Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Năm học 2014 – 2015 Môn: Toán 9

PHÒNG GD&ĐT TP SA ĐÉC TRƯỜNG THCS TRẦN THỊ NHƯỢNG ĐỀ THAM KHẢO (Đề gồm 2 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN: TOÁN 9 Ngày thi: 5/ 4/ 2015 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đề) ĐỀ BÀI: Bài 1. (3 điểm) a) Cho A = 13 - 2 . Tính . b) Rút gọn biểu thức B = Bài 2. (2 điểm) a) Chứng minh rằng tổng của hai số tự nhiên chia hết cho 11. b) Phân tích đa thức sau thành nhân từ: x4 + 2x2 – 3 Bài 3. (2 điểm) a) Tính tổng sau: M = b) Tìm số sao cho Bài 4. (2 điểm) Có hai đội cờ thi đấu với nhau. Mỗi đối thủ của đội này phải thi đấu một ván cờ với mỗi đấu thủ của đội kia. Cho biết tổng số ván cờ bằng 4 lần tổng số đấu thủ của cả hai đội và một trong hai đội có số đấu thủ lẻ. Vậy mỗi đội có bao nhiêu đối thủ ? Bài 5. (3 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) b) (x + 3)3 – (x + 1)3 = 56 c) Bài 6. (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB= 6cm, BC= 10 cm, CA= 8cm. Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; I là tâm của đường trong nội tiếp tam giác ABC. Tính độ dài IO ? Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho = . Chứng minh: Tam giác DBM đồng dạng với tam giác MCE. Tia DM là tia phân giác của góc BDE. Bài 7. (3 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy điểm I thuộc đoạn AO sao cho AO = 3.IO. Qua I vẽ dây cung CD vuông góc với AB, trên đoạn CD lấy điểm K tuỳ ý. Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M. 1. Chứng minh: Bốn điểm I, K, M, B cùng thuộc một đường tròn. 2. Chứng minh rằng tâm F của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC nằm trên một đường thẳng cố định. 3. Khi K di động trên đoạn CD, tính độ dài nhỏ nhất của đoạn DF. HẾT Họ và tên giám thị 1: .......................................... Chữ ký: .................. Họ và tên giám thị 2: .......................................... Chữ ký: .................. Họ và tên thí sinh: ..................................... Số báo danh: ……… Giám thị coi thi không cần giải thích gì thêm. PHÒNG GD&ĐT TP SA ĐÉC TRƯỜNG THCS TRẦN THỊ NHƯỢNG ĐÁP ÁN ĐỀ THI THAM KHẢO HSG CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2014- 2015 Câu Nội dung Điểm 1 a) = 1 đ b) B = 2 đ 2 a) =10a+ b+ 10b+ a= 11(a+b) nên chia hết cho 11. 1đ b) x4 + 2x2 – 3 = [(x2)2 + 1]2 – 22 = (x - 1)(x + 1)(x2 + 3) 1đ 3a b Ta có Vậy a= 3, b=7. Số = 37 2 đ 4 Gọi x, y là số đối thủ của mỗi đội (ĐK: x,y là số nguyên dương). Vì mỗi đấu thủ của đội này phải thi đấu một ván cờ với mỗi đối thủ của đội kia, nên tổng số ván cờ đã thi đấu là: x.y. Theo giả thiết, ta có: xy= 4(x+y)(x-4)(y-4)= 16 = 1.16= 2.8=4.4 x hoặc y là số lẻ, nên ta có thể đồng nhất x- 4= 1 và y- 4=16 Suy ra x= 5; y= 10 Vậy: Một đội có 5 đấu thủ, đội kia có 20 đối thủ. 2 đ 5 a) 2. = 8 (1) * Nếu x 1, (1) 2(1- x) = 8 x = - 3 (thỏa mãn đk) * Nếu x > 1, (1) 2 (x - 1) = 8 x = 5 (thỏa mãn đk) Vậy, S = {- 3; 5} 1 đ b)(x + 3)3 – (x + 1)3 = 56 x3 + 9x2 +27x + 27 – x3 – 3x2 – 3x – 1 = 56 6x2 + 24x + 26 = 56 6(x2 + 4x - 5) = 0 x(x- 1) + 5(x - 1) = 0 (x - 1)(x + 5) = 0 x = 1 hoặc x = - 5.Vậy S = {1; - 5} 1 đ c) Từ pt (1) suy ra hay Từ pt (2) suy ra Nếu Nếu . Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: và 1 đ 6 1) Trong tam giác ABC có . Vậy tam giác ABC vuông tại A (theo ĐL Pytago đảo) Ta có I là giao điểm của ba phân giác của tam giác ABC, kẻ tại H, tại K, tại L. Suy ra tứ giác ALIK là hình vuông cạnh r. Ta có BL= BH= AB- r= 6- 2= 4cm. O là trung điểm của BC. Nên BO= 5cm, HO= BO- BH= 1cm Trong tam giác OIH vuông tại H có: 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2) Vẽ hình đúng a) Mà Mặt khác: (do ABC cân) Nên DBM đồng dạng MCE (g.g) 2đ Từ a) suy ra: Do BM = MC nên Mà , nên DBM đồng dạng DME (c.g.c) Suy ra . Vậy DM là tia phân giác của . 1 đ Câu 7.1 1. Chứng minh : Bốn điểm I, K, M, B cùng thuộc một đường tròn Ta có ( vì chắn nửa đường tròn (O) 1 đ Lại có (gt) nên các tam giác KMB, KIB đều nội tiếp một đường tròn đường kính là cạnh huyền BK. Hay bốn điểm I, K, M, B cùng thuộc một đường tròn. Câu 7.2 2. Chứng minh : Tâm F của (CKM) thuộc một đường cố định Vẽ đường kính CE của (CKM) , ta có KE // AB ( vì cùng CD) (đ/vị) 1 đ Lại có (cùng chắn cung của (F) ) (cùng chắn cung của (O) ) Suy ra C, E, B thẳng hàngC, F, B thẳng hàng Suy ra F thuộc đường thẳng CB cố định Câu 7.3 3. Tính độ dài ngắn nhất của DF Kẻ DHCB tại H DH không đổi Ta có DF DH nên DF ngắn nhất bằng DH 1 đ Ta có Lại có DH.CB=BI.CD ( bằng nửa SCBD) DH. Vậy DF ngắn nhất bằng Ghi chú: Học sinh làm bài theo cách khác hợp lí đạt điểm tối đa.