Đề cương môn xác suất thống kê

Ths. Nguyeãnãã Coângââ Trí Copyright 2001 1. CAÙÙC PHEÙÙP THÖÛÛ NGAÃU NHIEÂNà  (Xem) 2. KHOÂNG GIAN MAÃU à (Xem) 3. BIEÁÁN COÁÁ (Xem) 4. KHAÙÙI NIEÄÄM VEÀÀ XAÙÙC SUAÁÁT (Xem) 5. CAÙÙC TIEÂN  ÑEÀÀ XAÙÙC SUAÁÁT (Xem) 6. MOÄÄT VAØØI ÑÒNH LYÙÙ XAÙÙC SUAÁÁT QUAN TROÏÏNG (Xem) 7. PHEÙÙP GAÙÙN XAÙÙC SUAÁÁT (Xem) 8. XAÙÙC SUAÁÁT COÙÙ ÑIEÀÀU KIEÄÄN (Xem) 9. CAÙÙC ÑÒNH LYÙÙ VEÀÀ XAÙÙC SUAÁÁT COÙÙ ÑIEÀÀU KIEÄÄN (Xem) 10.BIEÁÁN COÁÁ ÑOÄÄC LAÄÄP (Xem) 11.ÑÒNH LYÙÙ BAYES (Xem) 12.BAØØI TAÄÄP (Xem) XAÙÙC SUAÁÁT CAÊN BAÊ ÛÛN CHÖÔNG 1 q Moäät pheùùp thöûû ñöôïïc thöïïc hieään nhieààu laààn trong cuøøng ñieààu kieään, cho ra cuøøng keáát quaûû thì ta noùùi pheùùp thöûû ñoùù laøø pheùùp thöûû “taáát nhieânâ ”. q Tuy nhieânâ , trong moäät soáá pheùùp thöûû, chuùùng ta khoângâ theåå xaùùc ñònh hoaëëc kieååm soaùùt ñöôïïc giaùù trò cuûûa caùùc bieáán, caùùc keáát cuïïc cuûûa noùù seõõ thay ñoååi qua caùùc laààn thöïïc hieään pheùùp thöûû, maëëc duøø caùùc ñieààu kieään thöïïc hieään pheùùp thöûû gioááng nhau. Caùùc pheùùp thöûû naøøy ñöôïïc goïïi laøø pheùùp thöûû ngaãuã nhieânâ . CAÙÙC PHEÙÙP THÖÛÛ NGAÃU NHIEÂNà  q VÍ DUÏÏ 1.1. Tung moäät ñoààng xu, keáát quaûû coùù theåå laøø saááp, kyùù hieääu S (hay 0), hoaëëc ngöûûa, kyùù hieääu N (hay 1), nghóa laøø moäät trong caùùc phaààn töûû cuûûa taääp {S, N} hay {0, 1}. q VÍ DUÏÏ 1.2. Tung moäät con xuùùc xaééc, keáát quaûû laøø moäät trong caùùc soáá cuûûa taääp {1, 2, 3, 4, 5, 6}. q VÍ DUÏÏ 1.3. Tung moäät ñoààng xu hai laààn, boáán keáát quaûû coùù theåå coùù cuûûa pheùùp thöûû naøøy laøø {SS, SN, NS, NN}, nghóa laøø caûû hai laààn ñeààu saááp, saááp laààn ñaààu, ngöûûa laààn thöùù hai,... CAÙÙC PHEÙÙP THÖÛÛ NGAÃU NHIEÂNà  q VÍ DUÏÏ 1.4. Cho moäät maùùy saûûn xuaáát bu- long, keáát quaûû coùù theåå coùù moäät vaøøi con bu- long bò hoûûng. Vì vaääy, khi moäät con bu-long ñöôïïc saûûn xuaáát, thì con bu-long ñoùù laøø thaøønh phaààn cuûûa taääp {hoûûng, khoângâ hoûûng}. q VÍ DUÏÏ 1.5. Pheùùp thöûû laøø ño löôøøng “tuoååi thoïï” boùùng ñeøøn do moäät coângâ ty saûûn xuaáát, keáát quaûû cuûûa pheùùp thöûû laøø thôøøi gian t (tính baèèng giôøø) trong khoaûûng 0 ≤ t ≤ 4.000. Ta noùùi, khoângâ coùù boùùng ñeøøn naøøo coùù tuoååi thoïï hôn 4.000 giôøø. CAÙÙC PHEÙÙP THÖÛÛ NGAÃU NHIEÂNà  q Taääp W goààm caùùc keáát cuïïc cuûûa moäät pheùùp thöûû ngaãuã nhieânâ , goïïi laøø khoângâ gian maãuã . Coùù nhieààu caùùch moââ taûû khoângâ gian maãuã , nhöng chæ coùù duy nhaáát moäät khoângâ gian maãuã cung caááp haààu heáát caùùc thoângâ tin cuûûa pheùùp thöûû. q VÍ DUÏÏ 1.6. Tung moäät con xuùùc xaééc, khoângâ gian maãuã laøø {1, 2, 3, 4, 5, 6}; moäät khoângâ gian maãuã khaùùc laøø {maëët chaüün, maëët leûû}. q Ta thöôøøng duøøng ñoàà thò ñeåå bieååu dieãnã cho moäät khoângâ gian maãuã vaøø duøøng caùùc soáá ñeåå thay theáá cho caùùc maãuã töïï. KHOÂNG GIAN MAÃU à q VÍ DUÏÏ 1.7. Tung ñoààng xu hai laààn, duøøng 0 ñeåå bieååu dieãnã cho maëët saááp vaøø 1 bieååu dieãnã cho maëët ngöûûa thì khoângâ gian maãuã ñöôïïc bieååu dieãnã baèèng caùùc ñieååm nhö trong hình1-1, chaúúng haïïn (0,1) bieååu dieãnã maëët saááp trong laààn tung thöùù nhaáát vaøø maëët ngöûûa trong laààn tung thöùù hai, nghóa laøø bieååu dieãnã cho SN. KHOÂNG GIAN MAÃU à Ng uy en C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHÖÔNG 1: XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN _____________________________________________________ Ths. Nguyeãn Coâng Trí _______________________ q Bieáán coáá laøø taääp con A cuûûa khoângâ gian maãuã W. Neááu keáát cuïïc cuûûa moäät pheùùp thöûû laøø moäät phaààn töûû cuûûa taääp A thì ta noùùi bieáán coáá A xaûûy ra. Moäät bieáán coáá chæ coùù moäät phaààn töûû cuûûa W thì ñöôïïc goïïi laøø bieáán coáá sô caááp. q VÍ DUÏÏ 1.8. Tung ñoààng xu hai laààn, bieáán coáá xuaáát hieään maëët ngöûûa chæ moäät laààn laøø taääp con cuûûa khoângâ gian maãuã goààm caùùc ñieååm (0,1) vaøø (1,0). BIEÁÁN COÁÁ q Caùùc bieáán coáá ñaëëc bieäät: W laøø bieáán coáá chaééc chaéén vaøø Æ ñöôïïc goïïi laøø bieáán coáá khoângâ theåå xaûûy ra trong pheùùp thöûû. q Caùùc pheùùp toaùùn treânâ bieáán coáá 1. AÈB laøø bieáán coáá “A hay B”. Kyùù hieääu AÈB hay A + B ñöôïïc goïïi laøø hôïïp cuûûa A vaøø B. 2. AÇB laøø bieáán coáá “caûû hai A vaøø B”. Kyùù hieääu AÇB hay A.B, ñöôïïc goïïi laøø giao cuûûa A vaøø B. 3. A/ (hay A) laøø bieáán coáá “khoângâ A”. A/ ñöôïïc goïïi laøø phaààn buøø cuûûa A hay ñoáái laääp cuûûa A. BIEÁÁN COÁÁ 4. A – B = AÇB/ laøø bieáán coáá “A nhöng khoângâ B”. Tröôøøng hôïïp rieângâ , ta coùù A/ = W – A. q Neááu AÇB = Æ, ta noùùi A vaøø B laøø hai bieáán coáá xung khaééc. Moäät hoïï caùùc bieáán coáá A1, A2, ..., An xung khaééc töøøng ñoâiâ neááu AiÇAj = Æ, "i ¹ j. q VÍ DUÏÏ 1.9. Xem laïïi pheùùp thöûû tung ñoààng xu hai laààn, goïïi A laøø bieáán coáá “coùù ít nhaáát moäät maëët ngöûûa xuaáát hieään” vaøø B laøø bieáán coáá “keáát quaûû laààn tung thöùù hai xuaáát hieään maëët saááp” thì A = {NS, SN, NN}, B = {NS, SS}, vaøø ta coùù AÈB = {NS, SN, NN, SS}= W; AÇB = {NS} A/ = {SS}; A – B = {SN, NN} BIEÁÁN COÁÁ Coùù hai höôùùng tieááp caään quan troïïng: 1. HÖÔÙÙNG TIEÁÁP CAÄÄN COÅÅ ÑIEÅÅN. Moäät bieáán coáá coùù theåå xaûûy ra vôùùi k caùùch (soáá bieáán coáá thuaään lôïïi), trong toåång soáá n caùùch coùù khaûû naêngê xaûûy ra nhö nhau (soáá bieáán coáá ñoààng khaûû naêngê ), thì xaùùc suaáát cuûûa bieáán coáá ñoùù laøø tyûû soáá k/n. q VÍ DUÏÏ 1.10. Giaûû söûû ta tung moäät ñoààng xu. Vaääy khaûû naêngê maëët ngöûûa xuaáát hieään trong pheùùp thöûû naøøy laøø bao nhieâuâ ? Coùù 2 bieáán coáá ñoààng khaûû naêngê : saááp, ngöûûa. Maëët ngöûûa chæ moäät caùùch xuaáát hieään maøø thoâiâ . Vaääy, xaùùc suaáát caààn tìm laøø ½. KHAÙÙI NIEÄÄM VEÀÀ XAÙÙC SUAÁÁT 2. HÖÔÙÙNG TIEÁÁP CAÄÄN TAÀÀN SOÁÁ. Neááu sau n laààn thöïïc hieään pheùùp thöûû, vôùùi n ñuûû lôùùn, ta quan saùùt moäät bieáán coáá naøøo ñoùù, thaááy coùù k laààn xuaáát hieään, thì xaùùc suaáát cuûûa bieáán coáá naøøy laøø tyûû soáá k/n. Xaùùc suaáát naøøy coøøn ñöôïïc goïïi laøø xaùùc suaáát thöïïc nghieääm cuûûa bieáán coáá. q VÍ DUÏÏ 1.10. Neááu ta tung moäät ñoààng xu 1.000 laààn vaøø thaááy maëët ngöûûa xuaáát hieään 532 laààn, ta öôùùc löôïïng xaùùc suaáát xuaáát hieään maëët saááp laøø 532/1000 = 0,532. Caûû hai höôùùng tieááp caään coåå ñieåån vaøø taààn soáá ñeààu coùù maëët haïïn cheáá. KHAÙÙI NIEÄÄM VEÀÀ XAÙÙC SUAÁÁT q Vôùùi bieáán coáá A trong lôùùp C goààm caùùc bieáán coáá, keáát hôïïp vôùùi moäät soáá thöïïc thì P ñöôïïc goïïi laøø haøøm xaùùc suaáát vaøø P(A) laøø xaùùc suaáát cuûûa bieáán coáá A, neááu caùùc tieânâ ñeàà sau ñaâyâ ñöôïïc thoûûa. l Tieânâ ñeàà 1. Vôùùi moãiã bieáán coáá A trong lôùùp C, P(A) ≥ 0 (1) l Tieânâ ñeàà 2. Vôùùi W laøø bieáán coáá trong lôùùp C, P(W) = 1 (2) l Tieânâ ñeàà 3. Vôùùi A1, A2, . . . laøø caùùc bieáán coáá xung khaééc töøøng ñoâiâ trong lôùùp C, P(A1ÈA2È ... ) = P(A1) + P(A2) + . . . (3) CAÙÙC TIEÂN  ÑEÀÀ XAÙÙC SUAÁÁT Ng uy en C ng Tr i PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHÖÔNG 1: XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN _____________________________________________________ Ths. Nguyeãn Coâng Trí _______________________ q Ñònh lyùù 1-1: Neááu A1 Ì A2 thì P(A1) ≤ P(A2) vaøø P(A2 – A1) = P(A2) – P(A1). (4) q Ñònh lyùù 1-2: Vôùùi moãiã bieáán coáá A, 0 ≤ P(A) ≤ 1, (5) q Ñònh lyùù 1-3: P(Æ) = 0 (6) q Ñònh lyùù 1-4: Neááu A/ bieáán coáá ñoáái laääp cuûûa A, P(A/) = 1 – P(A) (7) q Ñònh lyùù 1-5: Neááu A = A1ÈA2È...ÈAn, trong ñoùù A1, A2,..., An xung khaééc töøøng ñoâiâ thì P(A) = P(A1) + P(A2) + . . . + P(An) (8) Tröôøøng hôïïp rieângâ , neááu A = W thì P(A1) + P(A2) + . . . + P(An) = 1 (9) MOÄÄT VAØØI ÑÒNH LYÙÙ XAÙÙC SUAÁÁT q Ñònh lyùù 1-6: A vaøø B laøø hai bieáán coáá baáát kyøø P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB) (10) Toåång quaùùt, A1, A2, A3 laøø ba bieáán coáá baáát kyøø P(A1ÈA2ÈA3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1ÇA2) – P(A2ÇA3) – P(A3ÇA1) + P(A1ÇA2ÇA3) (11) q Ñònh lyùù 1-7: A vaøø B laøø hai bieáán coáá baáát kyøø, P(A) = P(AÇB) + P(AÇB/) (12) q Ñònh lyùù 1-8: Neááu bieáán coáá A xaûûy ra daãnã ñeáán moäät trong caùùc bieáán coáá xung khaééc töøøng ñoâiâ A1, A2, .. . , An xaûûy ra, thì P(A)= P(AÇA1)+ P(AÇA2)+...+P(AÇAn) (13) MOÄÄT VAØØI ÑÒNH LYÙÙ XAÙÙC SUAÁÁT q Neááu khoângâ gian maãuã W goààm höõuõ haïïn caùùc keáát cuïïc a1, a2,...,an, theo ñònh lyùù 1-5, P(A1) + P(A2) +...+ P(An) = 1 (14) A1, A2, ..., An laøø caùùc b/c caááp, vôùùi Ai = {ai}. q Ñaëëc bieäät, neááu giaûû thieáát taáát caûû caùùc bieáán coáá sô caááp ñeààu ñoààng khaûû naêngê thì P(Ak) = 1/n, k = 1, 2, (15) q Neááu A laøø bieáán coáá ñöôïïc taïïo thaøønh töøø k bieáán coáá sô caááp, ta coùù P(A) = k/n (16) PHEÙÙP GAÙÙN XAÙÙC SUAÁÁT q VÍ DUÏÏ 1.12. Tung con xuùùc xaééc moäät laààn. Tìm xaùùc suaáát ñeåå maëët 2 hoaëëc maëët 5 xuaáát hieään. l Khoângâ gian maãuã laøø W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Neááu ta gaùùn taáát caûû caùùc bieáán coáá sô caááp coùù xaùùc suaáát baèèng nhau, nghóa laøø ta giaûû söûû con xuùùc xaééc coângâ baèèng thì l P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6 l Bieáán coáá xuaáát hieään maëët 2 hoaëëc maëët 5 ñöôïïc kyùù hieääu laøø 2È5. Vaääy, P(2È5) = P(2) + P(5) = 1/6 + 1/6 = 1/3 PHEÙÙP GAÙÙN XAÙÙC SUAÁÁT q Cho A vaøø B laøø hai bieáán coáá (xem Hình. 1-3) sao cho P(A)> 0. Xaùùc suaáát cuûûa bieáán coáá B bieáát raèèng bieáán coáá A ñaõõ xaûûy ra, kyùù hieääu laøø P(B|A). Töøø ñoùù daãnã ñeáán ñònh nghóa (17) hay P(AÇB) = P(B|A)P(A) (18) Hình. 1-3 XAÙÙC SUAÁÁT COÙÙ ÑIEÀÀU KIEÄÄN ( ) ( )( ) | P A B P B A P A Ç = q VÍ DUÏÏ 1.13. Tung moäät con xuùùc xaééc. Tìm xaùùc suaáát ñeåå maëët xuaáát hieään nhoûû hôn 4 neááu (a) khoângâ bieáát thoângâ tin naøøo, (b) bieáát raèèng maëët chaáám xuaáát hieään laøø moäät soáá leûû. a) Goïïi B laøø bieáán coáá {maëët chaáám nhoûû hôn 4}. Do B laøø hôïïp cuûûa caùùc bieáán coáá xuaáát hieään maëët 1, 2, 3, aùùp duïïng ñònh lyùù 1-5 ta coùù P(B)= P(1) + P(2) + P(3)= 1/6 + 1/6 + 1/6= ½. b) Goïïi A laøø bieáán coáá {maëët chaáám laøø soáá leûû}, ta coùù P(A) = 3/6 = ½ vaøø P(AÇB) = 2/6 = 1/3. XAÙÙC SUAÁÁT COÙÙ ÑIEÀÀU KIEÄÄN ( ) ( )( ) 1 23| 1 32 P A B P B A P A Ç = = = Ng uy en C ng Tr i PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHÖÔNG 1: XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN _____________________________________________________ Ths. Nguyeãn Coâng Trí _______________________ qÑònh lyùù 1-9: Vôùùi 3 bieáán coáá baáát kyøø A1, A2, A3, P(A1ÇA2ÇA3)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1ÇA2) (19) Deãã daøøng toåång quaùùt cho n bieáán coáá qÑònh lyùù 1-10: Moäät pheùùp thöûû coùù A1, A2,...,An laøø moäät heää ñaàày ñuûû caùùc bieáán coáá, nghóa laøø AiÇAj = Æ, "i ≠ j vaøø A1ÈA2 È... ÈAn = W A laøø moäät bieáán coáá xaûûy ra trong pheùùp thöûû, ta coùù coângâ thöùùc xaùùc suaáát ñaàày ñuûû P(A) = P(A1)P(A|A1) + P(A2)P(A|A2) + ... + P(An)P(A|An) (20) ÑÒNH LYÙÙ XAÙÙC SUAÁÁT COÙÙ ÑIEÀÀU KIEÄÄN q Neááu P(B|A) = P(B), nghóa laøø xaùùc suaáát cuûûa bieáán coáá B xaûûy ra khoângâ bò aûûnh höôûûng do vieääc coùù xaûûy ra hay khoângâ xaûûy ra cuûûa bieáán coáá A thì ta noùùi A vaøø B laøø hai bieáán coáá ñoääc laääp. P(AÇB) = P(A)P(B) (21) q Ta noùùi ba bieáán coáá A1, A2, A3 ñoääc laääp neááu chuùùng ñoääc laääp töøøng ñoâiâ : P(AjÇAk) = P(Aj)P(Ak), j ≠ k (22) Vaøø P(A1ÇA2ÇA3) = P(A1)P(A2)P(A3) (23) Deãã daøøng toåång quaùùt cho n bieáán coáá ñoääc laääp. BIEÁÁN COÁÁ ÑOÄÄC LAÄÄP Giaûû söûû A1, A2,...,An laøø heää ñaàày ñuûû caùùc bieáán coáá. Neááu A laøø moäät bieáán coáá baáát kyøø trong pheùùp thöûû thì ta coùù ñònh lyùù quan troïïng sau ñaâyâ : q Ñònh lyùù 1-11 (Luaäät Bayes): (24) Ñònh lyùù naøøy cho pheùùp chuùùng ta tìm xaùùc suaáát cuûûa caùùc bieáán coáá khaùùc nhau trong heää A1, A2, . . .,An maøø caùùc bieáán coáá naøøy coùù theåå laøø nguyeânâ nhaânâ gaâyâ ra bieáán coáá A xaûûy ra. ÑÒNH LYÙÙ BAYES ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 | | | k k k n j j j P A P A A P A A P A P A A = = å Ths. Nguyeãnãã Coângââ Trí Copyright 2001 PHEÙÙP THÖÛÛ NN – KHOÂNG GIAN MAÃU  à – BIEÁÁN COÁÁ [1] [2] [3] PHÖÔNG PHAÙÙP TÍNH XAÙÙC SUAÁÁT [4] [5] [41] [42] [43] [44] [45] XAÙÙC SUAÁÁT COÙÙ ÑIEÀÀU KIEÄÄN – BIEÁÁN COÁÁ ÑOÄÄC LAÄÄP [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [46] [47] [48] [49] ÑÒNH LYÙÙ BAYES [13] [50] [51] [52] ÑAÏÏI SOÁÁ TOÅÅ HÔÏÏP, PHEÙÙP ÑEÁÁM VAØØ BIEÅÅU ÑOÀÀ CAÂY [14] [53] [54] Ths. Nguyeãn Coâng Trí BAØØI TAÄÄP CHÖÔNG 1 Ths. Nguyeãnãã Coângââ Trí Copyright 2001 HOAÙÙN VÒ [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [55] [56] [57] [58] [59] [60] TOÅÅ HÔÏÏP [23] [24] [25] [26] [27] [28] [61] [62] [63] [64] [65] [66] HEÄÄ SOÁÁ NHÒ THÖÙÙC [29] [67] BAØØI TAÄÄP CHÖÔNG 1 Ths. Nguyeãn Coâng Trí Ths. Nguyeãnãã Coângââ Trí Copyright 2001 DUØØNG ÑAÏÏI SOÁÁ TOÅÅ HÔÏÏP TÍNH XAÙÙC SUAÁÁT [30] [31] [32*] [33] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] CAÙÙC BAØØI TOAÙÙN TOÅÅNG HÔÏÏP [34*] [35*] [36] [37] [38] [39*] [40*] [77] [78] [79] [80] [81] [82] BAØØI TAÄÄP CHÖÔNG 1 Ths. Nguyeãn Coâng Trígu ye n C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com CHÖÔNG 1: XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN _____________________________________________________ Ths. Nguyeãn Coâng Trí _______________________ CHÖÔNG 1 XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN PHEÙP THÖÛ NGAÃU NHIEÂN, KHOÂNG GIAN MAÃU VAØ BIEÁN COÁ 1.1. Moät laù baøi ñöôïc ruùt ngaãu nhieân töø moät boä baøi 52 laù. Haõy moâ taû khoâng gian maãu neáu nöôùc (a) khoâng (b) coù, ñöôïc tính ñeán. Höôùng daãn: Hình 1-5 1.2. Xem laïi pheùp thöû cuûa baøi taäp 1.1, goïi A laø bieán coá ruùt ñöôïc laù K vaø B laø bieán coá ruùt ñöôïc laù chuoàn. Haõy moâ taû caùc bieán coá (a) A B, (b) A B, (c) A B/, (d) A/ B/, (e) A – B, (f) A / – B/, (g) (A B) (A B/). 1.3. Duøng Hình. 1-5 ñeå moâ taû caùc bieán coá (a) A B, (b) A/ B/. Höôùng daãn: Hình. 1-6 CHÖÔNG 1: XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN _________________________________________ Ths. Nguyeãn Coâng Trí _________________________________________ Ng uy en C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com PHÖÔNG PHAÙP TÍNH XAÙC SUAÁT 1.4. Choïn ngaãu nhieân moät laù baøi töø moät boä baøi 52 laù. Tìm xaùc suaát sao cho laù baøi naøy laø (a) laù xì, (b) laù J cô, (c) laù ba chuoàn hay laù saùu roâ, (d) laù cô, (e) moïi nöôùc tröø nöôùc cô, (f) laù möôøi hay laù pích, (g) khoâng phaûi laù boán cuõng khoâng phaûi laù chuoàn. Höôùng daãn: Hình. 1-8 1.5. Choïn ngaãu nhieân moät bi töø moät hoäp chöùa 6 bi ñoû, 4 bi traéng vaø 5 bi xanh. Tính xaùc suaát bi ñoù laø (a) ñoû, (b) traéng, (c) xanh, (d) khoâng ñoû, (e) ñoû hay traéng. Ñs: (a) 2/5, (b) 4/15, (c) 1/3, (d) 3/5 (e) 2/3 XAÙC SUAÁT COÙ ÑIEÀU KIEÄN VAØ CAÙC BIEÁN COÁ ÑOÄC LAÄP 1.6. Tung moät con xuùc xaéc coâng baèng hai laàn. Tìm xaùc suaát ñeå maët 4, maët 5 hay maët 6 xuaát hieän trong laàn tung thöù nhaát vaø maët 1, maët 2, maët 3 hay maët 4 xuaát hieän trong laàn tung thöù hai. Ñs: 1/3 1.7. Tìm xaùc suaát ñeå khoâng coù ñöôïc toång soá ñieåm laø 7 hoaëc laø 11 trong caû hai laàn tung cuûa caëp xuùc xaéc coâng baèng. Ñs: 49/81 Hình. 1-9 Con xuùc xaéc thöù nhaát 1.8. Ruùt ngaãu nhieân hai laù baøi töø moät boä baøi 52 laù ñöôïc xaùo kyõ. Tìm xaùc suaát ñeå caû hai laù baøi treân ñeàu laø laù xì neáu laù baøi ñaàu tieân ruùt ra (a) coù hoaøn laïi (b) khoâng hoaøn laïi. Ñs: (a) 1/169, (b) 1/221. CHÖÔNG 1: XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN _________________________________________ Ths. Nguyeãn Coâng Trí _________________________________________ Ng uy en C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 1.9. Ruùt 3 bi töø moät hoäp trong baøi taäp 1.5. Tìm xaùc suaát ñeå ruùt ñöôïc caùc bi theo thöù töï ñoû, traéng vaø xanh neáu ruùt (a) coù hoaøn laïi (b) khoâng hoaøn laïi. Ñs: (a) 8/225, (b) 4/91. 1.10. Tìm xaùc suaát sao cho maët 4 xuaát hieän ít nhaát moät laàn trong hai laàn tung con xuùc xaéc coâng baèng. Ñs: 11/36. 1.11. Moät gioû chöùa 4 banh traéng vaø 2 banh ñen, moät gioû khaùc chöùa 3 banh traéng vaø 5 banh ñen. Choïn ngaãu nhieân töø moãi gioû moät banh, tìm xaùc suaát (a) caû hai ñeàu laø banh traéng (b) caû hai ñeàu laø banh ñen (c) moät banh traéng vaø moät banh ñen. Ñs: (a) ¼, (b) 5/24, (c) 13/24. 1.12. Hoäp I chöùa 3 bi ñoû vaø 2 bi xanh, hoäp thöù hai chöùa 2 bi ñoû vaø 8 bi xanh. Tung moät ñoàng xu coâng baèng. Neáu ñoàng xu xuaát hieän maët ngöûa thì choïn moät bi töø hoäp I; neáu ñoàng xu xuaát hieän maët saáp thì choïn moät bi töø hoäp II. Tìm xaùc suaát choïn ñöôïc bi ñoû. Ñs: 2/5. ÑÒNH LYÙ BAYEØS 1.13. Trong baøi taäp 1.12, giaû söû pheùp thöû tung ñoàng xu ñaõ ñöôïc thöïc hieän nhöng khoâng bieát maët saáp hay maët ngöûa xuaát hieän (cuõng khoâng bieát choïn ñöôïc hoäp naøo) maø chæ bieát ñaõ choïn ñöôïc bi ñoû. Tìm xaùc suaát ñeå choïn ñöôïc hoäp I (nghóa laø ñoàng xu xuaát hieän maët ngöûa)? Ñs: 3/4. ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP, PHEÙP ÑEÁM VAØ BIEÅU ÑOÀ CAÂY 1.14. Moät hoäi ñoàng goàm 3 thaønh vieân, trong ñoù moãi thaønh vieân ñaïi dieän xuaát thaân töø giôùi lao ñoäng, giôùi quaûn lyù vaø quaàn chuùng. Neáu coù 3 öùng vieân töø giôùi lao ñoäng, 2 öùng vieân töø giôùi quaûn lyù vaø 4 öùng vieân töø quaàn chuùng thì coù bao nhieâu caùch thaønh laäp hoäi ñoàng khaùc nhau baèng caùch söû duïng (a) nguyeân lyù nhaân, (b) bieåu ñoà caây. Ñs: 24. HOAÙN VÒ 1.15. Coù bao nhieâu caùch saép xeáp 5 vieân bi coù maøu khaùc nhau treân moät haøng? Ñs: 120. 1.16. Coù bao nhieâu caùch khaùc nhau ñeå xeáp 10 ngöôøi ngoài treân moät haøng ngang coù 4 gheá? Ñs: 5.040. 1.17. Tính (a) A38 6 15 3 1.18. Coù 5 oâng vaø 4 baø ngoài treân moät haøng vôùi yeâu caàu sao cho quyù baø ñöôïc ngoài ôû gheá chaün. Coù bao nhieâu caùch saép xeáp nhö theá? , (b) A4 , (c) A1 , (d) A3 . Ñs: 2.880. 1.19. Coù bao nhieâu soá, moãi goàm 4 chöõ soá, ñöôïc taïo thaønh töø 10 con soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 neáu trong 4 chöõ soá (a) ñöôïc pheùp truøng nhau, (b) khoâng ñöôïc pheùp truøng nhau, (c) con soá cuoái cuøng phaûi baèng khoâng vaø ñöôïc pheùp truøng nhau? Ñs: (a) 9.000, (b) 4.536, (c) 504. CHÖÔNG 1: XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN _________________________________________ Ths. Nguyeãn Coâng Trí _________________________________________ Ng ye C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 1.20. Coù ba boä saùch. Boä saùch toaùn coù 4 quyeån khaùc nhau, boä saùch lyù coù 6 quyeån khaùc nhau vaø boä saùch hoaù coù 2 quyeån khaùc nhau, taát caû ñöôïc xeáp treân cuøng moät giaù saùch. Coù bao nhieâu caùch saép khaùc nhau neáu (a) caùc quyeån saùch ñöôïc saép theo töøng boä, (b) chæ coù caùc quyeån saùch toaùn ñöôïc saép theo boä? Ñs: (a) 207.360, (b) 8.709.120. 1.21. Naêm bi ñoû, hai bi traéng, vaø ba bi xanh ñöôïc saép treân moät haøng. Neáu caùc vieân bi coù cuøng maøu khoâng theå phaân bieät ñöôïc thì coù bao nhieâu caùch saép khaùc nhau? Ñs: 10! (5!2!3!). 1.22. Coù bao nhieâu caùch saép 7 ngöôøi ngoài quanh moät baøn troøn neáu (a) hoï ngoài baát kyø, (b) hai ngöôøi ñöôïc chæ ñònh khoâng ñöôïc ngoài caïnh nhau? Ñs: (a) 720, (b) 480. TOÅ HÔÏP 1.23. Coù bao nhieâu caùch coù theå taùch 10 vaät thaønh hai nhoùm laàn löôït chöùa 4 vaät vaø 6 vaät? Ñs: 210. 1.24. Tính (a) C47, (b) C56, (c) C44. 1.25. Coù bao nhieâu caùch thaønh laäp moät hoäi ñoàng goàm 5 ngöôøi trong toång soá 9 ngöôøi? Ñs: 126. 1.26. Coù 5 nhaø toaùn hoïc vaø 7 nhaø vaät lyù, moät hoäi ñoàng goàm 2 nhaø toaùn hoïc vaø 3 nhaø vaät lyù. Coù bao nhieâu caùch ñeå thaønh laäp moät hoäi ñoàng neáu (a) caùc nhaø toaùn hoïc vaø nhaø vaät lyù ñöôïc choïn tuøy yù, (b) coù moät nhaø vaät lyù ñöôïc chæ ñònh, (c) coù hai nhaø toaùn hoïc ñöôïc chæ ñònh khoâng ñöôïc tham gia vaøo hoäi ñoàng? Ñs: (a) 350, (b) 150, (c) 105. 1.27. Coù bao nhieâu moùn rau troän ñöôïc cheá bieán töø rau dieáp, rau dieáp maï, rau dieáp quaên, caûi xoong vaø rau dieáp xoaén. Ñs: 31. 1.28. Töø 7 phuï aâm vaø 5 nguyeân aâm, coù theå gheùp ñöôïc bao nhieâu töø goàm 4 phuï aâm khaùc nhau vaø 3 nguyeân aâm khaùc nhau? Töø naøy khoâng caàn nghóa. Ñs: 1.764.000. HEÄ SOÁ NHÒ THÖÙC 1.29. Tìm soá haïng laø haèng soá trong khai trieån cuûa 12 2 1x x . Ñs: 495. SÖÛ DUÏNG ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP TÍNH XAÙC SUAÁT 1.30. Moät hoäp chöùa 8 bi ñoû, 3 bi traéng vaø 9 bi xanh. Choïn ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi 3 bi, tính xaùc suaát (a) caû 3 bi ñeàu laø bi ñoû, (b) caû 3 bi ñeàu laø bi traéng, (c) coù 2 bi ñoû vaø 1 bi traéng, (d) coù ít nhaát 1 bi traéng, (e) moãi maøu coù 1 bi (f) caùc bi ñöôïc choïn theo thöù töï ñoû, traéng, xanh. Ñs: (a) 14/285, (b) 1/1140, (c) 7/95, (d) 23/57, (e) 18/95, (f) 3/95. CHÖÔNG 1: XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN _________________________________________ Ths. Nguyeãn Coâng Trí _________________________________________ gu en C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 1.31. Trong moät vaùn poker, 5 laù baøi ñöôïc ruùt ra töø boä baøi 52 laù. Tìm xaùc suaát ruùt ra ñöôïc (a) 4 laù xì (b) 4 laù xì vaø 1 laù K (c) 3 laù möôøi vaø 2 laù J (d) 1 laù chín, 1 laù möôøi, 1 laù J, 1 laù Q, 1 laù Kø, (e) 3 laù cuøng nöôùc vaø 2 laù cuøng nöôùc nhöng khaùc 3 laù nöôùc ñaàu (f) ít nhaát moät xì. Ñs: (a) 1/54.145, (b) 1/649.740, (c) 1/108.290, (d) 64/162.435, (e) 429/4.165, (f) 18.472/54.145. 1.32. Tìm xaùc suaát ñeå maët 6 xuaát hieän 3 laàn trong 5 laàn tung con xuùc xaéc coâng baèng. Ñs: 125/3.888. 1.33. Moät giaù saùch coù 6 quyeån toaùn vaø 4 quyeån vaät lyù. Tìm xaùc suaát ñeå coù 3 quyeån toaùn ñöôïc chæ ñònh xeáp cuøng nhau. Ñs: 1/15. CAÙC BAØI TOAÙN TOÅNG HÔÏP 1.34. A vaø B chôi 12 vaùn côø thì A thaéng 6, B thaéng 4 vaø 2 vaùn hoøa. A vaø B ñoàng yù thi ñaáu loaïi treân cô sôû 3 vaùn ñaáu. Tìm xaùc suaát (a) A thaéng taát caû 3 vaùn, (b) coù 2 vaùn hoøa, (c) A vaø B thaéng luaân phieân, (d) B thaéng ít nhaát moät vaùn. Ñs: (a) 1/8, (b) 5/72, (c) 5/36, (d) 19/27. 1.35. A vaø B cuøng tham gia moät troø chôi baèng caùch laàn löôït tung moät caëp xuùc xaéc. Neáu ngöôøi naøo ñaït ñöôïc toång ñieåm treân hai maët cuûa con xuùc xaéc laø 7 ñaàu tieân thì ngöôøi ñoù thaéng cöôïc. Tìm xaùc suaát (a) ngöôøi tung ñaàu tieân thaéng cöôïc, (b) ngöôøi tung thöù hai thaéng cöôïc. Ñs: (a) 6/11, (b) 5/11. 1.36. Moät maùy saûn xuaát 12.000 con bu-long moãi ngaøy, trong ñoù trung bình coù 3% bu-long bò hoûng. Tìm xaùc suaát ñeå trong 600 con bu-long ñöôïc choïn ngaãu nhieân thì coù 12 con bò hoûng. Ñs: 360 12 11640 588 12.000 600 C C C . 1.37. Moät hoäp chöùa 5 bi ñoû vaø 4 bi traéng. Choïn ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi 2 bi töø hoäp naøy vaø bieát raèng bi thöù hai laø bi traéng. Tìm xaùc suaát ñeå bi choïn laàn ñaàu cuõng laø bi traéng? Ñs: 3/8. 1.38. Xaùc suaát oâng choàng vaø baø vôï seõ coøn soáng ñeán 20 naêm sau ngaøy cöôùi laàn löôït laø 0,8 vaø 0,9. Tìm xaùc suaát trong 20 naêm (a) caû hai (b) khoâng ai (c) ít nhaát moät ngöôøi, vaãn coøn soáng. Ñs: (a) 0,72; (b) 0,02; (c) 0,98. 1.39. Moät thö kyù lô ñeãnh boû ngaãu nhieân n böùc thö khaùc nhau vaøo trong n phong bì coù ghi saün ñòa chæ khaùc nhau. Tìm xaùc suaát coù ít nhaát moät böùc thö seõ ñeán ñuùng ñòa chæ. Ñs: 1 – 1/e = 0,6321. 1.40. Tìm xaùc suaát sao cho n ngöôøi (n 365) ñöôïc choïn ngaãu nhieân seõ coù n ngaøy sinh khaùc nhau. Ñs: 365 364 365 1 1 2 11 1 1 365 365 365 365 365 365 n n CHÖÔNG 1: XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN _________________________________________ Ths. Nguyeãn Coâng Trí _________________________________________ Ng uy en C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com BAØI TAÄP BOÅ SUNG TÍNH XAÙC SUAÁT 1.41. Haõy tính xaùc suaát p trong moãi tröôøng hôïp sau ñaây (a) Ruùt ñöôïc laù K, xì, J chuoàn hay laù Q roâ neáu ruùt moät laù baøi trong boä baøi 52 laù. (b) Toång soá ñieåm xuaát hieän treân hai maët laø 8 trong pheùp thöû tung caëp xuùc xaéc. (c) moät con bu-long khoâng hoûng trong laàn kieåm tra tieáp theo neáu 600 con bu-long ñaõ kieåm tra xong, phaùt hieän ra 12 con bò hoûng. (d) Toång ñieåm xuaát hieän treân hai maët laø 7 hay 11 trong pheùp thöû tung caëp xuùc xaéc. (e) ít nhaát 1 maët ngöûa xuaát hieän trong pheùp thöû tung 3 laàn moät ñoàng xu. Ñs: (a) 5/26 (b) 5/36 (c) 0,98 (d) 2/9 (e) 7/8 1.42. Moät pheùp thöû ruùt 3 laù baøi töø moät boä baøi 52 laù. Goïi A1 laø bieán coá ruùt ñöôïc laù K laàn thöù nhaát, A2 laø bieán coá ruùt ñöôïc laù K laàn thöù hai, A3 laø bieán coá ruùt ñöôïc laù K laàn thöù ba. Haõy phaùt bieåu baèng lôøi caùc bieåu thöùc sau ñaây (a) , (b) , (c) 1 2P A A 1 2P A A 1 2P A A , (d) 1 2 3P A A A , (e) 1 2 1 3P A A A A 1.43. Choïn ngaãu nhieân moät vieân bi töø moät hoäp chöùa 10 bi ñoû, 30 bi traéng, 20 bi xanh vaø 15 bi cam. Tìm xaùc suaát ñeå vieân bi ñoù laø (a) cam hay ñoû, (b) khoâng ñoû hay xanh, (c) khoâng xanh, (d) traéng, (e) ñoû, traéng hay xanh. Ñs: (a) 1/3 (b) 3/5 (c) 11/15 (d) 2/5 (e) 4/5 1.44. Choïn ngaãu nhieân coù hoaøn laïi hai vieân bi töø moät hoäp trong baøi taäp 1.43. Tìm xaùc suaát (a) caû hai ñeàu laø bi traéng, (b) bi choïn ñaàu tieân laø bi ñoû, bi choïn laàn thöù hai laø bi traéng, (c) caû hai ñeàu khoâng cam, (d) caû hai ñeàu ñoû hay ñeàu traéng hay vöøa ñoû vöøa traéng, (e) bi thöù hai khoâng xanh, (f) bi thöù nhaát laø cam, (g) ít nhaát coù moät bi xanh, (h) nhieàu nhaát moät bi ñoû, (i) bi thöù nhaát traéng nhöng bi thöù hai khoâng traéng, (j) chæ coù moät bi ñoû. Ñs: (a) 4/25 (b) 4/75 (c) 16/25 (d) 64/225 (e) 11/15 (f) 1/5 (g) 104/225 (h) 221/225 (i) 6/25 (j) 52/225 1.45. Giaûi baøi taäp 1.44 vôùi caùch choïn khoâng hoaøn laïi. Ñs: (a) 29/185 (b) 2/37 (c) 118/185 (d) 52/85 (e) 11/15 (f) 1/5 (g) 86/185 (h) 182/185 (i) 9/37 (j) 26/111 XAÙC SUAÁT COÙ ÑIEÀU KIEÄN VAØ CAÙC BIEÁN COÁ ÑOÄCLAÄP 1.46. Moät hoäp chöùa 2 bi ñoû vaø 3 bi xanh. Choïn ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi hai bi, tìm xaùc suaát (a) caû hai bi ñeàu xanh, (b) caû hai bi ñeàu ñoû, (c) moät bi ñoû vaø moät bi xanh. Ñs: (a) 3/10 (b) 1/10 (c) 3/5 1.47. Tìm xaùc suaát ruùt ra ñöôïc 3 laù xì töø moät boä baøi 52 laù neáu 3 laù ruùt ra (a) coù hoaøn laïi, (b) khoâng hoaøn laïi. Ñs: (a) 1/2.197 (b) 1/17.576 1.48. Giaû söû moät gia ñình coù 2 con thì coù ít nhaát 1 trai. Tìm xaùc suaát moät gia ñình coù 2 con thì caû hai ñeàu laø trai. Ñs: 1/3 CHÖÔNG 1: XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN _________________________________________ Ths. Nguyeãn Coâng Trí _________________________________________ Ng uy en C g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 1.49. Hoäp I chöùa 3 banh ñoû vaø 5 banh traéng, hoäp II chöùa 4 banh ñoû vaø 2 banh traéng. Choïn ngaãu nhieân moät banh töø hoäp I boû sang hoäp II. Sau ñoù choïn ngaãu nhieân moät banh töø hoäp II. Tìm xaùc suaát banh choïn töø hoäp II laø banh traéng. Ñs: 21/56 ÑÒNH LYÙ BAYEØS 1.50. Hoäp thöù nhaát chöùa 3 bi xanh vaø 2 bi ñoû, hoäp thöù hai chöùa 2 bi xanh vaø 5 bi ñoû. Choïn ngaãu nhieân moät hoäp roài töø hoäp ñoù choïn ngaãu nhieân moät bi thì thaáy bi ñoù laø bi xanh. Tìm xaùc suaát bi xanh ñoù laø cuûa hoäp thöù nhaát. Ñs: 21/31 1.51. Coù ba hoäp chöùa chaâu baùu gioáng nhau, moãi hoäp coù hai ngaên. Trong moãi ngaên cuûa hoäp thöù nhaát coù moät ñoàng hoà vaøng. Trong moãi ngaên cuûa hoäp thöù hai coù moät ñoàng hoà baïc. Trong hoäp thöù ba, moät ngaên chöùa moät ñoàng hoà vaøng coøn ngaên khaùc chöùa moät ñoàng hoà baïc. Choïn ngaãu nhieân moät hoäp roài môû moät trong hai ngaên thì thaáy chöùa moät ñoàng hoà baïc, tìm xaùc suaát ñeå ngaên thöù hai chöùa ñoàng hoà vaøng. Ñs: 1/3 1.52. Loï I coù 2 bi traéng vaø 3 bi ñen; Loï II coù 4 bi traéng vaø 1 bi ñen; Loï III coù 3 bi traéng vaø 4 bi ñen. Choïn ngaãu nhieân moät loï roài töø loï ñoù choïn ngaãu nhieân moät bi thì thaáy bi traéng. Tìm xaùc suaát choïn ñöôïc loï I. Ñs: 14/57 GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP, PHEÙP ÑEÁM VAØ BIEÅU ÑOÀ CAÂY 1.53. Ruùt ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi ba laù baøi töø moät boä baøi 52 laù. Tìm soá caùch coù theå ruùt ra (a) moät laù roâ, moät laù chuoàn vaø moät laù cô, (b) hai laù cô vaø 1 laù chuoàn hoaëc 1 laù pích. Ñs: (a) 133, (b) 13 x 12 x 26. 1.54. Coù bao nhieâu caùch ñeå 3 ñoàng xu khaùc nhau coù theå boû vaøo 3 ví tieàn khaùc nhau? Ñs: 8 HOAÙN VÒ 1.55. Coù bao nhieâu caùch ñeå 5 ngöôøi ngoài treân moät baêng daøi chæ coù 3 gheá? Ñs: 60 1.56. Coù bao nhieâu caùch ñeå 7 quyeån saùch coù theå xeáp treân giaù neáu (a) xeáp tuøy yù, (b) 3 quyeån ñöôïc chæ ñònh phaûi ñöôïc xeáp cuøng nhau, (c) 2 quyeån ñöôïc chæ ñònh phaûi ñöôïc xeáp cuoái cuøng? Ñs: (a) 5040, (b) 720, (c) 240. 1.57. Coù bao nhieâu chöõ soá goàm naêm soá khaùc nhau ñöôïc taïo thaønh töø caùc soá 1, 2, 3, …, 9 neáu (a) caùc chöõ soá laø soá leû, (b) hai soá ñaàu cuûa moãi chöõ soá laø soá chaün? Ñs: (a) 8400, (b) 2520. 1.58. Giaûi baøi taäp 1.57 neáu caùc soá ñöôïc pheùp truøng nhau. Ñs: (a) 32.805, (b) 11.664. 1.59. Coù bao nhieâu chöõ soá goàm ba soá khaùc nhau ñöôïc taïo thaønh töø 3 soá boán, 4 soá hai vaø 2 soá ba? Ñs: 26 CHÖÔNG 1: XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN _________________________________________ Ths. Nguyeãn Coâng Trí _________________________________________ Ng uy en C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 1.60. Coù bao nhieâu caùch ñeå 3 oâng vaø 3 baø ngoài quanh baøn troøn neáu (a) ngoài tuøy yù, (b) 2 baø ñöôïc chæ ñònh khoâng ñöôïc ngoài caïnh nhau, (c) moãi baø ngoài giöõa 2 oâng. Ñs: (a) 120, (b) 72, (c) 12. TOÅ HÔÏP 1.61. Vôùi n baèng bao nhieâu thì 3C3n+1 = 3C2n? Ñs: 6 1.62. Coù bao nhieâu caùch ñeå choïn 6 caâu hoûi töø 10 caâu hoûi? Ñs: 210 1.63. Coù bao nhieâu caùch thaønh laäp hoäi ñoàng (goàm 3 nam vaø 4 nöõ) khaùc nhau töø 8 nam vaø 6 nöõ? Ñs: 840 1.64. Coù bao nhieâu caùch coù theå choïn ñöôïc 2 oâng, 4 baø, 3 trai vaø 3 gaùi töø 6 oâng, 8 baø, 4 trai vaø 5 gaùi neáu (a) choïn tuøy yù, (b) moät oâng vaø moät baø ñöôïc chæ ñònh phaûi ñöôïc choïn? Ñs: (a) 42.000, (b) 7.000 1.65. Coù bao nhieâu caùch ñeå moät nhoùm goàm 10 ngöôøi coù theå ñöôïc chia ra thaønh (a) hai nhoùm goàm 7 vaø 3 ngöôøi, (b) ba nhoùm goàm 5, 3 vaø 2 ngöôøi. Ñs: (a) 120, (b) 2.520 1.66. Töø 5 nhaø thoáng keâ vaø 6 nhaø kinh teá, thaønh laäp moät hoäi ñoàng goàm 3 nhaø thoáng keâ vaø 2 nhaø kinh teá. Coù bao nhieâu caùch thaønh laäp hoäi ñoàng neáu (a) khoâng coù söï raøng buoäc naøo, (b) 2 nhaø thoáng keâ ñöôïc chæ ñònh phaûi coù teân trong hoäi ñoàng, (c) 1 nhaø kinh teá ñöôïc chæ ñònh khoâng ñöôïc coù teân trong hoäi ñoàng? Ñs: (a) 150, (b) 45, (c) 100 HEÄ SOÁ NHÒ THÖÙC 1.67. Tìm heä soá cuûa x trong bieåu thöùc 92 x x . Ñs: 2016 SÖÛ DUÏNG GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP TÍNH XAÙC SUAÁT 1.68. Tìm xaùc suaát ñaït ñöôïc 7 ñieåm (a) moät laàn, (b) ít nhaát moät laàn, (c) hai laàn, trong 2 laàn tung caëp xuùc xaéc coâng baèng. Ñs: (a) 5/18, (b) 11/36, (c) 1/36 1.69. Ruùt ngaãu nhieân hai laù baøi töø moät boä baøi ñöôïc xaùo kyõ. Tìm xaùc suaát ñeå (a) laù baøi ñaàu tieân khoâng phaûi laø laù möôøi chuoàn hay laù xì, (b) laù baøi ñaàu tieân laø laù xì nhöng laù thöù hai thì khoâng phaûi laø laù xì, (c) ít nhaát moät laù baøi laø laù roâ, (d) hai laù khoâng cuøng nöôùc, (e) khoâng quaù 1 laù hình (laù J, Q, K), (f) laù thöù hai khoâng phaûi hình, (g) laù thöù hai khoâng phaûi hình, bieát raèng laù thöù nhaát laø laù hình, (h) hai laù hình hay hai laù pích hay caû hai. Ñs: (a) 47/52, (b) 16/221, (c) 15/34, (d) 13/17, (e) 210/221, (f) 10/13, (g) 40/51, (h) 77/442 1.70. Moät hoäp coù 9 theû ñöôïc ñaùnh soá töø 1 ñeán 9. Töø hoäp ruùt laàn löôït 3 theû, tìm xaùc suaát sao cho caùc theû ñöôïc ruùt ra coù thöù töï laø soá leû, chaün, leû hay chaün, leû, chaün. Ñs: 5/18 CHÖÔNG 1: XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN _________________________________________ Ths. Nguyeãn Coâng Trí _________________________________________ Ng uy en C on Tr i PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 1.71. Tyû leä cöôïc nghieâng veà A thaéng B trong moät vaùn côø 3:2. Neáu trong 3 vaùn thì tyû leä cöôïc (a) nghieâng veà A thaéng ít nhaát 2 vaùn, (b) nghieâng veà A thua 2 vaùn ñaàu laø bao nhieâu? Ñs: (a) 81:44, (b) 21:4 1.72. Trong vaùn baøi bridge coù 4 ñoái thuû, moãi ñoái thuû ñöôïc chia 13 laù töø boä baøi 52 laù. Tìm xaùc suaát sao cho moät trong 4 ñoái thuû coù ñöôïc (a) 7 laù roâ, 2 laù chuoàn, 3 laù cô vaø 1 laù pích; (b) moät nöôùc. Ñs: (a) C713C213C313C113/ C1352, (b) 4/ C1352. 1.73. Moät loï chöùa 6 bi ñoû vaø 8 bi xanh. Töø loï naøy choïn ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi 5 bi. Tìm xaùc suaát ñeå coù ñöôïc 3 bi ñoû vaø 2 bi xanh. Ñs: C36C28/ C514. 1.74. (a) Tung caëp xuùc xaéc coâng baèng 3 laàn. Tìm xaùc suaát ñeå coù toång ñieåm laø 7 trong ít nhaát 1 laàn tung, (b) caàn phaûi tung caëp xuùc xaéc bao nhieâu laàn ñeå coù ñöôïc xaùc suaát trong caâu (a) lôùn hôn 0,95? Ñs: (a) 91/216, (b) ít nhaát 17 1.75. Ruùt 3 laù baøi töø boä baøi 52 laù. Tìm xaùc suaát ñeå (a) taát caû 3 laù baøi ñeàu cuøng moät nöôùc, (b) coù ít nhaát 2 laù xì. Ñs: (a) 4C313/C352, (b) (C24C148 + C34)/C352. 1.76. Tìm xaùc suaát ñeå moät ngöôøi chôi baøi Bridge coù ñöôïc 9 laù cuøng moät nöôùc trong13 laù ñöôïc chia. Ñs: 4C913C448/ C1352. CAÙC BAØI TOAÙN TOÅNG HÔÏP 1.77. Moät khoâng gian maãu goàm coù 3 phaàn töû maãu vôùi caùc xaùc suaát laø 2p, p2 vaø 4p – 1. Tìm giaù trò cuûa p. Ñs: 11 3 1.78. Coù bao nhieâu töø ñöôïc taïo thaønh töø 5 maãu töï neáu (a) taát caû caùc maãu töï ñeàu khaùc nhau, (b) coù 2 maãu töï gioáng nhau, (c) taát caû caùc maãu töï ñeàu khaùc nhau nhöng coù 2 maãu töï lieàn keà nhau? Ñs: (a) 120, (b) 60, (c) 72. 1.79. Choïn ngaãu nhieân 4 soá nguyeân töø 0 ñeán 9. Tìm xaùc suaát ñeå (a) taát caû 4 soá ñeàu khaùc nhau, (b) khoâng quaù 2 soá gioáng nhau. Ñs: (a) 0,504, (b) 0,936. 1.80. Moät caëp xuùc xaéc coâng baèng ñöôïc tung nhieàu laàn. Tìm xaùc suaát ñeå toång ñieåm laø 11 xuaát hieän ñaàu tieân ôû laàn tung thöù saùu. Ñs: 1.419.857/34.012.224. 1.81. Tìm soá laàn tung ít nhaát trong baøi taäp 1.80 sao cho xaùc suaát coù toång ñieåm laø 11 seõ lôùn hôn (a) 0,5; (b) 0,95? Ñs: (a) 13; (b) 53. 1.82. Moät xaï thuû baén truùng muïc tieâu vôùi xaùc suaát laø 2/3. Xaï thuû naøy baén cho ñeán khi naøo truùng muïc tieâu thì döøng, tìm xaùc suaát ñeå xaï thuû naøy baén truùng muïc tieâu ôû loaït baén thöù naêm. Ñs: 2/243. CHÖÔNG 1: XAÙC SUAÁT CAÊN BAÛN _________________________________________ Ths. Nguyeãn Coâng Trí _________________________________________ Ng uy C on g T ri PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com