Nguyên hàm lượng giác

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG
Các hằng đẳng thức lượng giác: 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 1 1 tan cos 1 1 cot sin tan .cot 1 x x x x x x x x + = = + = + =
Công thức góc nhân đôi: 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin sin 2 2sin .cos x x x x x x x x = − = − = − =
Công thức hạ bậc hai: 2 2 1 cos2 cos 2 1 cos 2 sin 2 x x x x + = − =
Công thức cộng: ( ) ( ) sin sin .cos sin .cos cos cos .cos sin .sin a b a b b a a b a b a b ± = ± ± = ∓ (Sin thì cùng dấu khác loài, Cos thì khác dấu nhưng loài giống nhau) Chú ý: - Trong trường hợp a = b ta được công thức góc nhân đôi: 2 2 2 2 sin 2 2sin .cos cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin a a a a a a a a =  = − = − = − - Trong trường hợp 2a = b ta được công thức góc nhân ba: 3 3 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos a a a a a a  = −  = −
Công thức biến đổi tích thành tổng: [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + − = − − + = + + − Chú ý: ( )( ) sin sin cos cos x x x x  − = −  − = 07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Công thức biến đổi tổng thành tích: sin sin 2sin .cos 2 2 sin sin 2cos .cos 2 2 cos cos 2cos .cos 2 2 cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + − + = + − − = + − + = + − − = −
Công thức biến tính theo 2 22 2 2 sin sin 21 tan tan 2 cos 11 cos 1  = + = ⇒ ⇒ = = −− =  + t x x x tt t x x tt x t
Một số các công thức cần nhớ nhanh 3 3sin cos (sin cos )(1 sin .cos )+ = + −x x x x x x ; 3 3sin cos (sin cos )(1 sin .cos )− = − +x x x x x x 4 4 2 2 21 3 1sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos4 2 4 4 + = − = − = +x x x x x x 6 6 2 2 23 5 3sin cos 1 3sin .cos 1 sin 2 cos4 4 8 8 + = − = − = +x x x x x x pi pi sin cos 2 sin 2 cos 4 4     + = + = −        x x x x ; pi pisin cos 2 sin 2 cos 4 4     − = − = − +        x x x x cos( )1 tan .tan cos .cos − + = a b a b a b ; 2tan cot sin 2 + =x x x II. CÁC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG
1 sin cosI x dx x C= = − +∫
( ) ( )8 2 1 tan cos dxI ax C ax a = = +∫
( ) ( )2 1sin cosI ax dx ax C a = = − +∫
9 2 cotsin dxI x C x = = − +∫
3 cos sinI x dx x C= = +∫
( ) ( )10 2 1 cot sin dxI ax C ax a = = − +∫
( ) ( )4 1cos sinI ax dx ax C a = = +∫
11 sin tan ln cos cos x dxI x dx x C x = = = − +∫ ∫
2 5 1 os2 sin 2 sin 2 2 4 c x x xI x dx dx C−= = = − +∫ ∫
12 cos cot ln sin sin x dxI x dx x C x = = = +∫ ∫
2 6 1 cos 2 sin 2 cos 2 2 4 x x xI x dx dx C+= = = + +∫ ∫
2 13 2 1 tan 1 tan cos I x dx dx x x C x   = = − = − +    ∫ ∫
7 2 tancos dxI x C x = = +∫
2 14 2 1 cot 1 cot sin I x dx dx x x C x   = = − = − − +    ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! III. CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1. Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) 21 sin 2I x dx= ∫ b) 22 cos 4I x dx= ∫ c) 2 43 cos .sin= ∫I x x dx Hướng dẫn giải: a) ( )21 1 cos4 1 1 1 1sin 2 1 cos 4 sin 4 sin 4 .2 2 2 4 2 8 x xI x dx dx x dx x x C x C−  = = = − = − + = − +    ∫ ∫ ∫ b) ( )22 1 cos8 1 1 1 1cos 4 1 cos8 sin8 sin8 .2 2 2 8 2 16 x xI x dx dx x dx x x C x C+  = = = + = + + = + +    ∫ ∫ ∫ c) Sử dụng liên tiếp các công thức hạ bậc hai cho sin2x và cos2x ta được: ( ) 2 222 4 2 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos 2 1 cos2cos .sin cos . sin . . .2 2 2 2 2 4 2 x x x x x x x x x x x + − + − − − −  = = = = =    ( )2 2 21 1 1sin 2 . 1 cos2 sin 2 sin 2 .cos2 8 8 8 x x x x x= − = − Khi đó ( )2 4 2 2 23 1 1 1 1 cos 4 1cos .sin sin 2 sin 2 .cos 2 sin 2 sin 28 8 8 2 16 − = = − = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ xI x x dx x dx x x dx dx x d x 3 3 6 1 1 1 sin 2 1 1 1 sin 4 . sin 4 sin 2 . 16 64 16 3 16 64 48 x x x C I x x x C= − − + → = − − + Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) 7 sin3 .cosI x x dx= ∫ b) 8 cos2 .cos3I x xdx= ∫ c) 9 sin 3 sin dxI x x = +∫ Hướng dẫn giải: a) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta được ( )1sin3 .cos sin 4 sin 2 2 x x x x= + Từ đó ( ) ( )7 1 1 1 1 1 1 1sin 4 sin 2 sin 4 sin 2 os4 cos 2 os4 cos 2 .2 2 2 4 2 8 4I x x dx x x dx c x x C c x x C   = + = + = − − + = − − +    ∫ ∫ b) ( )8 1 1 1 1 1cos 2 .cos3 cos5 cos sin5 sin sin5 sin .2 2 5 10 2I x x dx x x dx x x C x x C   = = + = + + = + +    ∫ ∫ c) ( )9 2 2 2 2 2 1 sin 1 (cos ) sin3 sin 2sin 2 .cos 4sin .cos 4 sin .cos 4 1 cos .cos dx dx dx x dx d xI x x x x x x x x x x = = = = = − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Đặt ( ) ( ) ( ) 2 2 9 2 22 2 2 2 11 1 1 cos 4 4 4 11 . 1 . t tdt dt dt x t I dt t tt t t t − +   = → = − = − = − +  − − −   ∫ ∫ ∫ ∫ Mà ( ) ( ) ( )( ) 12 9 22 1 1 1 1 1ln .1 11 1 1 1 4 2 1ln 1 2 1 1 2 1 1 2 1 dt C t t tI C t tdt dt dt t t tdt C t t t t t t = − +  + → = − − + +  − + + +  −  = = + = +  − − + + − −  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Thay t = cosx vào ta được 9 1 1 1 1 cosln . 4 cos 2 1 cos xI C x x  + = − − + +  −  Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 sin .sin 2 .cos5= ∫I x x x dx b) 2 sin 3 .cos 4 tan 2 cot 2 = +∫ x xI dx x x c) 3 3 sin 3sin 4 sin 6 3sin 2 = − − ∫ xI dx x x x Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) 31 cos .cos3= ∫I x x dx b) 22 cos .cos 2= ∫I x x dx c) 4 4 6 63 (sin cos )(sin cos )= + +∫I x x x x dx Ví dụ 5: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 sin cos 2= ∫I x x dx b) 2 sin 3 cos= ∫I x x dx c) 2 23 (2sin sin .cos cos )= − −∫I x x x x dx