Nén hiệu đa Mode từ các trạng thái kết hợp và trạng thái kết hợp thêm Photon

NÉN HIỆU ĐA MODE TỪ CÁC TRẠNG THÁI KẾT HỢP VÀ TRẠNG THÁI KẾT HỢP THÊM PHOTON VÕ TÌNH Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế NGUYỄN TRUNG DŨNG Trường THPT Nghèn, Hà Tĩnh Tóm tắt: Trạng thái kết hợp thêm photon biểu hiện các tính chất phi cổ điển như là nén biên độ trực giao và thống kê sub-Poisson [1]. Trong một môi trường phi tuyến, mối liên hệ giữa nén hiệu đa mode từ các photon đơn mode ở ngõ vào với nén thông thường của photon có tần số hiệu ở ngõ ra được thiết lập thông qua các phương trình chuyển động Heisenberg. Nén hiệu đa mode tổng quát với các trạng thái kết hợp và kết hợp thêm photon sẽ được trình bày trong bài báo này. 1 GIỚI THIỆU Sự nghiên cứu mạnh mẽ về laser từ năm 1960 đã cho ra đời một loạt các khái niệm cơ bản trong quang lượng tử như trạng thái kết hợp, trạng thái nén ... Trạng thái phi cổ điển đầu tiên là trạng thái nén (squeezed state), được đưa ra lần đầu tiên bởi D. Stoler vào năm 1970. Tiếp theo là trạng thái kết hợp thêm photon (photon-added coherent state), trạng thái này biểu hiện rõ những đặc điểm phi cổ điển như nén biên độ trực giao và thống kê sub-Poisson [1]. Trạng thái nén bậc cao đa mode được khởi đầu bởi Hillery vào năm 1989 khi khảo sát hai trường hợp nén tổng và nén hiệu đơn giản nhất cho hai mode [4]. Sau đó Kumar và Gupta nâng trường hợp khảo sát lên ba mode [5]. Năm 2000 nén hiệu đa mode tổng quát đã được Nguyễn Bá Ân, Võ Tình khảo sát với các đơn mode kết hợp và đơn mode nén [2], [3]. Bài báo này trình bày khảo sát mở rộng công trình trên về nén hiệu đa mode tổng quát với các trạng thái kết hợp và trạng thái kết hợp thêm photon. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(13)/2010: tr. 14-22 NÉN HIỆU ĐA MODE TỪ CÁC TRẠNG THÁI KẾT HỢP... 15 2 NÉN HIỆU ĐA MODE TỔNG QUÁT [2], [3] Xét một quá trình chuyển đổi tần số đa sóng nhờ môi trường phi tuyến, theo đó có N mode ở ngõ vào có tần số ω1, ω2, ..., ωN tương tác với môi trường phi tuyến để tạo ra một mode ở ngõ ra với tần số ΩD được cho bởi ΩD = K∑ k=1 ωk − N∑ j=K+1 ωj > 0 (1) trong đó 1 ≤ K < N(N ≥ 2). Quá trình vật lý này được mô tả bằng Hamiltonian sau HˆD = N∑ j=1 ωjnˆj +ΩDnˆD + gD ( cˆ+D N∏ p=K+1 cˆ+p K∏ q=1 cˆq + h.c ) . (2) trong đó nˆj = cˆ+j cˆj , nˆD = cˆ + D cˆD, với cˆ + j , cˆj là các toán tử sinh, hủy ứng với các mode ở ngõ vào có tần số ωj và cˆ+D, cˆD là các toán tử sinh, hủy của mode ΩD ở ngõ ra. Hằng số tương tác phi tuyến gD thường nhỏ hơn tần số ωj , ΩD của các mode rất nhiều, do đó ta có thể biểu diễn các toán tử như sau cˆj = Cˆjexp(−iωjt), cˆD(t) = CˆD(t)exp(−iΩDt), (3) trong đó Cˆj(t), CˆD(t) biến thiên theo thời gian chậm hơn nhiều so với exp(−iωjt) và exp(−iΩDt). Toán tử "tập thể" ứng với các mode ωj được định nghĩa như sau: QˆD(ϕ, t) = 1 2 [ exp(−iϕ) K∏ k=1 Cˆk(t) N∏ j=K+1 Cˆ+(t) + h.c ] , (4) với ϕ là góc tạo bởi toán tử tập thể trên với trục thực của mặt phẳng phức. Từ (4) ta suy ra hệ thức giao hoán [ QˆD(ϕ, t), QˆD(ϕ+ pi2 , t) ] = i2 FˆD(N, t), trong đó FˆD(N, t) = Fˆ+D (N, t) = K∏ k=1 (1 + nˆk(t)) N∏ j=K+1 nˆj(t)− K∏ k=1 nˆk(t) N∏ j=K+1 (1 + nˆj(t)). (5) Như vậy, trạng thái "tập thể" của các mode ωj được gọi là nén hiệu đa mode tổng quát dọc theo hướng ϕ nếu V QD(ϕ, t)− 14 |〈FˆD(N, t)〉| < 0, (6) trong đó phương sai V QD(ϕ, t) = 〈QˆD(ϕ, t)2〉 − 〈QˆD(ϕ, t)〉2. Mối liên hệ giữa nén hiệu của các mode ωj ở ngõ vào với nén thông thường của mode ΩD ở ngõ ra được rút ra bằng cách dùng Hamiltonian (2) để thiết lập phương trình chuyển 16 VÕ TÌNH - NGUYỄN TRUNG DŨNG động cho các toán tử cần quan tâm, hệ phương trình thu được có dạng ˙ˆ Cl(t) ≡ ∂Cˆl(t) ∂t = −igDCˆD(t) K∏ k=1,k 6=l Cˆ+k (t) N∏ j=K+1 Cˆj(t) (1 ≤ l ≤ K), (7) ˙ˆ Cl(t) ≡ ∂Cˆl(t) ∂t = −igDCˆD(t) K∏ k=1 Cˆ+k (t) N∏ j=K+1,j 6=l Cˆj(t) (K + 1 ≤ l ≤ N), (8) ˙ˆ CD(t) ≡ ∂CˆD(t) ∂t = −igD K∏ k=1 Cˆ+k (t) N∏ j=K+1 Cˆj(t). (9) Đạo hàm riêng phần bậc hai theo thời gian của Cˆ(t) được suy ra từ (9) ¨ˆ CD(t) = −g2DCˆD(t)FˆD(N, t). (10) Từ đây, trong phép gần đúng thời gian ngắn, sự phụ thuộc thời gian của nghiệm CˆD(t) dưới dạng khai triển Taylor đến bậc hai có dạng (quy ước CˆD ≡ CˆD(t = 0), ...) CˆD(t) = CˆD − igDt K∏ k=1 Cˆk N∏ j=K+1 Cˆ+j − g2t2 2 CˆDFˆ (N). (11) Phương trình (11) cũng cho thấy CˆD(t) phụ thuộc vào gDt hơn là t, biểu hiện sự biến thiên chậm hơn nhiều của CˆD(t) so với sự biến thiên của cˆD(t) ∝ exp (−iΩDt). Điều này hoàn toàn phù hợp với biểu thức được đưa ra ở (3). Gọi XˆCD(ϕ, t) = 1 2 [ CˆD(t) exp (−iϕ) + Cˆ+D(t) exp (iϕ) ] (12) là toán tử biên độ trực giao của mode ΩD ở ngõ ra. Thế (11) vào (12) và xét trường hợp ban đầu mode ngõ ra ở trạng thái kết hợp hoặc chân không, nghĩa là V XCD(ϕ) = 1/4 thì ta có phương trình với phương sai của biên độ trực giao này là V XCD(ϕ, t)− 1 4 = g2Dt 2 [ V QD(ϕ+ pi/2)− 〈FˆD(N)〉4 ] . (13) 〈FˆD(N)〉 = |〈FˆD(N)〉| nếu trung bình lượng tử của số các mode ở ngõ vào thỏa mãn điều kiện K∏ k=1 (〈1 + nˆk〉 〈nˆk〉 ) > N∏ j=K+1 (〈1 + nˆj〉 〈nˆj〉 ) . (14) Trong trường hợp này, phương trình (13) trở thành V XCD(ϕ, t)− 1 4 = g2Dt 2 [ V QD(ϕ+ pi/2)− |〈FˆD(N)〉|4 ] . (15) NÉN HIỆU ĐA MODE TỪ CÁC TRẠNG THÁI KẾT HỢP... 17 Kết hợp (6) và điều kiện nén thông thường V XCD(ϕ+pi/2, t)− 1 4 < 0 cho XˆCD với phương trình (15), suy ra mối quan hệ quan trọng cần thiết lập: nén hiệu đa mode tổng quát ở ngõ vào được thực hiện thì nén hiệu thông thường của mode có tần số hiệu mới xuất hiện. Mặt khác, nếu các mode ở ngõ vào được nén hiệu đa mode dọc theo hướng ϕ nào đó ở thời điểm t = 0 thì mode ở ngõ ra sẽ được nén thông thường dọc theo hướng ϕ − pi/2 ở thời điểm t > 0 ngay sau đó. Khi điều kiện về trung bình lượng tử của số mode ở ngõ vào (14) được thỏa mãn, sử dụng các công thức (4), (5), (6) ta sẽ suy ra biểu thức cụ thể của điều kiện nén hiệu đa mode phụ thuộc vào các mode ở ngõ vào như sau: V = < { exp(2iϕ) [ K∏ k=1 〈Cˆ2k〉 N∏ j=K+1 〈Cˆ+2j 〉 − K∏ k=1 〈Cˆk〉2 N∏ j=K+1 〈Cˆ+j 〉2 ]} + K∏ k=1 〈nˆk〉 N∏ j=K+1 (1 + 〈nˆj〉)− K∏ k=1 |〈Cˆk〉|2 N∏ j=K+1 |〈Cˆ+j 〉|2 < 0. (16) Dựa vào (16) ta sẽ khảo sát nén hiệu đa mode với các hệ đặc biệt. Nếu V < 0 và điều kiện trung bình số hạt của các mode ở ngõ vào (14) được thỏa mãn thì hệ có nén hiệu. Còn không, hệ không được nén hiệu. 3 TRẠNG THÁI KẾT HỢP THÊM PHOTON [1] Trạng thái kết hợp thêm photon được định nghĩa là |α,m〉 = aˆ +m|α〉√〈α|aˆmaˆ+m|α〉 = aˆ+m|α〉[m!Lm(−|α|2)]1/2 , (17) ở đây |α〉 là trạng thái kết hợp, m là số nguyên không âm, Lm(x) là đa thức Laguerre bậc m theo x. Trạng thái kết hợp thêm photon thể hiện các tính chất phi cổ điển như tính nén và tuân theo thống kê sub-Poisson [1]. 4 NÉN HIỆU ĐA MODE TỔNG QUÁT VỚI CÁC TRẠNG THÁI KẾT HỢP VÀ KẾT HỢP THÊM PHOTON a) Trường hợp các mode ωK+1, ωK+2, ..., ωK+J (1 ≤ J ≤ N −K) kết hợp thêm photon còn các mode còn lại đều kết hợp Sử dụng véctơ trạng thái kết hợp ta tính được một số giá trị trung bình ở trạng thái này như sau: 〈Cˆ2k〉 = 〈Cˆk〉2 = α2k, 〈Cˆ+2j 〉 = 〈Cˆ+j 〉2 = α∗2j , (18) 〈nˆk〉 = |〈Cˆk〉|2 = |αk|2, 〈nˆj〉 = |〈Cˆ+j 〉|2 = |αj |2. (19) 18 VÕ TÌNH - NGUYỄN TRUNG DŨNG Sử dụng véctơ trạng thái kết hợp thêm photon ta tính được một số giá trị trung bình ở trạng thái này như sau: 〈Cˆ+p 〉 = α∗p ∑m i=0 Li(−|αp|2) Lm(−|αp|2) , 〈Cˆ+2p 〉 = α∗2p ∑m i=0(m+ 1− i)Li(−|αp|2) Lm(−|αp|2) , (20) 〈nˆp〉 = (m+ 1)Lm+1(−|αp| 2) Lm(−|αp|2) − 1. (21) Xét trường hợp các mode kết hợp là giống nhau αk = reiθ; các mode kết hợp thêm photon là giống nhau αp = ρeiβ, biểu thức của điều kiện nén hiệu là V1 = Cos[2ϕ+ 2(2K + J −N)θ − 2Jβ]ρ2J [(∑m i=0(m+ 1− i)Li(−ρ2) Lm(−ρ2) )J − (∑m i=0 Li(−ρ2) Lm(−ρ2) )2J] r2(N−K−J) + ((m+ 1)Lm+1(−ρ2) Lm(−ρ2) )J (1 + r2)N−K−J − ρ2J (∑m i=0 Li(−ρ2) Lm(−ρ2) )2J r2(N−K−J). (22) Điều kiện trung bình số hạt của các mode ở ngõ vào (xét với θ = β = 0) là D1 = ( (m+ 1)Lm+1(−ρ2) (m+ 1)Lm+1(−ρ2)− Lm(−ρ2) )J(1 + r2 r2 )N−2K−J − 1 < 0. (23) Theo biểu thức tần số hiệu (1), V 1 được khảo sát theo các trường hợp sau: - N = 2: +K = 1; J = 1. - N = 4: +K = 1; J = 1, 2, 3 - N = 3: +K = 1; J = 1, 2 +K = 2; J = 1, 2 +K = 2; J = 1. +K = 3; J = 1. Kết quả khảo sát hàm V1 cho thấy hệ không có nén hiệu trong trường hợp này. b) Trường hợp các mode ω1, ω2, ..., ωJ (1 ≤ J ≤ K) kết hợp thêm photon còn các mode còn lại đều kết hợp. Sử dụng các trị trung bình đã tính được và xét trường hợp các mode kết hợp là giống nhau αk = reiθ; các mode kết hợp thêm photon là giống nhau αp = ρeiβ, ta có: Điều kiện trung bình số hạt của các mode ở ngõ vào (xét với θ = β = 0) là D2 = (1 + r2 r2 )N−2K+J − ( (m+ 1)Lm+1(−ρ2) (m+ 1)Lm+1(−ρ2)− Lm(−ρ2) )J < 0. (24) Biểu thức của điều kiện nén hiệu là V2 = Cos[2ϕ+ 2(2K − J −N)θ + 2Jβ]ρ2J [(∑m i=0(m+ 1− i)Li(−ρ2) Lm(−ρ2) )J − (∑m i=0 Li(−ρ2) Lm(−ρ2) )2J] r2(N−K) + ((m+ 1)Lm+1(−ρ2) Lm(−ρ2) − 1 )J (1 + r2)N−K − ρ2J (∑m i=0 Li(−ρ2) Lm(−ρ2) )2J r2(N−K). (25) NÉN HIỆU ĐA MODE TỪ CÁC TRẠNG THÁI KẾT HỢP... 19 Theo biểu thức tần số hiệu, V2 được khảo sát theo các trường hợp sau: - N = 2: +K = 1; J = 1. - N = 4: +K = 1; J = 1 - N = 3: +K = 1; J = 1 +K = 2; J = 1, 2 +K = 2; J = 1, 2. +K = 3; J = 1, 2, 3. HaL 0 5 10 Ρ 0 5 10 15 20 r -0.5 0.0 0.5 D2r, Ρ HbL 0 1 2 3 4 Ρ 0 5 10 15 20 r -5 0 5 V2r, Ρ Hình 1: Đồ thị của hàm D2 (hình a) và V2(×10−5) (hình b) khảo sát theo r và ρ trong trường hợp Z = 3, J = 1 (ứng với N = 4, K = 1). Với m = 1, ϕ = θ = β = 0. 0 1 2 3 4 0 5 10 15 Ρ V 2 Ρ HaL 0 1 2 3 4 5 -4 -2 0 2 4 Ρ V 2 Ρ HbL Hình 2: (a) Đồ thị của hàm V2(×10−3) (ứng với N = 3, K = 1; N = 4, K = 2) khảo sát theo ρ với r = 6, 10, 12. (b) Đồ thị của hàm V2(×10−2) (ứng với N = 4, K = 3), khảo sát theo ρ với r =8, J=1,2,3. (Các tham số được chọn các giá trị để khảo sát theo thứ tự tăng dần tương ứng với liền nét, gạch dài và gạch ngắn). Các tham số chung m = 1, ϕ = θ = β = 0. Kết quả khảo sát cho thấy có thể xảy ra nén hiệu đa mode tổng quát, cụ thể là: Kết quả khảo sát ở hình 1 cho thấy, trong trường hợp này có thể xảy ra nén hiệu với các giá trị thích hợp của r và ρ. Trong đó ρ phải nhận những giá trị nhỏ nhưng lớn hơn 1 và r > ρ. Từ kết quả khảo sát ở hình 2 ta rút ra những nhận xét sau: Có thể xảy ra nén hiệu với các giá trị thích hợp của r, ρ thỏa mãn r > ρ > 1. Chỉ xảy ra nén hiệu trong một phạm vi giới 20 VÕ TÌNH - NGUYỄN TRUNG DŨNG hạn nhất định của ρ. Với r, J càng lớn thì mức độ nén hiệu đạt cực đại địa phương càng tăng, phạm vi giới hạn có nén của ρ tăng. c) Trường hợp các mode ω1, ω2, ..., ωJ (1 ≤ J ≤ K) và các mode ωK+1, ωK+2, ..., ωK+J ′ (1 ≤ J ′ ≤ N −K) kết hợp thêm photon còn các mode còn lại đều kết hợp. Thay các trị trung bình đã tính được và xét trường hợp các mode kết hợp giống nhau αk = reiθ; J mode kết hợp thêm photon ω1, ω2, ..., ωJ với 1 ≤ J ≤ K là giống nhau αp = ρeiβ; J ′ mode kết hợp thêm photon ωK+1, ωK+2, ..., ωK+J ′ với 1 ≤ J ′ ≤ N − K là giống nhau αp′ = ηeiγ ta có: Biểu thức điều kiện nén là V3 = Cos[2ϕ+ 2(2K − J −N + J ′)θ + 2Jβ − 2J ′γ]ρ2Jη2J ′[(∑m i=0(m+ 1− i)Li(−ρ2) Lm(−ρ2) )J(∑m i=0(m+ 1− i)Li(−η2) Lm(−η2) )J ′ − (∑m i=0 Li(−ρ2) Lm(−ρ2) )2J(∑m i=0 Li(−η2) Lm(−η2) )2J ′] r2(N−K−J ′) + ((m+ 1)Lm+1(−ρ2) Lm(−ρ2) − 1 )J((m+ 1)Lm+1(−η2) Lm(−η2) )J ′ (1 + r2)N−K−J ′ − ρ2Jη2J ′ (∑m i=0 Li(−ρ2) Lm(−ρ2) )2J(∑m i=0 Li(−η2) Lm(−η2) )2J ′ r2(N−K−J ′). (26) Điều kiện trung bình số hạt của các mode ở ngõ vào (xét với θ = β = 0) D3 = ( (m+ 1)Lm+1(−η2) (m+ 1)Lm+1(−η2)− Lm(−η2) )J ′(1 + r2 r2 )N−2K+J−J ′ − ( (m+ 1)Lm+1(−ρ2) (m+ 1)Lm+1(−ρ2)− Lm(−ρ2) )J < 0. (27) Theo biểu thức tần số hiệu, ta sẽ khảo sát D3 và V3 theo các trường hợp sau: - N = 2 : K = 1, J = 1, J ′ = 1. - N = 3 : +K = 1, J = 1, J ′ = 1 +K = 2, J = 1, J ′ = 1. Kết quả khảo sát cho thấy có thể xảy ra nén hiệu đa mode tổng quát với các giá trị r, ρ và η thích hợp thỏa mãn r, η > ρ > 1. 5 KẾT LUẬN Các biểu thức của điều kiện nén hiệu đa mode tổng quát với các trạng thái kết hợp, các trạng thái kết hợp thêm photon được thiết lập trong trường hợp cụ thể: các mode không tương quan, ở cùng một trạng thái thì giống nhau (αk = eiθ, αp = ρeiβ, αp′ = ηeiγ). Các kết quả khảo sát nén hiệu đa mode tổng quát với các trạng thái kết hợp, các trạng thái kết hợp thêm đơn photon (m = 1) cho thấy, chỉ có thể xảy ra nén hiệu đa mode tổng quát NÉN HIỆU ĐA MODE TỪ CÁC TRẠNG THÁI KẾT HỢP... 21 khi có tần số các mode kết hợp thêm đơn photon nằm trong phần bị trừ trong biểu thức của tần số hiệu và các trạng thái kết hợp thêm đơn photon phải có biên độ kết hợp nhỏ hơn biên độ kết hợp của trạng thái kết hợp nhưng phải lớn hơn 1 (r > ρ > 1), khi đó có các mức độ nén của hệ đạt cực đại địa phương. Do đó, sẽ có nén đơn mode có tần số hiệu ΩD ở ngõ ra. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Agarwal G. S. and Tara K. (1991), Nonclassical properties of States generated by excitations on a coherent state, , Phys. Rev. A, 43(1), pp. 492-497. [2] Nguyen Ba An and Vo Tinh (2000), General multimode difference-squeezing, Physics Letters A, 270, pp. 27-40. [3] Nguyen Ba An and Vo Tinh (2000), Multimode difference-squeezing, , J. Phys. A: Mathematics & General, 33, pp. 2951-2962. [4] Hillery M. (1989), Sum and Difference squeezing of the electromagnetic field, , Phys. Rev. A, 40(8), pp. 3147-3155. [5] Kumar A. and Gupta S. P. (1997), Sum squeezing in four-wave sum frequency gener- ation, Optics communication, 136, pp. 441-446. Title: GENERAL MULTIMODE DIFFERENCE-SQUEEZING FROM COHERENT STATES AND PHOTON-ADDED COHERENT STATES Abstract: Photon-added coherent states exhibit nonclassical properties such as the squeez- ing in one of the quadratures and sub-Poissonian statistics [1]. In a nonlinear medium the relation between general multimode difference-squeezing of input single-mode photons and the normal squeezing of output difference frequency photon is established by Heisen- berg moving equations. General multimode difference-squeezing from coherent states and photon-added coherent states is presented in this paper. TS. VÕ TÌNH Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế. ThS. NGUYỄN TRUNG DŨNG Trường THPT Nghèn, Can Lộc, Hà Tĩnh.