Nén tổng đa Mode bậc cao Hillery

NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY VÕ TÌNH - PHẠM THỊ HẠNH THẢO Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này nén tổng đa mode bậc cao Hillery được khảo sát. Các điều kiện nén đa mode bậc cao và mối liên hệ giữa nén đơn mode bậc cao Hillery có tần số tổng và nén tổng đa mode bậc cao Hillery được thiết lập. Quá trình nén này của hệ các photon ở trạng thái kết hợp và nén kết hợp trong môi trường phi tuyến cũng được khảo sát bằng đồ thị cho thấy sự phụ thuộc của nén tổng đa mode Hillery vào các tham số của các trạng thái photon ở ngõ vào. 1 GIỚI THIỆU Laser ra đời, dưới tác dụng của nó các hiệu ứng quang phi tuyến bộc lộ nhiều tính chất, hiện tượng thú vị. Sự nghiên cứu về laser cho ra đời một loạt các khái niệm cơ bản trong quang lượng tử như trạng thái kết hợp, trạng thái nén... Trạng thái nén bậc cao đa mode được đề xuất đầu tiên bởi Hillery vào năm 1989 khi khảo sát hai trường hợp nén tổng và nén hiệu đơn giản nhất cho hai mode [6]. Sau đó Kumar và Gupta nâng trường hợp khảo sát lên ba mode [7]. Nén tổng đa mode tổng quát đã được Nguyễn Bá Ân, Võ Tình khảo sát cho hệ có ngõ vào là các đơn mode kết hợp và đơn mode nén [4], [5]. Sau đó các tác giả Nguyễn Việt Cường đã khảo sát nén tổng đa mode tổng quát cho hệ có ngõ vào là các đơn mode kết hợp, kết hợp thêm photon và đơn mode nén [1]. Bài báo này trình bày khảo sát mở rộng công trình trên về nén tổng đa mode bậc cao Hillery, áp dụng khảo sát hệ có ngõ vào là các đơn mode kết hợp và đơn mode nén. 2 NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỔNG QUÁT Xét quá trình vật lý xảy ra trong môi trường phi tuyến, trong đó N photon với tần số ω1, ω2, ω3, ..., ωN kết hợp với nhau để tạo thành một photon có tần số tổng ΩS = ω1 + ω2 + ω3 + ... + ωN . Hamiltonian ứng với sự sinh ra một tần số tổng như thế có dạng [2] Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 02(14)/2010: tr. 15-24 16 VÕ TÌNH - PHẠM THỊ HẠNH THẢO HˆS = N∑ j=1 ωjnˆj + ΩSnˆS + gS(cˆ + S cˆ1...cˆN + h.c). (1) Trong đó nˆj = cˆ + j cˆj, nˆS = cˆ + S cˆS với cˆ + j , cˆj và cˆ + S , cˆS theo thứ tự là các toán tử sinh, huỷ ứng với các mode ωj và ΩS. Hằng số tương tác gS được giả thiết là thực. Vì các photon dao động trong miền quang học với tần số cao cỡ 1015 Hz nên thành phần biến thiên nhanh được tách riêng ra và viết cˆj(t) = Cˆj(t)e −iωjt, cˆS(t) = CˆS(t)e−iΩSt (2) trong đó các toán tử Cˆj(t), CˆS(t) biến thiên chậm theo thời gian vì thông thường gS ¿ ωj,ΩS. Toán tử biên độ trực giao của tần số tổng ΩS luỹ thừa k được định nghĩa XˆCS ,k(ϕ, t) = 1 2 [ CˆkS(t)e −iϕ + Cˆ+kS (t)e iϕ ] . (3) Tính được giao hoán tử[ XˆCS ,k(ϕ, t), XˆCS ,k(ϕ+ pi 2 , t) ] = i 2 FˆCS(k, t), (4) trong đó FˆCS(k, t) = [ CˆkS(t), Cˆ +k S (t) ] . Điều kiện để có nén biên độ luỹ thừa k kiểu Hillery theo phương ϕ là V XCS ,k(ϕ, t) < 1 4 |〈FˆCS(k, t)〉| (5) Toán tử ′′tập thể′′ lũy thừa k QˆS,k(ϕ, t) được định nghĩa như sau QˆS,k(ϕ, t) ≡ 1 2 [ Cˆk−1S (t) N∏ j=1 Cˆj(t)e −iϕ + Cˆ+(k−1)S (t) N∏ j=1 Cˆ+j (t)e iϕ ] . (6) Từ (6) ta suy ra hệ thức giao hoán[ QˆS,k(ϕ, t), QˆS,k ( ϕ+ pi 2 , t )] = i 2 FˆS(k,N, t), (7) NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY 17 trong đó FˆS(k,N, t) =Cˆ k−1 S (t)Cˆ +(k−1) S (t) [ N∏ j=1 Cˆj(t), N∏ j=1 Cˆ+j (t) ] + [ Cˆk−1S (t), Cˆ +(k−1) S (t) ] N∏ j=1 Cˆ+j (t)Cˆj(t) =Cˆk−1S (t)Cˆ +(k−1) S (t)FˆS(N, t) + FˆCS(k − 1, t) N∏ j=1 nˆj(t). (8) Như vậy, trạng thái ′′tập thể′′ của các mode ωj được gọi là nén tổng đa mode bậc cao theo hướng ϕ nếu V QS,k(ϕ, t) thỏa mãn điều kiện V QS,k(ϕ, t)− |〈FˆS(k,N, t)〉| 4 < 0, (9) trong đó phương sai V QS,k(ϕ, t) = 〈 Qˆ2S,k(ϕ, t) 〉 − 〈 QˆS,k(ϕ, t) 〉2 . Mối liên hệ giữa nén Hillery đơn mode có tần số tổng với nén tổng đa mode bậc cao Hillery được rút ra bằng cách dùng Hamiltonian (1) để thiết lập phương trình chuyển động cho các toán tử cần quan tâm, hệ phương trình thu được có dạng ˙ˆ Cj(t) ≡ dCˆj(t) dt = −igS N∏ k=1,k 6=j Cˆ+k (t)CˆS(t), (10) ˙ˆ CS(t) ≡ dCˆj(t) dt = −igS N∏ k=1 Cˆk(t). (11) Lấy đạo hàm (11) theo thời gian một lần nữa rồi vận dụng (11) vào kết quả tính đạo hàm cho ta kết quả ¨ˆ CS(t) = −g2SCˆS(t)FˆS(N, t) (12) Trong phép gần đúng thời gian ngắn, sự phụ thuộc thời gian của nghiệm CˆS(t) dưới dạng khai triển Taylor đến bậc hai có dạng (quy ước CˆS(0) = CˆS...) CˆS(t) = CˆS − igSt N∏ j=1 Cˆj − 1 2 g2St 2CˆSFˆS(N) (13) 18 VÕ TÌNH - PHẠM THỊ HẠNH THẢO Với điều kiện bỏ qua số hạng bậc hai trở lên của thời gian và thời điểm ban đầu các mode không tương quan với nhau ta viết được CˆkS(t) = ( 1− k 2 g2St 2FˆS(N) ) CˆkS − ikgStCˆk−1S N∏ j=1 Cˆj, (14) Cˆ+kS (t) = ( 1− k 2 g2St 2FˆS(N) ) Cˆ+kS + ikgStCˆ +(k−1) S N∏ j=1 Cˆ+j . (15) Thế (14), (15) vào (3) và xét trường hợp mode tần số tổng ΩS ban đầu (t = 0) ở trạng thái chân không hoặc kết hợp, nghĩa là V XCS ,k(ϕ)− 14 ∣∣∣〈FˆCS(k)〉∣∣∣ = 0 thì ta có phương trình với phương sai của toán tử biên độ trực giao tần số tổng lũy thừa k là V XCS ,k(ϕ, t)− 1 4 ∣∣∣〈FˆCS(k, t)〉∣∣∣ = k2g2St 2 [ V QS,k ( ϕ+ pi 2 ) − 1 4 ∣∣∣〈FˆS(k,N, t)〉∣∣∣] . (16) (16) suy ra mối quan hệ quan trọng cần thiết lập: không có nén tổng đa mode bậc cao Hillery thì cũng không tồn tại nén đơn mode Hillery của mode cˆS. Nếu các mode ở ngõ vào được nén tổng đa mode bậc cao dọc theo hướng ϕ nào đó ở thời điểm t = 0, thì mode ở ngõ ra sẽ được nén đơn mode Hillery dọc theo hướng ϕ − pi/2 ở thời điểm t > 0 ngay sau đó. Cần lưu ý rằng nếu cho k =1, ta thu được biểu thức tương tự cho nén tổng đa mode tổng quát thông thường mà các tác giả Nguyễn Bá Ân, Võ Tình đã khảo sát [4], [5]. Sử dụng các công thức (6), (7), (8), (9) ta sẽ suy ra biểu thức cụ thể của điều kiện nén tổng đa mode bậc cao phụ thuộc vào các mode ở ngõ vào như sau: V =2Re { e−2iϕα2(k−1)S [ N∏ j=1 〈 Cˆ2j 〉 − N∏ j=1 〈 Cˆj 〉2]} + 2 |αS|2(k−1) [ N∏ j=1 〈nˆj〉 − N∏ j=1 〈 Cˆ+j 〉〈 Cˆj 〉] < 0 (17) Dựa vào (17) ta sẽ khảo sát nén tổng đa mode bậc cao với các hệ đặc biệt. Nếu V < 0 thì hệ có nén tổng. Còn không, hệ không được nén tổng. NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY 19 3 NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO TỪ HỆ CÓ NGÕ VÀO LÀ CÁC ĐƠN MODE KẾT HỢP VÀ ĐƠN MODE NÉN a) Trường hợp có ít nhất một trong số các mode ban đầu ở trạng thái Fock Nếu có một mode f nào đó ở trạng thái Fock thì 〈 Cˆf 〉 = 〈 Cˆ2f 〉 = 〈 Cˆf 〉2 = 0, khi đó biểu thức V trong (17) bằng V1 = 2 |αS|2(k−1) ∏N j=1 〈nˆj〉 > 0. Vậy, hệ không có nén tổng được. b) Trường hợp tất cả các đơn mode đều kết hợp |αj〉, αj = rjexp{iϑj}, j = 1, 2, ..., N Sử dụng véctơ trạng thái kết hợp ta tính được một số giá trị trung bình ở trạng thái này như sau: 〈 Cˆj 〉 = α,〈 Cˆj 〉2 = 〈 Cˆ2j 〉 = α2j ,〈 Cˆ+j 〉 = α∗, 〈nˆj〉 = |αj|2 . (18) Điều này dẫn tới đại lượng V trong (17) bằng không, do đó không có nén tổng đa mode bậc cao khi hệ có ngõ vào đều là các đơn mode kết hợp. c) Trường hợp một trong các mode được nén, mode ` chẳng hạn còn tất cả các mode khác đều kết hợp Một mode nén được mô tả bởi hai số phức α` = r`exp(iϑ) và z` = s`exp(iχ) theo đó vectơ trạng thái nén kết hợp của các đơn mode bị nén là |α`, z`〉 = DˆC`(α`)SˆC`(z`)|0〉. (19) Mode thứ ` được nén cho ta〈 Cˆ` 〉 = α`, 〈 Cˆ+` 〉 = α∗`〈 Cˆ2` 〉 = α2` − eiχ` sinh s` cosh s`〈 Cˆ` 〉2 = α2` , 〈nˆ`〉 = |α`|2 + sinh2 s`. (20) Thay (18), (20) vào (17), và xét trường hợp các mode kết hợp đều giống nhau αj = rJe iϑJ , và vì 2r 2(k−1) S ∏N j 6=`,j=1 r 2 j ≥ 0 nên biểu thức điều kiện nén (17) được viết lại V2 = sinh 2 s` − sinh s` cosh s` cos [2 (−ϕ+ (k − 1)ϑS + (N − 1)ϑJ + χ`)] (21) 20 VÕ TÌNH - PHẠM THỊ HẠNH THẢO Kết quả khảo sát cho thấy, có thể xảy ra nén tổng đa mode bậc cao, cụ thể là: Kết quả khảo sát ở hình 1 cho thấy rằng nén bậc cao Hillery có độ nén cực đại không thay đổi với các giá trị k khác nhau, nhưng nếu k càng tăng thì chu kỳ nén càng giảm, hay nói cách khác là xác suất có nén tăng lên. HaL 0 0.1 0.2 sl 0 1 2 3 JS -0.2 0 0.2 0.4 V2 HbL 0 0.1 0.2 sl 0 1 2 3 JS -0.2 0 0.2 0.4 V2 Hình 1. Đồ thị của hàm V2 khảo sát theo ϑS và s` với ϑJ = 0;χ` = 0;ϕ = 0;N = 5. Hình (a) k = 2. Hình (b) k = 3. 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Js -0.2 0 0.2 0.4 2 V HaL 0 0.5 1 1.5 2 sl -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 2 V HbL Hình 2. Đồ thị của hàm V2 khảo sát theo ϑS và s` với ϑJ = 0;χ` = 0;ϕ = 0; k = 2;N = 5. Hình (a) khảo sát theo s` = 0.2; 0.3; 0.5. Hình (b) khảo sát theo ϑS = 0.2; 0.25; 0.3. (Các tham số được chọn ba giá trị để khảo sát theo thứ tự tăng dần tương ứng với đường liền nét, gạch dài và gạch ngắn). Kết quả khảo sát ở hình 2 cho thấy rằng, nén tổng có xảy ra. Ở hình 2 a, trong khoảng giá trị của ϑS cho nén tổng, pha kết hợp của mode cˆS ϑS tăng thì ban đầu độ nén tăng, sau đó đạt cực đại. Tiếp tục tăng ϑS thì dộ nén bắt đầu giảm và sẽ không còn nén đa mode nếu tăng ϑS đến một giá trị xác định. Trong khoảng giá trị khảo sát của ϑS, độ nén cực đại tăng khi tăng giá trị của tham số nén s`. Kết quả khảo sát ở hình 2 b cũng cho kết quả tương tự, khi tham số nén s` tăng thì ban đầu độ nén tăng, đạt cực đại và sau đó giảm, không còn nén đa mode nếu tăng s` đến một giá trị xác định. Trong khoảng giá trị khảo sát của s`, độ nén cực đại giảm khi NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY 21 tăng giá trị của ϑS. d) Trường hợp có hơn một mode bị nén và các mode còn lại kết hợp Gọi mode 1, mode 2,..., mode L bị nén còn mode L + 1, mode L + 2..., mode N là kết hợp. Sử dụng (18), (20) và xét trường hợp các mode nén j giống nhau αj = αJ = rJe iϑJ , zj = zJ = se iχ, các mode kết hợp ` giống nhau α` = αL = rLe iϑL , biểu thức điều kiện nén được viết lại V 3 =Re { e2i(−ϕ+(k−1)ϑS+(N−L)ϑL) [( r2Je 2iϑJ − eiχ sinh s cosh s)L − r2LJ e2iLϑJ]} + ( r2J + sinh 2 s )L − r2LJ (22) HaL 0 1 2 3 JS 0 0.1 0.2 0.3 0.4 s 0 0.5 1 V3 HbL 0 1 2 3 JS 0 0.1 0.2 0.3 0.4 s 0 0.5 1 V3 Hình 3. Đồ thị của hàm V3 khảo sát theo ϑS và s khi số mode nén là L = 2 với N = 5; ϑJ = 0;ϑL = 0; rJ = 1;χ = 0;ϕ = 0. Hình (a) k = 2. Hình (b) k = 3. Xét khi L = 2, V 3 được viết lại V 3 =− 2r2J sinh s cosh s cos [ 2 ( −ϕ+ (k − 1)ϑS + (N − L)ϑL + ϑJ + χ 2 )] + sinh2 s cosh2 s cos [2 (−ϕ+ (k − 1)ϑS + (N − L)ϑL + χ)] + 2r2J sinh 2 s+ sinh4 s (23) 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 Js -0.2 0 0.2 0.4 0.6 3 V HaL 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 s -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 3 V HbL Hình 4. Đồ thị của hàm V3 khảo sát theo ϑS và s khi số mode nén là L = 2 với N = 5; ϑJ = 0;ϑL = 0; rJ = 1;χ = 0;ϕ = 0; k = 2. Hình (a) khảo sát theo s = 0.4; 0.45; 0.5. Hình (b) khảo sát theo ϑS = 6.2; 6.5; 6.7. (Các tham số được chọn ba giá trị để khảo sát theo thứ tự tăng dần tương ứng với đường liền nét, gạch dài và gạch ngắn). Kết quả khảo sát hàm V 3 khi L = 2 trên hình 3 cho thấy, có nén tổng đa mode. Với các giá trị k càng lớn thì số khoảng giá trị của ϑS có nén càng tăng. 22 VÕ TÌNH - PHẠM THỊ HẠNH THẢO Hình 4 cho ta thấy rõ quy luật thay đổi độ nén, độ nén cực đại theo ϑS và s. Trong hình 4 a, với giá trị tăng dần của ϑS thì độ nén tăng dần, đến giá trị cực đại, sau đó giảm dần và không có nén khi ϑS đến một giá trị xác định. Trong khoảng giá trị khảo sát của ϑS, độ nén cực đại giảm khi s tăng. Kết quả khảo sát ở hình 4 b cũng cho kết quả tương tự. Và trong khoảng khảo sát của s, độ nén cực đại giảm khi tăng pha kết hợp ϑS. Xét khi số mode nén là L = 3, V 3 trong (22) trở thành HaL 0 1 2 3 Js 0 0.1 0.2 0.3 0.4 s 0 0.5 1 V3 HbL 0 1 2 3 Js 0 0.1 0.2 0.3 0.4 s 0 0.5 1 V3 Hình 5. Đồ thị của hàm V3 khảo sát theo ϑS và s khi số mode nén là L = 3 với N = 5; ϑJ = 0;ϑL = 0; rJ = 1;χ = 0;ϕ = 0. Hình (a) k = 2. Hình (b) k = 3. V 3 =− 3r4J sinh s cosh s cos [ 2 ( −ϕ+ (k − 1)ϑS + (N − L)ϑL + 2ϑJ + χ 2 )] + 3r2J sinh 2 s cosh2 s cos [2 (−ϕ+ (k − 1)ϑS + (N − L)ϑL + ϑJ + χ)] + sinh3 s cosh3 s cos [ 2 ( −ϕ+ (k − 1)ϑS + (N − L)ϑL + χ 3 )] + 3r4J sinh 2 s+ 3r2J sinh 4 s+ sinh6 s. (24) Hình 5 và 6 khảo sát V 3 khi L = 3 cho thấy, kết quả vẫn có nén tổng đa mode. Mối quan hệ của độ nén với k, ϑS và s tương tự như khi khảo sát V 3 với L = 2. 4 KẾT LUẬN Bằng việc vận dụng phép gần đúng thời gian ngắn, biểu thức miêu tả mối liên hệ chặt chẽ giữa nén đơn mode bậc cao Hillery của photon có tần số tổng với nén tổng đa mode bậc cao Hillery đã được thiết lập. Theo đó, thay vì khảo sát điều kiện để có nén bậc cao Hillery của photon có tần số tổng ở ngõ vào, ta chỉ cần khảo sát nén tổng đa mode bậc cao Hillery ở ngõ vào. Kết quả khảo sát cho thấy: - Không có nén tổng đa mode bậc cao Hillery nếu hệ chỉ có các trạng thái đơn mode Fock và kết hợp ở ngõ vào. - Chỉ có xảy ra nén khi ở ngõ vào có ít nhất một đơn mode nén và không có trạng NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY 23 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 JS -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 3 V HaL 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 s -10 -5 0 5 10 15 20 3 V HbL Hình 6. Đồ thị của hàm V3 khảo sát theo ϑS và s khi số mode nén là L = 3 với N = 5; ϑJ = 0;ϑL = 0; rJ = 2;χ = 0;ϕ = 0; k = 2. Hình (a) khảo sát theo s = 0.1; 0.2; 0.3. Hình (b) khảo sát theo ϑS = 0.1; 0.3; 0.5. (Các tham số được chọn ba giá trị để khảo sát theo thứ tự tăng dần tương ứng với đường liền nét, gạch dài và gạch ngắn). thái Fock. Độ nén cực đại phụ thuộc vào các giá trị của độ nén s và góc pha ϑS. Việc khảo sát có thể được tiếp tục với các trạng thái kết hợp, kết hợp phi tuyến, trạng thái kết hợp thêm photon và các trạng thái phi cổ điển khác. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Việt Cường (2008). Nén tổng đa mode với các trạng thái kết hợp đặc biệt. Luận văn thạc sĩ Vật lý ĐHSP Huế. [2] Võ Tình (2001). Một số hiệu ứng trong hệ photon-exciton-biexciton ở bán dẫn kích thích quang. Luận án tiến sĩ Vật lý ĐHSP, Hà Nội. [3] Agarwal G.S. and Tara K. (1991). Nonclassical properties of States generated by exitations on a coherent state. Phy. Rev. A, 43(1), pp. 492-497. [4] Nguyen Ba An and Vo Tinh (2000). General multimode difference-squeezing. Physics Letters A, 270, pp. 27-40. [5] Nguyen Ba An and Vo Tinh (2000). Multimode difference-squeezing. J. Phys. A: Mathematics & General, 33, pp. 2951-2962. [6] Hillery M. (1989). Sum and Difference squeezing of the electromagnetic field. Phys. Rev. A, 40(8), pp. 3147-3155. [7] Kumar A. and Gupta S.P. (1997). Sum squeezing in four-wave sum frequency generation. Optics Communication, 136, pp. 441-446. 24 VÕ TÌNH - PHẠM THỊ HẠNH THẢO Title: THE HILLERY HIGHER-ORDER MULTIMODE SUM-SQUEEZING Abstract: In this paper, the general Hillery higher-order multimode sum-squeezing pro- cess is treated. The higher-order multimode sum-squeezing conditions and the relationship between Hillery higher-order squeezing of sum frequency single mode and Hillery higher- order multimode sum-squeezing are established. This process with system of photons whose input states are coherent states and squeezed states in nonlinear medium is also studied with the plots which show the dependences of Hillery multimode sum-squeezing on param- eters of input photon states. TS. VÕ TÌNH Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế. PHẠM THỊ HẠNH THẢO Học viên cao học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế.