Ôn tập: Phương trình phức

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức] I. CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z nếu w2 = z hay (x + yi)2 = a + bi.
Chú ý :  Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau : +) TH1 : 0 ωa a> ⇒ = ± +) TH2 : 20 ωa z i a i a< ⇒ = ⇒ = ±  Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức: (x + yi)2 = a + bi hay 2 2 2 2 2 2 x y a x y xyi a bi xy b  − = − + = + ⇔  = Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau a. z = 5 b. z = –7 c. 1 2 6z i= − − Hướng dẫn giải: a. 5 ω 5z = ⇒ = ± b. 27 7 ω 7z i i= − = ⇒ = ± c. Gọi w = x + yi là căn bậc hai của số phức 1 2 6z i= − − , ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 6 21 1 2 6 2 1 2 6 662 2 6 1 y x xx y x yi i x y xyi i xy y x x x  − =  =  − = −   + = − − ⇔ − + = − − ⇔ ⇔ ⇔   −  −= − =   − = −      Hệ phương trình trên có 2 nghiệm ( ) ( )2; 3 ; 2; 3− − Vậy có 2 căn bậc hai của 1 2 6i− − là 2 3i− và 2 3i− + Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính căn bậc hai của các số phức sau : a. 1 4 3z i= − + b. 4 6 5z i= + c. z = –18i d. z = 4i e. 5 12z i= − − f. 11 4 3z i= + g. 40 42z i= − + h. 1 2 4 2 z i= + i. z = −8 + 6i Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết các số phức sau dưới dạng chính phương ? a) z = −21 + 20i = ..................................... b) 1 4 3z i= + = ....................................... c) z = −15 + 8i = ..................................... d) 1 2 2z i= − − = ....................................... e) z = 5 − 12i = ..................................... f) 13 8 3z i= + = ....................................... 03. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! g) 22 10 2z i= − = ....................................... II. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC BẬC 2 Xét phương trình phức bậc 2 : Az2 + Bz + C = 0 có ∆ = B2 – 4AC.  TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực. Tính 2 4B AC∆ = − + Nếu ∆ > 0 thì phương trình có nghiệm thực 2 B z A − ± ∆ = + Nếu 20 2 B i i i z A − ± ∆ ∆ < ⇒ ∆ = − ∆ ⇒ ∆ = ± ∆ ⇒ =  TH2: Các hệ số A, B, C là các số phức. Tính 2 24 ( )B AC a bi x yi∆ = − = + = + Khi đó phương trình có nghiệm ( ) 2 B x yi z A − ± + = Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức a. 2z 2z 5 0+ + = b. 2z 4z 20 0− + = c. (z2 + i)(z2 – 2iz – 1) = 0 d. z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0 Hướng dẫn giải: a. 2 2 5 0.z z+ + = Ta có 2' 4 4 2 1 2i i z i∆ = − = ⇒ ∆ = ± ⇒ = − ± b. Ta có 2' 16 16 4 2 4i i z i∆ = − = ⇒ ∆ = ± ⇒ = ± c. 2 2 2 2 ( )( 2 1) 0 2 1 0 z i z i z iz z iz  = − + − − = ⇔  − − =  TH1 : ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 0 2 (1 ) 1 12 2 2 2 2 z i i z i z i i i z i  = − −  + = ⇔ = − = − = − = ⇒    = − +  TH2 : 2 2 2 22 1 0 2 0 ( ) 0 .z iz z iz i z i z i− − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là 1 2 3 1 1 1 1 ; ; . 2 2 2 2 z i z i z i−= − = + = Nhận xét : Ngoài các cách giải chuẩn mực ở trên, chúng ta có thể giải tắt mà không cần tính toán ∆ hay ∆’ như sau a. ( ) ( )2 22 2 2 22 5 0 1 4 0 1 4 0 ( 1) (2 ) 1 2z z z z i z i z i+ + = ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔ + = ⇒ = − ± b. ( )22 2 2 24 20 0 2 16 0 ( 2) 16 (4 ) 2 4z z z z i i z i− + = ⇔ − + = ⇔ − = = ⇒ = ± d. z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0. Ta có ∆ = (1 – 3i)2 + 8(1 + i) = 2i = (1 + i)2 Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là 1 2 3 1 1 2 2 3 1 1 1 2 i i z i i i z i − + + = =  − − − = = −  Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức a) 23 33. 4 0 2 2 iz iz z i z i + +  − − =  − −  b) 3 8 0z − = c) 4 24 3 1 0z z− − = Hướng dẫn giải: a) 23 33. 4 0 2 2 iz iz z i z i + +  − − =  − −  Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Đặt 2 13 3 4 0 42 tiz t t t tz i = −+ = ⇒ − − = ⇔  =−   Với ( )2( 3 8 ) 43 3 8 4 354 4 3 4( 2 ) ( 4) 3 82 4 16 17 i iiz i i t iz z i z i i z z i i i − − ++ − − − − = ⇔ = ⇔ + = − ⇔ − = − − ⇒ = = = − − − − 4 35 17 17 z i⇒ = +  Với ( ) ( ) ( )22 3 13 2 3 1 51 1 3 2 1 2 32 1 1 2 i iiz i i t iz i z z i i z z i i i − −+ − − = − ⇔ = − ⇔ + = − ⇔ + = − ⇒ = = = − + − − 1 5 2 2 z i⇒ = − + Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phức là 1 2 4 35 1 5 ; 17 17 2 2 z i z= + = − + b) z3 – 8 = 0⇔ (z – 2)(z2 + 2z + 4 ) = 0  TH1 : z – 2 = 0 ⇔ z = 2  TH2 : 2 2 22 4 0 ( 1) 3 3 1 3z z z i z i+ + = ⇔ + = − = ⇒ = − ± Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phức là 1 2 3z 2; z 1 i 3; z 1 i 3= = − − = − + c) 4 24 3 1 0z z− − = . Đặt z2 = t. Phương trình đã cho tương đương với 2 1 4 3 1 0 1 4 t t t t =  − − = ⇔  = −  Giải phương trình tìm được t = 1 hoặc 1t 4 − = .  Với t = 1 ta được z2 = 1 ⇒ z = ± 1  Với 21 0 4 4 2 i i t z= − = = ⇔ = ± Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là 1; . 2 i z z= ± = ± Ví dụ 3: [ĐVH]. Gọi z1, z2 là các nghiệm của các phương trình z2 + 2z + 5 = 0. Tính giá trị các biểu thức sau 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2; 4A z z B z z z z= + = + − Hướng dẫn giải: Ta có 12 2 2 2 1 2 2 5 0 ( 1) 4 (2 ) 1 2 z i z z z i z i = − + + + = ⇔ + = − = ⇒  = − − Khi ta có 1 2 1 4 5 1 4 5 z z  = + =  = + = và 11 1 2 51 2 1 2 5 zz i z i z  = = − −  ⇒  = − + =    2 2 1 2 5 5 10A z z= + = + =  2 2 1 2 1 24 5 5 4. 5. 5 10B z z z z= + − = + − = − Vậy A = 10 và B = –10 Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) 2z 2z 5 0+ + = b) 2z 4z 20 0− + = c) 23z z 5 0− + − = d) 24z 9 0+ = e) 23z z 2 0− + = f) 2z 3z 1 0− + = Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! a) 2z 2(i 2)z 3 2i 0+ − + − = b) 2z (i 3)z 2 2i 0− + − − = c) 2z (3 i)z 4 3i 0− + + + = d) 2iz z 3 i 0− + + = e) 2iz 2iz 4 0+ − = f) 2z (3 i)z 4 3i 0− − + − = g) 23iz 2z 4 i 0− − + = h) 2z 8(1 i)z 63 16i 0− − + − = Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: a) 2 (1 ) 6 3 0z i z i− + + + = b) 2 (1 ) 10 11 0z i z i+ + − + = c) 22(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i+ − − − − = Ví dụ 7: [ĐVH]. Gọi 1 2,z z là các nghiệm phức của phương trình: 2 4 5 0z z− + = . Tính giá trị của các biểu thức ( ) ( )2013 20131 21 1P z z= − + − Ví dụ 8: [ĐVH]. Gọi 1 2,z z là 2 nghiệm phức của phương trình: 22(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i+ − − − − = . Tính giá trị của các biểu thức 2 21 2A z z= + Ví dụ 9: [ĐVH]. Gọ 1 2,z z là các nghiệm phức của phương trình: 2 2 4 0z z− + = . Tính giá trị của các biểu thức: 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2z z z z P z z + + = + Ví dụ 10: [ĐVH]. Trong mặt phẳng toạ độ, giả sử điểm A biểu diễn nghiệm z1 của phương trình: 2 2 5 0z z− + = và điểm B biểu diễn số phức 2 1 1 2 i z z + = . Tính diện tích của tam giác OAB, với O là gốc toạ độ.