Lý thuyết Thế trong địa vật lý

uyên của công. Thế V là đại lượng ngược dấu với thế năng : V = - U. Như vậy, có nghĩa thế năng bằng công của trường lực khi di chuyển một khối lượng đơn vị từ điểm quan sát về vị trí không của thế năng. Chúng ta hãy xét hai trường hợp đặc biệt của công thức (1.33) : * Thứ nhất là phương di chuyển của khối lượng đơn vị vuông góc với phương của lực, lúc đó: Góc ( = 900, cos(F,s) = 0, từ (1.33) ta có : dV = 0 suy ra : V(x,y,z) = const (1.34) Đây là phương trình của một mặt mà trên đó, thế có giá trị không đổi, lực có phương vuông góc với mặt đó tại mọi điểm trên mặt (trùng với phương của pháp tuyến). Mặt này có tên là mặt mức hay mặt đẳng thế. Công thực hiện được khi di chuyển một chất điểm trên mặt đẳng thế luôn luôn bằng không. Thay đổi giá trị hằng số trong (1.34), ta sẽ nhận được một họ các mặt đẳng thế khác nhau. Các mặt đẳng thế không thể cắt nhau hay tiếp xúc với nhau, bởi vì nếu như vậy hóa ra thế là một hàm đa trị. * Thứ hai là cho khối lượng đơn vị di chuyển dọc theo phương và theo chiều tác dụng của lực ( trùng với chiều của pháp tuyến trong n’). Lúc đó : 18 Góc (F,s) = 00, cos(F,x) =1, dV= Fds = Fdn’ với dn’ là một đoạn của pháp tuyến trong (ds = dn’). 'dn dVF = (1.35) Nếu di chuyển ngược theo phương của lực (ds = dn) thì : Góc (F,s) = 180 0, cos (F,s) = -1 ta suy ra : dn dVF −= (1.36) Như vậy chỉ có lấy đạo hàm theo phương của pháp tuyến ta mới nhận được toàn phần của lực tác dụng. Biểu thức (1.36) ứng với phương của pháp tuyến ngoài, còn (1.35) ứng với phương của pháp tuyến trong. Thông thường, trong lý thuyết thế, người ta sử dụng pháp tuyến ngoài, vì vậy cho nên lực sẽ được biểu diễn bằng (1.36). Từ (1.36), ta có : F dVdn −= (1.37) Qua (1.37), ta rút ra rằng : khoảng cách theo phương pháp tuyến giữa hai mức vô cùng sát nhau không phải hằng số cho mọi vị trí mà tỉ lệ nghịch với lực. Ký hiệu h là khoảng cách hữu hạn tính dọc theo phương đường sức giữa hai mặt mức V = C1 và V = C2 nào đó không sát nhau, trong đó chiều dương của h trùng với chiều pháp tuyến ngoài n. Ta có : F dVdh −= Lấy tích phân dọc theo đường sức của lực : ∫∫ −= 2 1 1 0 C Cm h dV F dh ta có : mF CCh 21 −= Trong đó Fm là trị giá trung bình của lực trên đoạn h của đường sức. Như vậy, nếu biết hiệu thế giữa hai mặt đẳng thế, ta có thể xác định được đoạn đường sức nói trên. Mặc dù đoạn này có thể cong, nhưng luôn vuông góc với cả hai mặt đẳng thế và được xem là độ cao của mặt này so với mặt nọ. 19 §.3. Thế và trường lực của một số vật thể có dạng đơn giản. Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp xác định thế và trường lực của một số vật thể có dạng đơn giản. Qua đó, chúng ta sẽ rút ra kết luận có tính chất đặc trưng, đúng cho trường hợp tổng quát. Chúng ta sẽ xác định các loại trường thế, vì biết được trường thế, chúng ta sẽ biết được giá trị của lực và hướng của lực tại một điểm bất kỳ và biết được phương trình các mặt đẳng thế nữa. Việc xác định thế chung quy là chọn một hệ tọa độ thích hợp sau đó tiến hành lấy tích phân. 1.Thế lớp cầu : Đây là trường hợp đặc biệt của lớp đơn với mật độ ε, có dạng hình cầu. Như vậy quả cầu ở đây vô cùng mỏng và rỗng ở bên trong. Chúng ta hãy xét các trường hợp : a/ Điểm quan sát P nằm ở không gian ngoài quả cầu. Chọn góc tọa độ O trùng với tâm quả cầu bán kính R. Khối lượng hấp dẫn được dàn mỏng vô cùng trên mặt quả cầu σ với mật độ mặt đều ε, còn điểm quan sát P ở ngoài quả cầu cách tâm O một khoảng là ρ. Điểm chạy M trên mặt cầu được xác định bằng tọa độ cầu ρ, θ, λ. Trục xuyên tâm mặt cầu qua hai cực N và S được chọn trùng với OP là trục tính tọa độ góc θ (hình 4). Thế của lớp đơn được áp dụng là : ∫∫= σ σε r dfV Ở đây r = MP, dσ = R 2 sinθdθdλ Trong tam giác OMP (hình 5), ta có : r2 = R2 +ρ2– 2Rρcosθ (1.38) Lấy vi phân hai vế (1.38), ta có : rdr = Rρsinθdθ Từ đây, ta rút ra : dR rRdR ρ θθ =sin2 (1.39) 20 Vậy : λρσ drd rRd = (1.40) σ H.4 S N λ O dσ R ρ P(ρ,θ,λ) dλ r θ dθ M Thay (1,40) vào tích phân và coi mật độ mặt ε = const, sau khi lấy tích phân theo λ ta có: ∫ + − = R R drRfV ρ ρ ρ εpi2 (1.41) ρ εpi 2 4 RfV = (1.42) Theo công thức hình học sơ cấp thì 4piR 2 ε chính là khối lượng của mặt cầu σ có mật độ mặt là ε, ký hiệu là M, ta có : ρ fMV = (1.43) So sánh với thế của một chất điểm, ta có nhận xét rằng môt lớp cầu vô cùng mỏng có thế giống trường hợp giá như dồn hết khối lượng lớp cầu vào tâm quả cầu. Thế giảm tỷ lệ nghịch với khoảng cách. Lực hấp dẫn của lớp cầu này đối với một khối lượng đơn vị đặt tại P cách tâm một khoảng ρ bằng : σ H.5 ρ θ 21 2ρρ MfVF −= ∂ ∂ = (1.44) Như vậy, lực tác dụng không khác lực hấp dẫn của chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của lớp cầu đặt tại tâm cầu, và hướng ngược với ρ vào tâm O. Ta có thể nhận được lực bằng cách lấy đạo hàm của (1.42) : F = 2 2 4 ρ εpi ρ RfV −= ∂ ∂ (1.44a) b/ Điểm quan sát P nằm bên trong lớp cầu : Hãy lấy tích phân theo r, có sự thay đổi so với trường hợp thứ nhất. Ở đây : ρ+= Rrmax còn ρ−= Rrmin , hiệu số : rmax - rmin = 2ρ Công thức (1.41) sau khi thay giá trị trên đây vào sẽ có dạng : V = 4pifεR (1.45) Hay : const R fMV == (1.46) Trong đó M là khối lượng của lớp cầu. Như vậy thế của lớp cầu đối với điểm bên trong không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó bên trong lớp cầu. Lực hấp dẫn : 0= ∂ ∂ = ρ VF (1.47) Nghĩa là điểm nằm bên trong lớp cầu không chịu lực hấp dẫn của lớp cầu. 22 V ρ ρ=R O R fM ρ fMV = H.6 c/ Điểm quan sát P ở trên mặt lớp cầu : Thay ρ = R vào (1.42) và (1.43), ta có thế trên và trong lớp cầu : R fMRfV == εpi4 là hằng số. (1.48) - Thế là hàm đơn trị, liên tục khi đi qua lớp cầu. Chúng ta hãy khảo sát xem khi xuyên qua mặt cầu thì lực diễn biến ra sao. Xét giá trị giới hạn khi chúng ta tiến từ bên ngoài đến cận một điểm P0 trên mặt cầu. Dùng ký hiệu sau : ρρ ∂ ∂ = ∂ ∂ → e PP VV 0 lim Còn từ bên trong tiến đến điểm P0 trên mặt cầu : ρρ ∂ ∂ = ∂ ∂ → i PP VV 0 lim Theo (1.44a) khi cho ρ = R và (1.47), ta có : εpi ρ fV e 4−= ∂ ∂ 0= ∂ ∂ ρ iV Bây giờ ta sẽ tính đạo hàm ρ∂ ∂ V tại điểm P o ở ngay trên lớp cầu. Thành phần lực theo một trục bằng đạo hàm của (1.21) : σ O R R P M r z H.7 23 σε σ d r zrf z VF z ∫∫−=∂ ∂ = 2 ),cos( Hướng trục z trùng với ρ, theo hình 7, ta có : R r zr 2 ),cos( = ( trên mặt cầu ), kết qủa : ∫∫ ∫∫−=−=∂ ∂ = ∂ ∂ = σ σ σεσ ερ r d R f r d R rfV z VF z 22 2 Sử dụng biểu thức (1.40) và cho ρ = R, ta có tích phân : ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ==== σ σ pi pipiλλσ max min 2 0 2 0 42 r r R Rdrdrddrd r d Vậy, trên mặt σ : εpiρ fV 2−= ∂ ∂ Tóm lại môđun lực F =            = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − εpi ρ ρ εpi ρ fV V fV i e 2 0 4 0 Ngoài σ Trong σ Trên σ ρ 4pifε 2pifε H.8 F = f 24 Đường cong biểu diễn đạo hàm của thế của lớp cầu. Khi đi qua lớp cầu, hàm số này bị gián đoạn và biến đổi một lượng bằng ± 4pifε, dấu tùy thuộc vào chiều đi từ trong ra ngoài hay từ ngoài vào trong. 2. Thế khối cầu Chúng ta xét quả cầu đặc và đồng chất và cũng phân biệt hai trường hợp điểm quan sát ở trong và ngoài quả cầu. a/ Trường hợp điểm quan sát P ở ngoài và cách tâm quả cầu một khoảng ρ : Hãy tưởng tượng quả cầu này là một tập hợp của vô số những lớp cầu đồng chất vô cùng mỏng. Khi đó, thế của toàn thể khối cầu có thể xem bằng tổng các thế của các lớp cầu. Nói chính xác là lấy tích phân thế lớp cầu theo công thức (1.42). Ta sẽ thay ε bằng mật độ khối như sau, gọi khoảng cách giữa hai lớp cầu vô cùng gần nhau là h = dR thì (1.20) sẽ có dạng : ε = δdR (1.49) với δ là một hằng số cho mọi lớp cầu. Ký hiệu lại V bằng dV, công thức (1.42) cho thế lớp cầu sẽ có dạng: dRRfdV ρ δpi 2 4= Để có thế của khối cầu, ta lấy tích phân từ 0 đến R0 theo bán kính : ∫ == 0 0 3 02 3 44 R RfdRRfV ρ δpi ρ δ pi (1.50) δpi 303 4 RM = là khối lượng của khối cầu. Ta có : ρ fMV = (1.51) Như vậy, thế của khối cầu đặc có dạng giống trường hợp giá như toàn bộ khối cầu đó được dồn hết vào tâm thành chất điểm. Lực hấp dẫn đối với điểm quan sát có khối lượng đơn vị đặt tại P bằng : 25 2ρρ fMVF −= ∂ ∂ = (1.52) Lực hấp dẫn cũng tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách đến tâm quả cầu, tỷ lệ thuận với khối lượng M, hướng vào tâm quả cầu, ngược chiều với ρ. b/ Trường hợp điểm quan sát P ở trong khối cầu, cách tâm một khoảng ρ. Dựng một mặt cầu bán kính ρ, chia đôi khối cầu làm hai phần. Phần trong là một quả cầu có bán kính ρ cho ta thế ký hiệu là V1. Phần thứ hai là một lớp cầu bị giới hạn giữa hai bán kính ρ và R0 có thế bằng V2. Vì thế có tính chất chồng chất, nên thế của khối cầu có thể coi bằng tổng của V1 và V2 : V = V1 + V2 Điểm P là điểm ngoài so với quả cầu bán kính ρ, vậy áp dụng (1.50), thay R0 = ρ, ta có: 21 3 4 δρpi fV = Điểm P là điểm trong so với lớp cầu còn lại vậy áp dụng công thức (1.45) cho một điểm quan sát ở bên trong lớp cầu vô cùng mỏng và sau khi thay đổi mật độ mặt ε bằng mật độ khối theo (1.49), ký hiệu lại V bằng dV ta có : dV = 4pifδRdR Thế của lớp cầu dầy bằng thế của vô số lớp cầu mỏng là tích phân : ∫ −== 0 )(24 2202 R RfRdRfV ρ ρδpiδpi Thế của khối cầu kết quả cuối cùng là: (1.53) 2 0max 2 RfVV δpi== khi ρ = 0 )3( 3 2 22 021 ρδpi −=+= RfVVV 26 Sử dụng (1.53), lực hấp dẫn trong khối cầu bằng : δρpi ρ fVF 3 4 −= ∂ ∂ = ( tỷ lệ thuận với ρ ) (1.54) 0max 3 4 RfFF δpi== khi ρ = R0 Theo (1.54), lực bên trong quả cầu tỉ lệ thuận với khoảng cách ρ. Tại tâm quả cầu ρ = 0, lực tác dụng F = 0. Nhân đồng thời tử và mẫu số biểu thức (1.54) với ρ2 ta có : 2 3 3 4 ρ ρδpifF = (1-55) Hay : 2ρ fmF = với δpiρ 3 3 4 =m là khối lượng của khối cầu (phần thứ nhất), bán kính ρ. Lực hấp dẫn chung tương đương với lực hấp dẫn của qủa cầu bán kính ρ, là phần thứ nhất, hay của chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của phần thứ nhất đặt tại tâm O. Phần thứ hai coi như không gây nên một tác dụng lực nào. Chú ý : Lực F không phải tỷ lệ nghịch với ρ2 vì m ≠ const. H.9 V O Ro ρ V Fmax F F 3.Thế lôgarit: 27 Chúng ta xác định thế của một cái thanh dài vô tận và đồng chất L. Dùng hệ tọa độ x, y, z, hướng trục z trùng với L. Mặt phẳng xoy vuông góc với thanh, chứa vectơ tổng lực hấp dẫn hướng vuông góc với thanh. Ta có bài toán hai chiều x,y (không phụ thuộc z). Gọi mật độ dài là λ là hằng số. Lực hấp dẫn của một đoạn ∆z đối với điểm quan sát P(x,0) nằm trên trục x. OP = x ( hình10 ) được tính như lực hấp dẫn của chất điểm theo phương r và bằng : )( 222 zx zf r zfF + ∆ −= ∆ −=∆ λλ Chiếu trên trục x : 2 322 )( cos zx xZfFFx + ∆−=∆=∆ λα Do thanh đối xứng qua trục x, tổng lực hấp dẫn F sẽ hướng dọc trục x : ∫ ∫ ∞+ ∞− − −=−= + −== 2 2 3 2 2 322 2cos )( pi pi λ ααλλ x fd x xf zx dz xfFF x (1.56) Ở đây, ta đặt αtg x z = ; Tổng quát, nếu P(x,y) là điểm tùy ý nằm trên mặt xoy thì lực hấp dẫn toàn phần của L đối với P sẽ hướng theo OP là trục ρ. H.10 28 Ta có : ρ λ ρ fF 2−= (1.57) Trong đó 22 yx +=ρ là khoảng cách từ L đến P. Ta suy ra thế của thanh L : V = - 2λf lnρ (1-57b) 4. Thế từ của khối cầu. Giả sử m, δ, R là khối lượng, mật độ, bán kính của khối cầu đặc đồng chất bị từ hóa đồng nhất có mômen từ là M. Thế hấp dẫn của khối cầu tại khoảng cách ρ từ tâm khối cầu, ta đã biết :      <− ≥ = )(), 3 (2 )( )( 2 2 2 RRf Rmf pV ρρδpi ρρ Trước tiên, ta tính đạo hàm dl dV khi ρ > R : θ ρ ρ ρ cos22 mf dl dmf dl dV −=−= Khi ρ < R : θρρδρpiρ ρ cos 3 4 3R mf dl df dl dV dl dV −=−= ∂ ∂ = Góc giữa ρ và trục l ( hay J ) là θ. Biết M = Jτ và (1.32c) liên hệ giữa thế hấp dẫn và thế từ, ta có : 2 3 cos , ( ) cos , M R U p M R R θ ρ ρ ρ θ ρ  − ≥ =   − <  (1.58) Trên mặt cầu ρ = R, hai công thức trên chuyển thành một : 29 ( ) θcos)( 2RMpU −= (1.58a) Khi ρ > R, đem công thức ( 1.58) so với công thức lưỡng cực (1.30a), ta thấy nó chính là thế của lưỡng cực đặt tại tâm quả cầu có mômen µ trùng hướng với M . Bây giờ ta tính lực từ trường. Chọn hệ tọa độ gắn chặt với người quan sát và phân tách lực ra thành hai thành phần : theo phương pháp tuyến và tiếp tuyến với mặt cầu ( phương thẳng đứng theo ρ và vuông góc với ρ ). UZ ρ ∂ = ∂ ; 1 UH ρ θ ∂ = ∂ Lấy đạo hàm của U theo ρ và θ với ρ > R, ta có : 32 cosMZ θρ   =     ; 3 sinMH θρ   =     ; Trên mặt cầu (ρ = R) ta có : ( )32 cosMZ R θ= ; 3 sinMH θρ =    ; Vectơ cường độ từ toàn phần : ( )2 2 23 1 3cosMT Z H R θ= + = +ur Tại hai cực : θ = 0o và 180o : 32 MZ R= ± ; H = 0 3max 2 .MT Z R= = ur Tại xích đạo từ : θ = 90o , 270o : Z = 0 , 3MH R= ± ; 3max MT H R= = ur Dấu ± ứng với 2 tọa độ θ = 90o , 270o và so với hệ tọa độ gắn với người quan sát. 30 + Ghi chú : Ngoài ra, thế ly tâm, thế và lực lực hấp dẫn của một số vật thể có hình dạng đơn giản được đề cập dưới dạng bài tập ở phần phụ lục như : Đĩa tròn mỏng, đĩa tròn dầy, hình vành khuyên, lớp đơn vô hạn, hình trụ đặc, hình trụ rỗng. §.4. Các tính chất của thế Newtơn. 1. Thế khối : Thế khối V của vật thể có mật độ δ là hàm liên tục, đơn trị và giới nội trong toàn không gian. Đạo hàm của nó cũng có tính chất này. Ta hãy chứng minh tính giới nội của thế ( tức không tăng lên ∞ khi 0r → ). Đối với điểm quan sát ở khoảng không gian ngoài thể tích τ, r không bao giờ bằng 0 nên ở đây không có vấn đề gì. Thế có đầy đủ tính chất giới nội ở không gian ngoài. Song trong không gian trong τ thì r có thể bằng 0. Trong tích tích phân 1 r → ∞ và ta cảm giác rằng tích phân không giới nội. Thực tế không phải như vậy. Chọn điểm P ở trong thể tích τ làm gốc tọa độ cầu. Trong hệ tọa độ cầu : 2 sind r d d drτ θ θ λ= Thay dτ vào trong tích phân thế khối (1.13) ta có : sinV f r d d dr τ δ θ θ λ= ∫∫∫ Khi r → 0 tích phân trên giới nội. Đại lượng 0→ r dτ ở miền lân cận P, nhưng toàn bộ tích phân theo τ khác 0. Bây giờ muốn chứng minh tính liên tục ở trong không gian trong, chúng ta hãy xét điểm quan sát P(x,y,z) trong không gian trong. Dựng một quả cầu, bán kính R thật nhỏ có tâm tại điểm P sao cho mật độ khối trong đó, ký hiệu là δ* là hằng số. Thế do quả cầu có bán kính R gây ra ta gọi là V1. Thế của phần còn lại của vật là V2. Như vậy thế của một vật thể V được coi là bằng tổng thế : V1 + V2. Thế V2 quan sát tại P là hàm liên tục vì r không bao giờ bằng 0. Thế V1 quan sát tại P, tâm quả cầu (ρ = 0) áp dụng công thức (1.53), ta có : * 21 2V f Rpi δ= (1.59) Nếu quan sát tại điểm P’lân cận, bên trong quả cầu và cách P một đoạn ρ< R, thì theo công thức (1.53) ta có : 31 )3(* 3 2 ' 22 1 ρδpi −= RfV (1.60) Ta phải chứng minh tính liên tục, tức : '1 1V V− tiến tới 0 khi R-->0 với ρ < R. ' * 21 1 2 3 V V fpi δ ρ− = (1-61) Rõ ràng khi R--> tới 0 thì ρ --> 0 vì ρ < R và hiệu * 22 0. 3 fpi δ ρ → Như vậy ta đã chứng minh xong tính liên tục của thế trong toàn bộ vật thể. Ta cũng có thể chứng minh được rằng đạo hàm bậc 1 của thế cũng có đầy đủ tính chất như trên trong toàn bộ không gian. Bây giờ chúng ta sẽ rút ra thêm những tính chất khác của đạo hàm bậc 2 của thế. Ở đây, ta lần lượt xét trường hợp ở không gian ngoài và trong. Ở không gian ngoài, r ≠ 0 tại mọi vị trí nên đạo hàm mọi bậc của thế sẽ liên tục và giới nội. Tính đạo hàm bậc 2 của thế theo tọa độ x,y,z : ( )∫∫∫ ∂ ∂ = ∂ ∂ υ δ 2 2 2 2 /1 x rf x V (1.62) Biết rằng : 3 1 r x rx ξ− −=      ∂ ∂ Lấy đạo hàm lần nữa : ( ) 5 2 32 2 )(311 r x rx r ξ−+−= ∂ ∂ (1.63) ∫∫∫       − +−= ∂ ∂ τ τ ξδ d r x r f x V 5 2 32 2 )(31 (1.64) Tương tự, ta có: ∫∫∫       − +−= ∂ ∂ τ τ ηδ d r y r f y V 5 2 32 2 )(31 (1.65) ∫∫∫       − +−= ∂ ∂ τ τ ζδ d r z r f z V 5 2 32 2 )(31 (1.66) 32 Cộng lại 3 đạo hàm bậc hai nói trên, ta có : 033 )()()(33 33 5 222 32 2 2 2 2 2 =    +− =      −+−+− +−= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫∫ τδ τ ζηξδ τ τ d rr f d r zyx r f z V y V x V (1.67 ) Vậy : 02 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z V y V x V (1.68) Đây là phương trình Laplace thiết lập quan hệ giữa ba loại đạo hàm bậc hai của thế khối, hay viết dưới dạng gọn : ∆V = 0 (1.69) Ký hiệu : 2 2 2 2 2 2x y z ∂ ∂ ∂∆ = + + ∂ ∂ ∂ - Toán tử Laplace Hàm số nào thỏa mãn phương trình Laplace trong không gian nào đó được gọi là hàm điều hòa trong không gian đó. Như vậy thế khối là hàm điều hòa của tọa độ điểm quan sát trong toàn không gian ngoài. Trong không gian trong, chứa khối lượng, thế khối không thỏa mãn phương trình Laplace. Biểu thức sau dấu tích phân (1.62) có dạng 0/0. Ta có thủ thuật sau : Bọc điểm quan sát P ở không gian trong bằng một quả cầu có bán kính rất bé so cho mật độ trong đó là một hằng số. Quả cầu chia đôi không gian trong, tương tự như đã chứng minh: V = V1 + V2 (1.70) V1 : Thế khối của phần trong quả cầu. V2 : Thế khối của phần ngoài quả cầu. Tác dụng toán tử Laplace vào hai vế của (1.70) : ∆V = ∆V1 + ∆V2 V2 bây giờ là thế quan sát ở không gian ngoài đối với P nên : ∆V2 = 0 V1 là thế của quả cầu quan sát ở không gian trong đối với P. Áp dụng công thức thế (1.53) cho P bên trong quả cầu ta có : ( )* 2 21 2 33V f Rpi δ ρ= − (1.71) 33 Với R = const. Trong đó ρ là khoảng cách giữa tâm quả cầu O (x1, y1, z1) và điểm quan sát P ở trong quả cầu, dĩ nhiên ρ < R. * *1 1 1 1 4 4 ( ) 3 3 V V x xf f x x x x ρ pi δ ρ pi δ ρ ρ ∂ ∂ ∂ − = = − = − − ∂ ∂ ∂ 2 2 2 21 1 1( ) ( ) ( )x x y y z zρ = − + − + − (1.72) Lấy đạo hàm một lần nữa theo x : 2 *1 2 4 3 V f x pi δ∂ = − ∂ Tương tự như vậy : 2 *1 2 4 3 V f y pi δ∂ = − ∂ ; 2 *1 2 4 3 V f z pi δ∂ = − ∂ (1.73) Cộng ba đạo hàm bậc hai của V1 ta có : *1 4V fpi δ∆ = − (1.74) Kết quả biểu thức ∆V có dạng : *4V fpi δ∆ = − (1.75) δ* được hiểu là mật độ tại điểm P (x, y, z). Dấu * không cần thiết nữa. 4V fpi δ∆ = − (1.76) Thế khối thỏa phương trình Poison đối với không gian trong chứa khối lượng. Khi trong vật không có khối lượng δ = 0, ta có lại phương trình Laplace : ∆ V = 0 Chúng ta hãy khảo sát tính chất của thế khối ở vô cùng, tức khi r tăng lên vô hạn. Khi đó ta bỏ qua kích thước của vật và coi là chất điểm : fMV r = Với M : là khối lượng của vật. Rõ ràng : lim 0 r V →∞ = (1.77) 34 Hoặc chứng minh rằng tích rV tiến đến giới hạn : lim r rV fM →∞ = Nếu thay vào thế khối rmin, rmax (hình 11), ta có : min max ( )d df V P f r rτ τ δ τ δ τ > >∫∫∫ ∫∫∫ rmin, rmax có thể đưa ra ngoài dấu tích phân : min max ( )fM fMV p r r > > Nhân 2 vế với r : max min ( )rfM rfMrV P r r > > Khi r → ∞ thì : max min lim lim 1r r r r = = nên khi đó : lim r rV fM →∞ = (1.78) Tương tự như vậy, ta có thể chứng minh rằng : 2lim r V r fM r→∞ ∂ = ∂ (1.79) Hàm số thỏa mãn một trong 3 điều kiện : (1.77), (1.78), (1.79) gọi là hàm chính qui ở vô cực. Như vậy, thế khối có tính chất chính qui ở vô cực. Tóm lại thế khối có tính chất thỏa phương trình Laplace ở không gian ngoài, phương trình Poisson ở không gian trong chứa khối lượng và chính qui ở vô cực. 2. Thế lớp đơn : P (x, y, z) rmax r rmin M (ξ, η, ζ) τ H.11 35 Cũng như thế khối, thế lớp đơn liên tục, giới nội trong toàn không gian, thỏa mãn phương trình Laplace ở không gian ngoài, có đạo hàm mọi bậc liên tục, có tính chính quy ở vô cực. Chúng ta hãy đi sâu khảo sát đạo hàm theo phương tùy ý l của thế lớp đơn : σεσε σσ d r lrfd rl f l V 2 ),cos(1 ∫∫∫∫∫ −=      ∂ ∂ = ∂ ∂ (1.80) Đây chính là hình chiếu của lực hấp dẫn do lớp đơn gây ra trên phương l. Khi điểm quan sát đi qua mặt lớp đơn đạo hàm này sẽ bị gián đoạn. Chúng ta đã thấy sự gián đoạn này ở lớp cầu, nay chúng ta rút ra cho trường hợp tổng quát. Ký hiệu điểm ngoài lớp đơn là A, điểm ở phía trong lớp đơn là B, còn điểm nằm ngay trên mặt lớp đơn là C. Giả sử bây giờ hai điểm A, B tiến không ngừng về C. Chúng ta sẽ thấy đạo hàm của thế sẽ có những giới hạn khác nhau. Ký hiệu giới hạn của đạo hàm ngoài tại C là : σε σ d r lr dl dV dl dV A A CA A e CA C e ∫∫→→ −== 2 ),cos(limlim Ký hiệu giới hạn của đạo hàm trong tại C là : σε σ d r lr dl dV dl dV B A CB B CB C i ∫∫→→ −== 2 ),cos(limlim Như vậy ta có 2 giá trị giới hạn mà thành phần lực đạt tới khi điểm quan sát tiến không ngừng từ bên ngoài và bên trong tới điểm C trên mặt lớp đơn. Còn ngay tại C thì không cần giá trị giới hạn mà đạo hàm xác định trực tiếp : σε σ d r lrf dl dV C C C O ∫∫−== 2 ),cos( Khi A và B tiến không ngừng tới C, khoảng cách r giữa điểm M đến các điểm C, A và B cũng tiến tới 0, cho nên ta cần chứng minh tính giới nội của các đạo hàm. Khoanh tròn điểm C bằng một đường tròn có bán kính bé vô cùng, ta có đĩa tròn σo , và mật độ không đổi εc trong đĩa tròn đó. Giá trị của các đạo hàm nay sẽ bị tách ra làm 2 phần : ngoài đĩa và trong đĩa. 36 n r l σ εdσ M ( ),Br l l rB B rC C ( ),Cr l ( ),Ar l A rA l H.12 ∫∫∫∫ → − → −= oo d r lrfd r lrf dl dV A AC CA A A CA C e σσσ σ ε σ ε 22 ),cos(lim),cos(lim ∫∫∫∫ → − → −= oo d r lrfd r lrf dl dV B BC CB B B CB C i σσσ σ ε σ ε 22 ),cos(lim),cos(lim (1.81) ∫∫∫∫ → − −= oo d r lrfd r lrf dl dV C CC CA C C C o σσσ σ ε σ ε 22 ),cos(lim),cos( Các số hạng đầu luôn luôn giới nội vì ở miền (σ - σ0) thì r không bao giờ bằng 0. Khi A, B trùng hẳn với C, ta có các đẳng thức : ∫∫∫∫ − → − → = ooo d r lrd r lr B B CB A A CA σσσσ σ ε σ ε 22 ),cos(lim),cos(lim = σε σσ d r lr o C C ∫∫ − 2 ),cos( ( Giá trị quan sát tại cận A và cận B bằng giá trị ngay tại C ) Các số hạng thứ 2 của ( 1.81 ) có thể xem như là thành phần lực hấp dẫn do đĩa tròn gây ra theo phương l. Đối với A và B nó bằng ( )lnf c ,cos2 εpi ( bài tập 11 ở phụ lục ), còn đối với C (tâm đĩa), nó bằng 0. Cho σ0 → 0, ta có : ),cos(2),cos(2 lnfd r lrf dl dV c C C C e εpiσ ε σ −= ∫∫ ),cos(2),cos(2 lnfd r lrf dl dV c C C C i εpiσ ε σ += ∫∫ (1.82) σε σ d r lrf dl dV C C C o ∫∫= 2 ),cos( Từ 3 đẳng thức trên ta có thể viết lại như sau : ).cos(2 lnf dl dV dl dV oe εpi−= (1.83) ).cos(2 lnf dl dV dl dV oe εpi+= Cộng hai đẳng thức ( 1.83), ta có : 37       += dl dV dl dV dl dV ieo 2 1 (1.84) Đây là công thức của Plemeli, được áp dụng để tính giá trị của đạo hàm ngay trên mặt lớp đơn thông qua các giá trị giới hạn. Khi trừ đi hai đẳng thức ở (1.83) cho nhau ta có : (1.84a) Công thức (1.84a)ø là công Poisson. Nó cho phép ta tính độ chênh lệch của giá trị đạo hàm khi đi qua xuyên lớp đơn. Nếu đạo hàm lấy theo phương pháp tuyến ngoại thì cos (n,l) = 1, ta có : εpifdl dV dl dV ie 4−=− (1.85) Tóm lại đạo hàm mất tính liên tục khi đi xuyên lớp đơn. Cần phải phân biệt ba giá trị của đạo hàm ở lớp đơn. Kết quả trên đây phù hợp với kết quả ở trường hợp lớp cầu đã khảo sát. 3. Thế lớp kép : Thế lớp kép có thể xem như tổng các đạo hàm của thế lớp đơn theo tọa độ như (1.27a). - Thực vậy, nếu xem -vcos(n,x), -vcos(n,y), -vcos(n,z) là những mật độ mặt thì 3 tích phân trong vế phải của (1.27a) là các thế lớp đơn. - Trong không gian ngoài, đạo hàm của thế lớp đơn luôn luôn liên tục, thỏa mãn phương trình Laplace và chính quy ở vô cực. Vậy trong không gian ngoài thế lớp kép cũng phải có các tính chất ấy. - Khi xuyên mặt lớp đơn, các đạo hàm bậc nhất của thế lớp đơn bị gián đoạn cho nên thế lớp kép cũng bị gián đoạn. Ta đã phân biệt thành ba giá trị của đạo hàm, thì nay cũng phải phân biệt thành ba giá trị của thế lớp kép. Hai giá trị giới hạn của We , Wi và một giá trị trực tiếp W0 trên lớp kép. Tương tự : 0 2eW W fvpi= + νpi fWW oi 2+= ( )lnf dl dV dl dV ie ,cos4 εpi−=− 38 §.5 Các tính phân Gauss. Tích phân Gauss có dạng : Ω ( x,y,z) = σ σ d rdn d ∫∫       1 ( 1.86) Hoặc : 2 cos( , )( , , ) r n dx y z rσ σΩ = ∫∫ (1.86a) Các tích phân trên đây ta đã gặp trong thế lớp kép, nếu bỏ qua fν. Để giải thích ý nghĩa hình học của biểu thức đứng sau dấu tích phân ta đưa ra một quả cầu đơn vị bao quanh điểm quan sát P(x, y, z) với bán kính bằng 1. Ký hiệu dω là diện tích của phần trên mặt quả cầu đơn vị bị giới hạn bởi hình nón có đỉnh tại P và có đáy là diện tích nguyên tố dσ. Góc khối ω là hay góc trông, là góc mà từ P ta trông thấy diện tích dσ. Góc khối ω là đại lượng dương, vậy : 2 .cos( , )d r nd r σ ω± = (1.87) Dấu âm hoặc dương, tùy thuộc vào cos(r,n). P (x, y,z) P (x, y,z) P (x, y,z) dω dω dω dσ1 dσ dσ2 dσ r1 r2 r n1 n2 n2 n r2 M2 M1 M H.13 M 39 Ta hãy tính Ω cho một điểm quan sát bên trong mặt σ, trên mặt và bên ngoài mặt. Từ (1.82) và (1.83) ta suy ra : ( , , )x y z d σ ωΩ = ±∫ (1.88) Đối với điểm P bên trong mặt σ, cos(r,n) luôn luôn âm tại mọi vị trí trong : 2 .cos( , )d r n d r σ ω= − Góc khối toàn phần ω = 4π nên sau khi lấy tích phân hai vế, ta có : ( , , ) 4x y z piΩ = − (1.89) Đối với điểm P ngoài mặt σ, mỗi một hình nón nguyên tố cắt mặt σ làm hai diện tích nguyên tố dσ1 và dσ2 (hình 13). Góc giữa n và r sẽ nhọn tại M1 và tù tại M2. Kết quả là : ( ) ( )1 21 1 2 22 2 1 2 .cos , .cos , 0d dn r n r d d r r σ σ ω ω+ = − = Ở đây : r1 = M1P, r2 = M2P Như vậy đối với điểm P ở ngoài mặt σ ta có : ( , , ) 0x y zΩ = Đối với điểm P trên mặt σ (hình 13), ta thấy cos góc tù, dω mang dấu trừ : 2 .cos( , )d r n d r σ ω= − (1.90) ω = 2π nên : ( , , ) 2x y z piΩ = − (1.91) Tích phân Ω(x,y,z) giúp xác định thế lớp kép (1.25) và có tên gọi là tích phân Gauss. Như vậy tích phân Gauss có độ chênh lệch là 4π khi đi từ trong ra ngoài bất kỳ một mặt kín σ nào đó. 40 n1 n2 z y Σ dσ2 x dy dz dσ1 O x1 x2 H.14 CHƯƠNG II CÁC CÔNG THỨC GREEN §.1. Hai công thức Green cơ sở Để làm sáng tỏ các tính chất quan trọng khác của thế, chúng ta phải sử dụng một công cụ toán học áp dụng cho các hàm tọa độ không gian. Giả sử có hai đạo hàm Ui(x, y, z) và Vi(x, y, z) liên tục cùng với đạo hàm bậc hai trong thể tích τ và trên cả mặt σ giới hạn thể tích τ. Ta hãy xét đẳng thức sau : 2 2 x VU x V x U x VU x i i iii i ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ =      ∂ ∂ ∂ ∂ (2.1) Chuyển vế , rồi lấy tích phân theo x ta có : 22 2 11 1 2 2 xx x i i i i i i xx x U V V Vdx U U dx x x x x ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫ (2.2) Lấy tích phân theo hai biến số còn lại ta có : dxdydz x VUdydz x VUdxdydz x V x U y y z z x x y y z z i i x x i i i x x y y z z i ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 22 1 2 1 2 1 2 1 (2.3) 41 Tích phân đầu và cuối là các tích phân khối, còn tích phân ở giữa là tích phân mặt trong phạm vi diện tích Σ trên mặt phẳng zoy. Diện tích nguyên tố trên mặt này là dydz ( H.14 ). Giả sử một đường thẳng song song với x cắt mặt σ không quá 2 lần. Như vậy một đường thẳng xuất phát từ tọa độ y, z ở mặt Σ, sẽ có 2 giao điểm với mặt σ tại tọa độ x1 và x2. Ứùng với diện tích nguyên tố dydz trên mặt Σ, sẽ có 2 diện tích nguyên tố dσ1 và dσ2 trên mặt σ do hình lăng trụ có đáy dydz cắt ra : dydz = -dσ1 cos (n1, x) = dσ2 cos (n2, x) (2.4) Dấu trừ ở đây do góc (n1, x) nhọn, còn góc (n2, x) tù. Thay cận x1 và x2 trong tích phân mặt ta có : dydz x VUdydz x VUdydz x VU xx y y z z y y z z i i xx i i y y z z x x i i 1 2 1 2 1 2 1 2 12 2 1 2 1 2 1 = = ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫       ∂ ∂ −      ∂ ∂ = ∂ ∂ Sử dụng (2.4) ta có : ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 ,cos.,cos. σσ dxn x VUdxn x VU y y xx z z i i y y xx z z i i ∫ ∫∫ ∫ ==       ∂ ∂ +      ∂ ∂ = Hai tích phân trên có thể hợp nhất lại, chung cho toàn diện tích σ : = σ σ dxn x V U ii ),cos(∫∫ ∂ ∂ (2.5) Như thế tóm lại : ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ τ σ τ τστ d x VUdxn x VUd x V x U i i i i ii 2 2 ),cos( Tương tự, ta có thể viết đẳng thức trên đây cho y và z. Sau đó cộng lại từng vế của 3 đẳng thức với nhau rồi chuyển vế ta có: ( ) ( ) ( ) σ ττ σ ττ dzn z V yn y V xn x VU d z V y V x VUd z V z U y V y U x V x U iii i iii i iiiiii ∫∫ ∫∫∫∫∫∫       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ,cos,cos,cos 2 2 2 2 2 2 42 Như (1.23), ta viết biểu thức trong tích phân chót như sau : ),cos(),cos(),cos( zn z V yn y V xn x V dn dV iiii ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = (2.7) Nhờ (2.7), ta có sau cùng : σττ σττ d dn dVUd z V y V x VUd z V z U y V y U x V x U i i iii i iiiiii ∫∫∫∫∫∫∫∫ =      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 Ký hiệu : ( ),i i i i i i i iU V U V U V D U V x x y y z z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫=∇+ τ τ σ σττ d dn dV UdVUdVUD iiiiii ),( (2-8) Đây là công thức Green thứ nhất cho không gian trong. Công thức cho phép chuyển từ tích phân khối sang tích phân mặt. Điểm này rất quan trọng về mặt ứng dụng trong thực tế, bởi vì thường chúng ta chỉ biết hàm thế ở trên bề mặt của vật. Trong (2.8) bây giờ cho Vi = Ui , ta có : ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫=∇+ τ τ σ σττ d dn dU UdUUdUUD iiiiii ),( (2-9) Tích phân đầu có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết thế, có tên gọi là tích phân Dirichlet, ký hiệu là I : 22 2 ( , ) i i ii i U U UI D U U d d x y zτ τ τ   ∂ ∂ ∂    = = + +     ∂ ∂ ∂       ∫∫∫ ∫∫∫ Tất cả các thành phần trong I đều dương hoặc bằng 0 nếu tất cả ba số hạng đều cùng bằng 0. Điều đó có nghĩa Ui = const tại mọi điểm thuộc τ. Như vậy I ≥ 0. Ta có trường hợp tổng quát từ (2.9) khi bỏ tích phân I ra : (2.10) d U iU d U U di i id nσ τ σ τ≥ ∆∫∫ ∫∫∫ 43 Khi Ui = const, I =0, thì (2.10) lấy dấu bằng. Giản ước cho Ui ta có : (2.11) Nếu Ui≠ const, hoán vị Ui cho Vi trong (2.8) ta có : ( , ) dUiV U d D V U d V di i i i i dnτ τ σ τ τ σ∆ + =∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ (2.12) Trừ đi (2.12) cho (2.8) ta có: (2.13) Công thức (2.13) là công thức Green thứ hai cho không gian trong. Bây giờ ta rút ra công thức Green cho không gian ngoài. Giả sử Ue và Ve là hai hàm liên tục ngoài mặt σ , có đạo hàm bậc hai giới nội ngoài σ . Ngoài ra thêm một điều kiện bổ sung nữa là chúng phải chính qui ở vô cực. Tức là thỏa mãn điều kiện (1.73), (1.74) và (1.75). Dựng một quả cầu S bán kính R bao gọn ngoài mặt σ . R n τ' σ n’ τ H.15 dUiU d di dnτ σ τ σ∆ =∫∫∫ ∫∫ dV dUi iU V V U d U V di i i i i idn dnτ σ τ σ    ∆ − ∆ = −     ∫∫∫ ∫∫ 44 Ta hãy áp dụng công thức Green thứ nhất (2.8) cho miền ,τ ’ giới hạn bởi 2 mặt σ và S (là không gian ngoài nhưng bây giờ trở thành không gian trong) : [ ] , , , ( , ) e ee e e e e e dV dVU V D U V d U d U dS dn dnσ στ τ σ∆ + = +∫∫∫ ∫∫ ∫∫ Diện tích nguyên tố trên mặt cầu 2 sindS R d dθ θ λ= , do đó biểu thức trong tích phân chót có thể viết là : 2 sine ee e dV dVU dS U R d d dn dR θ θ λ= (trên mặt cầu dn dR= ). Do tính chính qui ở vô cực nên khi R→∞ ta có : lim Ue = 0 R→∞ Còn : lim R2 const dR dVe = R→∞ Kết quả, khi R → ∞ , tích phân theo S bằng 0. Còn lại : [ ] , ,( , ) ee e e e e dVU V D U V d U d dnστ τ σ∆ + = −∫∫∫ ∫∫ (2.14) Dấu trừ do đạo hàm nay biểu diễn qua phép tuyến ngoài n của σ ( )nn rr ′−= Hoán vị eU cho eV rồi trừ đi với (2.14) ta có công thức Green thứ 2 cho không gian ngoài : [ ] , , e e e e e e e e dV dUU V V U d U V d dn dnστ τ σ  ∆ − ∆ = − −  ∫∫∫ ∫∫ (2.15) Trường hợp hai hàm U và V đều là hàm điều hòa, thì ta có một công thức Green thứ hai chung đồng thời cho không gian ngoài và trong : 0=      −∫∫ σ σd dn dUV dn dVU (2.15a) 45 §.2. Công thức Green cho hàm r 1 . Aùp dụng công thức Green thứ hai cho hàm 1iU r = trong đó r là khoảng cách giữa điểm chạy M(x,y,z) và một điểm cho trước nào đó P(x1,y1,z1). Tọa độ quan sát coi như tham số. Khoảng cách r được biểu diễn qua tọa độ Decartes : ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 1 1 rx x y y z z = − + − + − (2.16) Aùp dụng công thức Green thứ hai cho không gian trong (2.13), ta có : 1 1 1 1i i i i dV dV V d V d r r r dn dn rτ σ τ σ       ∆ − ∆ = −              ∫∫∫ ∫∫ (2.17) a/ Điểm P ở ngoài thể tích τ . Vì P ở ngoài thể tích τ nên trong thể tích τ và trên bề mặt σ luôn r ≠ 0. iU liên tục tại mọi điểm M trong τ và trên σ . Hàm số 1iU r = là hàm điều hòa trong τ nên : ∆       r 1 = 0. Công thức Green (2.17) có dạng : 0111 =            −+∆− ∫∫∫∫∫ στ στ d rdn dV dn dV r dV r i i i (2.18) b/ Điểm P ở trong thể tích τ . Hàm 1 r sẽ bị gián đoạn khi M trùng với P, vì thế áp dụng công thức Green (2.16) không được. Bọc điểm P bằng một quả cầu S, bán kính r. Thể tích còn lại là τ’ được giới hạn bởi σ và S. Ta có thể áp dụng công thức Green (2.18) cho thể tích τ’: dS r 1 'dn dVdS 'dn dV r 1d r 1 dn dV dn dV r 1dV r 1 s i i s i i i '       −+σ            −=τ∆ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ στ 46 Cho bán kính r của qủa cầu S tiến tới 0, thì τ’ → τ, ta có tích phân khối theo τ là 1 iV d rτ τ∆∫∫∫ . Vì 1 d r τ trong tích phân là đại lượng tỷ lệ với r, nên khi 0r → thì 01 →τd r lân cận tâm P. Nhưng tích phân theo toàn thể tích τ thì giới nội. Ở tích phân , 1 i S dV dS r dn∫∫ , tương tự r ddrdS r λθθsin1 2 = cũng tiến tới 0 khi 0r → . Nhưng quả cầu S → 0 nên tích phân này tiến tới 0. Tích phân chót theo S, do sự liên tục của iV khi quả cầu 0S → , nên sẽ tiến tới kết quả : ,2 1 cos( , ) 4 ( )i i i S V r n dS V V p r pi= Ω =∫∫ Chú ý : n’ là pháp tuyến trong của qủa cầu, nên cos(r,n’) > 0, do đó, ở đây tích phân Gauss Ω > 0 và bằng 4π. Kết quả là : )p(V4d r 1 dn dV dn dV r 1dV r 1 ii i i pi=σ            −+τ∆− ∫∫∫∫∫ στ (2.19) c/ Điểm P ở trên mặt σ. Ta có tích phân Gauss ( ) 2P piΩ = , do đó : )p(V2d r 1 dn dV dn dV r 1dV r 1 ii i i pi=σ            −+τ∆− ∫∫∫∫∫ στ (2.20) Các vế phải của hai công thức Green trên cho thấy ta có thể xác định giá trị V(P) tại điểm P bất kỳ trong mặt σ và trên σ , nếu biết iV∆ trong τ , giá trị iV và idV dn tại mọi điểm trên mặt σ . Vế trái của (2.20) chính là tổng của ba loại thế mà : 1 iV d rτ τ∆∫∫∫ có thể xem như thế khối V với mật độ iV∆ 1 idV d r dnσ σ       ∫∫ có thể xem như thế lớp đơn V1với mật độ idV dn 1 i dV d dn rσ σ       ∫∫ là thế lớp kép W với mật độ bằng iV . 47 Tóm lại : V1(p) – W(p) – V(p) =      σ σpi σpi ngoài trên trong 0 )(2 )(4 pV pV i i (2.21) Trường hợp V(p) là hàm điều hịa, cơng thức (2.18), (2.19) và (2.20) trở thành : 0d r 1 dn dV dn dV r 1 =σ            −∫ ∫ ∫ σ P ở ngoài σ (2.21a) V4d r 1 dn dV dn dV r 1 pi=σ            −∫ ∫ ∫ σ P ở trong σ (2.21b) V2d r 1 dn dV dn dV r 1 pi=σ            −∫ ∫ ∫ σ P trên σ (2.21c) §.3. Hàm điều hòa và các tính chất. Hàm điều hòa của tọa độ không gian x, y, z là hàm liên tục trong thể tích τ nào đó cùng với đạo hàm bậc 1, bậc 2 và thỏa mãn phương trình Laplace tại mọi điểm trong thể tích τ . Ví dụ về hàm điều hòa là các đa thức bậc n của tọa độ x,y,z. Giả sử V là hàm điều hòa, công thức (2.11) cho ta : (2.22) Đẳng thức này rất quan trọng, nó có nghĩa đạo hàm trên mặt σ không phân bố tùy ý mà phải theo điều kiện công thức (2.22). Qua đây ta thấy đạo hàm theo pháp tuyến không phải luôn luôn giữ nguyên một dấu mà biến đổi âm, dương. Hãy xét một số tính chất của hàm điều hòa. 1. Định lý về đẳng trị : Hàm điều hòa có giá trị không đổi V = const tại mọi điểm trên mặt σ , thì nó cũng có giá trị không đổi ấy trong toàn miền τ . CM : Để chứng minh, chúng ta sử dụng công thức (2.9) kết hợp với (2.22) để có công thức cho Vi điều hòa như sau : ( )( , ) ii i i dVD V V d V k ddnτ στ σ= −∫∫∫ ∫∫ (2.23) k : hằng số tùy ý. Nếu trên mặt σ :Vi = k, thì tích phân Dirichlet của Vi bằng không. Điều này có nghĩa Vi = const trong toàn miền τ. Nhưng theo điều kiện cho trước Vi = k trên 0=∫∫ σ σ d dn dV i 48 mặt σ mà theo điều kiện liên tục thì Vi = k luôn tại mọi điểm trong τ . Ta đã chứng minh xong const = k. Dựa trên tính chất này ta suy ra là nếu lớp đơn phân bố đúng trên mặt đẳng thế, thì lực tác dụng của nó đối với 1 điểm bên trong lớp bằng không. Chúng ta đã từng xét trường hợp lớp đơn có dạng cầu, mặt đẳng thế cũng chính là mặt cầu và như ta thấy, bên trong lớp cầu lực tác dụng bằng không. Tính chất trên còn đúng với lớp đơn có dạng bất ky,ø miễn sao lớp đơn trùng với mặt đẳng thế. Bởi vì phía trong lớp đơn, thế của nó thỏa mãn phương trình Laplace ( điều hòa ), trên mặt lớp đơn thế không đổi, thì theo định lý 1, thế cũng là hằng ở bên trong lớp đơn, đạo hàm 0 i dV dn   =    , lực bằng không. 2. Định lý về đơn trị : Không thể cùng tồn tại hai hàm điều hòa khác nhau V và V’ bên trong mặt σ mà có cùng một tập hợp các giá trị V trên mặt σ . CM : Dùng phương pháp phản chứng: Giả sử tồn tại hai hàm như vậy thì hiệu của chúng V – V’ cũng sẽ là hàm điều hòa trong σ , và trên σ thì bằng không. Nhưng theo định lý 1, thì hiệu của chúng cũng có giá trị bằng 0 trong toàn miềnτ . Vậy thì V = V’ bên trong σ. Định lý còn có thể phát biểu cách khác : Nếu tồn tại một hàm điều hòa có tập hợp giá trị V trên mặt σ thì đây là hàm duy nhất. 3. Định lý về trung bình : Giá trị của hàm điều hòa tại một điểm P bất kỳ bên trong thể tích τ, bằng giá trị trung bình tích phân trên mặt cầu có tâm là P và nằm gọn bên trong thể tíchτ . 2 1( ) 4 i ii V d V p V d Rd pi ∑ ∑ ∑ ∑ = = ∑ ∑ ∫∫ ∫∫ ∫∫ R: bán kính mặt cầu. CM : Vì Vi là hàm điều hòa, cho nên công thức (2.19) chỉ còn lại tích phân mặt. Giả sử mặt σ là mặt cầu ∑ ở đây : 1 1 4 ( )i i i dV dd V d V p r dn dn r pi ∑ ∑   ∑− ∑ =    ∫∫ ∫∫ (2.24) 49 Vì P là tâm mặt cầu cho nên r = R - bán kính mặt cầu, và dR d dn d = , ta có : 22 111 RdR dr rrdn d Rr −=−=      =∑ (2.25) Còn tích phân thứ nhất triệt tiêu theo (2.22) vì: 1 1 0i idV dVd d r dn R dn∑ ∑ ∑ = ∑ =∫∫ ∫∫ (2.26) Kết quả : 2 1 4 ( )i iV d V pR pi ∑ ∑ =∫∫ , hay : 4. Định lý về cực trị : Hàm Vi điều hòa trong miền τ không thể đạt giá trị cực đại và cục tiểu tại mọi điểm trong τ , mà chỉ đạt trên mặt σ giới hạn thể tíchτ . CM : Giả sử P là điểm trong. Giả sử Vi đạt giá trị cực đại trong τ . Tại P, do Vi có tính liên tục nên ta có thể dựng một mặt cầu ∑ tâm P và bán kính R nằm gọn bên trong τ . Như thế mâu thuẫn với định lý về giá trị trung bình : 2 1( ) 4 iiV p V dRpi ∑ = ∑∫∫ Vậy hàm điều hòa Vi không thể đặt giá trị cực đại bên trong τ . Tương tự như thế, ta có thể chứng minh trong trường hợp cực tiểu. §.4. Công thức Green cơ bản. Thế khối là hàm điều hòa ở không gian ngoài, nhưng ở không gian trong chưa khối lượng, nó thỏa phương trình Poisson. Giả sử miền τ chứa đầy khối lượng với mật độ δ được giới hạn bởi mặt σ . Aùp dụng ba công thức Green (2.18) (2.19) và (2.20) cho trường hợp này. Tại các điểm nằm trong τ thế khối V sẽ thỏa mãn phương trình Possion : 4V fpi δ∆ = − ∫∫ ∑ ∑dV R pV ii 24 1)( pi 50 Do đó trong 3 công thức Green trên đây, tích phân khối có chứa V∆ là : 1 4 4 ( )dVd f V p r rτ τ τ τ pi δ pi− ∆ = =∫∫∫ ∫∫∫ Nhờ đó, các công thức Green (2.18), (2.19) và (2.20) nay có dạng : 1 1 4 ( )dV dV d V p r dn dn rσ σ pi    − = −      ∫∫ P ở ngoài (2.27) 1 1 0dV dV d r dn dn rσ σ    − =      ∫∫ P ở trong (2.28) 1 1 2 ( )dV dV d V p r dn dn rσ σ pi    − = −      ∫∫ P trên σ (2.29) Công thức Green (2.27) hay ở chỗ nó cho phép xác định thế bên ngoài của vật không phụ thuộc vào mật độ δ . Ngoài ra, qua công thức trên, ta thấy thế khối V của vật có thể biểu diễn qua hai thế: Thế lớp đơn với mật độ 1 4 dV dnpi và thế lớp kép với mật độ 1 4 V pi trên σ . Qua (2.28) ta thấy thế bên trong vật không thể xác định qua tích phân mặt. §5. Công thức Green biến đổi theo Molodensky. Sử dụng tích phân Gauss, ông M.S Molodensky đã biến đổi công thức Green (2.27) để nó áp dụng đúng cho cả trường hợp điểm quan sát ở bên ngoài lẫn trên mặt σ bằng cách đưa hiệu (V - V ) thay cho V trong (2.27). V là hằng số, bằng giá trị của thế V tại điểm P trên mặt σ . Công thức (2.27) nay có dạng : ( )1 1 1( ) 4 dV dV p V V dr dn dn rσ σpi    = − − −       ∫∫ (2.30) Chúng ta hãy kiểm chứng rằng công thức trên đây thỏa mãn hai trường hợp : điểm quan sát P ở ngoài và ở trên mặt σ . 51 a/ Khi điểm P ở ngoài σ, thì trong (2.30), tích phân đã đưa vào là : 1 1 0d dV d V d dn r dn rσ σ σ σ   = =        ∫∫ ∫∫ Do tích phân Gauss bằng 0, khi điểm quan sát P ở ngoài mặt σ . Công thức (2.30) trở thành công thức (2.27). b/ Khi điểm P ở trên σ, tích phân Gauss : 1 2d d dn rσ σ pi Ω = = −    ∫∫ Cho nên ta có : 1 2dV d V dn rσ σ pi   = −    ∫∫ Và công thức (2.30) sẽ trở thành công thức (2.29) cho trường hợp P trên σ. §6. Các hằng số Stokes. Chúng ta hãy quay về công thức Green thứ hai (2.13). Trong đó, nay chúng ta coi Vi là thế khối V của khối lượng chứa đầy trong thể tích τ giới hạn bởi mặt σ . Mật độ khối lượng nói trên ký hiệu là δ . Còn Ui là hàm tùy ý điều hòa trong τ . Khi đó : 0iU∆ = , còn 4V fpi δ∆ = − . Ta có : 4 ii i dUdVf U d U V d dn dnτ σ pi δ τ σ − = −  ∫∫∫ ∫∫ (2.31) Các tích phân iI U d τ δ τ= ∫∫∫ gọi là các hằng số Stokes. Các hằng số này có tính chất hay ở chỗ ta có thể xác định chúng mà không cần phải biết sự phân bố khối lượng ra sao. Qua công thức (2.31) ta thấy muốn xác định chúng, ta cần phải biết mặt σ giới hạn vật cho trước, giá trị V và đạo hàm trên bề mặt dV dn . Ta hãy giải thích ý nghĩa vật lý của một số hằng số Stokes. Cho Ui =1 khi đó : 0I d M τ δ τ= =∫∫∫ - khối lượng của vật. 52 Thay 0I M= và Ui=1 vào công thức (2.31) ta có : (2.32) Biểu thức trên gọi là công thức Gauss. Nó cho thấy rằng khối lượng có thể xác định được mà không cần phải biết mật độ. Để xác định khối lượng cần phải biết dạng mặt σ và giá trị đạo hàm theo pháp tuyến của hàm V trên σ . Cho hàm Ui lần lượt bằng ξ, η, ζ tọa độ điểm chạy trong I, ta nhận được các hằng số Stockes bậc 1 : 1I d τ δξ τ= ∫∫∫ , 1I d τ δη τ= ∫∫∫ , 1I d τ δζ τ= ∫∫∫ (2.33) Liên hệ với công thức xác định tọa độ khối tâm trong cơ học : 0 1 d M τ ξ δξ τ= ∫∫∫ ; 0 1 dM τ η δη τ= ∫∫∫ ; 0 1 d M τ ζ δζ τ= ∫∫∫ Ta thấy hằng số Stokes bậc 1 xác định tọa độ khối tâm. Bây giờ cho Ui bằng ηζ , ξη , ξζ và 2 2iU ξ η= − , 2 2 2 2i U ξ ηζ += − Ta sẽ có các hằng số Stokes bậc hai sau đây : 2I d τ δηζ τ= ∫∫∫ , 2I d τ δξη τ= ∫∫∫ , 2I d τ δξζ τ= ∫∫∫ 2 2 2 2 2 I d τ ξ ηδ ζ τ += −    ∫∫∫ (2.34) ( )2 22I d τ δ ξ η τ= −∫∫∫ Trong cơ học, 3 tích phân đầu chính là mômen quán tính ly tâm của vật. Bây giờ để giải thích ý nghĩa hai tích phân còn lại, ta hãy chọn hệ tọa độ xyz với trục z trùng với trục cực Trái đất, còn x và y nằm trong mặt phẳng xích đạo. Trong cơ học, mômen quán tính đối với trục cực Trái đất bằng : ( )2 2C d τ δ ξ η τ= +∫∫∫ 4 dVfM d dnσ pi σ− = ∫∫ 53 Còn mômen quán tính đối với trục đi qua xích đạo là : ( ) τζηδ τ dA ∫∫∫ += 22 ( ) τξζδ τ dB ∫∫∫ += 22 Nhờ các biểu thức của A, B và C trên đây, ta có thể viết lại : ( )2 22 2 2 22 22 2 2 A BI d d C τ τ ξ η δδ ζ τ ζ ξ η τ + += − = − − = −    ∫∫∫ ∫∫∫ ( )2 22I d B A τ δ ξ η τ= − = −∫∫∫ Vậy, tóm lại các hằng số Stokes có thể xem như là các đại lượng xác định khối lượng của vật thể, tọa độ khối tâm và hiệu các mômen quán tính. Nhiệm vụxác định các hằng số Stokes là một trong những nhiệm vụ quan trọng của trắc địa vũ trụ.