Ôn thi đại học môn Toán Chuyên đề - Bất đẳng thức

[Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC I. Một số ghi nhớ *Định nghĩa: 0 baba . * cacbba  , * cbcaba  * dbcadcba  , * bcaccba  0, * bcaccba  0, * bdacdcba  0,0 * 00,  bdacdcba * Nnbaba nn  0 * nNnbaba nn , lẻ * mnaaa mn 1 * mnaaa mn  10 * NnRaa n  ,,02 , dấu = xảy ra khi a=0 * Rbaabba  ,,4)( 2 , dấu = xảy ra khi ba  (tương ứng) * Rbababa  ,,022 , dấu = xảy ra khi 0 ba * Raaa  ,|| , dấu = xảy ra khi 0a hoặc 0a (tương ứng) * Rbababa  ,|,||||| , dấu = xảy ra khi 0ab hoặc 0. ba (tương ứng) * Rbababa  ,||,|||||| , dấu = xảy ra khi 0ab hoặc 0. ba (tương ứng) * 1|cos|,1|sin|  xx * bababa  ,|,|||||  dấu = xảy ra khi 0,  kbka  . * bababa  ,|,|||||  dấu = xảy ra khi 0,  kbka  . * bababa  ,||,||||||  dấu = xảy ra khi 0,  kbka  . * bababa  ,||,||||||  dấu = xảy ra khi 0,  kbka  . * Bất đẳng thức Côsi Cho n số không âm naaa ,...,, 21 khi đó ta có n nn aaanaaa ...... 2121  ; dấu "=" xảy ra khi naaa  ...21 . * Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cho hai dãy số naaa ,...,, 21 và nbbb ,...,, 21 khi đó ta có )...)(...()...( 222 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa  ; dấu "=" xảy ra khi n n b a b a b a  ... 2 2 1 1 . Trường hợp đặc biệt: với mọi số thực x, y, z ta có *   222 22222 22 1.1.)11)((           yxyx yxyx [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) dấu "=" xảy ra khi yx  . *   2222 2222222 33 1.1.1.)111)((           zyxzyx zyxzyx dấu "=" xảy ra khi zyx  . II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phương pháp sử dụng định nghĩa Để chứng minh ba  ta chứng minh 0ba . Ví dụ 1: Với mọi số thực x, y, z. Chứng minh rằng: a. zxyzxyzyx  222 b. zxyzxyzyx 222222  c. )(23222 zyxzyx  d. )(444 zyxxyzzyx  Hướng dẫn giải: Ta xét hiệu a. .,,0])()()[( 2 1 )222222( 2 1 222 222222 Rzyxxzzyyx zxyzxyzyxzxyzxyzyx   Dấu “=” xảy ra khi zyx  . b.Ta xét hiệu Rzyxzyxzxyzxyzyx  ,,0)(222 2222 . Dấu “=” xảy ra khi zyx  . c.Ta xét hiệu Rzyxzyxzyxzyx  ,,)1()1()1()(23 222222 . Dấu “=” xảy ra khi 1 zyx . d.Ta xét hiệu   0])()()[( 2 1 )()()( 2 1 222222 2 1 )( 222222222222222 222444 222444444          xzzyyxxyzxzyyzx xyzzxyyzxzyx xyzzxyyzxzyxzyxxyzzyx với mọi số thực x, y, z. Dấu “=” xảy ra khi zyx  . Ví dụ 2: Với mọi số thực a, b, c, d. Chứng minh rằng: [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) )1(12222  dcbadcba . Hướng dẫn giải: Ta xét hiệu 0])2()2()2()2[( 4 1 )]1(444444[ 4 1 )1(1 2222 22222222   adacaba dcbadcbadcbadcba Với mọi số thực a, b, c, d. Dấu “=” xảy ra khi 1,2  dcba . 2.Phương pháp biến đổi tương đương Chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với một bất đẳng thức đúng. Ví dụ 3: Với mọi số thực a, b, c, d, e. Chứng minh rằng: a. baabba  122 b. )(22222 edcbaedcba  c. ))(())(( 4488221010 babababa  Hướng dẫn giải: a. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 0])1()1()[( 2 1 01 22222  bababaabba . Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi 1 ba . b. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 0 2222 0)( 2222 22222                          e a d a c a b a edcbaedcba Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi edcba 2222  . c. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 0)()( 0))((0)()( 00))(())(( 422422222 66222222282228 84482102104488221010    bbaababa bababaababbaba babaabbababababa Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi ba  hoặc ba  hoặc 0a hoặc 0b . Ví dụ 4: Với các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện yxxy  ,1 . Chứng minh rằng: 22 22    yx yx . Hướng dẫn giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) 0)2( 02)2(222202)2(2222 022220 2222 022 2 222222 22 2222         yx xyyxyxyxyx yxyx yx yxyx yx yx Bất đẳng thức trên luôn đúng, dấu “=” xảy ra khi         yx xy yx 1 02 hay            2 62 2 62 y x hoặc            2 62 2 62 y x . Ví dụ 5: Với mọi số thực dương x, y, z . Chứng minh rằng: 21        xz z zy y yx x . Hướng dẫn giải: Ta có yxz z xz z zyx y zy y zyx x yx x        ;; . Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra 1      xz z zy y yx x . Bạn đọc dễ dàng chứng minh được yxz xz xz z zyx xy zy y zyx zx yx x           ;; Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra 2      xz z zy y yx x . 3.Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi Ví dụ 6: Với mọi số thực a, b, c không âm. Chứng minh rằng: abcaccbba 8))()((  . Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho từng cặp hai số không âm ta được abba 2 bccb 2 acca 2 [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Nhân vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi a=b=c. Ví dụ 7: Giải phương trình 2 3 42 1 12 4 14 2       xxx x x x . Hướng dẫn giải: Đặt             2 0, 4 2 ab ba b a x x . Phương trình trên trở thành 2 31 11       baa b b a . Vế trái của phương trình . 2 3 3 ))(1)(1( 1 .3.))(1)(1(.3 2 1 3) 1 1 1 1 1 )](()1()1[( 2 1 3) 1 1 1 1 1 )(1( 3)1 1 ()1 1 ()1 1 ( 1 11 3 3                             baba baba baab baba baab ba baa b b a baa b b a Như vậy, vế trái  vế phải. Dấu “=” xảy ra khi 01 1          x ba b a . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=0. Ví dụ 8: Với số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức 111       z z y y x x P . Hướng dẫn giải: Ta có ) 1 1 1 1 1 1 (3 1 11 1 11 1 11                zyxz z y y x x P . Vì x+y+z=1 nên   . 4 9 )2)(2)(2( 1 .3.)2)(2)(2(.3. 4 1 ) 2 1 2 1 2 1 ).()2()2()2( 4 1 ) 111 ).(( ) 1 1 1 1 1 1 ).(( 1 1 1 1 1 1 3 3                           yxzzxyzyx yxzzxyzyx yxzzxyzyx yxzzxyzyx yxzzzxyyzyxx zyx zyx zyx zyx [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Vì vậy, . 4 3 4 9 3 P Suy ra GTLN của P là 4 3 , đạt được khi x=y=z=1/3. Ví dụ 9: Với mọi bộ ba số a, b, c là ba cạnh của một tam giác. CMR: .3      cba c bca b acb a Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta được 3 ))()(( .3 cbabcaacb abc cba c bca b acb a        . Ta lại có 2 2 2 ))(( a bcacba bcacba         , tương tự 2))(( bcbaacb  , 2))(( cbcaacb  . Từ đó, suy ra .))()(( abcbcacbaacb  Vì vậy, 3.3 3       abc abc cba c bca b acb a . Dấu “=” xảy ra khi a=b=c. 4.Phương pháp dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Ví dụ 10: Với mọi số thực x. CMR: . 8 1 sincos 88  xx Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số )sin,(cos 44 xx và (1, 1), ta có   . 2 )sin(cos sincossincos)11)(sin(cos 244 882442288 xxxxxxxx   Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số )sin,(cos 22 xx và (1, 1), ta được   . 2 1 sincos1sincos)11)(sin(cos 44 2222244  xxxxxx Vì vậy, . 8 1 sincos 88  xx Dấu “=” xảy ra khi . 24 02cossincos 22  k xxxx  Ví dụ 11: Với mọi bộ bốn số thực a, b, c, d. CMR: .)()( 222222 dcbadbca  [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Hướng dẫn giải: Bình phương hai vế, 2222 2222222222 2)()( dcbabdac dcdcbabadbca   Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số (a, b); (c, d) ta suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi . d b c a  Ví dụ 12: Giải hệ phương trình: . 532 532 22      yx yx Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số )3;2( yx và )3;2( ta suy ra   532)32(32)32(25 22222  yxyxyx . Hệ phương trình trên chỉ có nghiệm khi .1 3 3 2 2  yx yx 5.Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Ví dụ 13: Với hai số thực không âm x, y thỏa mãn điều kiện: x+y=1. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức: 33 2yxP  . Hướng dẫn giải: Ta có y=1-x, suy ra 33 )1(2 xxP  . Xét hàm số 33 )1(2)( xxxf  trên [0, 1]. Có )22)(22(3)1(63)( 22  xxxxxf . Hàm số đồng biến trên khoảng )1,22(  và nghịch biến trên khoảng )22,0(  . .1)1(,)12(2)22(,2)0( 2  fff Vậy 2)12(2min P tại )21,22(  yx , và 2max P tại )1,0(  yx . Ví dụ 14: Với hai số thực x, y lớn hơn e thỏa mãn x>y. CMR: y x y x  ln ln . Hướng dẫn giải: Bất đẳng thức trên tương đương với y y x x lnln  . Xét hàm số t t tf ln )(  trên khoảng ),( e . Ta có .0 ln1 )( 2 et t t tf    Vậy, )(tf là hàm số nghịch biến trên khoảng ),( e . Suy ra )()( yfxf  (đpcm). 6.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức véc tơ [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Ví dụ 15: Với mọi số thực a. CMR: 211 22  aaaa . Hướng dẫn giải: Xét hai véc tơ ) 2 3 ; 2 1 (), 2 3 ; 2 1 (  avau  . Khi đó, bất đẳng thức trên được viết thành |||||| vuvu   , luôn đúng. Dấu “=” xảy ra khi 0 2 3 2 3 2 1 2 1     a a a vku  . III. Giới thiệu một số bài toán trong các đề thi đại học từ năm 2003-2014 Bài 1 (ĐH-khối A năm 2003): Với x, y, z là ba số dương và 1 zyx . CMR: 82 111 2 2 2 2 2 2  z z y y x x . Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức về véc tơ và bất đẳng thức Côsi. Xét ) 1 ;(), 1 ;(,) 1 ;( z zc y yb x xa  . Khi đó, vế trái của bất đẳng thức trên là .8280162 80 111 )(18 )(80 111 )(81 111 )(|||||||| 2 2 2 2 2                       zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyxcbacba  Dấu “=” xảy ra khi . 3 1  zyx Bài 2 (ĐH-khối A năm 2005): Với x, y, z là ba số dương và 4 111  zyx . CMR: 1 2 1 2 1 2 1       zyxzyxzyx . Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Vì 0,), 11 ( 4 11 4)( 2    ba baba abba . [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Suy ra,           ) 11 ( 4 1 2 1 4 1 ) 1 2 1 ( 4 1 2 1 zyxzyxzyx ,           ) 11 ( 4 1 2 1 4 1 ) 1 2 1 ( 4 1 2 1 zxyzxyzyx ,           ) 11 ( 4 1 2 1 4 1 ) 1 2 1 ( 4 1 2 1 yxzyxzzyx . Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi 4 3  zyx . Bài 3 (ĐH-khối B năm 2005): CMR với mọi số thực x thì ta có xxxxxx 543) 3 20 () 4 15 () 5 12 (  . Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi. xxx 3.2) 4 15 () 5 12 (  , xxx 5.2) 3 20 () 5 15 (  , xxx 4.2) 3 20 () 5 12 (  . Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được đpcm. Bài 4 (ĐH-khối D năm 2005): CMR với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn 1xyz . 33 111 33 3333       zx xz yz zy xy yx . Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi. xyxy yx xyyx 31 31 33 33    , tương tự yzyz zy 31 33   , zxzx xz 31 33   . Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta suy ra 33 1 33 333111 3 333333       xyzzxyzxyzx xz yz zy xy yx . Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1. Bài 5 (ĐH-khối A năm 2006): Với mọi số thực khác 0 và thỏa mãn xyyxxyyx  22)( . Tìm giá trị nhỏ nhất của 33 11 yx A  . Hướng dẫn giải: [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Từ giả thiết ta suy ra xyyxyx 11111 22  . Đặt y b x a 1 , 1  thì abbaba  22 . Ta có 40 2 3)(3)( 2 2 22 2                ba ba baabbaba ba ab . Ta lại có 16)())(( 11 22233 33  baabbababa yx A . Vậy, GTLN của A là 16 xảy ra khi a=b và a+b=4 hay x=y=1/2. Bài 6 (ĐH-khối B năm 2006): Tìm giá trị nhỏ nhất của |2|)1()1( 2222  yyxyxA . Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp tọa độ và đạo hàm: Xét M(x-1; -y), N(x+1; y) ta có MNONOM  nên |2|44|2|)1()1( 22222 yyyyxyxA  . Xét hàm số |2|44)( 2  yyyf . TH1: Nếu 325244)(244)(2 22  yyfyyyfy . TH2: Nếu 32 1 12 )('244)(2 min2 2 2     f y yy yfyyyfy . Vậy, GTNN của A là 32  xảy ra khi x=0 và 3 3 y . Bài 7 (ĐH-khối A năm 2007): Với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn 1xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của yyxx yxz xxzz xzy zzyy zyx P 2 )( 2 )( 2 )( 222          . Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: xxxyxzyx 22)( 22  , tương tự yyzxy 2)(2  , zzyxz 2)(2  . Đặt xxzzczzyybyyxxa 2,2,2  thì ta có 9 24 , 9 24 , 9 24 acb zz cba yy bac xx       . Suy ra, [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)   .2633.4 9 2 6)()(4 9 2 242424 9 2                     a c c b b a a b c a b c a acb c cba b bac P Vậy, GTNN của P là 2 xảy ra khi 1 zyx . Bài 8 (ĐH-khối B năm 2007): Với mọi số thực dương x, y, z . Tìm giá trị nhỏ nhất của                    xy z z zx y y yz x xP 1 2 1 2 1 2 . Hướng dẫn giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có ta có     . 2 9 2 3 2 3 2 3 11 2 111 2 111 2 1 111 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 222 222 222                                         zz z yy y xx x yxz zyx yz x xy z zx y xy z zx y yz x zyxP Vậy, GTNN của P là 2 9 xảy ra khi 1 zyx . Bài 9 (ĐH-khối B năm 2008) Với mọi số thực x, y thỏa mãn 122  yx . Tìm GTLN và GTNN của: 2 2 221 )6(2 yxy xyx P    . Hướng dẫn giải: Nếu x=0 thì P=0. Nếu 0x thì đặt y=kx. Khi đó, 1)1( 22  kx và 22222 22 321 )61(2 32 )6(2 kk k xkkxx kxx P       . Suy ra, 02)6(23 2  PkPPk . TH1: Nếu k=-1/6 thì P=0. TH2: Xét 0P , để pt trên có nghiệm thì 3603662 2  PPP . Vậy GTNN của P là -6 , GTLN của P là 3. Bài 10 (ĐH-khối D năm 2008) Với mọi số thực x, y không âm. Tìm GTLN và GTNN của: 22 )1()1( )1)(( yx xyyx P    . Hướng dẫn giải: [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) . 4 1 )1( )1)(( )1()1( |)1)((| || 222        xyyx xyyx yx xyyx P Vậy GTNN của P là -1/4 , GTLN của P là 1/4. Bài 11 (ĐH-khối A năm 2009): CMR với mọi số thực dương x, y, z và thỏa mãn xyzyxx 3)(  , ta có 333 )(5))()((3)()( zyzyzxyxzxyx  . Hướng dẫn giải: Đặt zyczxbyxa  ,, . Từ giả thiết ta suy ra abbac  222 , suy ra cbabababaabbac 2)( 4 1 )( 4 3 )(3)( 22222  (*). Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 0,,;53 333  cbacabcba . .53)( 53)(53))((53 2 32322333 cabcba cabccbacabcabbabacabcba   Từ (*) ta suy ra 22)( ccba  và 22 3)( 4 3 3 cbaab  , từ đây suy ra đpcm. Dấu “=” xảy ra khi a=b=c hay x=y=z. Bài 12 (ĐH-khối B năm 2009): Với mọi số thực x, y thỏa mãn 24)( 3  xyyx . Tìm GTNN của biểu thức 1)(2)(3 222244  yxyxyxA . Hướng dẫn giải: Ta dễ thấy xyyx 4)( 2  , kết hợp với điều kiện 24)( 3  xyyx , suy ra 1 yx . 1)(2)( 4 9 1)(2)( 4 3 )( 2 3 1)(2)( 2 3 )( 2 3 1)(2)(3 2222222222222 2244222222244   yxyxyxyxyx yxyxyxyxyxyxA . Đặt 2 1 2 )( 222    yx tyxt . Do đó 12 4 9 2  ttA . Xét hàm số 2 1 ,12 4 9 )( 2  ttttf . Ta có 2 1 ,02 2 9 )(  tttf . Suy ra 16 9 )2/1(minmin  ffA . Xảy ra khi x=y=1/2. Bài 13 (ĐH-khối D năm 2009): Với mọi số thực không âm x, y thỏa mãn 1 yx . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức yxyyxA 25)34)(34( 22  . Hướng dẫn giải: 1221634)](3)[(1216 259)(121625)34)(34( 22322 332222   xyyxxyyxxyyxyx xyxyyxyxxyxyyxA . Đặt xyt  , ta được 12216 2  ttA [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Ta dễ thấy 4 1 0 4 1 4 )( 0 2    t yx xy . Xét hàm số 4 1 0,12216)( 2  ttttf . Ta có 16 1 0)(232)(  ttfttf . Ta có f(0)=12; f(1/16)=191/16; f(1/4)=25/2. 16 191 )6/1(minmin  ffA . Xảy ra khi      16/1 1 xy yx hay           4 32 ; 4 32 );( yx hoặc           4 32 ; 4 32 );( yx 2 25 )4/1(maxmax  ffA . Xảy ra khi      4/1 1 xy yx hay        2 1 ; 2 1 );( yx . Bài 14 (ĐH-khối B năm 2010): Với mọi số thực không âm x, y, z thỏa mãn 1 zyx . Tìm GTNN của biểu thức 222222222 2)(3)(3 zyxzxyzxyxzzyyxA  . Hướng dẫn giải: )(212)(3)( 2 zxyzxyzxyzxyzxyzxyA  . Đặt zxyzxyt  , ta được tttA 21232  Ta dễ thấy 3 1 0 3 1 3 )( 0 2    t xyx zxyzxy . Xét hàm số 3 1 0,2123)( 2  tttttf . Ta có 3 1 00 )21( 2 2)( 21 2 32)( 2/3      t t tf t ttf . Suy ra f’(t) là hàm số đồng biến trên miền xác định của t. )(1)0()( tfftf  là hàm số đồng biến. Suy ra 2)0(minmin  ffA . Xảy ra khi xy=yz=zx; xy+yz+zx=0 và x+y+z=1, hay (x, y, z)=(1, 0, 0) hoặc (x, y, z)=(0, 1, 0) hoặc (x, y, z)=(0, 0, 1). Bài 15 (ĐH-khối A năm 2011): Với mọi số thực x, y, z nằm trong đoạn [1; 4] thỏa mãn zxyx  , . Tìm GTNN của biểu thức xz z zy y yx x P       32 . Hướng dẫn giải: z x y z x y P       1 1 1 1 32 1 . Bạn đọc dễ chứng minh được abba      1 2 1 1 1 1 (*) với 0,,1  baab . Dấu “=” xảy ab=1 hoặc a=b. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Áp dụng (*) cho P, ta được y x x y P     1 2 32 1 . Đặt y x t  , vì  2,1]4,1[,,  tyxyx . Khi đó, tt t P     1 2 32 2 2 . Xét hàm số ]2,1[, 1 2 32 )( 2 2      t tt t tf . Ta tính được ]2,1[,0 )1()32( 1831838 3)( 222 234     t tt tttt tf . Suy ra f(t) là hàm số nghich biến trên đoạn [1, 2]. 33 34 )2(  fP . Dấu “=” xảy ra khi x=4, y=1, z=2. Bài 16 (ĐH-khối B năm 2011): Với mọi số thực dương a, b thỏa mãn )2)(()(2 22  abbaabba . Tìm GTNN của biểu thức              2 2 2 2 3 3 3 3 94 a b b a a b b a P . Hướng dẫn giải: Vì )2)(()(2 22  abbaabba nên              ba ba a b b a 11 2)(12 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có                    b a a b ba ba ba ba 222 11 2).(2 11 2)( . Suy ra 2 5 22212              a b b a b a a b a b b a . Đặt 2 5 ,181294 23  ttttP a b b a t . Xét hàm số 2 5 ,0)232(6)( 2 5 ,181294)( 223  ttttftttttf . 4 23 ) 2 5 (  fP . Dấu “=” xảy ra khi        ba ba a b b a 11 2, 2 5 , hay (a, b)=(1, 2) hoặc (a, b)=(2, 1). Bài 17 (ĐH-khối A năm 2012): Với mọi số thực x, y, z thỏa mãn 0 zyx . Tìm GTNN của biểu thức )(6333 222|||||| zyxP yxyxyx   . Hướng dẫn giải: Trước hết ta chứng minh 0,13  ttt . Thật vậy, xét hàm số [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) 0,013ln3)(0,13)(  ttftttf tt . Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên miền đang xét, và 0,130)0()(  ttftf t . Vì vậy, ta có 3||||||333 ||||||   xzzyyxyxyxyx (*). Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối |||||| baba  . Ta có )|||||(|2|||||| |||||||)||(||||)||(||| |)||(||||||||||)||||(| 222222 222 2222 xzzyyxxzzyyx xzzyyxzyyxxzxzyxzy xzzyyxxzzyyxxzzyyx    Do đó, )(6)(2)(6 )|||||(|2|||||| 2222222 222 zyxzyxzyx xzzyyxxzzyyx   . Suy ra 0)(6|||||| 222  zyxxzzyyx (**). Từ (*) và (**) ta suy ra 3P . Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=0. Bài 18 (ĐH-khối B năm 2012): Với mọi số thực x, y, z thỏa mãn 0 zyx , 1222  zyx . Tìm GTLN của biểu thức 555 zyxP  . Hướng dẫn giải: Vì 0 zyx , 1222  zyx nên 1222212)(2)(0 222222  xyzyzxyzzyxzyxzyx . Mà 222 12 xzyyz  , suy ra        3 6 ; 3 6 112 22 xxx . )2( 4 5 )1)()(1( )())(( 322222 2233225555 xxzxyyzxxxx zyzyzyzyxzyxP   Xét hàm số xxxf  32)( trên đoạn        3 6 ; 3 6 , ta có 0)(16)( 2  xfxxf khi 6 6 x . Ta tính được 9 6 ) 6 6 () 3 6 (; 9 6 ) 6 6 () 3 6 (  ffff . Suy ra 36 65 9 6 )(  Pxf . GTLN của P là 36 65 , xảy ra khi 6 6 , 3 6  zyx . [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Bài 19 (ĐH-khối D năm 2012): Với mọi số thực x, y thỏa mãn 322)4()4( 22  xyyx . Tìm GTNN của biểu thức )2)(1(333  yxxyyxP . Hướng dẫn giải: Vì 800)(8)(322)4()4( 222  yxyxyxxyyx . 6)( 2 3 )(3)(66)(3)( 233  yxyxyxxyyxyxP . Đặt ]8,0[ tyxt . Xét hàm số , 2 51 0)(,333)(63 2 3 )( 223   ttftttfttttf hoặc 2 51 t (loại). . 4 5517 )(398)8(; 4 5517 ) 2 51 (;6)0(       tffff Vậy GTNN của A là 4 5517  , xảy ra khi 4 51  yx . Bài 20 (ĐH-khối A năm 2013): Với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn 24))(( ccbca  . Tìm GTNN của biểu thức c ba ca b cb a P 22 3 3 3 3 )3( 32 )3( 32       . Hướng dẫn giải Đặt 3,  yxxy c b y c a x . Khi đó, 22 3 3 3 3 )3( 32 )3( 32 yx x y y x P      . Ta có 0,,)( 4 1 )()( 4 3 )()(3)( 323333  vuvuvuvuvuvuuvvuvu . Suy ra 3 23 3 3 3 3 9)(3 )(32)( 8 33 8 )3( 32 )3( 32                      yxxy yxxyyx x y y x x y y x . [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Thay xy=3-(x+y) vào ta dẫn đến 3 3 2 3 3 3 3 )1( 9)(3 )(32)( 8 )3( 32 )3( 32             yx yxxy yxxyyx x y y x . Suy ra )3(2)()1()1( 23223 yxyxyxyxyxP  Đặt t=x+y, ta có t>0 và 62)1( 23  tttP . 2)( 4 )( 3 2    tyx yx yxxy . Xét hàm số 2,62)1()( 23  tttttf . 2,0 2 3 3 )1( 7 1 1 3 62 1 )1(3)( 2 2 2        t t tt t ttf . Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên miền đang xét. 21)2()(  ftf . GTNN của P là 21 , xảy ra khi a=b=c. Bài 21 (ĐH-khối D năm 2013): Với mọi số thực dương x, y thỏa mãn 1 yxy . Tìm GTLN của biểu thức )(6 2 3 22 yx yx yxyx yx P       . Hướng dẫn giải Vì x, y>0 và 4 1 0 4 1 ) 2 11 ( 4 1 ) 11 ( 1 01 2 222    y x yyyy y y xy yxy . Đặt 4 1 0  t y x t . Suy ra )1(6 2 3 1 )1(6 2 3 1 22                  t t tt t y x y x y x y x y x P . Xét hàm số 4 1 0, )1(6 2 3 1 )( 2        t t t tt t tf , ta có 4 1 0,0 2 1 33.2 17 )1(2 1 )3(2 37 )( 232         t ttt t tf . [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Vậy f(t) là hàm số đồng biến trên miền đang xét 30 7 3 5 max 30 7 3 5 )4/1()(  Pftf xảy ra khi x=4y và 1 yxy hay (x=1/2; y=2). Bài 22 (ĐH-khối A năm 2014): Với mọi số thực dương không âm x, y, z thỏa mãn 2222  zyx . Tìm GTLN của biểu thức 9 1 112 2 yz zyx zy xyzx x P        . Hướng dẫn giải Theo giả thiết, ta có )1(2)(0 2 yzxzxyzyx  , )1()1()1(12  zyxxyzxzxyzyxxxyzx . Suy ra 1)1(1 2 2 2      zyx x zyxx x xyzx x . Ta lại có, . 4 )( )1()1(4 ])([22)(2222)(2)( 2 222222 zyx yzyz zyxyzzyxyzyzzyxzyxzyx    Vì vậy, ta suy ra 36136 )( 1 22 t t tzyx zyx zyx P         . Với 0 tzyxt và 606)(3)( 22222  tzyxzyxt . Xét hàm số 60, 361 )( 2    t t t t tf , ta có 0)( )1(18 )94)(2( 18)1( 1 )( 2 2 2       tf t tttt t tf tại t=2. 9 5 )( 5 6 30 31 )6(, 9 5 )2(,0)0(  tffff . Vậy GTLN của P là 5/9, xảy ra khi x+y+z=2, x=y+z, 2222  zyx , hay x=1, y=1, z=0 hoặc x=1, y=0, z=1. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn) Bài 23 (ĐH-khối B năm 2014): Với mọi số thực dương không âm a, b, c thỏa mãn 0)(  cba . Tìm GTNN của biểu thức )(2 ba c ca b cb a P       . Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có cba a cb a cbacba     2 )(2 , tương tự ta có cba b ca b    2 . Vậy 2/32/12 2 1 )(2 )(2 )(2 )(2             ba cba cba ba ba c cba ba P . khi a=0, b=c>0 thì P=3/2. Vậy GTNN của P là 3/2. Bài 24 (ĐH-khối D năm 2014): Với mọi số thực x, y nằm trong đoạn [1; 2]. Tìm GTNN của biểu thức )1(4 1 53 2 53 2 22         yxxy xy yx yx P . Hướng dẫn giải Vì xxxxx 320)2)(1(21 2  , tương tự ta có yy 322  . Vậy )1(4 1 1)1(4 1 1)1(4 1 333 2 333 2                  tt t yxyx yx yxxy xy yx yx P . Với  4,2 tyxt . Xét hàm số 42, )1(4 1 1 )(      t tt t tf , ta có 0)( )1(4 1 )1( 1 )( 22      tf tt tf tại t=3. 8 7 )( 60 53 )4(, 8 7 )3(,12/11)2(  tffff . Vậy GTNN của P là 7/8, xảy ra khi x+y=3; x=1 hoặc x=2; y=1 hoặc y=2 hay x=1, y=2, hoặc x=2, y=1. [Type text] Bộ môn Toán Khoa CNTT và Truyền Thông – ĐH Phương Đông (sưu tầm và biên soạn)