Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số

Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 2 MỤC LỤC Trang • I- Phương pháp thế 03 • II- Phương pháp đặt ẩn phụ 11 • III- Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 21 • IV- Phương pháp đánh giá 25 • V- Phương pháp cộng đại số 27 • VI- Bài tập tự luyện 29 WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 3 I- PHƯƠNG PHÁP THẾ • Mục đích: Đưa việc giải hệ phương trình hai ẩn về giải phương trình một ẩn. • Dưới đây là một số hệ phương trình mà có khả năng giải được bằng phương pháp thế. 1. Hệ phương trình có một phương trình là phương trình bậc nhất với ẩn x (hoặc y) • Phương pháp: Tính x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại. • Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải: (1) 5 2x y⇔ = − , thay vào (2), ta được: 2 1(2) 10 30 20 0 2 y y y y = ⇔ − + = ⇔  = • Với 1y = ta được 3x = • Với 2y = ta được 1x = Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 3, 1x y= = và 1, 2x y= = Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối A năm 2008) Giải: Cách 1: Nhận xét 0x = không thỏa mãn hệ phương trình. Xét 0x ≠ , ta có ( ) 2 6 62 2 x x y x − + + ⇔ = thế vào phương trình (1), ta được: ( ) ( ) 22 2 4 3 2 34 3 2 6 6 6 6 1 2 2 9 2 2 0 (lo¹i) 12 48 64 0 4 0 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x     − + + − + + ⇔ + + = +        = ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔  = − • 17 4 4 x y= − ⇒ = − . Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm là ( ) 17; 4; 4 x y   = − −    . Giải hệ phương trình: 2 2 2 5 (1) 2 2 5 (2) x y x y xy + =  + − = Giải hệ phương trình: 4 3 2 2 2 2 2 9 (1) (I) 2 6 6 (2) x x y x y x x xy x  + + = +  + = + WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 4 Cách 2: ( )22 2 2 9 (1) (I) 3 3 (2) 2 x xy x x xy x  + = +  ⇔   = + −  . Thay 2 3 3 2 x xy x= + − vào (1), ta được phương trình: ( ) 22 32 4 3 2 03 3 2 9 12 48 64 0 4 0 2 4 xx x x x x x x x x x x =   + + − = + ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔   = −  • 0x = không thỏa mãn (2). • 17 4 4 x y= − ⇒ = − . Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm là ( ) 17; 4; 4 x y   = − −    . 2. Hệ phương trình có một phương trình đưa về được phương trình tích • Phương pháp: Phân tích một phương trình của hệ về phương trình tích, sau đó tính được x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại. • Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối A năm 2003) Giải: Cách 1: (Rút thế) Điều kiện xác định: 0; 0x y≠ ≠ . 3 1 (2) 2 x y + ⇔ = , thế vào (1) ta được: ( )( ) 7 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 (1) 2 2 2 2 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 (*) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + + − − + = ⇔ − + − + + + − = = ⇔  + − + + + − = • Với 1x = ta được 1y = . Giải hệ phương trình: 3 1 1 (1) 2 1 (2)  − = −   = + x y x y y x WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 5 • Giải phương trình (*): ( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 2 2 2 2 4 2 4 (*) 1 1 2 1 0 1 2 0 1 0 2 0 x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + − + + − + + − = ⇔ + − + + =  + − = ⇔  + + = • 2 1 51 0 2 x x x − ± + − = ⇔ = • 2 2 4 2 1 1 32 0 0 2 2 2 x x x x     + + = ⇔ − + + + =        (phương trình vô nghiệm) Vậy hệ phương trình đã chó có 3 nghiệm là: (x ; y) = (1;1), 1 5 1 5( ; ) ; 2 2 x y   − + − + =      , 1 5 1 5 ( ; ) ; 2 2 x y   − − − − =      Cách 2: (Phân tích một phương trình của hệ về phương trình tích) Điều kiện xác định: 0; 0x y≠ ≠ 1 (1) ( ) 1 0 1 y x x y xy y x =   ⇔ − + = ⇔   = −   • Với y x= , thế vào (2), ta được: 3 1 (2) 2 1 0 1 5 2 x x x x = ⇔ − + = ⇔ − ± =  • Với 1y x = − , thế vào (2), ta được: 2 2 4 2 1 1 3(2) 2 0 0 2 2 2 x x x x     ⇔ + + = ⇔ − + + + =        (phương trình vô nghiệm) Vậy hệ phương trình đã chó có 3 nghiệm là: (x ; y) = (1;1), 1 5 1 5( ; ) ; 2 2 x y   − + − + =      , 1 5 1 5 ( ; ) ; 2 2 x y   − − − − =      . Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối D năm 2008) Giải hệ phương trình: 2 22 (1) 2 1 2 2 (2) xy x y x y x y y x x y  + + = −  − − = − WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 6 Giải: Điều kiện xác định: 0 1 y x ≥  ≥ ( )(1) ( ) 2 1 0 2 1x y x y x y⇔ + − − = ⇔ = + (vì 0x y+ > do điều kiện xác định) Thay 2 1x y= + vào (2) ta được (2) ( 1) 2 2( 1) 2y y y y⇔ + = + ⇔ = (vì 1 0y + > ) • Với 2y = ta được 5x = . Vậy hệ có một nghiệm là ( ; ) (5;2)x y = . Chú ý: Ta có thể phân tích (1) thành phương trình tích bằng cách sau: ( )2 2(1) 1 2 0x y x y y⇔ − + − − = Xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn x, ta tính được ( )23 1y∆ = + Do đó: ( 1) (3 1) 2 12(1) ( 1) (3 1) 2 y y x x y y y x y x + + + = = + ⇔ ⇔ + − + = − =  Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối A năm 2011) Giải: Nhận xét 0x = và 0y = không phải là nghiệm của hệ. ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 212 2 2 1 2 0 2 xy xy x y x y xy xy x y x y = ⇔ + + = + + ⇔ − + − = ⇔  + = • 1 1xy x y = ⇔ = thay vào (1), ta được: ( ) 4 21 2 1 0 1y y y⇔ − + = ⇔ = ± . Trong trường hợp này, hệ có hai nghiệm ( ) ( ); 1;1x y = hoặc ( ) ( ); 1; 1x y = − − . • 2 2 2x y+ = thay vào (1), ta được: ( ) ( )( )2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 1 5 4 3 0 2 5 4 0 (ph−¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 3 ®èi víi vµ ) 2 5 4. 1 0 x y xy y x y x y y xy x y x x y y y y x x x ⇔ − + − + + = ⇔ − + − =     ⇔ − + − =        Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 22 2 5 4 3 2 0 (1) 2 (2) x y xy y x y xy x y x y  − + − + =  + + = + WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 7 1 1 2 2 y x yx y x y x  = = ⇔ ⇔  = =  • Với x y= , ta cũng giải ra được ( ) ( ); 1;1x y = hoặc ( ) ( ); 1; 1x y = − − . • Với 2x y= , thay vào (2), ta được: 2 2(2) 5 2 5 y y⇔ = ⇔ = ± , suy ra 22 5 x = ± . Tóm lại, hệ đã cho có tập nghiệm: ( ) ( ) 2 2 2 21;1 , 1; 1 , ;2 , ; 2 5 5 5 5 S       = − − − −              . Ví dụ 4: (Đề thi đại học khối D năm 2012) Giải: Cách 1: (Rút thế) Nhận xét 0x = không thỏa mãn (2) nên 2(2) xy x − ⇔ = , thay vào (1), ta được: ( ) ( ) ( )( ) 2 3 2 5 4 2 4 3 2 4 3 2 2 2 (1) 2 2 2 2 0 3 2 0 1 1 2 2 2 0 2 2 2 0 (*) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − −  ⇔ − − + + − − − = ⇔ + − − + =    = ⇔ − + + + − = ⇔  + + + − = • Với 1x = , ta được 1y = . Giải (*): Đặt 1 2 x t= − , (*) trở thành: 4 21 35 50 2 16 2 t t t+ − = ⇔ = ± . • Với 5 2 t = , ta được 5 1 2 x − = và 5y = . • Với 5 2 t = − , ta được 5 1 2 x − − = và 5y = − . Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm: (x ; y) = (1;1), 5 1( ; ) ; 5 2 x y   − =      , 5 1 ( ; ) ; 5 2 x y   − − = −     . Giải hệ phương trình: 3 2 2 22 2 0 (1) 2 0 (2) x x y x y xy y xy x  − + + − − =  + − = WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 8 Chú ý: • Đồ thị hàm số 4 3 2( ) 2 2 2f x x x x x= + + + − có trục đối xứng là đường thẳng 1 2 x = − ( 1 2 x = − là nghiệm chung của phương trình ( )' 0f x = và ( )''' 0f x = ). Do đó ta đặt 1 2 x t= − thì phương trình (*) sẽ đưa về được phương trình trùng phương. • Có thể phân tích 4 3 2( ) 2 2 2f x x x x x= + + + − thành tích hai tam thức bậc hai bằng cách sử dụng máy tính Casio 570ES như sau: + Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được một nghiệm là 1 0,6180339887 Ax ≈ → (gán cho biến nhớ A). + Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được một nghiệm nữa là 2 1,618033989 Bx ≈ − → (gán cho biến nhớ B). + Tính được A B 1; A.B 1+ = − = − , suy ra 1 2;x x là nghiệm của phương trình 2 1 0x x+ − = . + Thực hiện phép chia 4 3 22 2 2x x x x+ + + − cho 2 1x x+ − , ta được: ( )( )4 3 2 2 22 2 2 1 2x x x x x x x x+ + + − = + − + + Cách 2: (Phân tích một phương trình của hệ về phương trình tích) ( )( )2 22 1(2) 2 1 0 y xx y x y y x = + ⇔ − + − = ⇔  = • Với 2 1y x= + , thay vào (1) ta được 2 1 5(1) 1 0 2 x x x − ± ⇔ + − = ⇔ = . Do đó ta được nghiệm 5 1( ; ) ; 5 2 x y   − =      , 5 1 ( ; ) ; 5 2 x y   − − = −     . • Với 2y x= , thay vào (1) ta được 3(1) 2 0 1x x x⇔ + − = ⇔ = . Do đó ta được nghiệm (x ; y) = (1;1). Vậy hệ đã cho có ba nghiệm: (x ; y) = (1;1), 5 1( ; ) ; 5 2 x y   − =      , 5 1 ( ; ) ; 5 2 x y   − − = −     . 3. Hệ phương trình có một phương trình đưa về được phương trình đẳng cấp đối với x và y sau khi rút thế • Phương trình đẳng cấp bậc n đối với x và y là phương trình có dạng: 1 2 2 1 0 1 2 1... 0 (1) n n n n n n na x a x y a x y a xy a y − − − − + + + + + = với 0 0a ≠ . • Phương pháp giải (1): WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 9 Xét 0; 0y x= = có phải là nghiệm của (1) hay không. Xét 0y ≠ , chia hai vế của (1) cho ny , ta được: 1 0 1 1(1) ... 0 (2) n n n n x x x a a a a y y y − −     ⇔ + + + + =        . Đặt x t y = thì (2) trở thành: 1 0 1 1... 0 (3) n n n n a t a t a t a− − + + + + = Giải phương trình (3) ta tìm được t, có t ta tính được x theo y. Sau đó dùng phương pháp thế để giải hệ phương trình đã cho. • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006) Giải: ( ) ( ) ( )3 33 3 2 2 2 2 3 6 4 (1)2 4 (I) 3 6 3 6 (2) x y x yx y x y x y x y  − = +− = +  ⇔ ⇔  − = − =  Thế 2 23 6x y− = vào (1), ta được: ( ) ( ) ( )( )3 3 2 2 3 2 21 3 3 4 12 0 (*)x y x y x y x x y xy⇔ − = − + ⇔ + − = . Ta thấy (*) là một phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với x và y. 0 (*) 3 4 x x y x y = ⇔ =  = − • 0x = thế vào (2) ta được 23 6y− = (vô nghiệm) • 3x y= thế vào (2) ta được 2 1 1y y= ⇔ = ± • 4x y= − thế vào (2) ta được 2 6 6 13 13 y y= ⇔ = ± Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( ) ( ); 3;1x y = , ( ) ( ); 3; 1x y = − − , ( ) 6 6; 4 ; 13 13 x y   = −     , ( ) 6 6; 4 ; 13 13 x y   = −     . Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học lần 1 khối A trường THPT chuyên Vĩnh Phúc năm 2013) Giải hệ phương trình: ( ) 3 3 2 2 8 2 (I) 3 3 1 x x y y x y  − = +  − = + Giải hệ phương trình: ( ) 3 3 2 2 4 16 (1) 1 5 1 (2) x y y x y x  + = +  + = + WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 10 Giải: ( )3 3(1) 4 4 0x y x y⇔ + − − = 2 2(2) 5 4y x⇔ − = thế vào (1) ta được: ( )( )3 2 2 3 3 2 2(1) 5 4 0 21 5 4 0 1 4 0 hoÆc hoÆc 3 7 x y x y x y x x y xy x x y x y ⇔ + − − − = ⇔ − − = − ⇔ = = = • 0x = thế vào (2) ta được 2 4 2y y= ⇔ = ± . • 1 3 x y − = thế vào (2) ta được 2 9 3y y= ⇔ = ± • 4 7 x y= thế vào (2) ta được 231 4 49 y− = (vô nghiệm) Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); 0;2 , ; 0; 2 , ; 1; 3 , ; 1;3x y x y x y x y= = − = − = − .
 WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 11 II- PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ • Mục đích: đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình đơn giản hơn có thể giải được bằng phương pháp rút thế. • Phương pháp chung: đặt ( , )a f x y= và ( ; )b g x y= rồi tìm điều kiện của a và b (nếu có). Sau đó đưa hệ đã cho về hệ phương trình hai ẩn a và b mà có thể giải được bằng phương pháp thế. • Các kỹ thuật hay dùng: + Sử dụng hằng đẳng thức để nhóm các số hạng. + Chia hai vế cho một biểu thức khác 0. • Chú ý: Muốn đặt được ẩn phụ ta phải quan sát, phân tích, tìm mối liên hệ giữa các biểu thức, số hạng trong mỗi phương trình. Do đó, chúng ta phải làm nhiều bài tập, từ đó mới tích lũy được các kinh nghiệm, sự linh hoạt trong các phép đặt ẩn phụ. Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối B năm 2002) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) Điều kiện xác định: 0 2 0 x y x y − ≥  + + ≥ . Khi đó 2 3 0(1) ( ) ( ) 1 1 x y x y x y x y x y x y − = =  ⇔ − = − ⇔ ⇔  − = = +  • Với x y= , thế vào (2), ta được: 2 00 (2) 2 2 2 11 14 2 2 0 2 y y y y y y yy y ≥≥  ⇔ = + ⇔ ⇔ ⇔ =  = ∨ = − − − =  • Với 1x y= + , thế vào (2), ta được: 2 1 2 1 0 12(2) 2 1 2 3 214 2 2 0 1 2 y y y y y y y y y  ≥ −+ ≥  ⇔ + = + ⇔ ⇔ ⇔ =  + − =  = − ∨ =  Vậy hệ có hai nghiệm 1, 1x y= = và 3 1, 2 2 x y= = . Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Đặt 6= −u x y và 2= + +v x y (điều kiện 0u ≥ và 0v ≥ ). Hệ đã cho trở thành: Giải hệ phương trình: 3 (1) 2 (2)  − = −  + = + + x y x y x y x y WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 12 2 3 2 0 hoÆc 1 2 hoÆc 1 (lo¹i)2 u u u u v vv v  = = = ⇔  = = − − =  • Với u = 0 và v = 2, ta có hệ: 0 1 2 4 1 x y x x y y − = =  ⇔  + + = =  • Với u = 1 và v = 2, ta có hệ: 3 1 2 2 4 1 2 x x y x y y  = − =  ⇔  + + =  =  Vậy hệ có hai nghiệm 1, 1x y= = và 3 1, 2 2 x y= = . Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối A năm 2006) Giải: Điều kiện: 0; 1; 1xy x y≥ ≥ − ≥ − (2) 2 2 1 16 2 1 14x y x y xy x y x y xy⇔ + + + + + + = ⇔ + + + + + = Đặt a x y= + và b xy= (điều kiện: 0b ≥ ), ta có hệ: 2 2 2 3 3 3 2 1 14 3 2 3 1 14 2 4 11 (*) a b a b a b a a b b b b b b b − = = + = +     ⇔ ⇔   + + + = + + + + + = + + = −     • ( ) ( )22 2 0 11 0 11 (*) 3 4 4 11 3 26 105 0 b b b b b b b b ≤ ≤ ≤ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ =  + + = − + − = , ta được a = 6. • 6 3 9 x y x y xy + = ⇔ = = = Vậy hệ đã cho có một nghiệm là ( ) ( ); 3;3x y = Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối A năm 2008) Giải hệ phương trình: 3 (1) 1 1 4 (2) x y xy x y  + − =  + + + = Giải hệ phương trình: ( ) 2 3 2 4 2 5 (1) 4 (I) 5 1 2 (2) 4 x y x y xy xy x y xy x  + + + + = −   + + + = −  WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 13 Giải: ( ) ( ) 2 2 22 5 4(I) 5 4 x y xy x y xy x y xy  + + + + = − ⇔   + + = −  . Đặt 2 ;a x y b xy= + = thì hệ trở thành: 2 2 3 2 5 5 5 0; 4 4 4 5 1 3 0 ; 4 4 2 2 a b ab b a a b a a b a a a b    + + = − = − − = = −    ⇔ ⇔    + = − + + = = − = −     • Với 50; 4 a b= = − ta có hệ 2 3 0 5 5 4 4 x y x xy  + =  ⇔ = = −  và 3 25 16 y = − . • Với 1 3; 2 2 a b= − = − ta có hệ 2 3 1 3 2 12 3 2 3 0 2 xx y y x xy x x  + = − = −  ⇔ ⇔ =    = − + − = và 3 2 y = − . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( ) 3 35 25; ; 4 16 x y   = −     và ( ) 3; 1; 2 x y   = −    . Ví dụ 4: (Đề thi đại học khối B năm 2009) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) Nhận xét 7x = không thỏa mãn (2) nên 1(2) 7 x y x + ⇔ = − , thay vào (1), ta được: ( )( )( ) 2 2 2 4 3 2 2 1 1 1 (1) 1 . 13 7 7 7 5 33 36 0 1 3 5 12 0 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + +    ⇔ + + =    − − −    ⇔ + − − + = ⇔ − − + + = = ⇔  = Giải hệ phương trình: 2 2 21 13 (1) 1 7 (2) xy x y y x xy y  + + =  + + = WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 14 • Với 1x = ta được 1 3 y = • Với 3x = ta được 1y = Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 3, 1x y= = và 11, 3 x y= = . Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Nhận xét y = 0 không phải là nghiệm của hệ. Chia hai vế của (1) cho 2y và của (2) cho y, ta được: 2 2 22 2 2 1 1 13 13 1 13 11 7 17 7 x x x x yy y yxy x y y xx xy y xx x y y y y   + + = + − =  + + =   ⇔ ⇔   + + =    + + = + + =     Đặt 1 a x y = + và xb y = , hệ đã cho trở thành: 2 2 4; 313 20 0 5; 127 7 a ba b a a a ba b b a   = =− = + − =  ⇔ ⇔   = − =+ = = −    • Với 4; 3a b= = ta có hệ: 1 4 1 1 4 1; 3 3 3; 13 x xy yy x y x x y x y y  + =  + = = = ⇔ ⇔  = = ==   • Với 5; 12a b= − = ta có hệ 1 5 12 x y x y  + = −    =  vô nghiệm. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( ) 1; 1; 3 x y   =     và ( ) ( ); 3;1x y = . Chú ý: Thao tác chia hai vế của hệ phương trình cho một lượng khác 0 thường sử dụng cho những hệ phương trình mà trong mỗi phương trình của hệ có một số hạng có hệ số khác biệt so với hệ số của các số hạng còn lại. Chẳng hạn ở ví dụ trên, trong phương trình (1) số hạng 213y có hệ số là 13 khác biệt so với hệ số của các số hạng 2 21; ;xy x y . Cũng thế, trong phương trình (2) số hạng 7y có hệ số là 7 cũng khác biệt so với hệ số của các số hạng ;1;x xy . Dưới đây là một ví dụ tương tự: Ví dụ 5: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006) WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 15 Giải: • Với 0y = hệ vô nghiệm. • Với 0y ≠ , chia hai vế của (1) và (2) cho y, ta được: ( ) ( ) 2 2 1 4 (I) 1 2 1 x x y y x x y y  + + + =  ⇔  + + − =  . Đặt 2 1x a y + = và 2b x y= + − , hệ trở thành: 2 1 1 a b a b ab + = ⇔ = = = . • Với 1a b= = , ta có hệ: 2 2 2 1 1 1; 21 2; 52 0 2 1 x y x x y y x yx x x y  +  = + = ==   ⇔ ⇔   = − =+ − =  + − = . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( ) ( ); 1;2x y = và ( ) ( ); 2;5x y = − . Ví dụ 6: (Đề thi đại học khối D năm 2009) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) Điều kiện xác định: 0x ≠ 3 (1) 1y x x ⇔ = − − thế vào (2), ta được: 2 2 2 1 1 13 5 1 1 (2) 1 1 0 2 3. 1 0 1 1 2 2 xx x x xx x x  = =  ⇔ − − + = ⇔ − + = ⇔ ⇔   =   =  • Với x = 1 ta được y = 1. • Với x = 2 ta được 3 2 y = − . Giải hệ phương trình: ( )2 2 ( 1) 3 0 (1) 5 1 0 (2) x x y x y x + + − =   + − + = Giải hệ phương trình: ( ) ( )( ) 2 2 1 4 (1) (I) 2 1 (2) x y x y y x y x y  + + + =  + − + = WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 16 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( ) ( ); 1;1x y = và ( ) 3; 2; 2 x y   = −    . Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Điều kiện xác định: 0x ≠ Chia hai vế của (1) cho x, ta được hệ đã cho tương đương với hệ: ( )2 2 3 1 0 5 1 0 x y x x y x  + + − =   + − + =  (*) Đặt a x y= + và 1b x = , hệ (*) trở thành: 2 2 2; 13 1 0 1 1 ;5 1 0 2 2 a b a b a ba b = = − + = ⇔  = =− + =  • Với 2; 1a b= = ta được 1x y= = . • Với 1 1; 2 2 a b= = ta được 3 2; 2 x y= = − . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( ) ( ); 1;1x y = và ( ) 3; 2; 2 x y   = −    . Ví dụ 7: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2005) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) ( ) 4 31 2 x y − ⇔ = thế vào (2), ta được: ( ) ( )2 6 4 (*) 6 4 2 1 6 2 4 2 2 6 2 4 (**) x x x x x x x − ≤ ≤+ −  ⇔ − = ⇔ + = + − ⇔  + = + − ( ) ( ) ( ) 2 0 ** 6 6 2 2 4 2 4 2 2 8 0 x x x x x x x x x ≥ ⇔ + = − + − ⇔ = − ⇔ ⇔ = + − = (thỏa (*)). • 2 1x y= ⇒ = − Vậy hệ có nghiệm là ( ) ( ); 2; 1x y = − . Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Giải hệ phương trình: 3 2 4 (1) 2 1 1 (2) x y x y x y + =  + + − + = WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 17 Đặt 2 1a x y= + + và b x y= + với điều kiện 0a ≥ và 0b ≥ thì hệ đã cho trở thành: 2 2 2 2; 15 2 0 1; 2 (lo¹i)1 1 a ba b b b a ba b a b   = =+ = + − = ⇔ ⇔   = − = − − = = +   • Với 2; 1a b= = ta có hệ 2 1 2 2 3 2 1 11 x y x y x x y yx y  + + = + = =  ⇔ ⇔   + = = −+ =   Vậy hệ có nghiệm là ( ) ( ); 2; 1x y = − . Ví dụ 8: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2005) Giải: Đặt a x y= + và b xy= thì hệ đã cho trở thành: 2 2 0 12 4 0 hoÆc 2 22 2 a aa a b a a b bb b   = = − + − = + = ⇔ ⇔    = − = −= − = −    • 0 2 2 hoÆc 2 2 2 x y x x xy y y  + = = = −   ⇔   = − = − =    • 1 1 2 hoÆc 2 2 1 x y x x xy y y + = − = = −   ⇔   = − = − =   Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( ) ( ); 1; 2x y = − ; ( ) ( ); 2;1x y = − ; ( ) ( ); 2; 2x y = − ; ( ) ( ); 2; 2x y = − . Ví dụ 9: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2005) Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 25 13.25 * (I) 25 x y x y x y x y  + − = ⇔  − + = Thế ( )( )2 2 25x y x y− + = vào (*), ta có: ( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 2* 25 13x y x y x y x y⇔ + − = − + Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 4 1 1 2 x y x y x x y y y  + + + =  + + + + = Giải hệ phương trình: ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 13 (1) (I) 25 (2) x y x y x y x y  + − =  − + = WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 18 ( ) ( )22 2 0 25 13 x y x y x y x y − = ⇔ ⇔ = + = + hoặc 3 2 y x = hoặc 2 3 y x = . • Với x y= thì hệ vô nghiệm. • Với 3 2 y x = thì ( ) 31 8 2y y⇔ = ⇔ = , suy ra 3x = . • Với 2 3 y x = thì ( ) 31 27 3y y⇔ = − ⇔ = − , suy ra 2x = − . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( ) ( ); 3;2x y = và ( ) ( ); 2; 3x y = − − . Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 13 (I) 4 25 x y xy x y x y x y xy   − + − =   ⇔    − − + =   Đặt a x y= − và b xy= , hệ trở thành: ( ) ( ) 2 3 32 2 13 2 13 1 64 254 25 a b a a ab a ba aba a b  + =  + = =  ⇔ ⇔   =+ = + =  • 1 3; 2 6 2; 3 x y x y xy x y − = = =  ⇔  = = − = −  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( ) ( ); 3;2x y = và ( ) ( ); 2; 3x y = − − . Cách 3: (Phương pháp đặt ẩn phụ) • Nhận xét với 0y = thì hệ (I) vô nghiệm. • Xét 0y ≠ , đặt x ty= thì (I) trở thành: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 2 2 3 2 2 1 1 13 1 1 13 (3) 1 1 25 1 1 25 (4) y t t t t y t t t t  + − = + − =  ⇔  − + = − + =   (*) Nhận xét 1t = không phải là nghiệm của (*) nên lấy (4) chia (3), vế theo vế ta được: ( )( ) 2 2 1 1 25 3 2 6 13 6 0 13 2 31 t t t t t t t + + = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = + • Với 3 2 t = hay 3 2 y x = thì ( ) 31 8 2y y⇔ = ⇔ = , suy ra 3x = . • Với 2 3 t = hay 2 3 y x = thì ( ) 31 27 3y y⇔ = − ⇔ = − , suy ra 2x = − . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( ) ( ); 3;2x y = và ( ) ( ); 2; 3x y = − − . Chú ý: Hệ (I) ở ví dụ trên là một trường hợp đặc biệt của hệ sau đây (hệ đẳng cấp): 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 ... ... ... ... n n n n m m m m n n m m p p p p q q q q p p q q a x a x y a xy a y b x b x y b xy b y c x c x y c xy c y d x d x y d xy d y − − − − − − − − − − − −  + + + + = + + + +  + + + + = + + + + (*) Trong đó , , ,m n p q∈
và n q m p+ = + . WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 19 Để giải hệ (*) ta đặt x ty= , rồi tìm t. Có t thì ta sẽ tính được ;x y . Sau đây là một ví dụ minh họa. Ví dụ 10: (Đề thi thử đại học lần 1 trường Hà Nội - Amsterdam năm 2013 - khối A) Giải: 2 3 3 2 2 5 3 3 (*) 3 x xy x y x y x y  + = + ⇔  + = + (Hệ này ứng với 2; 1; 3; 2n m p q= = = = ) • Với 0y = thì 2 3 2 5 (*) 0 x x x x x  = ⇔ ⇔ = = • Với 0y ≠ , đặt đặt x ty= thì (*) trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 2 3 2 5 3 3 5 3 3 (1) 3 1 3 1 (2) y t t y t y t t t y t y t y t t  + = + + = +  ⇔  + = + + = +   Vì 3 3t = − không thỏa (2) nên 3 3 0t + ≠ . Lấy (2) chia (1), vế theo vế ta được phương trình: 2 4 2 3 2 5 3 3 4 5 9 0 1 3 1 t t t t t t t t + + = ⇔ + − = ⇔ = ± + + . • Với 1t = thì 1(1) 2 y⇔ = và x y= nên suy ra 1 2 x = . • Với 1t = − thì (1) 1y⇔ = và x y= − nên suy ra 1x = − . Vậy hệ phương trình (*) có 3 nghiệm là ( ) ( ); 0;0x y = , ( ) 1 1; ; 2 2 x y   =     , ( ) ( ); 1;1x y = − . Ví dụ 11: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2007) Giải: Cách 1: Đặt 2a x= ( 0a ≥ ) và b xy= thì hệ trở thành: ( )22 2 2 2 11 0; 11 1 1 a ba ab b a ab b ab a b a b b a a bab a b ab a b ab a b   = =− + = − + = − + − = − ⇔ ⇔ ⇔    = = − + = − + = − + =   • Với 1a b= = , ta có ( ) ( ); 1;1x y = hoặc( ) ( ); 1; 1x y = − − . • Với 0; 1a b= = thì không có x, y thỏa mãn. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( ) ( ); 1;1x y = và ( ) ( ); 1; 1x y = − − . Giải hệ phương trình: 4 3 2 2 3 2 1 (I) 1 x x y x y x y x xy  − + =  − + = Giải hệ phương trình: 2 3 2 2 3 5 3 3 3 x y x xy x x y y  − = −  − = − (*) WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 20 Cách 2: ( ) ( ) 22 3 2 3 1 (I) 1 x xy x y x xy x y  − + + = ⇔   − + + =  Đặt 2 3;a x xy b x y= − + = thì hệ trở thành: 2 0; 11 1; 01 a ba b a ba b  = =+ = ⇔  = =+ =  • Với 0; 1a b= = ta có hệ: 2 3 0 1 11 x xy x y x yx y  − + = = = ⇔  = = −=  • Với 1; 0a b= = ta có hệ: 2 3 1 0 x xy x y  − + =  = (vô nghiệm) Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( ) ( ); 1;1x y = và ( ) ( ); 1; 1x y = − − .
 WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 21 III- PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ • Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa một trong hai phương trình của hệ về dạng ( ) ( )( ) ( )f u x f v y= với ( )y f t= là một hàm số đơn điệu trên tập D (dựa vào các phương trình của hệ ta tìm D). Từ đó suy ra ( ) ( )u x v y= , suy ra mối liên hệ giữa hai ẩn x và y . • Chú ý: Phương pháp hàm số thường dùng cho các hệ phương trình mà một trong hai phương trình của hệ có thể đưa về một phương trình mà có đặc điểm là vế trái chỉ chứa ẩn x, vế phải chỉ chứa ẩn y (hoặc ngược lại). • Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối A năm 2010) Giải: Điều kiện: 3 5; 4 2 x y≤ ≤ . ( ) ( ) ( )21 4 1 2 5 2 1 5 2x x y y⇔ + = − + − (*) Nhận xét (*) có dạng ( ) ( )2 5 2f x f y= − , với ( ) ( )2 1f t t t= + . Ta có ( ) 2' 3 1 0f t t= + > suy ra hàm số ( )f t đồng biến trên  . Do đó: ( ) 2 0 * 2 5 2 5 4 2 x x y x y ≥  ⇔ = − ⇔  − =  , thế vào phương trình (2) ta được: ( ) 2 2 252 4 2 2 3 4 7 0 2 x x x   ⇔ + − + − − =    (3) Nhận xét 0x = và 3 4 x = không phải là nghiệm của (3). Xét hàm số ( ) 2 2 254 2 2 3 4 7 2 g x x x x   = + − + − −    trên khoảng 30; 4       . ( ) ( )2 25 4 4' 8 8 2 4 4 3 0 2 3 4 3 4 g x x x x x x x x   = − − − = − − <  − −  , suy ra hàm số ( )g x nghịch biến trên khoảng 30; 4       . Mặt khác 1 0 2 g   =    nên phương trình (3) có một nghiệm duy nhất là 1 2 x = , suy ra 2y = . Vậy hệ đã cho có nghiệm là: ( ) 1; ;2 2 x y   =     . Giải hệ phương trình: 2 2 2 4( 1) ( 3) 5 2 0 (1) 4 2 3 4 7 (2) x x y y x y x  + + − − =  + + − = WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 22 Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối A năm 2012) Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt t x= − thì hệ đã cho trở thành: 3 3 2 2 2 2 3 3 9 9 22 1 2 t y t y t y t y t y  + + + − − =   + + + =  . Đặt ;S t y P ty= + = thì hệ trở thành: ( ) 3 23 2 22 2 6 45 82 03 3 2 9 22 2 1 1 31 2 2 2 42 S S SS PS S P S S P S S PS P S   + + + = − + − − = = −    ⇔ ⇔    = + − = − + =      . • 3 1 2 ; 2 2 3 1 3. ;4 2 2 x y x y x y x y  − + = − = = −  ⇔  − =  = = −  . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( ) ( )3 1 1 3; ; , ; ; 2 2 2 2 x y x y     = − = −        . Cách 2: (Sử dụng tính đơn điệu của hàm số) Hệ đã cho tương đương với: ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 1 12 1 1 12 1 (1) 1 1 1 (2) 2 2 x x y y x y  − − − = + − +      − + + =        Từ (2) suy ra 3 11 2 2 x− ≤ − ≤ và 1 31 2 2 y− ≤ − ≤ . Xét hàm số ( ) 3 12f t t t= − trên đoạn 3 3; 2 2   −    . Ta có ( ) 2 3 3' 3 12 0, ; 2 2 f t t t   = − < ∀ ∈ −    suy ra hàm số ( )f t nghịch biến trên 3 3; 2 2   −    . Do đó ( )1 1 1 2x y y x⇔ − = + ⇔ = − , thay vào (2) ta được: 2 2 21 3 11 4 8 3 0 2 2 2 x x x x x     − + − = ⇔ − + = ⇔ =        hoặc 3 2 x = . Giải hệ phương trình: 3 2 3 2 2 2 3 9 22 3 9 1 2 x x x y y y x y x y  − − + = + −   + − + =  WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 23 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( ) ( )3 1 1 3; ; , ; ; 2 2 2 2 x y x y     = − = −        . Ví dụ 3: (Đề thi đại học dự bị khối D năm 2006) Giải: Điều kiện: 1; 1x y> − > − . ( ) ( ) ( )1 ln 1 ln 1x x y y⇔ + − = + − (*) Nhận xét (*) có dạng ( ) ( )f x f y= , với ( ) ( )ln 1f t t t= + − và ( )1;t∈ − +∞ . Ta có ( ) 1 1' 1 0 1 1 f t t t = − = − < + + nên hàm số ( )f t đồng biến trên ( )1;− +∞ . Do đó: ( )* x y⇔ = thế vào phương trình (2) ta được: ( ) 2 22 12 . 20 0 0x x x x x⇔ − + = ⇔ = suy ra 0y = . Vậy hệ đã cho có một nghiệm là: ( ) ( ); 0;0x y = . Ví dụ 4: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2007) Giải: Đặt 1a x= − và 1b y= − thì hệ đã cho trở thành: 2 2 1 3 (1) 1 3 (2) b a a a b b  + + =   + + = Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được phương trình: 2 21 3 1 3a ba a b b+ + + = + + + (3). Nhận xét (*) có dạng ( ) ( )f a f b= , với ( ) 2 1 3tf t t t= + + + . Ta có ( ) 2 2 2 1 ' 1 3 ln3 3 ln3 1 1 t tt t t f t t t + + = + + = + + + . Vì 2 21t t t+ > ≥ − nên 2 1 0t t+ + > , do đó ( )' 0,f t t> ∀ ∈ . Suy ra hàm số ( )f t đồng biến trên  . Do đó ( )* a b⇔ = , thế vào phương trình (1) ta được: ( ) ( )2 21 1 3 ln 1 ln3 0aa a a a a⇔ + + = ⇔ + + − = (4) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 ln 1 ln 1 (1) 12 20 0 (2) x y x y x xy y  + − + = −  − + = Giải hệ phương trình: 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1 − −  + − + = +  + − + = + y x x x x y y y WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 24 Xét hàm số ( ) ( )2ln 1 ln3g a a a a= + + − với a∈ . Ta có ( ) 2 1 ' ln3 1 ln3 0, 1 g a a a = − < − < ∀ ∈ +  . Suy ra hàm số ( )g a nghịch biến trên  . Mặt khác ( )1 0g = nên phương trình (4) có một nghiệm duy nhất là 0a = , suy ra 0b = . Từ đó ta có hệ đã cho có một nghiệm là: ( ) ( ); 1;1x y = . Ví dụ 5: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2008) Giải: Điều kiện: 1; 0x y≥ ≥ . Thế ( )41y x= − vào phương trình (1), ta được: ( ) ( )2 31 1 1 8 0x x x⇔ − − − + − = (2). Nhận xét 1x = không phải là nghiệm của (2). Xét hàm số ( ) ( )2 31 1 8f x x x x= − − − + − trên khoảng ( )1;+∞ . Ta có ( ) ( )21' 3 2 2 0, 1; 2 1 f x x x x x = + − + > ∀ ∈ +∞ − . Suy ra hàm số ( )f x đồng biến trên khoảng ( )1;+∞ . Mặt khác ( )2 0f = nên phương trình (2) có một nghiệm duy nhất là 2x = , suy ra 1y = . Vậy hệ đã cho có một nghiệm duy nhất là ( ) ( ); 2;1x y = .
 Giải hệ phương trình: ( ) 3 4 1 8 (1) 1 x y x x y  − − = −  − = WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 25 IV- PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ • Phương pháp chung: Sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, bất đẳng thức vectơ để đánh giá từng vế của phương trình trong hệ. • Chú ý: Phương pháp đánh giá thường sử dụng cho các hệ phương trình mà các phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ,… khó có thể giải được. • Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2007) Giải: Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta được phương trình sau: 2 2 3 2 23 2 2 2 9 2 9 xy xy x y x x y y + = + − + − + (*) Ta có: ( )23 2 3 3 32 2 2 22 2 9 1 8 2 22 9 2 9 xy xyxy x x x xy x x x x − + = − + ≥ ⇒ ≤ ≤ = − + − + . Tương tự 23 2 2 9 xy xy y y ≤ − + . Suy ra 3 2 23 2 2 2 2 9 2 9 xy xy xy x x y y + ≤ − + − + . Mặt khác 2 2 2x y xy+ ≥ . Do đó ( ) 0* 1 x y x y = = ⇔  = = Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( ) ( ); 1;1x y = và ( ) ( ); 0;0x y = . Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học lần 4 trường THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối B năm 2011) Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ và rút thế) Đặt 3 ; 3a x b y= = với 0; 0a b≥ ≥ . Hệ phương trình đã cho trở thành: 2 2 2 2 6 6 (1) 16 16 10 16 12 52 10 (2) a b b a a b a a a + = = −   ⇔  + + + = + + − + =   ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 12 68 2 16 12 52 100 16 12 52 6 16 a a a a a a a a a a ⇔ − + + + − + = ⇔ + − + = − + + Giải hệ phương trình: 2 3 2 2 23 2 2 9 2 2 9 xy x x y x x xy y y x y y  + = + − +   + = +  − + Giải hệ phương trình: 3 3 6 3 16 3 16 10 x y x y  + =  + + + = WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 26 4 3 2 4 3 2 2 12 68 192 832 12 4 192 256 6 9 0 3 a a a a a a a a a a a ⇒ − + − + = − + + + ⇒ − + = ⇒ = Thử lại thấy thỏa mãn. Do đó ta được 3a = , suy ra 6 6 3 3b a= − = − = . • 3 3 3 33 3 x x yy  = = ⇔  ==  Vậy hệ đã cho có một nghiệm duy nhất là ( ) ( ); 3;3x y = . Cách 2: (Đánh giá) Đặt ( ) ( )3 ;4 , 3 ;4a x b x= =  , ( )6;8a b+ =  thì 3 16; 3 16; 10a x b y a b= + = + + =    . Ta có 3 16 3 16 10a b a b x y+ ≥ + ⇔ + + + ≥     . Dấu “=” xảy ra ⇔ a  , b  cùng hướng 3x y⇔ = = . Thử lại thấy đúng. Vậy hệ đã cho có một nghiệm duy nhất là ( ) ( ); 3;3x y = .
 WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 27 V- PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ • Mục đích: Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai ẩn x và y mà từ đó ta có thể tính được y theo x (hoặc x theo y) rồi sử dụng phương pháp rút thế để giải hệ phương trình đã cho. • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi thử đại học trên báo Toán học và tuổi trẻ - Số 400 (tháng 10 năm 2010) Giải: Nhận xét: Từ (1) ta suy ra 0y > và từ (2) suy ra 0x > . 2 2 2 2 3 2 (3) (*) 3 2 (4) yx y xy x  = + ⇔  = + Lấy (3) trừ (4) vế theo vế ta được: ( ) ( )( )3 3 ( ) x y xy x y y x y x xy x y = − = − + ⇔  = − + • Với x y= thì ( ) 3 23 3 2 0 1x x x⇔ − − = ⇔ = , suy ra 1y = • Với 3 ( )xy x y= − + . Ta có 0xy > và ( ) 0x y− + < nên trường hợp này hệ vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( ) ( ); 1;1x y = . • Chú ý: Hệ phương trình có dạng ( )( ) ; 0 (1) ; 0 (2) f x y g x y  =  = với ( ) ( ); ;f x y g y x= được gọi là hệ đối xứng loại II. Để giải hệ này ta lấy (1) trừ (2) vế theo vế. Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học trên báo Toán học và tuổi trẻ - Số 400 (tháng 10 năm 2010) Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) ( ) ( )⇔ − = + 33 2 2(2) 4 2 (3)x y x y Nhận xét 0y = không thỏa mãn hệ phương trình (*). Xét 0y ≠ , đặt x ty= thì từ (1) và (3) ta có hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 3 333 6 2 1 9 (4) 4 2 (5) y t y t y t  − =    − = +  Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 9 (1) 2 4 (2) x y x y x y  − =  + = − (*) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 3 (1) 2 3 (2) y y x x x y  + =   + =  (*) WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 28 Vì 4t = không thỏa (5) nên lấy (4) nhân (5) vế theo vế ta được phương trình: ( )( ) ( ) ( ) ( )( )33 33 2 2 1 1 4 9 2 2 1 2 2 4 0 2 2 t t t t t t t t t  = − − − = + ⇔ + + − + = ⇔  = − • 1 2 t = − ta được 2y x= − thay vào (1) ta được 3(1) 9 9 1x x⇔ = ⇔ = nên 2y = − . • 2t = − ta được 2x y= − thay vào (1) ta được 3(1) 9 9 1y y⇔ − = ⇔ = − nên 2x = Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( ) ( ); 2; 1x y = − và ( ) ( ); 1; 2x y = − . Cách 2: (Phương pháp cộng đại số) Nhân hai vế của phương trình (2) với 3− rồi cộng với phương trình (1), ta được: ( ) ( )3 33 2 3 23 3 6 12 9 1 2 1 2 3x x x y y y x y x y x y− + = + + + ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ = + , thế vào phương trình (2), ta được ( ) 2 12 3 2 0 2 y y y y = − ⇔ + + = ⇔  = − Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( ) ( ); 2; 1x y = − và ( ) ( ); 1; 2x y = − . Nhận xét: Lời giải cách 2 này tuy ngắn gọn nhưng không tự nhiên. Ví dụ 3: (Đề thi thử đại học lần 2 trường THPT chuyên Quốc Học Huế - Khối B) Giải: ( ) ( ) ( )( ) 3 3 3 7 (3) 1 7 7 (4) x x y x x y y x y y  + = ⇔ + = ⇒  + = Lấy (3) trừ (2) vế theo vế, lấy (4) cộng (2) vế theo vế, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 24 4 3 2 2 2 24 4 3 3 3 3 (6)3 3 4 3 4 (5)4 x x y x y x y x x yx x y x y x y x x y x y x y x x yy x y x y x y   + + = + + =+ − + = +   ⇔ ⇔   + + = + + =+ + − = +     Lấy ( )6 trừ ( )5 vế theo vế, ta có ( )3 1 1x y x y− = ⇔ − = (7) Từ (1) và (7) ta có 3 37 1 7 1 ; 2 2 x y + − = = . Thử lại thỏa (2). Vậy hệ đã cho có một nghiệm là: 3 37 1 7 1 ; 2 2 x y + − = = .
 Giải hệ phương trình: 3 4 4 7 (1) 4 3 (2) x y x y x y  + =  − = − WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 29 VI- BÀI TẬP TỰ LUYỆN Sau đây là những bài tập được trích từ các đề thi thử Đại học của một số trường THPT trên toàn quốc. NĂM 2011 • Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa: Giải hệ phương trình 2 2 3 2 8 12 2 12 0 x y x xy y  + =  + + = Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ); 2; 1 , ; 2;1x y x y= − = − • Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 1 xy x y x y x y x y  + + = +  + = − Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ); 1;0 , ; 2;3x y x y= = − • Chu Văn An - Hà Nội: Giải hệ phương trình 2 2 8 9 9 10 x y x y + =  + + + = Đáp số: ( ) ( ); 4;4x y = • Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 ( 1) 3 3 2 x x y y y x xy y x y  − − + =  + − = − Đáp số: ( ) ( ); 0;0x y = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 3; 1;1 , ; 1;1 , ; ; 43 43 x y x y x y   = = − =     • Chuyên Đại học Vinh: Giải hệ phương trình 4 2 2 2 2 4 4 2 2 6 23 x x y y x y x y  + + − =  + + = Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ); 1;3 , ; 1;3x y x y= = − • Chuyên Lê Hồng Phong - TP Hồ Chí Minh: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 4 1 0 7 ( ) 2( 1) x y xy y y x y x  + − + + =    − − = +   Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ); 1; 2 , ; 2; 5x y x y= − = − − • Chuyên Hà Tĩnh: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 8 18 36 5(2 3 ) 6 0 2 3 30 x y xy x y xy x y  + + − + =  + = Đáp số: ( ) ( ); 3;2x y =
 WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 30 NĂM 2012 • Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh: Giải hệ phương trình 2 4 2 2 2 3 0 3 5 0 x xy x y x x y x y  + − + =  + − + = Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ); 1;1 , ; 0;0x y x y= = • Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh: Giải hệ phương trình 2 2 2 ( ) 4 1 ( ) 2 7 2 x x y y x x x y y x  + + = −  + − = + Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ); 2;1 , ; 5; 2x y x y= = − • Chuyên Vĩnh Phúc: Giải hệ phương trình 3 4 2 1 27 ( 2) 1 x y x x y  − − − = −  − + = Đáp số: ( ) ( ); 3;2x y = • Chuyên Vĩnh Phúc: Giải hệ phương trình 2 2 2 5 8( ) 4 13 ( ) 1 2 1 x y xy x y x x y  + + + = +   + =  + Đáp số: ( ) ( ); 0;1x y = • Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị: Giải hệ phương trình 3 3 216 24 x xy y y xy x  − =    − = Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ); 9;3 , ; 9; 3x y x y= = − − • Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp: Giải hệ phương trình 2 2 2 3 4 8( 2) 2 7 x y y x x  − + =  + − + = − Đáp số: ( ) 7; 2; 4 x y   = −    • Chuyên Trần Phú - Hải Phòng: Giải hệ phương trình ( ) 3 2 2 2 2 2 (4 1) 2( 1) 6 2 2 4 1 1 x y x x x y y x x  + + + =  + + = + + Đáp số: ( ) 1; 1; 2 x y   =    
 WWW.VNMATH.COM Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế. 31 NĂM 2013 • Tạp chí toán học và tuổi trẻ: Giải hệ phương trình ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 6 6 8 3 8 6 x x y x y y x y x y  − + = +  − + = − Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); 0;0 , ; 2;1 , ; 4;2x y x y x y= = = • Tạp chí toán học và tuổi trẻ: Giải hệ phương trình 3 4 2 2 3 7 2 9 x y y x y xy y  − =  + + = Đáp số: ( ) ( ); 2;1x y = • Tạp chí toán học và tuổi trẻ: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 6 2 1 4 x x y y x x y  + + + + + =  + + + = Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ); 0;3 , ; 1;0x y x y= = • Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh: Giải hệ phương trình 2 2 1 1 2 0 x x y y x y x y x  − − − =  + + − = Đáp số: ( ) ( ); 4;2x y = • Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 12 12  + + − =  − = x y x y y x y Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( ); 5;3 , ; 5;4x y x y= = • Chuyên Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội: Giải hệ phương trình ( )( )( )( ) 22 2 7 2 0 3 1 0 x y x y x x y  + − + + =  − + + = Đáp số: ( ) ( ) ( )5 1; ; , ; 2; 1 2 2 x y x y   = − = −    • Chuyên Đại học Vinh: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 0 1 3 1 2 2 0 x xy x x y xy x y y  + + + =   + + + + − + = Đáp số: ( ) ( ); 1;3x y = −
 --------------------HẾT-------------------- WWW.VNMATH.COM