước so với trục 0'y' (song song với trục Oy và đi qua trọng tâm mặt đường nước) và cách trục Oy một đoạn Xf tính theo công thức trên sẽ là: I'L = IL – Xf 2.A w = 2 (2.37) Momen quán tính diện tích mặt đường nước đối với trục dọc tàu 0x được gọi là momen quán tính ngang tính theo công thức: (2.38) Trong các biểu thức trên y mang giá trị 1/2 chiều rộng tàu tại vị trí đang xét. 2.4.1.2. Đại lượng hình học của mặt sườn (Mặt cắt ngang thân tàu) Các đại lượng hình học đặc trưng cho mặt sườn thân tàu (hình 2.11) bao gồm: Hình 2.11. Mặt cắt ngang Diện tích mặt sườn SZ tính đến mớn nước Z. . (2.39) Momen tĩnh diện tích mặt sườn moy so với trục 0y: . (2.40) Trọng tâm diện tích mặt sườn thuộc phần chìm đến mớn nước Z tính theo công thức: . (2.41) 2.4.2. Bonjean Với mỗi sườn tàu, từ kết quả tính diện tích phần chìm và momen tĩnh phần chìm so với đáy, có thể vẽ hai họ đường cong miêu tả biến thiên của hai giá trị trên theo chiều chìm Z. Tập hợp toàn bộ các đường cong kiểu này, lập cho tất cả sườn tính toán sẽ được đồ thị có tên gọi tỉ lệ Bonjean (hình 2. 22). Họ đường cong trên đồ thị mang tên tỉ lệ Bonjean là cơ sở tính thể tích phần chìm giả định, tâm nổi theo chiều dọc, chiều cao ứng với các đường nước chúi bất kỳ để tính toán các đại lượng cần thiết có liên quan trước khi hạ thuỷ tàu, đồng thời là cơ sở tính chống chìm, phân khoang tàu. 2.4.3. Thể tích phần chìm và các đại lượng liên quan đển thể tích Tính thể tich phần chìm được tiến hành theo một trong hai cách: Tính từ dưới lên trên với cơ sở dữ liệu là diện tích của tất cả các mặt đường nước; Hoặc tính theo chiều dọc tàu với cơ sở dữ liệu là diện tích các mặt sườn. Trên hình 2.12a trình bày sơ đồ tính theo cách thứ nhất, còn hình 2.12b tính theo cách thứ hai. Hình 2.12 a Hình 2.12 b Thể tích phần chìm tính đến mớn nước Z: , (2.42) trong đó: VZ - thể tích phần chìm ứng với chiều chìm z; Awj - diện tích đường nước thứ j. Nếu sử dụng tỉ lệ Bonjean khi tính thể tích phần chìm có công thức tính như sau: (2.43) Momen thể tích phần chìm so với mặt phẳng 0xy (chứa đáy tàu): (2.44) Hình 2.10 Hình 2.13 Họ đường cong các yếu tố tính nổi – thủy lực Toạ độ tâm nổi phần chìm tính theo công thức: Cao độ tâm nổi: (2.45) Hoành độ tâm nổi: (2.46) Các đường cong thủy tĩnh Kết quả tính các đặc trưng hình học vỏ tàu được tập họp một bản vẽ chung mang tên gọi các đưòng cong thủy tĩnh của tàu (Hình 2.13). Thuật ngữ chuyên ngành để chỉ đồ thị dạng này không giống nhau ở nhiều nước, trong đó có nước ta. Trong tài liệu chính thức của IMO, họ đường cong này mang tên gọi bằng tiếng Anh hydrostatic curves, có nghĩa các đường cong thuỷ tĩnh của tàu. Trong tài liệu này sẽ sử dụng tất cả cách gọi chưa thống nhất trên đây. 2.4.4. Biện pháp nâng cao độ chính xác của các phương pháp tích phân gần đúng 2.4.4.1. Tính chính xác của các phương pháp tích phân gần đúng Độ chính xác của các phương pháp tích phân gần đúng phụ thuộc chủ yếu vào số lượng các đường thẳng góc được dựng để tính toán diện tích. Số lượng càng nhiều mức độ chính xác càng cao. Nguyên tắc cơ bản để nâng cao độ chính xác của phương pháp tính là phải xác định số đường thẳng góc (số lượng các tung độ tính toán) như thế nào đó để các cung của đường cong dần biến thành các dây cung. Trong thực tế tính toán các yếu tố của đường nước của tàu thường ta sử dụng 21 tọa độ có khoảng cách đều nhau. Ở đây độ chính xác sẽ còn phụ thuộc vào việc hiệu chỉnh giá trị tung độ ở hai đầu mút đường cong. Khi dùng hai mươi mốt đường thẳng góc để tính toán, độ chính xác đạt được xấp xỉ 0,5%. Qui tắc thứ nhất của Símson khi sử dụng 21 đường thẳng góc sai số gặp phải xấp xỉ 0,1%. Thông thường có thể sử dụng 11 đường thẳng góc và ở hai đầu đường cong ta thêm các đường thẳng góc phụ nằm giữa các khoảng chia cũng đảm bảo được độ chính xác cần thiết. Phương pháp Tre-bư-sev cũng được sử dụng khá phổ biến và rất thích hợp với tích phân hướng dọc. Khi dùng 9 tọa độ để tính toán diện tích theo phương pháp này sai số gặp phải xấp xỉ 0,3%, còn momen quán tính và hoành độ tâm đường nước gặp sai số xấp xỉ 2,7%. Nhìn chung các phương pháp tích phân gần đúng đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng vì vậy trong tính toán ta cần căn cứ vào các điều kiện và đòi hỏi thực tế để lựa chọn phương pháp tính cho thích hợp. 2.4.4.2. Biện pháp nâng cao độ chính xác trong tính toán a) Sử dụng tọa độ phụ Tại những vị trí đường cong có độ cong lớn hoặc thay đổi đột ngột hoặc có độ dốc lớn ta nên kẻ thêm những đường vuông góc phụ hoặc dùng máy đo diện tích để xác định diện tích cho riêng bộ phận đó. Ví dụ hai đầu mút đường nước ta thường thêm sườn phụ ở giữa khoảng cách các sườn, còn trên mặt cắt ngang diện tích phần hình phẳng gần ky đáy có thể xác định bằng máy đo diện tích. b) Hiệu chỉnh các đầu đường cong Để nâng cao độ chính xác cho việc tính toán các yêu tố đường nước và đường sườn ta cần tiến hành điều chỉnh hai đầu mút các đường cong trên như sau: b-1. Phương pháp hình thang Giả sử mặt cắt ngang có hình dáng như trên hình 2.14a. Qua điểm A kẻ một đường thẳng sao cho hai phần hình phẳng được gạch chéo có diện tích xấp xỉ bằng nhau, đường thẳng như vậy sẽ cắt trục hoành tại điểm B trên hình 2.14a và cắt đường thẳng vuông góc với trục hoành trên hình 2.14b . Độ dài đoạn thẳng OB chính là giá trị hiệu chỉnh của tung độ mút đường cong ta ký hiệu y0. Hình 2.14a Hiệu chỉnh đường cong mặt cắt ngang Ta cần tiến hành hiệu chỉnh tung độ tính toán mút đường cong trong trường hợp đường cong mặt cắt ngang hoặc mặt đường nước vượt quá hoặc chưa tới nút tính toán (ví dụ: vị trí sườn để tính cho đường nước; vị trí đường nước để tính cho đường sườn). Trên hình 2.15.a mút đường cong mặt cắt ngang vượt ra quá đường ước số 1 nhưng chưa đến đường nước số 0. Trong trường hợp này ta tiến hành điều chỉnh như sau: Từ B kẻ đường thẳng BD sao cho hai phần diện tích gạch chéo bằng nhau. Nối B với điểm O. Qua D kẻ DE song song với BO. Đoạn thẳng EO trên đường sườn mới là trị số hiệu chỉnh y’0. Giá trị này mang dấu âm trong bảng tính toán. Hình 2.14b Hiệu chỉnh đường cong mặt đường nước Nếu đường cong vượt chưa quá nửa khoảng sườn tính toán thì cần hiệu chỉnh tung độ mút đường cong về sườn đầu mút. Trên hình 2.15 b tiến hành hiệu chỉnh tung độ mút đường cong mặt diện tích đường nước. Trình tự như sau: Nối A với B, dựng AC sao cho hai phần diện tích gạch chéo bằng nhau, qua C kẻ CN song song với AB. Đoạn thẳng AN là giá trị tung độ mút đướng cong sau khi hiệu chỉnh ký hiệu là y/0. Hình 2.15 a. Hiệu chỉnh đường cong mặt cắt ngang Hình 2.15 b. Hiệu chỉnh đường cong mặt đường nước b-2 Phương pháp Símson - Hiệu chỉnh phần đường cong vượt quá sườn số 0. Trình tự hiệu chỉnh như được thể hiện trên hình 2.16a. Trình tự này được mô tả như sau : Hình 2.16a Hiệu chỉnh tung độ tính toán bằng phương pháp Simson cho trường hợp điểm mút đường nước vượt ra ngoài sườn 0 Hình 2.16 b Hiệu chỉnh tung độ tính toán bằng phương pháp Simson cho trường hợp điểm kết thúc của đường nước nằm phía trước sườn 0 Xác định điểm D sao cho ; xác định điểm E sao cho ; nối F với D và từ E dựng đường thẳng  song song ED và kéo dài cho cắt vết sườn số 0 tại H, như vậy và giá trị tung độ hiệu chỉnh sẽ là Sau khi hiệu chỉnh diện tích hình phẳng kể từ tung độ y2 về sau sẽ được xác định như sau: . (2.47) - Hiệu chỉnh tung độ mút đường cong chưa tới sườn số 0. Trình tự hiệu chỉnh như được thể hiện trên hình 2.16b. Dựng FA sao cho hai phần diện tích gạch chéo trên hình 2.16b bằng nhau; xác định điểm D sao cho ; xác định điểm E sao cho ; dựng EH song song với FD ta sẽ nhận được là giá trị hiệu chỉnh của tung độ mút đường cong. Giá trị hiệu chỉnh mang dấu âm. Như vậy diện tích hình phẳng kể từ tung độ y2 về sau sẽ là: . (2.48) 2.4.5. Tính các đường thuỷ tĩnh trên máy cá nhân Các đại lượng hình học trình bày ở trên được chia làm ba nhóm khác nhau: (1) Tính diện tích, mô men tĩnh, mô men quán tính, hệ số béo đường nước, mô men chúi đơn vị v v... ứng với mỗi đường nước. (2) Tính diện tích phần chìm các sườn, mô men tĩnh so với đáy, so với mặt giữa tàu cho mỗi sườn, thực hiện cho mỗi mặt sườn. (3) Tính thể tích phần chìm và các đại lượng liên quan đến thể tích. Các phép tích phân được phân vào hai dạng, tích phân xác định dọc chiều dài tàu và tích phân xác định thay đổi theo chiều chìm tính toán. Chuẩn bị dữ liệu. 1/ Chọn số sườn tính toán, số đường nước cần thiết khi tính. 2/ Vị trí sườn tính toán ghi trong hệ toạ độ tương đối, đơn vị tính DL = Lpp/(10 hoặc 20), ví dụ (bảng 2.4 và hình 2.17): Bảng 2.4. Thứ tự 1 2 3 ... NS-1 NS Vị trí sườn #0 #1/2 #1 #1.5 #2 #19.5 20 Hình 2.21. Hình 2.17 3/ Vị trí các đường nước theo đơn vị tính Dd, ví dụ (Bảng 2.5 và hình 2.18): Bảng 2.5. Thứ tự 1 2 3 ... NW Vị trí đường nước 0 1/2 1 ... Hinh 2.18 Hình 2.12. 4/ Toạ độ vòm đuôi so với trụ lái, ghi lại dưới dạng bảng 2.6 và hình 2.19 Bảng 2.6. Thứ tự 1 2 3 ... NW+1 Toạ độ vòm đuôi Hình 2.19 Hình 2.7. 5/ Chiều dài thật của tất cả các đường nước tính toán 6/ Chiều cao của tất cả các sườn tính toán 7/ Toạ độ vỏ tàu, xác định tại tất cả các sườn tính toán, qua tất cả đường nước tính toán. Toạ độ vỏ tàu (giá trị 1/2 chiều rộng tàu) ghi dưới dạng ma trận như ví dụ sau (bảng 2.8): Bảng 2.8. Thứ tự đường nước Sườn 0 1/2 1 ... NW Boong #0 #1/2 ... # sườn cuối Hình 2.20 Hình 2.12. Thứ tự ghi dữ liệu như minh hoạ trên bảng 2.8 và hình minh họa (Hình 2.20). Chương trình tính thực hiện các phép tính theo thứ tự sau: Tích phân trong mặt đường nước thứ j, j = 1, 2, ..., NW Diện tích mặt đường nước: (a) HOành độ trọng tâm diện tích đường nước: (b) Momen quán tính dọc, qua trục trung hoà: (c) Momen quán tính ngang: (e) Momen chúi trên 1cm chiều chìm: (e) Tích phân trong mặt sườn thứ i, i = 1, 2, ..., NS Diện tích mặt sườn phần chìm: (f) Momen tĩnh so với mặt phẳng chuẩn đáy x0y: (g1) Momen tĩnh so với mặt phẳng sườn giữa tàu y0z: (g2) Tích phân theo thể tích ngâm nước từ 0 đến z: Thể tích ngâm nước tính đến chiều chìm z: (h) Cao độ tâm nổi: (i) Hoành độ tâm nổi: (k) Bán kính tâm nghiêng ngang ứng với chiều chìm z: (l) Bán kính tâm chúi ứng với chiều chìm z: (m) Các hệ số béo ứng với chiều chìm z: (n) (p) (q) (r) Như đã giới thiệu tại phần đầu chương này, các phương pháp tích phân số được sử dụng để thực hiện các phép tính trong sơ đồ (H.2.21). Sơ đồ tính như sau: Hình 2.21. Sơ đồ tính các yếu tố tính nổi - thuỷ lực Bắt đầu Tích phân: a, b, c, d, e Hết đường nước ? S Đ Tích phân f, g Đ Hết đường nước ? S Đ Hết đường sườn ? S Đ Tích phân h,i,k,l,m,n,p,q S Hết đường nước ? Đ In kết quả Kết thúc Theo cách làm vừa nêu, các phép tích phân thực hiện trong mỗi đường nước thuộc dạng sau: Trong đó a- vị trí đuôi tàu thuộc đường nước, đo tại mặt đối xứng dọc giữa tàu, b- vị trí sống mũi tàu đo tại đường nước tính toán, trong mặt đối xứng dọc. Vị trí của a và b thay đổi từ đường nước tới đường nước trên các tàu thông dụng. Các phép tính thực hiện tại mỗi sườn tàu thuộc dạng: , trong đó z biến theo chiều chìm, tính đến đường nước khảo sát. Tích phân dạng này cần thực hiện theo chương trình do người tính toán viết hoặc trực tiếp sử dụng phần mềm EXCEL. 2.4.6. Biểu đồ mang tên Firsov Tên gọi này chỉ thịnh hành tại đất nước đã sinh ra nhà khoa học tàu thuỷ đáng nể này. Trong sách giáo khoa của nước ta tên gọi biểu đồ Firsov được công nhận một cách chính thức, giống như được gọi ở Nga. Biểu đồ Firsov giúp cho người đọc tìm được thể tích phần chìm hoặc lượng chiếm nước, toạ độ tâm nổi phần chìm cho các trạng thái chúi của tàu. Khi đọc được chiều chìm tại mũi và lái của tàu, người đọc sử dụng biểu đồ Firsov để tìm giá trị thực của lượng chiếm nước ∆, cao độ tâm nổi ZB và hoành độ tâm nổi XB tại trạng thái ấy. Hình 2.22 Hình 2.14. Thủ tục lập biểu đồ Firsov theo thứ tự sau: - Xác định mớn nước lái d1 và mớn nước mũi dm ; - Xác lập đường nước qua hai vị trí trên; - Sử dụng biểu đồ Bonjean (hình 2.22) tính thể tích ngâm nước và toạ độ tâm nổi theo các công thức: Thể tích phần chìm của tàu: Momen thể tích phần chìm so với đáy x0y: Momen thể tích phần chìm so với mặt cắt ngang giữa tàu y0z: Cao độ tâm nổi, so với mặt đáy: Hoành độ tâm nổi, tính từ mặt cắt ngang giữa tàu: . 2.5. ỔN ĐỊNH TÀU Công việc liên quan tính toán ổn định tàu bao gồm: (a) Tính các đại lượng đặc trưng ổn định ban đầu; (b) Xây dựng họ đường cross curves (Pan-tô-ka-ren); (c) Xác lập đồ thị ổn định tĩnh, ổn định động; (d) Kiểm tra tính ổn định tàu theo tiêu chuẩn ổn định. 2.5.1. Ổn định ngang ban đầu Ở giai đoạn đầu của quá trình nghiêng tàu, với tàu có thể tích phần chìm không đổi V, tại góc nghiêng nhỏ, điểm M giao nhau giữa đường lực qua tâm nổi tức thời B' và tâm đối xứng mặt cắt ngang thân tàu chưa thay đổi vị trí. Có thể coi M đóng vai trò tâm quay cho tâm nổi B, còn bán kính cung quay là . Trong giai đoạn này giá trị phụ thuộc vào momen quán tính đường nước. Chừng nào giá trị chiều dài và chiều rộng đường nước thay đổi trong giới hạn hẹp, momen IT của đường nước chưa thay đổi đáng kể, tính theo công thức: . Thuật ngữ chuyên ngành gọi (hoặc r) là bán kính tâm ổn định ngang (hoặc bán kính tâm nghiêng ngang), còn M là tâm ổn định ngang (hoặc tâm nghiêng ngang), viết tắt từ Metacentre. Cao độ của điểm M so với mặt phẳng chuẩn đáy tính theo công thức: (2.49) Với một tàu cụ thể, khi biết cao độ trọng tâm so với chuẩn đáy, công thức tính chiều cao tâm ổn định ban đầu được tính như sau: (2.50) trong đó: - Cao độ trọng tâm so với mặt chuẩn đáy tàu. Trong tài liệu của Nga đang sử dụng ký hiệu h0 thay cho , Zg thay cho , r thay cho , ZC thay cho . Theo cách ký hiệu cuối này, công thức (2.25) sẽ có dạng tương ứng: h0 = (ZC + r) - Zg (2.51) Khi bị nghiêng trong phạm vi góc nhỏ tâm nổi B di chuyển trên cung gần như cung tròn có bán kính , tâm tại M. Khoảng cách giữa đường tác dụng của lực F và W từ hình 2.23 có thể xác định như sau: (2.52) trong đó: q là góc nghiêng của tàu so với mặt nước ở trạng thái tĩnh. Đại lượng có tên gọi tay đòn của momen ổn định tàu. Đại lượng momen ổn định được tính theo công thức: (2.53) Hình 2.23 Hình 2.15. Hình 2.23. Hình 2.24 Hình 2.16. Hình 2.24 Momen M có tên gọi theo chức năng của nó là momen hồi phục, ký hiệu Mph: (2.54) Công thức xác định có thể hiểu dưới dạng sau: trong đó . Từ công thức tính có thể hiểu theo cách sau: (2.55) Thành phần thứ nhất trong biểu thức bên phải của (2.55) phụ thuộc vào vị trí của điểm B', còn B' phụ thuộc hoàn toàn vào kích thước và hình dáng hình học phần chìm của tàu, do vậy có tên gọi tay đòn ổn định hình dáng. Thành phần thứ hai, ngược lại, chỉ phụ thuộc vào vị trí trọng tâm tàu tại một trạng thái chở hàng, không lệ thuộc vào hình dáng thân tàu, có tên gọi tay đòn ổn định trọng lượng. Các đại lượng hình học liên quan đến ổn định ban đầu được trình bày tại hình 2.24. Một số công thức kinh nghiệm giúp cho việc đánh giá sơ bộ các đại lượng trên dùng cho tàu chở hàng, có dạng sau: hoặc (2.56) hoặc (2.57) (2.58) (2.59) 2.5.2. Ổn định khi tàu nghiêng góc lớn Từ đồ thị miêu tả quĩ đạo tâm ổn định M và tâm nổi B trong quá trình tàu nghiêng có thể thấy rõ, tàu nghiêng đến góc đủ lớn, khoảng từ 10 - 150 trở lên, tâm M không còn nằm trên trục đối xứng, còn B di chuyển không phải trên cung gần tròn như ban đầu mà theo đường cong không thành luật. Độ tăng cánh tay đòn momen ngẫu lực giữa lực nổi và trọng lựợng không còn tuyến tính với góc nghiêng mà sang hẳn giai đoạn phi tuyến (H.2.25). Tại các góc nghiêng lớn bán kính ổn định theo nghĩa là khoảng cách theo chiều đứng giữa B'M', trong đó B', M' là vị trí nhất thời ứng với góc nghiêng đang xét, tính theo tỉ lệ giữa momen quán tính đường nước nghiêng và thể tích phần chìm tàu Hình 2.25 Hình 2.17. = Iq / V (2.60) Toạ độ tâm nổi B dời đến vị trí mới: Cánh tay đòn ổn định tính theo công thức quen thuộc: = Ycosq + (Z - )sinq - asinq Toạ độ tâm nổi tính theo công thức: YM = Y - sinq ZM = (Z - ) + cosq Khoảng cách khi tàu nghiêng tính theo công thức đã trình bày tại phần trên: Trong tính toán thực tế, tại mỗi chế độ tải nhất định, trọng tâm tàu được coi không di chuyển khi nghiêng tàu, do vậy = const. Nếu xác định được vị trí tâm nổi tức thời tại mỗi góc nghiêng, chúng ta dễ dàng xác định theo quan hệ sau (hình 2.26): Hình 2.30 Hình 2.18. Hình 2.26 Khoảng cách Lk xác định bằng phương pháp tính sẽ được trình bày tại phần tiếp theo của tài liệu. Với một giá trị của thể tích chiếm nước V không đổi, khi nghiêng tàu đến góc nghiêng xác định, giá trị Lk cũng được xác định cụ thể. Từ công thức (2.60) chúng ta dễ dàng thành lập đường cong , thay đổi theo góc nghiêng ứng với trường hợp V = const và = const. Với tàu vận tải thông thường = f(q) có dạng như minh hoạ trên hình 2.27. Hình 2.27 Đồ thị tay đòn ổn định hoặc lθ Hình 2.19. Đồ thị tay đòn ổn định GZ Momen phục hồi là tích số của lượng chiếm nước với tay đòn : Mph = ∆. (2.61) 2.5.3. Đồ thị ổn định Đồ thị ổn định được hiểu là đường momen ngẫu lực ghi trong (2.61), phụ thuộc vào góc nghiêng tàu. Momen này là tích số của tay đòn , biến thiên theo góc nghiêng tàu Hình 2.28 và lượng chiếm nước trọng lượng, có giá tị không đổi cho một trạng thái khai thác. Do vậy, đồ thị tay đòn = f(q) cũng được coi là đồ thị ổn định. Trong các phần tiếp theo của tài liệu khái niệm đồ thị ổn định được dùng cho cả hai đồ thị vừa nêu. Momen ngẫu lực vừa nêu được gọi là momen hồi phục. Mỗi đồ thị ổn định có thể thấy rõ ba đoạn (hình 2.28). Đoạn đầu, phụ thuộc vào chiều cao tâm ổn định ban đầu, với giá trị dương, đồ thị sẽ tăng nhanh hoặc chậm tuỳ thuộc vào độ lớn . Miền tăng kết thúc tại vị trí cực trị ứng với góc qm. Trong đoạn tiếp theo đường cong vẫn mang giá trị dương song theo xu hướng giảm dần. Giai đoạn này kết thúc tại góc lặn qV, tại đây trở lại giá trị 0. Đoạn tiếp theo < 0. Trên đồ thị ổn định có thể biểu diễn độ dốc của đường cong ổn định dưới dạng tiếp tuyến với đồ thị ổn định, xuất phát của tiếp tuyến từ gốc toạ độ. Chiều cao tâm ổn định ban đầu dọc trên đường tiếp tuyến tại vị trí q = 5703. 2.5.3.1. Những trường hợp thực tế thường gặp trên các tàu thông dụng Chiều cao tâm ổn định ban đầu lớn, kéo theo sự tăng của (q) lớn. Momen phục hồi tăng nhanh nên khả năng chống đỡ momen ngoại lực của tàu thể hiện rất rõ nét. Trong trường hợp này tàu được xếp vào loại "tàu cứng" về mặt ổn định song tính chịu lắc kém (hình 2.29). Hình 2.29 Tàu có chiều cao tâm ổn định ban đầu không lớn, độ tăng momen phục hồi chậm, phản ứng với momen nghiêng không nhanh, nhạy. Trên đường cong ổn định thường có vết lõm, nói lên sự tăng chậm của momen hồi phục. Tàu quay lại vị trí ban đầu không nhanh nên quá trình này xảy ra dịu dàng, dễ chịu. Tuy nhiên thường đi đôi với sự tăng chậm của momen hồi phục là sự tắt sớm của momen này. Trong những trường hợp như vậy góc lặn không lớn (hình 2.30). Hình 2.30 Hình 2.23. Tàu chở gỗ trên boong có đường ổn định khác tàu thông thường. Ứng với giá trị , đường mang giá trị âm ngay từ giai đoạn đầu. Bắt đầu từ khi mép boong tàu chạm nước tay đòn hình dáng mới quay lại giá trị dương (hình 2.31). Hình 2.31 Tàu với lầu kín nước ổn định mang hình ảnh gồm hai đỉnh như trên hình 2.32. Hình 2.32 Với tàu trọng tâm không nằm trùng trục đối xứng giữa tàu, đồ thị ổn định có dạng không đối xứng qua trục toạ độ (hình 2.33). Hình 2.33 2.5.4. Thuật toán xác lập họ đường Pan-tô-ka-ren Họ đường Lk = f(V,q) lập cho trường hợp Vi = const, i = 1, 2, ... với góc nghiêng thay đổi từ 0 đến góc bất kỳ, ví dụ đến 900, mang tên gọi Pan-tô-ka-ren. Thuật ngữ chuyên ngành bằng tiếng Anh viết là cross curves. Cần lưu ý người đọc về các ký hiệu không trùng nhau giữa tài liệu các nước. Trong tài liệu này chúng tôi sử dụng các qui ước và ký hiệu dùng chung cho tất cả các nước và một số ký hiệu được thể hiện trong các tài liệu viết bằng tiếng Nga. Tay đòn hình dáng Lk được đo từ điểm K (keel) giao điểm của sống chính với mặt cắt ngang giữa tàu, đến hướng tác động lực qua tâm nổi B' của phần chìm tàu trong thời điểm tính toán, ứng với góc nghiêng cho trước (H 2.26). Điểm K cố định trong mọi trường hợp tính toán. Theo tài liệu xuất bản tại Nga, người ta thường lấy tâm nổi tại trục đối xứng ký hiệu C, tại thời điểm góc nghiêng bằng 0 làm chuẩn rồi từ đó đo khoảng cách đến đường tác dụng của lực nổi. Hai cách làm trên đây, theo kiểu vừa trình bày và theo cách làm tại Nga, đưa đến cách đo khác nhau về tay đòn hình dáng trong đồ thị Pan-tô-ka-ren. Trong Module AUTOHYDRO thuộc phần mềm AUTOSHIP đồ thị mang tên Pan-tô-ka-ren được xây dựng ứng với điểm K nắm cố định trên ky tàu. Do vậy bạn đọc chú ý điểm khác nhau này giữa cách tính của người Nga so với cách tính của các nước khác để kiểm soát kết quả tính toán và xây dựng cánh tay đòn ổn định tĩnh l(q). 2.5.3.2. Thuật toán xác định tâm nổi Để xác định toạ độ tâm nổi B' cho góc nghiêng bất kỳ, xét trong hệ toạ độ chung toàn tàu, tiến hành bằng cách rời rạc hoá bài toán theo các bước sau: 1- Phân chia toàn bộ chiều dài tàu thành những phân đoạn, có chiều dài phân đoạn ngắn hơn nhiều lần chiều dài tàu. Chiều dài các phân đoạn không nhất thiết bằng nhau. Mỗi phân đoạn rất ngắn kiểu này được coi như một khối trụ dài đúng bằng chiều dài phân đoạn, mặt cắt ngang của lăng trụ đúng như mặt cắt ngang giữa lăng trụ. 2- Trong mỗi phân đoạn tiến hành tính thể tích phần chìm, tâm nổi phần chìm so với đáy, so với mặt ngang chuẩn, cụ thể so với mặt cắt ngang giữa tàu. 2.5.3.3. Thuật toán tính thể tích và momen tĩnh lăng trụ Tại mỗi mặt sườn tiến hành kẻ nhiều đường nước nghiêng dưới góc q so với mặt đáy, cắt sườn tàu. Tại mỗi chiều chìm Z, tính trên trục 0z, kẻ đường nước song song với mặt thoáng nước tĩnh. Xác định các giá trị hỗ trợ a, b, c (hình 2.34) theo công thức: Hinh 2.34 Hình 2.27. (2.62) trong đó: y - nửa chiều rộng tàu, đo tại mớn nước Z, cho sườn đang xét. t - khoảng cách từ giao điểm mặt đường nước nghiêng tại đáy đến mặt cắt dọc giữa tàu. Diện tích mặt sườn, phần nằm dưới đường nước nghiêng: (2.63) Momen tĩnh so với mặt phẳng chuẩn đáy: (2.64) Momen tĩnh so với mặt phẳng sườn giữa : (2.65) 3- Tính thể tích phần chìm của tàu và toạ độ tâm nổi của phần chìm, nằm dưới một đường nước nghiêng, khi đã xác định A(x), MB(x), Mc(x). Thể tích phần chìm: (2.66) Hinh 2.35 Khoảng cách và được xác định như sau: (2.67 (2.68 Mọi giá trị c(z) đo trên bản vẽ phải là những giá trị thật, có nghĩa c(z) ³ 0. Những trường hợp thường gặp khi đọc c(z) và cách hiệu chỉnh như sau (Hình 2.35). Nếu c ³ 2y giá trị thật của c = 2y và b = 0. Nếu c £ 0 thì c = 0 và b = 0. 2.5.4. Thuật toán xây dựng đồ thị Pan-to-ka-ren Đồ thị pan-to-ka-ren (tiếng Anh: Cross Curves) có dạng (H.2.37): Sơ đồ tính toán được giới thiệu tại hình 2.36. Hình 2.36 NHẬP DỮ LIỆU NHẬP TOẠ ĐỘ VỎ TÀU TÍNH a, b, c HẾT ĐƯỜNG NƯỚC S Đ TÍNH A(x), MB(x), MC(x) HẾT ĐƯỜNG NƯỚC? S Đ TÍNH V, RB, SB, KN S HẾT ĐƯỜNG NƯỚC? Đ HẾT CÁC GÓC NGHIÊNG S Đ IN KẾT QUẢ 2.4.5. Dựng đồ thị ổn định trên cơ sở Pan-to-ka-ren Hình 2.36. Sơ đồ tính toán đồ thị cánh tay đòn ổn định hình dáng 2.5.5. Xây dựng đường cong ổn định từ đường cong Pan-tô-ca-ren Hình 2.37 Hình 2.31. Xây dựng đồ thị ổn định tĩnh. Hình 2.37 Hình 2.30. Pantokaren. TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Thị Hiệp Đoàn (1997), Lý thuyết tàu, Đại học Hàng hải. 2. Tạ văn Đỉnh (1992), Phương pháp tính, Nhà xuất bản Giáo dục. 3. Nguyễn Thế Hùng (2003), Các phương pháp tính tích phân, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh. 4. Hồ Quang Long (2003), Sổ tay thiết kế tàu thủy, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật. 5. Phạm Tiến Tỉnh, Lê Hồng Bang, Hoàng Văn Oanh (1997), Lý thuyết thiết kế tàu thủy, Đại học Hàng hải . 6. Bùi Minh Trí (2004), Giáo trình toán ứng dụng trong tin học, Nhà xuất bản Giáo dục. 7. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đỉnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2005), Toán học cao cấp tập I và II, Nhà xuất bản Giáo dục. 8. ВАШЕДЧЕНКО А. Н. (1985), Автоматизированное проектирование судов, Л. Судостроение. 9. РАКОВ А. И. (1978), Оптимизация основных характеристик и элементов промысловых судов, Л. Судостроение. 10. АШИК В. В. (1985), Проектирование судов, Л. Судостроение. 11. Robert B. Zubaly (2004), Applied Naval Architecture Manufactured in the United States of America. 12. Kobylinski L. K. & Kastner S. (2005), Stability and Safety of Ships, Volume I, Elsevier Amsterdam- Boston- Heldenberg- London- New York- Oxford- Paris- San Diego- San Francisco- Singapore- Sydney- Tokyo. 13. Edward V. , Editor (1988), Principles of Naval Architecture, Published by The Society of Naval Architects and Marine Engineers, Volume I. 14. Edward V. , Editor (1988), Principles of Naval Architecture, Published by The Society of Naval Architects and Marine Engineers, Volume II.