Ôn tập: Phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! Dạng 1. Đổi biến số cho các hàm vô tỉ Phương pháp giải: Nếu hàm f(x) có chứa ( )n g x thì đặt 1( ) ( ) . '( )n nnt g x t g x n t g x dx−= ⇔ = → = Khi đó, ( ) ( )I f x dx h t dt= =∫ ∫ , việc tính nguyên hàm ( )h t dt∫ đơn giản hơn so với việc tính ( ) .f x dx∫
MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU: Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 1 4 1 xdxI x = +∫ b) 3 22 2I x x dx= +∫ c) 2 3 1 x dxI x = − ∫ Lời giải: a) Đặt 2 2 22 1 12 4 . 14 24 1 4 1 ( 1)1 84 1 4 t tdttdt dx xdx t x t x I t dtt txx − =  = + ⇔ = + → → = = = − − +=  ∫ ∫ ∫ 33 (4 1)1 1 4 1 . 8 3 8 3 xt t C x C  +   = − + = − + +       b) Đặt 2 2 2 2 2 3 2 22 2 2 2 2 . ( 2).t x t x x t xdx tdt x dx x xdx t tdt= + ⇔ = + → = − ⇔ = → = = − Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 5 32 25 3 2 3 2 4 2 2 2 2 2 2 . . 2 2 2. 5 3 5 3 x xt tI x x dx t t tdt t t dt C C + + = + = − = − = − + = − +∫ ∫ ∫ c) Đặt ( ) ( )2222 2 2 32 2 2 1 . 1 1 1 2 1 1 dx tdt t tdtx dx t x t x x t I tx t x = − − = − ⇔ = − ⇔ = − → → = = − = − − ∫ ∫ ( ) ( ) 5 35 322 4 2 (1 ) 2 (1 )22 1 2 2 1 2 2 15 3 5 3 x xt t t dt t t dt t C x C    − −  = − − = − − + = − − + + = − − + − +       ∫ ∫ Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 5 32 25 3 2 3 2 4 2 2 2 2 2 2 . . 2 2 2. . 5 3 5 3 x xt tI x x dx t t tdt t t dt C C + + = + = − = − = − + = − +∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 4 ln 1 ln x dxI x x = +∫ b) 2 5 3 ln 2 ln xdxI x x = − ∫ c) 6 ln 3 2lnx x dxI x + = ∫ Lời giải: a) Đặt ( ) 2 2 2 4 ln 1 1 .2ln1 ln 1 ln 1 ln2 x t t tdtx dx t x t x Idx x txtdt x  = − − = + ⇔ = + → → = = +=  ∫ ∫ ( ) 3 332 4(1 ln ) 2 (1 ln )2 1 2 2 1 ln 2 1 ln .3 3 3 x xt t dt t C x C I x C  + +   = − = − + = − + + → = − + +       ∫ b) Đặt 3 2 3 2 2 33 52 3 ln 2 ln (2 ) .32 ln 2 ln . 2 ln3 x t x dx t t dt t x t x Idx x txt dt x  = − − = − ⇔ = − → → = = −=  ∫ ∫ 03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! ( ) 8 58 5 3 37 4 2 23(2 ln ) 4 (2 ln )43 4 4 3 2 3 2 (2 ln )8 5 8 5 x xt t t t t dt t C x C   − −   = − + = − + + = − + − +       ∫ c) Đặt 2 2 3ln 23 2ln 3 2ln 2 2 t x t x t x dx tdt x  − = = + ⇔ = + →  =  Từ đó ta có ( )2 4 26 ln 3 2ln 3 1ln 3 2ln . . . 32 2x x dx dx tI x x t tdt t t dtx x  + − = = + = = −    ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )5 3 5 35 5 33 6 3 2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln1 . 2 5 10 2 10 2 10 2 x x x xt t t t C C C I C + + + +  = − + = − + = − + → = − +    Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 7 1x dxI e = − ∫ b) ( ) 2 8 3 1 x x e dxI e = + ∫ c) 9 2 4 dxI x x = + ∫ d) 10 4 1 dxI x x = + ∫ Lời giải: a) Đặt 2 2 2 2 11 1 1 2 2 1 x x x x x e t e t t e t e tdtdxe dx tdt t  = − = −  = − ⇔ = − → ←→  ==  − Khi đó 7 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 1.( 1) 11x dx tdt dt dt t t dt dtI dt t t t t t tt t te + − − = = = = = = − − + − + − +− − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 7 1 1 1 1 1ln 1 ln 1 ln ln ln . 1 1 1 1 1 x x x x t e e t t C C C I C t e e − − − − − = − − + + = + = + → = + + − + − + b) Đặt ( ) ( ) ( )22 22 8 33 3 1 .21 .1 1 2 1 1 x x x x x x x x x t tdte t e dx e e dx t e t e I te dx tdt e e − = − = + ⇔ = + → → = = = = + + ∫ ∫ ∫ ( )2 2 3 2 2 1 .2 1 1 12 2 2 2 1 . 1 x x t tdt t dtdt dt t C e C tt t t e −   −     = = = − = + + = + + +          +  ∫ ∫ ∫ ∫ c) Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 444 4 2 2 4 x t x t t x t x dx xdx tdt xdx tdt x x t  = − = −  = + ⇔ = + → ←→  = = =  − Khi đó, 9 2 22 2 1 1 1 ( 2) ( 2) 1 . 4 ( 2)( 2) 4 2 24 44 4 dx dx tdt dt t t dt dtI dt x t t t t tt tx x x + − −   = = = = = = − + − − +− −  + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 292 21 1 2 1 4 2 1 4 2ln 2 ln 2 ln ln ln .4 4 2 4 44 2 4 2 t x x t t C C C I C t x x − + − + − = − − + + = + = + → = + + + + + + d) Đặt 4 2 4 2 4 2 4 3 3 4 2 1 1 1 1 4 2 2( 1) x t x t t x t x dx x dx tdt x dx tdt x x t  = −  = −  = + ⇔ = + → ←→  = ==  − Khi đó, 10 2 24 4 1 1 1 1 ( 1) ( 1) . . 2 4 ( 1)( 1)2( 1) 11 1 dx dx tdt dt t tI dt x t t tt tx x x + − − = = = = = + −− −+ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 4 4 1 1 1 1 1 1 1ln 1 ln 1 ln ln . 4 1 1 4 4 1 4 1 1 dt dt t x t t C C C t t t x − + −  = − = − − + + = + = +  − + +  + + ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 11 1 2 5 dxI x = + −∫ b) 12 21 2 x dxI x = − + ∫ c) 3 13 3 24 x dxI x = + ∫ d) 2 14 1 4ln lnx xI dx x + = ∫ Lời giải: a) Đặt 2 22 5 2 5 2 5 5 tdt t x t x tdt dx dx= − ⇔ = − ⇔ = − → = − Khi đó, ( )11 2 2 1 1 2 1 21 ln 15 1 5 1 5 1 51 2 5 dx t dt tI dt dt t t C t t tx + −   = = − = − = − − = − − + + + + ++ −  ∫ ∫ ∫ ∫ ( )11 2 2 5 ln 2 5 1 .5I x x C→ = − − − − + + b) Đặt 2 2 22 2 2 2t x t x tdt xdx xdx tdt= + ⇔ = + ⇔ = → = Khi đó, 12 2 1 (1 ) 1 (1 )1 ln 1 1 1 1 11 2 x dx t dt t d tI dt dt dt t t C t t t tx − − −  = = = = − = − − = − − − +  − − − −  − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 12 ln 1 2 2 .I x x C→ = − − + − + + c) Đặt ( ) 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 22 2 44 34 4 43 23 2 2 x t x t t x t x x dx t t dtt dt t dt xdx xdx  = − = −  = + ⇔ = + → ←→ → = −  = =   ( ) ( ) ( ) ( ) 5 22 23 2 3 33 5 4 2 13 3 2 3 4 3 443 3 34 2 . 2 2 2 5 10 44 x xt t dtx dx tI t t dt t C C tx + + −   → = = = − = − + = − +  +   ∫ ∫ ∫ d) Đặt 2 2 2 ln1 4ln 1 4ln 2 4.2ln . 4 dx x dx tdt t x t x tdt x x x = + ⇔ = + ←→ = → = ( )3232 2 14 1 4lnln 11 4ln . . 4 4 12 12 xx dx tdt tI x t t dt C C x + → = + = = = + = +∫ ∫ ∫ BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1) 1 4 3 1 xI dx x − = +∫ 2) 2 2 1 xdxI x = +∫ 3) 3 1xI dx x + = ∫ 4) 4 1 1 3 dxI x = + +∫ 5) 7 1 2 1 xdxI x = + −∫ 6) 3 26 1I x x dx= −∫ 7) 37 4I x x dx= +∫ 8) 28 3 2I x x dx= −∫ 9) 3 9 3 21 x dxI x = + ∫ 10) 10 3 1 dxI x x = + ∫ 11) 11 3 2 4 dxI x x = + ∫ 12) 12 1 3ln lnx xI dx x + = ∫ 13) 2 13 1 1 x x e dxI e = + − ∫ 14) ( )14 21 dxI x x = + ∫