Nghiên cứu cộng hưởng Cyclotron trong hố lượng tử với thế Parabol bằng kỹ thuật chiếu cô lập

NGHIÊN CỨU CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON TRONG HỐ LƯỢNG TỬ VỚI THẾ PARABOL BẰNG KỸ THUẬT CHIẾU CÔ LẬP TRƯƠNG THỊ HỒNG NHUNG Trường Đại học Tiền Giang TRẦN CÔNG PHONG Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Bài báo này xác định công suất hấp thụ cộng hưởng Cyclotron trong các vật liệu có cấu trúc hố lượng tử có dạng parabol. Bằng cách áp dụng kỹ thuật chiếu cô lập, chúng tôi thu được biểu thức giải tích của công suất hấp thụ. Sử dụng chương trình tính toán, chúng tôi nhận được các đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào từ trường và tần số đặc trưng của hố parabol. Kết quả này cho phép xác định các đặc trưng của cộng hưởng và so sánh kết quả với các phương pháp khác. 1 GIỚI THIỆU KỸ THUẬT CHIẾU CÔ LẬP Từ lâu, độ rộng vạch phổ cộng hưởng Cyclotron đã được biết đến là công cụ hữu ích để nghiên cứu cấu trúc electron trong chất rắn. Đại lượng này thường được xác định từ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số trường ngoài. Dạng tổng quát của công suất có chứa hàm suy giảm, có thể đưa về dạng Lorentz (Lorentz hóa) bằng cách sử dụng các kỹ thuật chiếu trong thống kê lượng tử. Bài báo này sử dụng kỹ thuật chiếu cô lập [1, 2], trong đó bao gồm kỹ thuật cô lập và kỹ thuật chiếu thông thường. Để tránh nguy cơ phân kỳ trong hàm độ rộng vạch phổ và biến đổi hàm suy giảm thành dạng Lorentz, ta xác định cặp toán tử cô lập {∆,∆′} và cặp toán tử chiếu {P, P ′}, được xác định như sau 〈β|∆Y |β′〉 ≡ 〈β|∆Y |β − 1〉δβ′ ,β−1 và ∆ ′ = 1−∆, (1) PY ≡ 〈Y 〉αJ+/〈J+〉α, P ′ ≡ 1− P. (2) Sử dụng kỹ thuật chiếu cô lập ta có thể xác định cụ thể các phần thực và phần ảo của hàm suy giảm. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(13)/2010: tr. 5-13 6 TRƯƠNG THỊ HỒNG NHUNG - TRẦN CÔNG PHONG 2 BIỂU THỨC GIẢI TÍCH TỔNG QUÁT CỦA HÀM SUY GIẢM Giả sử đặt một từ trường ~B hướng vuông góc với thành hố (tức là hướng theo trục z), năng lượng chuyển động của electron trong mặt phẳng (x, y) (mặt tiếp xúc của hai bán dẫn) cũng bị lượng tử hóa. Chọn thế vectơ ~A = (0, Bx, 0). Hamiltonian độc lập thời gian của hệ electron tương tác với phonon được cho bởi Heq = H0 + V. Bỏ qua tương tác electron-electron, ta có: H0 = He +Hp = ∑ α εαa † αaα + ∑ q ~ωqb†qbq, (3) V = ∑ q ∑ α,β Cα,β(q)a†αaβ(bq + b † −q), (4) với He, Hp là Hamiltonian của hệ electron không tương tác và của hệ phonon; V là thế tán xạ electron-phonon và phụ thuộc vào loại phonon; a†α (aα) là toán tử sinh (huỷ) của electron ở trạng thái |α〉 với năng lượng εα; b†q (bq) là toán tử sinh (huỷ) của phonon có vectơ sóng ~q, năng lượng ~ωq. Trong phương trình (4) Cα,β(q) ≡ 〈α|C(q)|β〉 là yếu tố ma trận thành phần của toán tử tán xạ C(q) ≡ Vq exp(i~q.~r) với Vq là hệ số tương tác electron - phonon, phụ thuộc vào loại phonon và C†α,β(q) = Cα,β(−q) khi V là toán tử Hermit mô tả tương tác của electron với dao động mạng. Khi đặt vào hệ một điện trường yếu (so với điện trường nội), trong hệ bán dẫn xuất hiện độ dẫn quang. Thành phần của mật độ dòng điện cảm Ji cho các electron có dạng [1] Ji = ∑ a†αaβ , (i = x, y, z) (5) với ji là toán tử dòng của một electron. Theo đó, chúng ta sẽ xác định được tenxơ độ dẫn cho dòng điện nhờ hình thức luận Kubo. Khi có mặt điện trường có biên độ E0 và tần số góc ω, công suất hấp thụ được cho bởi [1] P (ω) = 1 2 E20Re[σ+−(ω)], (6) ký hiệu Re chỉ phần thực. Tenxơ độ dẫn được cho bởi [1] σ+−(ω) = i ωc ∑ α (j+α ) ∗〈K(ω)〉α. (7) Ở đây, 〈K(ω)〉α ≡ G(ω)J+, G(ω) ≡ (ω − Leq)−1, J± ≡ Jx ± iJy, j+α ≡ 〈α + 1|j+|α〉, 〈X〉α ≡ TR{ρeq(Heq)[X, a†αaα+1])}, với L = L0+L1 là toán tử Liouville tương ứng với Heq. Sử dụng phép chiếu cô lập, ta thu được biểu thức độ dẫn dưới dạng: σ+−(ω) = − 1 ωc ∑ α (j+α ) ∗ i〈J+〉α i(ω − ωc) + Γα(ω) , (8) NGHIÊN CỨU CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON TRONG HỐ LƯỢNG TỬ... 7 Hàm Γα(ω) được gọi là hàm suy giảm [3]. Hàm suy giảm là một biểu thức phức do ω = ω−is (s 7→ +0), vì vậy ta có thể viết dưới dạng: Γα(ω) ' −iΩ(α) + γ(α, ω), (9) trong đó phần thực và phần ảo của hàm suy giảm liên quan tới độ dịch vạch phổ Ω(α) và độ rộng vạch phổ γ(α, ω). Sử dụng kỹ thuật chiếu cô lập, chúng tôi xác định biểu thức γ(α, ω) dưới dạng: iγ(α, ω) = ∑ q,β 6=α+1 { C+α+1,β(Cβ,α+1 − Cβ−1,α j+β−1 j+α ) [ 1 +Nq − fβ ω − ωβα − ωq + (Nq) + fβ ω − ωβ,α + ωq ] + C+β,α(Cβ,α − Cα+1,β+1 j+β j+α ) [ 1 +Nq − fβ ω − ωα+1,β + ωq + (Nq) + fβ ω − ωα+1,β − ωq ]} . (10) Biểu thức (10) của hàm suy giảm theo các hàm phân bố của electron và phonon. Trong giới hạn lượng tử ~ωc À kB, ta có thể bỏ qua Ω(α) khi so sánh với ωc. Sử dụng đồng nhất thức Dirac lim s→0+ (x− is)−1 = P ( 1x)+ ipiδ(x), trong đó P ( 1x) là giá trị chính và δ(x) là hàm Delta-Dirac. Lúc đó, biểu thức của hàm γ(α, ω) có chứa các hàm Delta-Dirac. 3 HÀM SUY GIẢM TRONG HỐ LƯỢNG TỬ VỚI THẾ PARABOL Để thu được biểu thức của hàm γ(α, ω) trong bán dẫn hố lượng tử với thế parabol ta cần tính tường minh yếu tố ma trận tương tác electron-phonon Cα,β(q) có trong biểu thức hàm suy giảm. Yếu tố ma trận tương tác electron chứa hệ số tương tác electron-phonon và các trạng thái của electron. Thực hiện tính các ma trận tương tác, ta được Cα,β(∓q) = 2piV (q) Ly JNαNβ (Xα,∓qx, Xβ)Q(nα, nβ,∓qz)∆(kβy, kαy +±qy). (11) Trong hàm độ rộng vạch phổ tuyến tính ở trên có chứa tổng theo các trạng thái của electron |α〉, |β〉 và tổng theo vectơ sóng phonon ~q. Lưu ý rằng hệ electron là 2 chiều, còn phonon được giả thiết là 3 chiều (không chịu ảnh hưởng của cấu trúc hố lượng tử), ~q2 = q2⊥ + q 2 z . Khi đó các tổng được chuyển thành tích phân như sau ∑ β ...→ LxLy 2pi ∑ nβ ∫ +∞ 0 k⊥βdk⊥β..., ∑ ~q ...→ V (2pi)2 ∫ +∞ 0 q⊥dq⊥ ∫ +∞ −∞ dqz.... (12) Vectơ sóng phonon ~q xuất hiện trong yếu tố ma trận tương tác electron-phonon, còn thành phần vectơ sóng electron kβ xuất hiện trong các hàm phân bố electron và trong đối số hàm 8 TRƯƠNG THỊ HỒNG NHUNG - TRẦN CÔNG PHONG Delta ở biểu thức hàm suy giảm. Sau khi lấy tổng theo trạng thái β ta có iγ ( α, ω ) = 2pi (Ly) ∑ q |V (q)|2 ∑ N ′ 6=N+1 n′ 6=n F (n, n′; qz)K(N,N ′; τ) × { (1 +Nq − fN ′,n′)δ[E(−)1 (N,N ′, n, n′)] + (Nq + fN ′,n′)δ[E(+)1 (N,N ′, n, n′)] } + 2pi (Ly) ∑ q |V (q)|2 ∑ N ′ 6=N n′ 6=n F (n, n′; qz)K(N,N ′; τ) × { (1 +Nq − fN ′,n′)δ[E(+)2 (N,N ′, n, n′)] + (Nq + fN ′,n′)δ[E(−)2 (N,N ′, n, n′)] } , (13) E (±) 1 (Nα, Nβ, nα, nβ) = ~(ω + (Nα −Nβ)ωc + (nα − nβ)ω0 ± ωq), E (±) 2 (Nα, Nβ, nα, nβ) = ~(ω + (Nβ −Nα − 1)ωc + (nβ − nα)ω0 ± ωq). (14) với Nα := N , Nβ := N ′, nα := n, nβ := n′. Xét tương tác electron và phonon quang có cực với C(~q) được cho bởi |V (q)|2 ≈ e 2~ωq 2²A0Lz ( 1 χ∞ − 1 χ0 ) q2⊥ (q2⊥ + q 2 d) 2 , (15) với A0Lz = LxLyLz là thể tích của hệ đang xét; ~ωq là năng lượng của phonon quang dọc; ², χ∞ và χ0 lần lượt là hằng số điện môi trong chân không, hằng số điện môi cao tần và hằng số điện môi tĩnh; qd là nghịch đảo độ dài chắn Debye. Do các biến độc lập nhau nên ta có thể lấy tích phân riêng phần đối với từng biến. Tích phân theo dq⊥ chỉ tồn tại đối với V (q⊥) và ma trận K(N,N ′; τ); tích phân theo dqz chỉ tồn tại đối với F (n, n′; qz), cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích hàm hàm độ rộng vạch phổ của bán dẫn hố lượng tử có dạng iγ ( α, ω ) = e2~ωq 4(Ly)pi² ( 1 χ∞ − 1 χ0 ) { ∑ N ′ 6=N+1 n′ 6=n ∫ +∞ −∞ dqzF (n, n′; qz) ∫ ∞ 0 dq⊥ q3⊥ (q2⊥ + q 2 d) 2 K(N,N ′; τ) × [ (1 +Nq − fN ′,n′)δ[E(−)1 (N,N ′, n, n′)] + (Nq + fN ′,n′)δ[E(+)1 (N,N ′, n, n′)] ] + ∑ N ′ 6=N n′ 6=n ∫ +∞ −∞ dqzF (n, n′; qz) ∫ ∞ 0 dq⊥ q3⊥ (q2⊥ + q 2 d) 2 K(N,N ′; τ) × [ (1 +Nq − fN ′,n′)δ[E(+)2 (N,N ′, n, n′)] + (Nq + fN ′,n′)δ[E(−)2 (N,N ′, n, n′)] ]} . (16) Để có được biểu thức tường minh của hàm độ rộng vạch phổ ta cần tính hai tích phân theo qz và q⊥. NGHIÊN CỨU CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON TRONG HỐ LƯỢNG TỬ... 9 A = ∫ +∞ −∞ dqzF (n, n′; qz), B = ∫ ∞ 0 dq⊥ q2⊥ (q2⊥ + q 2 d) 2 K(N,N ′; τ). Trong giới hạn lượng tử, sự tách Landau là khá lớn và hầu hết các electron dẫn đều lấp đầy các mức Landau thấp nhất. Do vậy, ta chỉ cần xét dịch chuyển giữa hai mức Landau thấp nhất là N = 0 và N + 1 = 1. Khi đó chỉ xét đến các mức dịch chuyển trung gian là N ′ = 0 và N ′=1. Đối với thế giam giữ dạng parabol, yếu tố ma trận tương tác là Q(n, n′; qz) = ( n!n′! 2n+n′ )1/2 (iζqz) n+n′ exp ( − q 2 z 4ζ2 ) n∑ p=0 (−2ζ2/q2z)p (n− p)!(n′ − p)!p! , (17) trong đó ζ = √ ~ mω0 . Để đơn giản, ta chỉ xét vùng con n = 0 và Nα = Nβ = 0. Khi đó |Q(0, n′; qz)|2 = (−1)n′ ( n′! 2n′ )( iqz ζ )2n′ exp ( − q 2 z 2ζ2 ) . (18) Vậy A = √ 2(n′!)ζΓ[(2n′ + 1)/2]. (19) Ta có K(0, 0, τ) = τe−τ , với τ = r20q2⊥/2. Ta được B = 1 2 ∫ ∞ 0 τ2e−τ (τ + q2dr 2 0/2)2 dτ. (20) . Thay (19) và (20) vào (13), ta được biểu thức hàm suy giảm là iγ00 ( α, ω ) = √ 2e2~ωqζ 8piLy² ∫ ∞ 0 τ2e−τ (τ + q2dr 2 0/2)2 dτ ∑ n′ (n′!)Γ[(2n′ + 1)/2] × { (1 +Nq − f0,n′)δ[~(ω − n′ω0 − ωq)] + (Nq + f0,n′)δ[~(ω − n′ω0 + ωq)] +(1 +Nq − f0,n′)δ[~(ω − ωc + n′ω0 + ωq)] +(Nq + f0,n′)δ[~(ω − ωc + n′ω0 − ωq)] } . (21) Công suất hấp thụ có dạng ở (6). Cộng hưởng xảy ra khi ω = ωc, khi đó công suất hấp thụ đạt giá trị cực đại và được tính theo biểu thức: P (ωc) = e2E20 m ∑ α (Nα + 1)(fα − fα+1) γ ( α, ωc ) , (22) với |j+α |2 = 2e2(Nα + 1)~ωc/m. 10 TRƯƠNG THỊ HỒNG NHUNG - TRẦN CÔNG PHONG Chúng tôi nhận thấy rằng, biểu thức công suất hấp thụ chứa các hàm Delta-Dirac. Đối số của hàm Delta chỉ bằng không tại các giá trị cụ thể của số lượng tử vùng con n′ của trạng thái trung gian β, khi đó ta mới thu được đóng góp khác không vào độ rộng vạch phổ. Điều đó có nghĩa là chỉ số vùng con mà electron có thể dịch chuyển tới sau tương tác (hấp thụ hoặc phát xạ phonon) là một giá trị hoàn toàn xác định, dẫn đến đồ thị biểu diễn công suất hấp thụ sẽ có dạng vạch. Đây là điều hoàn toàn khác so với bán dẫn khối. Khi đối số của hàm Delta bằng không, biểu thức giải tích công suất hấp thụ bị phân kỳ. Để khắc phục điều này, ở đây chúng tôi áp dụng kỹ thuật thay thế hàm Delta bằng hàm Lorentz mà Vasilopoulos P. đã trình bày năm 1986 [4] để tính các hàm δ trong biểu thức hàm độ rộng vạch phổ với trường hợp n = 0, N = N ′ = 0. +∞∑ M=0 δ(M − ωL ω0 ) ≈ 1 + 2 ∞∑ s=1 exp(−2pisΓN/~ω0) cos ( 2pis ωL ω0 ) , với ωL là tần số phonon quang, ω0 là tần số Cyclotron và ΓN là hệ số suy giảm và được xác định bằng ΓN ≈ ~/τ , (τ là thời gian trung bình phục hồi xung lượng). 4 KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN Ta khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào các đại lượng như tần số Cyclotron ωc (hay từ trường B) và tần số đặc trưng của hố ω0. Các thông số để tính số là [5]: m = 6.097× 10−32 kg, ε = 13.5, χ∞ = 10.9, χ0 = 12.9, Ef = 50.0 meV, ~ω` = 36.1 meV. 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 B HTL P HA rb . U ni tL Hình 1: Sự phụ thuộc vào từ trường của công suất hấp thụ cộng hưởng cyclotron ở nhiệt độ 100 K (đường chấm chấm), 150 K (đường gạch gạch) và 200 K (đường liền nét). Ở đây, ω0 = 10 12Hz, ω = 1013Hz, n = 0, n′ = 1÷ 2, N = N ′ = 0. NGHIÊN CỨU CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON TRONG HỐ LƯỢNG TỬ... 11 Hình 1 biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào từ trường ứng với ba giá trị khác nhau của nhiệt độ. Trong vùng khảo sát xuất hiện các đỉnh cộng hưởng mà tại đó sự hấp thụ xảy ra mạnh nhất. Điều này có thể giải thích là do trong biểu thức giải tích của công suất hấp thụ có chứa các hàm Delta, vì vậy công suất hấp thụ sẽ có cực đại tại các giá trị từ trường làm cho đối số của hàm Delta bằng không. Tuy nhiên, độ cao của các đỉnh là khác nhau đó là do tần số Cyclotron chỉ có mặt ở một số hàm Delta của biểu thức công suất hấp thụ. Từ hình vẽ ta cũng nhận thấy, ứng với các giá trị nhiệt độ khác nhau thì sự dịch chuyển của các đỉnh cũng khác nhau. Khi nhiệt độ thay đổi, các đỉnh dịch chuyển và đồng thời công suất hấp thụ cũng thay đổi. Vì vậy, ta có thể nói rằng điều kiện cộng hưởng phụ thuộc vào nhiệt độ và giá trị cực đại của công suất hấp thụ càng lớn khi nhiệt độ càng cao. Sự tăng nhiệt độ này làm thay đổi cả giá trị và vị trí của đỉnh cộng hưởng tại gần đỉnh. Tuy nhiên, nhiệt độ lại không làm ảnh hưởng đến miền phẳng (xa đỉnh), bằng chứng là các đường cong không chồng phủ lên nhau mà chồng chập với nhau tại xa đỉnh cộng hưởng. Điều này là khác so với khi sử dụng các phép chiếu khác trong các công trình nghiên cứu trước đây [2, 4]. Đồ thị trên hình 2 mô tả sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số đặc trưng của hố ứng với các giá trị khác nhau của nhiệt độ. Ta thấy rằng sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào tần số đặc trưng của hố có tính cách khá giống với các đồ thị đã khảo sát ở trên và có tính cách cộng hưởng. Khi nhiệt độ thay đổi thì giá trị và độ cao của các đỉnh thụ cộng hưởng cũng thay đổi theo. Tuy nhiên, ở miền phẳng của đồ thị thì không phụ thuộc vào sự biến thiên của nhiệt độ. 1.020 1.022 1.024 1.026 1.028 0 5 10 15 20 25 30 35 Ω0 Hx 10 12HzL P HA rb . U ni tL Hình 2: Sự phụ thuộc vào tần số đặc trưng của hố parabol của công suất hấp thụ cộng hưởng cyclotron ở nhiệt độ 100 K (đường chấm chấm), 150 K (đường gạch gạch) và 200 K (đường liền nét). Ở đây n = 0, n′ = 1÷ 2, N = N ′ = 0, ω = 1013Hz, B = 1.76T . 12 TRƯƠNG THỊ HỒNG NHUNG - TRẦN CÔNG PHONG 5 KẾT LUẬN Trong bài báo này, biểu thức giải tích của công suất hấp thụ cộng hưởng Cyclotron trong bán dẫn hố lượng tử với thế parabol được thu nhận bằng phương pháp chiếu cô lập. Từ biểu thức của công suất hấp thụ trong đó chứa các hàm phân bố electron và phonon, thể hiện rõ các cơ chế tương tác giữa electron và phonon với trường ngoài. Các dịch chuyển có thể xảy ra của electron kèm theo hấp thụ và phát xạ phonon có thể được giải thích đúng theo định luật bảo toàn năng lượng và các điều kiện dịch chuyển trong chất rắn. Điều này cho thấy chỉ có một số các dịch chuyển xác định cho đóng góp khác không vào công suất hấp thụ và được thể hiện trong các hàm Delta-Dirac của các biểu thức giải tích. Biểu thức giải tích thu được cho phép thực hiện tính số để nghiên cứu sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào từ trường và tần số đặc trưng của hố. Ngoài ra, từ kết quả tính số và đồ thị cho thấy khi có trường ngoài thì phổ hấp thụ xuất hiện các đỉnh cộng hưởng. Các đỉnh cộng hưởng này sẽ dịch chuyển khi nhiệt độ tăng. Tuy nhiên sự tăng này không ảnh hưởng đến miền phẳng (xa đỉnh). Kết quả này là khác so với khi sử dụng các phép chiếu khác trong các công trình nghiên cứu trước đây. So sánh kết quả tính số khi sử dụng phương pháp này với kết quả thu được khi sử dụng kỹ thuật chiếu độc lập trạng thái, chúng tôi nhận thấy có nhiều điểm tương đồng, duy chỉ có điều khác biệt đó là khi sử dụng kỹ thuật chiếu độc lập trạng thái tại miền phẳng của các đường cong công suất hấp thụ không hội tụ với nhau. Như vậy, chúng ta có thể khẳng định rằng các phương pháp toán tử chiếu được định nghĩa khác nhau sẽ dẫn đến các biểu thức giải tích khác nhau nhưng đều có thể sử dụng tốt để nghiên cứu cộng hưởng Cyclotron. Sự khác biệt chỉ là ở miền xa cộng hưởng. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Cho Y. J. and Choi S. D., Phys. Rev. B 47 (1993) pp. 9273-9278. [2] Cho Y. J. and Choi S. D., Phys. Rev. B 49 (1994) pp. 14301-14306. [3] Kang N. L. et. al., J. Phys. Soc. Jpn. 78 (2009) pp. 24711-2474. [4] Vasilopoulos P., Phys. Rev. B 33 (1986) pp. 8587-8594. [5] Mark Fox, Optical properties of solid, Oxford, New York, 2001. NGHIÊN CỨU CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON TRONG HỐ LƯỢNG TỬ... 13 Title: STUDY ON CYCLOTRON RESONANCE IN PARABOLIC QUANTUM WELL USING THE ISOLATION-PROJECTION TECHNIQUE Abstract: This paper focuses on the cyclotron resonance absorption power in parabolic quantum well (PQW). Applying the Isolation-Projection Technique, we obtain the ana- lytic expressions of the absorption power. Using computational program we get the graphs expressing the dependence of absorption power on the magnetic field and on the charac- teristic frequency of the PQW. The results enable us to determine the characteristics of the resonance and to compare with results obtained by the other methods. ThS. TRƯƠNG THỊ HỒNG NHUNG Khoa Sư phạm, Trường Đại học Tiền Giang. PGS. TS. TRẦN CÔNG PHONG Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế.