Giới hạn của hàm số - Hàm số liên tục - Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số

B. Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục ? Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số B. Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm Xét bài toán: Cho hàm số và một dãy bất kì những số thực khác 2 (tức là với sao cho Hãy xác định các giá trị tương ứng của hàm số và tính a. Giới hạn hữu hạn: 22 8( ) 2 xf x x − = − 1 2, ,..., ,...nx x x *n N∀ ∈ lim ( )nf x ? ),...(),...,(),( 21 nxfxfxf lim 2nx = 2≠nx Giải :TXĐ: Vì Do đó: Ta có: { }\ 2R 2nx ≠ 22( 4)( ) 2( 2) 2 n n n n xf x x x − = = + − 1 1 2 2( ) 2( 2) ; ( ) 2( 2) ;..., ( ) 2( 2);...n nf x x f x x f x x= + = + = + lim ( ) lim 2( 2) 2lim( 2) 8n n nf x x x= + = + = 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm a. Giới hạn hữu hạn: với mọi n.nên Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số Định nghĩa 1: Giả sử (a; b) là khoảng chứa điểm và f là một hàm số xác định trên . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới (hay tại điểm ) nếu với mọi dãy số trong tập hợp (tức là và với mọi n) mà ta đều có Khi đó ta viết: hoặc khi { }0\);( xba 0x 0x 0x 0xxn ≠ { }0\);( xba )( nx 0lim xxn = Lxf n =)(lim Lxf xx = → )(lim 0 Lxf →)( 0xx → );( baxn ∈ Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số Ví dụ 1: Tìm 0 1lim( sin ) x x x→ ? Giải Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số Ví dụ 1: Tìm Giải: Xét hàm số TXĐ: Với mọi mà với mọi n và ta có . Vì và nên Do đó: 1( ) sinf x x x = 0 1lim( sin ) x x x→ { }\ 0R ( )nx 0nx ≠ lim 0nx = 1( ) sinn n n f x x x = 1( ) sinn n n n f x x x x = ≤ lim 0nx = lim ( ) 0nf x = 0 0 1lim ( ) lim sin 0 x x f x x x→ →   = = ữ  Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số • Ví dụ 2: Tìm 2 1 3 2lim 1x x x x→− + + + ? Giải Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số Ví dụ 2: Tìm Giải: Xét hàm số TXĐ: Với mọi và Ta có: Do đó Vậy { }\ 1R − 2 1 3 2lim 1x x x x→− + + + lim 1nx = −( ), 1n nx x ≠ − 2 3 2( ) 2 1 n n n n n x xf x x x + + = = + + 2 3 2( ) 1 x xf x x + + = + lim ( ( ) lim ( 2) 1n nf x x= + = 2 1 3 2lim 1 1x x x x→− + + = + ?)(lim 0 = → xf xx ?)(lim 0 = → xf xx( )f x x= ( )f x c= Nhận xét: 1. Nếu với , trong đó c là hằng số thì với 2. Nếu với , thì với ( )f x c= Rx∀ ∈ 0x R∀ ∈ 0 lim ( ) x x f x c → = ( )f x x= x R∀ ∈ 0x R∀ ∈ 0 0lim ( )x x f x x→ = Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số • 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm b. Giới hạn vô cực: * Định nghĩa 2: Cho (a; b) là một khoảng chứa điểm và f là một hàm số xác định trên mà thì mà thì 0x { }0( ; ) \a b x { } 0 0lim ( ) ( ), ( ; ) \n nx x f x x x a b x→• = +∞ ⇔ ∀ ∈ lim ( )nf x = + ∞ { } 0 0lim ( ) ( ) , ( ; ) \n nx x f x x x a b x→• = − ∞ ⇔ ∀ ∈ 0lim nx x= lim ( )nf x = − ∞ 0lim nx x= ví dụ 3 Tìm 21 )1( 3lim − → xx ?Giải Tìm Giải: Xét hàm số Với mọi dãy số mà với mọi n và Ta có: Vì và với mọi n nên Do đó 21 3lim ( 1)x x→ − 2 3( ) ( 1) f x x = − ( )nx 1nx ≠ lim 1nx = 2 3( ) ( 1)n n f x x = − 2lim3 0 , lim ( 1) 0nx> − = 2( 1) 0x − > lim ( )nf x = + ∞ 21 1 3lim ( ) lim ( 1)x x f x x→ → = = + ∞ − ví dụ 3 ví dụ 4 Tìm ? Giải 22 )2( 5lim + − −→ xx 22 5lim ( 2)x x→− − = − ∞ + ví dụ 4 Tìm Giải: Tương tự ví dụ 3 ta có: 22 )2( 5lim + − −→ xx Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số 2. Giới hạn của hàm số tại vô cực: Định nghĩa 3: Giả sử hàm số f xác định trên . Ta thấy rõ ràng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dẫn đến nếu với mọi dãy số trong khoảng (tức là ) mà ta đều có Các giới hạn , + ∞ ( ; )a + ∞ ( )nx ( ; )a + ∞ lim nx = + ∞ lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) x x x x x f x f x f x L f x f x →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →−∞ = + ∞ = −∞ = = + ∞ = − ∞ được định nghĩa tương tự axn  Lxf n =)(lim Khi đó ta viết: a. b. Nhận xét: a. b. c. d. lim x x →+∞ = + ∞ lim x x →−∞ = − ∞ 1lim 0 x x→+∞ = 1lim 0 x x→−∞ = lim k x x →+∞ = + ∞ lim k x x →−∞ +∞ =  −∞ nếu k lẻ nếu k chẵn 1lim 0k x x→+∞ = 1lim 0k x x→−∞ = ví dụ 5 c. d. a. b. c. 0 2 1lim . x x x cos n→   ữ  2 1 2 5 3lim 1x x x x→ − + − 2 2lim 2x x x x→+∞ − − Luyện tập Tính các giới hạn sau: