Luyện thi Đại học Phần 1. Mở đầu về nguyên hàm

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức = = =( ) ' '( )dy df x y dx f x dx Ví dụ:
d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau
( ) ( )12 2 2 2 d x dx dx d x= ⇒ =
( ) ( )13 3 3 3 d x dx dx d x= ⇒ =
( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 12 2 2 2xxdx d d x d x a d a x = = = ± = − −   
( ) ( ) ( )32 3 3 31 1 13 3 3 3xx dx d d x d x a d a x = = = ± = − −   
( ) ( ) ( )ax1 1 ln ax ln ax d bdx dxd b d x ax b a b a x + = = + → = + +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os2 ... 2 b dx b d b d b xdx d c x a a + = + + = − + → = −
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1cos cos sin cos2 sin 2 ... 2 ax b dx ax b d ax b d ax b xdx d x a a + = + + = + → =
( ) ( ) ( )ax 2 21 1 1ax ...2b ax b ax b x xe dx e d b d e e dx d ea a+ + += + = → =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 ax1 1 1 tan tan 2 ... 2cos cos cos 2 d bdx dxd ax b d x a aax b ax b x + = =  +  → =  + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 ax1 1 1 cot cot 2 ... 2sin sin sin 2 d bdx dxd ax b d x a aax b ax b x + = = −  +  → = −  + + II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và được viết là ( )f x dx∫ . Từ đó ta có : ( ) ( )f x dx F x=∫ Nhận xét: Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ( ) ( )f x dx F x C= +∫ , khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho. Ví dụ:
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x
Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau: a) Tính chất 1: ( )( ) ( )f x dx f x′ =∫ Chứng minh: 01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ) ( )( ) ( ) ( )f x dx F x f x′ ′= = ⇒∫ đpcm. b) Tính chất 2: [ ]( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ Chứng minh: Theo tính chất 1 ta có, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x′ ′ ′+ = + = +∫ ∫ ∫ ∫ Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x). Từ đó ta có [ ]( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ c) Tính chất 3: ( ). ( ) ( ) , 0k f x dx k f x dx k= ∀ ≠∫ ∫ Chứng minh: Tương tự như tính chất 2, ta xét ( )( ) . ( ) . ( ) ( )k f x dx k f x k f x dx k f x dx′ = → = ⇒∫ ∫ ∫ đpcm. d) Tính chất 4: ( ) ( ) ( ) ..f x dx f t dt f u du= =∫ ∫ ∫ Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm, mà không phụ thuộc vào biến. IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
Công thức 1: dx x C= +∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( ) 1x C dx x C′+ = ⇒ = +∫ Chú ý: Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được du u C= +∫
Công thức 2: n 1 n xx dx C n 1 + = + +∫ Chứng minh: Thật vậy, do 1 1 1 1 n n n nx xC x x dx C n n + +′  + = ⇒ = +  + +  ∫ Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được 1 1 n n uu du C n + = + +∫ +) Với 1 2 2 2 2 2 dx dx du n x C u C x x u = − ⇒ = = + ←→ = +∫ ∫ ∫ +) Với 2 2 1 12 dx dun C C x x u u = − ⇒ = − + ←→ = − +∫ ∫ Ví dụ: a) 3 2 3 x x dx C= +∫ b) ( ) 54 4 22 2 5 x x x dx x dx xdx x C+ = + = + +∫ ∫ ∫ c) 1 1 22 2 2 23 3 3 33 312 2 2 3 x x x x x x xdx dx xdx x dx C x C x x − − = − = − = − + = − +∫ ∫ ∫ ∫ d) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 4 2 112 1 2 1 2 1 2 5 nu du xI x dx x d x I C + = + = + + → = +∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! e) ( ) ( ) ( ) ( ) 2011 2010 2010 1 311 3 1 3 1 3 3 2011 nu du xI x dx x d x I C − = − = − − − → = − +∫ ∫ f) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 11 1 1 1 . 2 2 2 1 2 2 12 1 2 1 du u d xdxI I C C x xx x + = = → = − + = − + + ++ + ∫ ∫ g) ( ) ( ) ( )3 32 21 1 2 34 5 4 5 4 5 . 4 5 4 5 4 4 3 8 I x dx x d x I x C x C= + = + + ⇒ = + + = + +∫ ∫
Công thức 3: lndx x C x = +∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( ) 1ln lndxx C x C x x ′+ = ⇒ = +∫ Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được lndu u C u = +∫ + ( ) 1 ln 21 1 2x 2ln ax 1ax ax ln 2 2 2 dx x k Cd ax bdx kb C dxb a b a k x C k x  = + ++  + = = + + → + +  = − − +  − ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) 4 3 31 1 1 2 ln 4 dx x x dx x dx dx x x C x xx x   + + = + + = + + +    ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( )3 21 1 ln 3 2 3 2 3 3 2 3 du u d xdxI I x C x x + = = → = + + + +∫ ∫ c) ( )2 2 22 12 3 3 3 32 2 3 ln 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 d xx x dxdx x dx xdx x x x C x x x x ++ +   = + = + = + = + + + + + + +  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Công thức 4: sinx cosdx x C= − +∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( )cos sin x sinx cosx C dx x C′− + = ⇒ = − +∫ Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được sinu cosdu u C= − +∫ + ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1sin ax sin ax ax cos ax sin 2 os2 2 b dx b d b b C xdx c x C a a + = + + = − + + → = − +∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) ( )32 2 11 1sinx sinx cos 2 1 2 1 2 2 1 d xdx x x dx x xdx dx x dx x x x x −  + + = + + = − + =  − − −  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 5 22 1 cos ln 2 1 5 2 x x x C= − + − + b) ( ) ( )4 33 1 3 1 3sin 2 sin 2 3 sin 2 2 os2 ln 4 3 4 3 4 3 2 4 4 3 2 4 d xdx x dx xdx xd x c x x C x x x −  + = + = + = − + − +  − − −  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ c) sin sinx sin3 2 x x dx + +    ∫ Ta có ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 ; 2 2 2 ; 3 3 3 2 2 2 2 3 x xd dx dx d d x dx dx d x d x dx dx d x   = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =        Từ đó : ( ) ( )1 1sin sinx sin3 sin sin 2 sin3 2 sin sin 2 2 sin3 3 2 2 2 2 2 3 x x x x x dx dx xdx xdx d xd x xd x   + + = + + = + +        ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! 1 12cos os2 os3 2 2 3 x c x c x C= − − − +
Công thức 5: cos sinxdx x C= +∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( )in cos cosx inxs x C x dx s C′+ = ⇒ = +∫ Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được cosu sindu u C= +∫ + ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1os ax os ax ax sin ax os2 sin 2 2 c b dx c b d b b C c xdx x C a a + = + + = + + → = +∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) 4 1 5cos sin cos sin x 4 sinx cos 4 5ln 1 1 1 x x x dx xdx dx dx x x x C x x −    − + = − + − = + + − + +   + +    ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) 21 cos 2 sin x os2 sinx sin 2 cos 2 2 x x x dx c xdx dx xdx x x C+ − = + − = − − +∫ ∫ ∫ ∫ c) ( )2 1 os2 1 1 1 1 1 1sin os2 os2 2 sin 2 2 2 2 2 4 2 4 c x xdx dx c x dx x c xd x x x C−  = = − = − = − +    ∫ ∫ ∫ ∫
Công thức 6: 2 tancos dx x C x = +∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( ) 2 21tan tan xcos cos dx x C C x x ′+ = ⇒ = +∫ Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được 2 tan uos du C c u = +∫ +) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 1 tan tan 2 cos cos cos 2 2 d ax bdx dx ax b C x C ax b a ax b a x + = = + + → = + + +∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) 2 2 1 1 cos sin 2 cos sin 2 tan sin cos2 cos cos 2 dx x x dx xdx xdx x x x C x x   + − = + − = + + +    ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 5 41 2 1 22 cos 2 1 5 4 cos 2 1 5 4 2 cos 2 1 4 5 4 d x d xdx dxI dx x x x x x x   − − = + = + = −   − − − − − −  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )2os 1 1tan 2 1 ln 5 4 2 2 du c u x x C→ = − − − + c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2os 2 2 3 21 1 tan 3 2 cos 3 2 2 cos 3 2 2 du c u d xdxI I x C x x − = = − → = − − + − − ∫ ∫
Công thức 7: 2 cot xsin dx C x = − +∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( ) 2 21cot cot xsin dx x C C sin x x ′ − + = ⇒ = − +∫ Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được 2 cot usin du C u = − +∫ +) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 ax1 1 1 cot ax cot 2 sin ax sin ax sin 2 2 d bdx dxb C x C b a b a x + = = − + + → = − + + +∫ ∫ ∫ Ví dụ: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! a) 6 5 5 2 2 1 1 cos 2 2 cos 2 2 sin 2 cot sin sin 2 3 dx x x x dx xdx x dx x x C x x   − + = − + = + + +    ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2sin 2 2 1 31 1 1 cot 1 3 cot 1 3 sin 1 3 3 sin 1 3 3 3 du u d xdxI I x C x C x x − = = − → = − − −  + = − +  − − ∫ ∫ c) 2sin 2 2 22 2cot 2 sin sin 2 2 du u xd dx xI I C x x        = = → = − +                ∫ ∫
Công thức 8: x xe dx e C= +∫ Chứng minh: Thật vậy, do ( )x x x xe C e e dx e C′+ = ⇒ = +∫ Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được u ue du e C= +∫ +) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 ax 1 2 x k x k ax b ax b ax b k x k x e dx e C e dx e d b e C a a e dx e C + + + + + − −  = + = + = + →  = − +  ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ: a) ( ) ( )2 1 2 1 2 12 2 231 4 4 1 12 1 4.2sin 3 sin 3 2 3 sin 3 x x x d xdx e dx e dx dx e d x x x x xx x − + − + − +  − + = − + = − − + − +    ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 11 1 cot 3 8 2 3 xe x x C− += − + + + b) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 3 24 14 os 1 3 4 os 1 3 3 2 os 1 3 1 33 3x x xe c x dx e dx c x dx e d x c x d x+ + ++ − = + − = + − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )3 24 1 sin 1 3 3 3 xe x C+= − − +
Công thức 9: ln x x aa dx C a = +∫ Chứng minh: Thật vậy, do ln ln ln ln x x x x xa a a aC a a dx C a a a ′  + = = ⇒ = +    ∫ Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp ( )u u x= , ta được u ua du a C= +∫ +) ( )1 1kx m kx m kx ma dx a d kx m a C k k + + + = + = +∫ ∫ Ví dụ: a) ( ) ( ) ( ) 3 23 2 3 2 3 21 1 2 32 3 2 3 2 3 3 23 2 3ln 2 2ln3 u x x a dux x x x x xI dx dx dx d x d x I C= + = + = + → = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b) ( ) ( ) ( ) 1 21 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 4 31 3 2 32 2 3 2 1 2 4 32 4 2ln 2 4 x x x x x x x xe dx dx e dx d x e d x e C − − + − + − + + − = − = − − − + = − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp • 0dx C=∫ • dx x C= +∫ • 1 , ( 1) 1 x x dx C + = + ≠ − +∫ α α α α • 1 lndx x C x = +∫ • x xe dx e C= +∫ • (0 1) ln x x aa dx C a a = + < ≠∫ • cos sinxdx x C= +∫ • sin cosxdx x C= − +∫ • 2 1 tan cos dx x C x = +∫ • 2 1 cot sin dx x C x = − +∫ • 1 cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C a a + = + + ≠∫ • 1 sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C a a + = − + + ≠∫ • 1 , ( 0)ax b ax be dx e C a a + + = + ≠∫ • 1 1 lndx ax b C ax b a = + + +∫ LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Ví dụ 1: [ĐVH]. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng a) ( ) (4 5) ( ) (4 1) x x F x x e f x x e  = −  = − b) 4 5 3 ( ) tan 3 5 ( ) 4 tan 4 tan 3 F x x x f x x x  = + −  = + + c) 2 2 2 2 4( ) ln 3 2( ) ( 4)( 3) xF x x xf x x x   + =    +  − =  + + d) 2 2 2 4 2 1( ) ln 2 1 2 2( 1)( ) 1 x xF x x x xf x x  − + =  + +  − =  + Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm các nguyên hàm sau 1) 2 1– 3 ..........................................................................x x dx x   + =    ∫ 2) 4 2 2 3 .................................................................................. x dx x + =∫ 3) 2 1 ................................................................................... x dx x − =∫ 4) 2 2 2 ( 1) .............................................................................. x dx x − =∫ 5) ( )3 4 ......................................................................................x x x dx+ + =∫ 6) 3 1 2 ...............................................................................dx x x   − =    ∫ 7) 22sin ............................................................. 2 x dx =∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! 8) 2tan ............................................................................xdx =∫ 9) 2cos ................................................................xdx =∫ 10) 2 2 1 ......................................................................................... sin .cos dx x x =∫ 11) 2 2 cos 2 .................................................................................................................................... sin .cos x dx x x =∫ 12) 2sin 3 cos 2 ............................................................................................x xdx =∫ 13) ( )– 1 .............................................................................x xe e dx =∫ 14) 22 .......................................................................................cos x x ee dx x −  + =   ∫ 15) 3 1 2 ...................................................................................................................... 1 x xe dx x + + =  −  ∫ Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) 3( ) 4 5; (1) 3f x x x F= − + = b) pi= − =( ) 3 5cos ; ( ) 2f x x F c) 23 5 ( ) ; ( ) 1 x f x F e x − = = d) 2 1 3 ( ) ; (1) 2 x f x F x + = = e) −= − = 3 2 1( ) ; ( 2) 0xf x F x f) 1( ) ; (1) 2f x x x F x = + = − g)  pi= =    ( ) sin2 .cos ; ' 0 3 f x x x F h) 4 3 2 3 2 5( ) ; (1) 2x xf x F x − + = = i) 3 3 2 3 3 7 ( ) ; (0) 8 ( 1) x x x f x F x + + − = = + k) 2 pi pi( ) sin ; 2 2 4 xf x F  = =    BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) pi = + = =    2( ) cos ; ( ) sin ; 3 2 g x x x x f x x x F b) pi= + = =2( ) sin ; ( ) cos ; ( ) 0g x x x x f x x x F c) 2( ) ln ; ( ) ln ; (2) 2g x x x x f x x F= + = = − Bài 2: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): a) 3 2 2 ( ) (3 2) 4 3. . ( ) 3 10 4 F x mx m x x Tìm m f x x x  = + + − +  = + − b) 2 2 ( ) ln 5 . .2 3 ( ) 3 5 F x x mx Tìm mx f x x x  = − + + = + + Bài 3: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! a) 2 2 2 ( ) ( ) 4 . , , . ( ) ( 2) 4 F x ax bx c x x Tìm a b c f x x x x  = + + −  = − − b) 2( ) ( ) . , , . ( ) ( 3) x x F x ax bx c e Tìm a b c f x x e  = + +  = − Bài 4: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): a) 2 2 2 2 ( ) ( ) . , , . ( ) (2 8 7) x x F x ax bx c e Tìm a b c f x x x e − −  = + +  = − − + b) 2 2 ( ) ( ) . , , . ( ) ( 3 2) x x F x ax bx c e Tìm a b c f x x x e − −  = + +  = − + Bài 5: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): a) ( ) ( 1)sin sin2 sin3 . , , .2 3 ( ) cos b c F x a x x x Tìm a b c f x x   = + + +   = b) 2 2 ( ) ( ) 2 3 . , , .20 30 7 ( ) 2 3 F x ax bx c x Tìm a b cx x f x x  = + + −  − + = − Bài 6: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 1) ( )51 2I x x dx= +∫ 2) 3 52 71 3I x dxx = −  ∫ 3) ( )5 2 3 33 4 2I x x x dx= − +∫ 4) 34 25 1 24 xI x dx xx   = − +     ∫ 5) 5 1 x + dx x I  =     ∫ 6) 4 6 2 2 3xI dx x + = ∫ Bài 7: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 7) ( ) 2 7 1x I dx x − = ∫ 8) ( )238 2 1I x dx= −∫ 9) ( ) 22 9 2 4x I dx x + = ∫ 10) 4 3 2 10 2 3 2 1x x xI dx x + − + = ∫ 11) 2 11 x x x xI dx x − − = ∫ 12) 12 3 1 1I dx x x   = −    ∫ Bài 8: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 13) 3 13 1I x dx x   = −    ∫ 14) 2 14 3 1I x dx x   = +    ∫ 15) ( )23 15 2 3x x I dx x − = ∫ 16) ( )( )416 2I x x x x dx= − −∫ 17) 17 51(2 3)I dxx= −∫ 18) 18 41( 3)xI dxx += −∫ Bài 9: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 19) 19 pi sin 2 7 xI dx = +   ∫ 20) 20 sin 2 sin 3 xI x dx = +   ∫ 21) 21 sin 2 xI x dx = +    ∫ 22) 22 pi 1 sin 3 sin 4 2 xI x dx + = + −      ∫ 23) 223 cos 2 xI dx= ∫ 24) 224 sin 2 xI dx= ∫ Bài 10: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 26) 26 2cos 4 dxI x = ∫ 27) ( )27 2cos 2 1 dxI x = − ∫ 28) ( )228 tan 2I x x dx= +∫ 29) 429 tanI x dx= ∫ 30) 230 cotI x dx= ∫ 31) ( )31 2sin 2 3 dxI x = +∫ Bài 11: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 32) 32 1 cos6 dxI x = − ∫ 33) 2 233 2 1 cot dxI x x x   = + +    ∫ 34) 234 1 dx 3 2 I x x   = + +  ∫ 35) 235 1 sin 2 5 I x dx x   = −  −  ∫ 36) 36 2 dx 3 xI x + = − ∫ 37) 37 2 1 4 3 xI dx x − = +∫ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! Bài 12: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 38) 38 6 5 xI dx x = − ∫ 39) 2 39 11 3 x xI dx x + + = +∫ 40) 2 40 2 5 1 x xI dx x − + = − ∫ 41) 3 2 41 3 2 1 2 x x xI dx x + + + = +∫ 42) 3 2 42 4 4 1 2 1 x xI dx x + − = +∫ 43) 2 43 4 6 1 2 1 x xI dx x + + = +∫ Bài 13: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 44) 2 344 xI e dx− += ∫ 45) 3 145 cos(1 ) xI x e dx− = − + ∫ 46) 2 1 46 . xI x e dx− += ∫ 47) 47 2 2 sin (3 1) xI e dx x −   = +  +  ∫ 48) 48 22 cos x x eI e dx x −  = +    ∫ 49) ( )1 2 4 349 2 x xI e dx− += −∫ Bài 14: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 50) 50 1 2x I dx= ∫ 51) 51 2 7 x x I dx= ∫ 52) 2 152 3 xI dx+= ∫