Giáo trình toán cao cấp

Chương 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ I. Hàm số một biến số II. Giới hạn của hàm số III. Tính liên tục của hàm số I. Hàm số một biến số  1. Khái niệm hàm số 2. Một số tính chất cho hàm số 3. Các hàm sơ cấp 1. Khái niệm hàm số Cho tập X  , X  . Hàm f có miền xác định X là một quy tắc cho tương ứng mỗi số x  X với một và chỉ một số thực y. Ký hiệu: f: X   x  y x: biến độc lập y: biến phụ thuộc 2. Một số tính chất cho hàm số Hàm số đơn điệu Hàm chẵn (lẻ) Hàm tuần hoàn Hàm bị chặn Hàm hằng 3. Các hàm sơ cấp 3.1 Các phép toán số học của hàm số + Tổng (hiệu) + Tích (thương) 3.2 Hàm hợp, hàm ngược: Hàm hợp: cho hai hàm f(x) xác định D, u(x) xác định trên E sao cho f(D) E Hàm hợp của hai hàm f và u là hàm ký hiệu u.f với (u.f)(x) = u(f(x)) Hàm ngược: + I là hàm đồng nhất trên D nếu I(x)=x, xD + Nếu tồn tại hàm g thỏa g.f=I, f.g=I thì g được gọi là hàm ngược của hàm f, ký hiệu:f-1 3. Các hàm sơ cấp 3. Các hàm sơ cấp 3.3 Hàm sơ cấp cơ bản: Hàm lũy thừa: y = x,    Hàm mũ: y = ax (a > 0, a 1) Hàm lôgarit: y = logax, (0 0 sao cho với x(a- ,a+ ) và xa thì u(x)  b. Khi đó: 2.2. Các định lý về giới hạn Định lý 6: Cho ba hàm f(x), g(x), h(x). Giả sử trên miền xác định chung ta có: + f(x) g(x) h(x) + Khi đó: 2.3. Giới hạn thông dụng Hai giới hạn cơ bản: 2.3. Giới hạn thông dụng Giới hạn vô cùng của một số hàm sơ cấp Hàm lũy thừa + >0: +  1 +01: + 0<a<1: Hàm lượng giác ngược 2.3. Giới hạn thông dụng Giới hạn vô cùng của một số hàm sơ cấp Hàm lượng giác Hàm phân thức hữu tỉ 2.4. Vô cùng bé, vô cùng lớn Định nghĩa: Hàm số (x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x  a nếu Hàm số (x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x  a nếu 2.4. Vô cùng bé, vô cùng lớn Tính chất Tổng hai VCB là VCB Tích một VCB và một đại lượng bị chặn là một VCB Tích hai VCL là VCL Tổng một VCL và một đại lượng bị chặn là một VCL Nếu (x) là một VCB và (x) 0 thì 1/ (x) là VCL và ngược lại 2.4. Vô cùng bé, vô cùng lớn Định nghĩa: Cho (x), (x) là hai VCB khi x  a. Giả sử Nếu L = 0: ta nói (x) là VCB cấp cao hơn (x) Nếu L=1: ta nói (x) và (x) là hai VCB tương đương Nếu L hữu hạn khác 0: ta nói (x) và (x) là hai VCB cùng bậc 2.4. Vô cùng bé, vô cùng lớn Định lý: (x) là một VCB tương đương (x) khi x  a khi và chỉ khi (x) = (x)+0((x)) Định lý: Giả sử khi x  a ta có các cặp VCB tương đương và nếu tồn tại thì III. Tính liên tục của hàm số 1. Các định nghĩa 2. Các tính chất (SGK) 1. Các định nghĩa Định nghĩa 1: Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu: i) f(x) xác định tại x0 ii) Định nghĩa 2: Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu: i) f(x) xác định tại x0 ii) 1. Các định nghĩa Định nghĩa 3: Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên (a,b) nếu liên tục tại mọi x (a,b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên [a,b] nếu liên tục trên (a,b) và liên tục phải tại a, liên tục trái tại b. Tính chất: Nếu f(x), g(x) liên tục tại x0 thì thì tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm này cũng liên tục tại x0. Hàm hợp của hai hàm số liên tục là một hàm liên tục. Hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của nó. BÀI TẬP Bài 1: Tính các giới hạn sau: BÀI TẬP Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau: