Một số vấn đề về quá trình xây dựng mô hình mờ dựa trên cơ sở đại số gia tử

Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(13)/2010: tr. 30-39 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ QUÁ TRÌNH XÂY DỰNG MÔ HÌNH MỜ DỰA TRÊN CƠ SỞ ĐẠI SỐ GIA TỬ NGUYỄN THẾ DŨNG Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài này chúng tôi đề xuất quá trình xây dựng các luật IF THEN của mô hình mờ SISO trong trường hợp đường cong của mô hình là chưa được cho trước, dựa trên cơ sở đại số gia tử. 1. MỞ ĐẦU Xét mô hình mờ SISO (Singular Input Singular Output): If X is A1 then Y is B1 If X is A2 then Y is B2 If X is Am then Y is Bm Cho X is A0 ------------------------------ Tính Y is B0? Ở đây A0, B0, Ai và Bi với mọi i = 1,2,, m là các giá trị ngôn ngữ của các biến ngôn ngữ X, Y tương ứng. Trong [3], [5], [4] đã chỉ ra các ưu điểm của phương pháp nội suy trên cơ sở đại số gia tử để giải mô hình mờ. Thông thường các luật trong mô hình mờ được cho bởi các chuyên gia, khi đó thường xảy ra các sai lệch khi biểu diễn các giá trị ngôn ngữ Ai, Bi thành các tập mờ hay các giá trị ngôn ngữ trên đại số gia tử (ĐSGT). Trong [5] đã cho một số ví dụ, với việc mờ hóa các giá trị vật lý cần biểu diễn của mô hình thành các giá trị trên ĐSGT một cách trực giác, mặc dù kết quả tính toán đã rất tốt hơn nhiều so với cách tính toán trên tập mờ của Cao-Kandel trong nhưng vẫn còn sai số lớn. Xét bài toán xấp xỉ hàm trong điều khiển học được định nghĩa như sau: Xét hàm liên tục y=f(x) từ X là tập compact trên Rm lên Y trên Rp. Cho ε>0. Hãy xây dựng hàm F(x): X ! Y sao cho ∀x∈X, d(f(x),F(x))≤ε. Ở đây mô hình toán của f(x) được xác định bởi tập các dữ liệu thống kê {(x,y)| x∈X, y∈Y} và d(a,b) là mêtric trên Rp Khi đó mô hình mờ hoạt động như một hệ SAM (Standard Additive Model) là một cách tiếp cận. Trong [5] cũng đã có một số kết quả nhằm xây dựng các tập mờ tương ứng với Ai, Bj hợp lý hơn.Trong [4] cũng chỉ ra một quá trình xây dựng các luật “IFTHEN” dựa trên đường cong y=f(x), trong trường hợp đường cong này được cho trước nhờ vào MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ QUÁ TRÌNH XÂY DỰNG MÔ HÌNH MỜ 31 các phương pháp toán học. Tuy vậy trong trường hợp đường cong f(x) là không được cho trước mà được xây dựng từ các số liệu thống kê, thì quá trình xây dựng trong [4] là khó thực hiện được. Trong bài này chúng tôi đề xuất quá trình xây dựng mô hình SISO để giải bài toán xấp xỉ nói trên. Quá trình bao gồm 2 bước chính sau: - Phân lớp dữ liệu để tạo ra các khối mờ trong không gian XxY. - Trên cơ sở đại số gia tử xây dựng các luật “IF THEN” của mô hình, bao gồm việc xây dựng các giá trị ngôn ngữ Ai, Bi và các tập mờ tương ứng với Ai, Bi. Phần còn lại của bài báo được tổ chức như sau: Phần 2 trình bày sơ lược các kết quả về phân lớp dữ liệu và mô hình mờ SISO hoạt động như một hệ SAM. Phần 3 trình bày quá trình xây dựng mô hình mờ SISO dựa trên phân lớp dữ liệu và đại số gia tử, đây có thể xem là một mở rộng của các kết quả trong [4] trong trường hợp đường cong thực của mô hình cần xấp xỉ là chưa có trước. Các nhận xét và hướng phát triển được nêu trong phần kết luận – phần IV. 2. PHÂN LỚP DỮ LIỆU VÀ HỆ SAM 2.1 Phân lớp dữ liệu Phân lớp dữ liệu là quá trình gom các phần tử (mẫu tin) thành từng lớp. Mỗi lớp là một tập hợp các phần tử tương tự nhau theo một số đặc điểm, tính chất nhất định. Bài toán phân lớp dữ liệu có thể phát biểu như sau: Cho D là tập gồm n mẫu tin, các mẫu tin này thể hiện mối quan hệ giữa hai đại lượng X và Y. Gọi: + D = {(xj, yj)∈XxY, j = 1, 2, , n}. + c∈N, c ≤ n. c là số lớp cần phân lớp. + H: là tập các vector trọng tâm của lớp. H={hi|i = 1,2,,c} + U: tập các giá trị chỉ độ thuộc các lớp. U ={uịj∈[0,1], i=1,2,, c; j = 1,2,,n} + d(a,b) là khoảng cách giữa 2 phần tử a và b. + uij: độ thuộc về lớp xác định bởi vector Hi của mẫu tin (xj, yj). Bài toán phân lớp được đưa về bài toán tối ưu được phát biểu qua hàm mục tiêu (1) và ràng buộc (2) như sau: ∑∑ = = →= n j c i ijjij hyxduVUJ 1 1 min)),,((),( (1) nju c i ij ,1,1 1 =∀=∑ = (2) NGUYỄN THẾ DŨNG 32 Với: )),(( ijj hyxdV = Có thể sử dụng thuật toán Fuzzy C - means để phân lớp dữ liệu (xem[1]): Xét ∑∑ = = →= n j c i ijjij hyxduVUJ 1 1 min)),,((),( (3) ∑ ∑ = == c j m ij c j jj m ij i u yxu h 1 1 ),.( (4); m c i m ijj ijjm ij hyxd hyxd u − = − ∑ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 1 1 2 2 )),,(( 1 )),,(( 1 (5) và với m >1. Thuật toán Fuzzy c-means có thể tóm lược qua các bước chính sau: 1. Khởi tạo ma trận U=[uij], U(0) 2. Tại bước lặp thứ k: tính vector trọng tâm hi của lớp theo công thức (4) ứng với U(k) 3. Cập nhật U(k) , U(k+1) với uij tính theo công thức (5). 4. Nếu d( U(k+1) , U(k))< thì dừng; ngược lại thì quay lại bước 2. Có thể sử dụng các thuật toán phân lớp khác như thuật toán vector lượng tử thích nghi AVQ (Adaptive Vector Quantization) (xem [2]) để phân lớp dữ liệu. Tiêu chuẩn để đánh giá chất lượng của thuật toán phân lớp dữ liệu là sự tối đa hóa tính tương tự giữa các mẫu tin trong một lớp và tối thiểu hóa tính tương tự giữa các lớp với nhau. Sau khi phân lớp dữ liệu các khối mờ tương ứng với các phân lớp được tạo ra trong không gian XxY được minh họa như trong hình 1 dưới đây. Hình 1. Các khối mờ tương ứng với các phân lớp trong không gian XxY 2.2. Mô hình mờ SISO hoạt động như một hệ SAM Nhắc lại bài toán xấp xỉ hàm trong điều khiển học đã được nêu ở phần 1: X Y Khối mờ trong XxY MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ QUÁ TRÌNH XÂY DỰNG MÔ HÌNH MỜ 33 Xét hàm liên tục y=f(x) từ X là tập compact trên Rm lên Y trên Rp. Cho ε>0. Hãy xây dựng hàm F(x): X ! Y sao cho ∀x∈X, d(f(x),F(x))≤ε. Ở đây mô hình toán của f(x) được xác định bởi tập các dữ liệu thống kê {(x,y)| x∈X, y∈Y} và d(a,b) là mêtric trên Rp. Có nhiều cách tiếp cận khác nhau cho vấn đề xây dựng hàm F(x). Hệ mờ SAM là một cách tiếp cận cho vấn đề trên. Hệ mờ SISO thực hiện như một hệ SAM (Standard Additive Model) là kiến trúc bao gồm các luật mờ hoạt động song song và kết hợp theo phương pháp cộng-tích cho phép thể hiện mối quan hệ giữa hai đại lượng X và Y. Kiến trúc và nguyên tắc hoạt động của hệ được minh họa bởi hình 2 dưới đây. Với giá trị đầu vào A của đại lượng X, các luật có trong hệ đều được kích hoạt với độ kích hoạt khác nhau (mức độ cháy của các luật) để cho ra các kết quả tương ứng là B’i , i=1,2,, n và các kết quả được tích hợp cho ra kết quả là B, tiếp đó qua quá trình khử mờ hệ cho ra giá trị cần tính có giá trị rõ là y0. Xem minh họa ở hình 2. 3. XÂY DỰNG MÔ HÌNH MỜ SISO DỰA TRÊN PHÂN LỚP DỮ LIỆU VÀ ĐẠI SỐ GIA TỬ. 3.1. Một số kết quả về đại số gia tử có liên quan (xem [3],[5]) Xét đại số gia tử đầy đủ tuyến tính AX=(X, G, C, H, Σ, Φ, ≤), trong đó H=H-∪H+ với H− ={h−1,...,h−q } và H+ ={h1,...,hp} là tuyến tính. Φ, Σ là các toán tử mở rộng của đại số gia tử tuyến tính, theo đó AX trở thành đại số gia tử đầy đủ. Các chi tiết về đại số gia tử đầy đủ tuyến tính xin xem thêm trong [5]. Trên đại số gia tử tuyến tính đầy đủ AX, ta có một số kết quả làm cơ sở cho các phần sau (xem [5] và [3]): Định nghĩa 3.1 Hàm fm: X ! [0,1] được gọi là độ đo tính mờ trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau: i) fm là độ đo mờ đầy đủ trên X . ii) Nếu x là khái niệm rõ tức H(x)= x thì fm(x)=0. Do đó fm(0)= fm(W) = fm(1) =0. Hình 2. Hệ mờ SAM IF x is A1 Then y is B1 B’1 IF x is A2 Then y is B2 B’2 IF x is Am Then y is Bm B’m X is A ∪ B Khử mờ y0 NGUYỄN THẾ DŨNG 34 (iii). Với ∀x,y∈X, ∀h∈H, )( )( )( )( )( )( cfm hcfm yfm hyfm xfm hxfm == , với c∈{c-,c+}, nghĩa là tỉ số này không phụ thuộc vào x và y, được kí hiệu là µ(h) gọi là độ đo tính mờ của gia tử h. Mệnh đề 3.1 Cho fm là hàm độ đo tính mờ trên X. Ta có: (i). fm(hx) = µ(h)fm(x), với ∀x∈X (ii). ∑ + = = qp i i cfmchfm 1 )()( , trong đó c ∈ {c−, c+} (iii). ∑ + = = qp i i xfmxhfm 1 )()( , với ∀x∈X (iv). ∑ = = p i ih 1 )( αµ và ∑ + += = qp pi ih 1 )( βµ , với α, β > 0 và α + β = 1. Định nghĩa 3.2 (Hàm Sign) Hàm Sign: X ! {-1, 0, 1} là một ánh xạ được định nghĩa một cách đệ qui như sau, với ∀h,h'∈H và c ∈ {c+, c- }: a) Sign(c−) = -1 và Sign(hc−) = +Sign(c−) nếu hc− < c− Sign(hc−) = - Sign(c−) nếu hc− > c− Sign(c+) = +1 và Sign(hc+) = +Sign(c+) nếu hc+ > c+ Sign(hc+) = - Sign(c+) nếu hc+ < c+ b) Sign(hʹ′hx) = -Sign(hx) nếu h' là negative đối với h và h'hx ≠ hx c) Sign(hʹ′hx) = +Sign(hx) nếu h' là positive đối với h và h'hx ≠ hx d) Sign(hʹ′hx) = 0 nếu h'hx = hx Khái niệm h’ là negative hay positive đối với h xem thêm trong [5]. Định nghĩa 3.3 (Ánh xạ lượng hoá ngữ nghĩa ν) Xét AX là một đại số gia tử tuyến tính đầy đủ tự do và fm là hàm đo tính mờ trên X. Với các tham số như đã cho trong định nghĩa hàm fm. Ánh xạ lượng hoá ngữ nghĩa ν trên X được định nghĩa như sau: 1) v(W)=θ = fm(c-), v(c-)=θ -αfm(c-)=βfm(c-), v(c+)=θ +αfm(c+) 2) ν(hjx)=ν(x)+ Sign(hjx)× [ ]∑ −= µω+µ)( )( )()()()()(jSignj jSigni jjj xfmhxhxfmh với -q≤ j ≤ p, ν(hjx)= )])(()()[(2/1 α−β−β+α xhhSignxhSign jpj MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ QUÁ TRÌNH XÂY DỰNG MÔ HÌNH MỜ 35 3) 1)(),()(,0)( =ΣΣ=θ=Φ=Φ +−+− cvcvcvcv { } )()()(1( 2 1)()()()()( )( )( xfmhxhSignxfmhxhSignxvxhv jj jSignj jSigni jjj µ−−µ+=Φ ∑ − = { } )()()(1( 2 1)()()()()( )( )( xfmhxhSignxfmhxhSignxvxhv jj jSignj jSigni jjj µ++µ+=Σ ∑ − = với -q≤ j≤p. Định nghĩa 3.4: Xét đại số gia tử đầy đủ tuyến tính AX=(X, G, C, H, Σ, Φ, ≤) và hàm độ đo tính mờ fm(x). Gọi Intv([0,1]) là họ tất cả các đoạn con của đoạn [0,1]. Xét ánh xạ sau I: X ! Intv([0,1]) thỏa: i) Với x∈{c-, c+} thì I(c-), I(c+) là các đoạn con của [0,1], |I(c-)| = fm(c-) và |I(c+)| = fm(c+) và I(c-) ≤ I(c+). ii) Với x∈X, thì |I(x)|=fm(x) với x<y thì I(x)<I(y), |I(hix)|=fm(hix) với hjx<hix thì I(hjx)<I(hix) với mọi hj, hi∈H. Khi đó I(x) được gọi là khoảng mờ của term x. Họ {I(x): x∈Xn} là một tựa phân hoạch của đoạn [0,1]. Các tính chất của phép gán ngữ nghĩa mờ này xin xem thêm trong [5]. Mệnh đề sau là mệnh đề 2.8 trong [3]. Mệnh đề 3.2: (xem [3]) Cho đại số gia tử (X, G, H, ≤), với mọi a∈[0,1] và với mọi ε>0 cho trước, luôn xác định được một giá trị ngôn ngữ x∈X có giá trị lượng hóa ngữ nghĩa sai khác a không quá sai số ε: ∀a∈[0,1], ∀ε > 0, ∃x∈X: |ν(x) - a| <ε. Theo mệnh đề 3.2 nói trên, chúng ta ký hiệu x =v-1(a) và ta gọi v-1 là ánh xạ ngược của ánh xạ lượng hóa ngữ nghĩa v. 3.2. Xây dựng tập mờ tương ứng với các term ngôn ngữ dựa trên đại số gia tử. Hình 3. Tập mờ hình thang và tập mờ tam giác Để thống nhất trong ký hiệu, với mỗi tập mờ dạng hình thang ta sẽ gọi a, b là hai định cỡ của nó và với tập mờ tam giác ta sẽ gọi c là bán kính mờ của nó. a c b NGUYỄN THẾ DŨNG 36 Gọi AX=(X, G, C, H, Σ, Φ, ≤) là đại số gia tử tuyến tính tương ứng với biến ngôn ngữ X. Chúng ta sẽ xây dựng tập mờ biểu diễn giá trị ngôn ngữ tương ứng với khoảng mờ ứng với giá trị ngôn ngữ đó (xem [5]). Giả sử X nhận giá trị trên đoạn [0,L], do đó khi tính toán các khoảng mờ được nhân cho L. Khoảng mờ ứng với term x được ký hiệu I(x) và tập các term thuộc X có độ dài k (có k-1 gia tử trong biểu diễn chính tắc) được ký hiệu Xk. Giả sử các phần tử trong Xk được đánh thứ tự X={uk,i| i=1,2,m}. Để ý với uki, ukj ∈ Xk sao cho uki< ukj, khi đó ta có I(uk,i) ≤ I(uk,j). Với x ∈Xk tập mờ tương ứng với x được xây dựng theo bước lặp theo k như sau: - Với k=1, X1 ={c-, c+}. Ứng với c- ta xây dựng tập mờ hình thang tương ứng với nó có 2 định cỡ là L.(fm(c-) + ½ fm(c+)) và ½ .L.fm(c-). Ứng với c+, tập mờ hình thang tương ứng với c+ có 2 định cỡ là L.(fm(c+) + ½ fm(c-)) và ½ .L.fm(c+). - Với k>1, x∈Xk. Với uk,1 tập mờ hình thang tương ứng với nó có 2 định cỡ là L.(fm(uk,1)+ ½ fm(uk,2)) và ½ L.fm(uk,1). Với ukm thì tập mờ hình thang tương ứng có 2 định cỡ là L.(fm(uk,m)+ ½ fm(uk,m-1)) và ½ L.fm(uk,m). Với uk,i , i ≠ 1và i ≠ m, thì tập mờ tam giác tương ứng có bán kính mờ là L.(fm(uk,i)+ ½ fm(uk,i-1)+½ .fm(uk,i+1)). Hàm thuộc của tập mờ này nhận giá trị 1 tại tâm của đoạn I(uk,i). Hình 4. Tập mờ biểu diễn giá trị ngôn ngữ tương ứng với khoảng mờ. 3.3. Xây dựng mô hình mờ SISO Trong [4] đã đề nghị các bước xây dựng mô hình SISO như sau: Giả sử đường cong thực y=f(x) là đã được xác định, X là một đoạn thẳng trong R, bằng phép chuẩn hóa (đồng dạng) có thể chuyển X,Y về đoạn [0,1]. Chia đoạn [0,1] bằng các điểm chia z0=0< z1<z2<<zm=1. Tính giá trị f(x) tại các điểm chia zi. Gọi 11, −− YX vv lần lượt là các ánh xạ ngược của ánh xạ lượng hóa ngữ nghĩa trên các đại số gia tử biểu diễn miền giá trị ngôn ngữ của X và Y. Các luật có dạng “IF x is )(1 iX zv − THEN y is ))((1 iY zfv − ”được tạo ra để đưa vào mô hình. Tuy vậy khi đường cong y=f(x) chưa được xác định thì cách làm trên như trong [4] là không thực hiện được. Dựa vào các kết quả ở mục 2.1, 3.1, 3.2, ở đây chúng tôi đề nghị quá trình xây dựng mô hình SISO như sau: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ QUÁ TRÌNH XÂY DỰNG MÔ HÌNH MỜ 37 Quá trình xây dựng mô hình mờ SISO để xấp xỉ được tiến hành qua các bước sau: Bước 1: Sử dụng thuật toán phân lớp để phân lớp dữ liệu. Bước 2: Sau khi phân lớp các khối mờ tương ứng với các phân lớp được hình thành. Ứng với một khối mờ là một luật được tạo thành, theo các bước nhỏ như sau: - Xác định hình chiếu của tâm khối mờ hi lên trục X và trục Y lần lượt là hiX và hiY (xem minh họa hình 5). - Luật “IF x is )(1 iXX hv − THEN y is )(1 iYY hv − ” được tạo ra. - Tập mờ tương ứng với các term )(1 iXX hv − và )(1 iYY hv − được tạo ra theo cách đã trình bày trong mục 3.2. Các cài đặt thực nghiệm cho phương pháp nói trên, chúng tôi chưa có điều kiện để thử nghiệm, vì cần phải có dữ liệu thực nghiệm. Ở đây để làm rõ hơn các bước của phương pháp, chúng tôi đưa ra một ví dụ có tính minh họa. Ví dụ: Với tập dữ liệu thực nghiệm cho trước, ứng dụng các phương pháp phân lớp dữ liệu nói ở mục 2, chúng ta có 7 tâm điểm (số tâm điểm này ứng với số luật được tạo ra cũng cho thấy sự phù hợp của các luật tạo ra bởi phương pháp đề nghị trong bài này) của các khối dữ liệu như sau: M1(4, 7); M2(3, 5.2); M3(2, 3); M4(2.3, 7.22); M5(3.11, 2.43); M6(2, 5) và M7(1, 2.4). Sau khi chuẩn hóa như đã nói ở mục 3.3, ta có các điểm sau: M1(0.4, 0.7); M2(0.3, 0.52); M3(0.2, 0.3); M4(0.23, 0.722); M5(0.311, 0. 243); M6(0.2, 0.5) và M7(0.1, 0.24). Tương ứng một mô hình SISO có 7 luật được tạo ra: IF x is )(1 iXX hv − THEN y is )(1 iYY hv − ; i=1, 2,,7. Ở đây 1−Xv và 1− Yv tương úng là 2 ánh xạ ngược của ánh xạ lượng hóa ngữ nghĩa v trên đại số gia tử xây dựng trên X và Y. Để có thể tính toán điều chỉnh tham số và tối ưu các luật của hệ, các tập mờ tương ứng với các term )(1 iXX hv − và )(1 iYY hv − , i=1, 2,,7 được tạo ra theo cách đã trình bày trong mục 3.2. (đây cũng là một bước quan trọng bổ sung cho quá trình xây dựng mô hình SISO ở trong [4]) Nhận xét: + Có thể xác định độ quan trọng wi của các luật “IF x is )(1 iXX hv − THEN y is )(1 iYY hv − ”qua công thức sau: wi=|Di|/c. Ở đây c là số phân lớp và |Di| là số phần tử thuộc về khối mờ i có tâm hi. NGUYỄN THẾ DŨNG 38 + Các luật mờ được xây dựng theo các bước vừa nêu trên đây dựa trên tâm của các khối mờ, đây là các điểm gấp khúc của đường cong cần xấp xỉ f(x) và tại đó đường cong f(x) thường biến đổi dáng điệu nhanh và bất thường. Điều này cũng đúng với lưu ý theo sau định lý 3.1 trong [4] và ý tưởng xây dựng các tập mờ cho mô hình SISO ở trong [5], các lưu ý và ý tưởng này của các tác giả nhằm làm giảm sai số của mô hình SISO. Hình 5. Hình chiếu của tâm khối mờ hi lên trục X và trục Y 4. KẾT LUẬN Bài báo đã chỉ ra một cách tiếp cận để xấp xỉ phi tuyến, đó là phương pháp xây dựng mô hình mờ hoạt động như một hệ SAM, trên cơ sở phân lớp dữ liệu và đại số gia tử. Theo chúng tôi đây là một bổ sung cho các kết quả trong [4], [5]. Sau khi hệ SAM được tạo ra, cần có các bước điều chỉnh tham số và tối ưu các luật của hệ nhằm giảm sai số xấp xỉ và tăng tốc độ hoạt động của hệ. Ngoài ra các thử nghiệm cũng hết sức quan trọng, chúng tôi sẽ cố gắng triển khai nếu có điều kiện. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Chin Teng Lin, C.S. Gearge Lee (1996). Neural Fuzzy System. Prentice Hall. [2] Bart Kosko (1997). Fuzzy Engineering. Prentice Hall International Inc. [3] Trần Thái Sơn - Nguyễn Thế Dũng (2005). Một phương pháp nội suy mờ giải bài toán mô hình mờ trên cơ sở đại số gia tử. Tạp chí Tin học và Điều khiển học, 21(3), 248-260. [4] Lê Xuân Việt (2007). Xây dựng mô hình mờ SISO dựa trên đại số gia tử. Tạp chí Tin học và Điều khiển học, 4(23), 297-308. [5] Nguyễn Cát Hồ, Nguyễn Văn Long (2007). Fuzziness measure on complete hedge algebras and quantifying semantics of terms in linear hedge algebras. Fuzzy Sets and Systems, 158, 452-471. hiX hiY X Y MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ QUÁ TRÌNH XÂY DỰNG MÔ HÌNH MỜ 39 Title: SOME PROBLEMS ABOUT CONSTRUCTING FUZZY MODEL BASED ON HEDGE ALGEBRA Abstract: In this paper we shall propose a method to build IFTHEN rules in fuzzy model SISO when curve of model is not given, based on hedge algebra. ThS. NGUYỄN THẾ DŨNG Khoa Tin học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế. Email: Zungnguyen2003@yahoo.com.