Dạng lượng giác của số phức

Cho sốphức z, một sốphức w được gọi là căn bậc n của sốphức z nếu w n= z. - Cách tìm căn bậc n của sốphức z Giải sửsốphức z đã cho là z = r(cosϕ+ isinϕ), và sốphức w là w = r’(cosϕ’ + isinϕ’) Khi đó điều kiện wn= z tương đương với:

pdf8 trang | Chia sẻ: phanlang | Lượt xem: 2647 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Dạng lượng giác của số phức, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức] 1. Khái niệm về dạng lượng giác của số phức Cho số phức z = a + bi, số phức trên được gọi là dạng đại số của số phức Số phức z = r(cosϕ + isinϕ) được gọi là dạng lượng giác của số phức Trong đó: r: là module của số phức ϕ: là argument của số phức 2. Cách chuyển đổi một số phức từ dạng đại số sang lượng giác Để chuyển số phức z = a + bi sang dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ) ta phải tìm được module và argument của số phức. Bằng việc đồng nhất biểu thức hai số phức ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 r a b r a b a a a r cos cos , (1) r a bb r sin b b sin , (2) r a b   = + = +   = ϕ ⇔ ϕ = =  +  = ϕ  ϕ = =  + Hệ phương trình trên cho phép chúng ta thực hiện việc chuyển đổi dễ dàng từ đại số sang lượng giác. Chú ý: ♦ Từ các hệ thức (1) và (2), kết hợp với kiến thức lượng giác về cung và góc lượng giác ta sẽ xác định được ϕ. ♦ Nhiều số phức cho dạng “na ná”lượng giác rất dễ làm chúng ta “lầm tưởng” đó chính là dạng lượng giác. Nhưng không, bằng việc chuyển đổi linh hoạt các công thức từ cos sang sin và ngược lại ta sẽ thu được dạng lượng giác “chính gốc” ♦ Trong các biểu thức cho phép xác định ϕ thì thường có hai giá trị ϕ chấp nhận được, tùy thuộc vào chiều quay mà ta chọn để lấy ϕ theo chiều dương hay chiều âm (ví dụ cặp giá trị ϕ = –5pi/6 hoặc ϕ = 7pi/6 đều chấp nhận được) Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính modun và argument của các số phức sau a) z = 1 + i b) z 3 i= + c) z 3 i= − d) z 1 i 3= + Hướng dẫn giải: Áp dụng các công thức 2 2 2 2 2 2 r a b a a cos r a b b b sin r a b   = +  ϕ = = +  ϕ = =  + , ta có a) 2 2z 1 i r a b 1 1 2= + ⇒ = + = + = 04. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Đồng thời a 1 cos r 2 b 1 4 sin r 2  ϕ = = pi ⇒ ϕ =  ϕ = =  b) r 3 1 2 r 2 3 3 z 3 i cos r 2 61 1 sin r 2  = + = =   = + ⇒ ϕ = = ⇒ pi ϕ =  ϕ = = c) r 3 1 2 r 2 3 3 z 3 i cos r 2 61 1 sin r 2  = + = =   = − ⇒ ϕ = = ⇒ pi ϕ = −  ϕ = − = − d) r 1 3 2 r 2 1 1 z 1 i 3 cos r 2 3 3 3 sin r 2   = + =  =   = + ⇒ ϕ = = ⇒ pi ϕ =  ϕ = =  Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác a) z 6 i 2= − − b) z 2 2 3i= − + c) z 1 i 3= − − d) z 5 5 3i= − − Hướng dẫn giải: a) r 6 2 2 2 r 2 2 r 2 26 6 6 3 z 6 i 2 cos cos 7 r r 22 2 62 12 2 sinsin r 2r 2 2    = + = =    = − − − −  = − − ⇒ ϕ = = ⇔ ϕ = = ⇒   piϕ =     − − − − ϕ = = ϕ = =  Từ đó 7 7z 6 i 2 2 2 cos i sin 6 6 pi pi  = − − = +    b) r 4 12 4 r 4 2 1 2 2 z 2 2 3i cos z 4 cos i sin2 r 2 3 3 3 2 3 3 sin r 2   = + =  = − − pi pi    = − + ⇒ ϕ = = ⇒ ⇒ = +pi   ϕ =    ϕ = =  Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! c) r 1 3 2 r 2 1 1 4 4 z 1 i 3 cos z 2 cos i sin4 r 2 3 3 3 3 3 sin r 2   = + =  = − − pi pi    = − − ⇒ ϕ = = ⇒ ⇒ = +pi   ϕ =    − −ϕ = =  d) r 25 75 10 r 105 1 4 4 z 5 5 3i cos z 10 cos i sin4 r 2 3 3 35 3 3 sin r 2   = + =  = − − pi pi    = − − ⇒ ϕ = = ⇒ ⇒ = +pi   ϕ =    − −ϕ = =  Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết số phức sau dạng lượng giác: 2z sin 2isin 2 ϕ = ϕ + Hướng dẫn giải: Biến đổi số phức đã cho ta được 2 2φ φ φ φ φ φ φz sin φ 2isin 2sin cos 2isin 2sin cos i sin 2 2 2 2 2 2 2   = + = + = +    Do module của số phức luôn là số dương nên ta xét các trường hợp sau TH1: φ φ φ φsin 0 z 2sin cos i sin 2 2 2 2   > ⇒ = +    TH2: φ φ φ φsin 0 z 2sin cos pi i sin pi 2 2 2 2      < ⇒ = − + + +          Ví dụ 4. Viết các số phức sau dạng lượng giác 1. z 3 i= − − 2. z 1 i 3= − + 3. z 1 i 3= − 4. z 5 5 3i= − 5. z 2 2i= − 6. z = i 7. z = 8i 8. z = –4i 3. Nhân và chia hai số phức dạng lượng giác a) Nhân hai số phức dạng lượng giác Cho hai số phức dạng lượng giác: z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) Khi đó số phức z = z1.z2 được cho bởi công thức [ ]1 2 1 2 1 2 1 2z z .z r .r cos( ) i sin( )= = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ Từ đó ta có số phức z = z1.z2 có module và argument thỏa mãn r = r1.r2 và ϕ = ϕ1 + ϕ2 Chứng minh: Thật vậy ta có: ( ) ( )1 2 1 1 1 2 2 2z z .z r cos i sin . r cos i sin= = ϕ + ϕ ϕ + ϕ =       ( ) ( ) [ ]1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2r r cos .cos sin .sin i cos .sin sin .cos r r cos( ) i sin( )ϕ ϕ − ϕ ϕ + ϕ ϕ + ϕ ϕ = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ   Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số a) ( )( )0 0 0 0z 2 cos18 isin18 cos 72 isin 72= + + b) ( )( )0 0 0 0z 3 cos120 isin120 cos15 isin15= + + Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức [ ]1 2 1 2 1 2 1 2z z .z r .r cos( ) i sin( )= = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ ta có a) ( )( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0z 2 cos18 isin18 cos 72 isin 72 2 cos 18 72 isin 18 72 = + + = + + +  ( )0 02 cos90 isin 90 i 2 z i 2= + = ⇒ = b) ( )( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0z 3 cos120 isin120 cos15 isin15 3 cos 120 15 isin 120 15 = + + = + + +  Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! ( )0 0 1 1 3 33 cos135 isin135 3 i z i 2 2 2 2   = + = − + ⇒ = − +    Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác a) ( ) ( )z 1 i 3 i= + − b) ( )( )z 2 i 6 1 i 3= + − Hướng dẫn giải: ♦ Với bài này chúng ta hoàn toàn có thể thực hiện phép nhân ngay rồi chuyển kết quả thành lượng giác, nhưng thường thì do argument của số phức khó tìm được kết quả đẹp nên chúng ta sẽ chuyển từng biểu thức sang lượng giác rồi thực hiện phép nhân sau. ♦ Với những dạng bài toán như thế này thì khi chuyển sang lượng giác chúng ta có thể thực hiện nhanh mà không phải trình bày rườm rà thao tác chuyển như thế nào (tức là phải pro về cách chuyển rồi đó). a) Ta có: 1 i 2 cos i sin 4 4 pi pi  + = +    ; 3 i 2 cos i sin 6 6 −pi −pi  − = +    Khi đó ( ) ( )z 1 i 3 i 2 cos i sin . 2 cos i sin 2 2 cos i sin4 4 6 6 12 12 pi pi   −pi −pi  pi pi     = + − = + + = +                 b) Ta có: 2 i 6 2 2 cos i sin 3 3 pi pi  + = +    ; 1 i 3 2 cos i sin 3 3 −pi −pi  − = +    Khi đó ( )( ) ( )z 2 i 6 1 i 3 2 2 cos i sin . 2 cos i sin 2 2 cos 0 isin 03 3 3 3 pi pi   −pi −pi    = + − = + + = +             b) Chia hai số phức dạng lượng giác Cho hai số phức dạng lượng giác: z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) Khi đó số phức 1 2 z z z = được cho bởi công thức [ ]1 1 1 2 1 2 2 2 z r z cos( ) i sin( ) z r = = ϕ − ϕ + ϕ − ϕ Từ đó ta có số phức 1 2 z z z = có module và argument thỏa mãn 1 2 r r r = và ϕ = ϕ1 – ϕ2 Chứng minh: Thật vậy ta có ( )( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 21 1 11 2 2 2 2 2 2 r cos i sin r cos i sinr cos i sinz z z r cos i sin r ϕ + ϕ ϕ − ϕ   ϕ + ϕ     = = = ϕ + ϕ ( ) ( ) [ ]1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 22 2 2 r r cos .cos sin .sin i sin .cos cos .sin r cos( ) i sin( ) r r ϕ ϕ + ϕ ϕ + ϕ ϕ − ϕ ϕ   = = ϕ − ϕ + ϕ − ϕ Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số a) 0 0 0 0 cos85 isin 85 z cos 40 isin 40 + = + b) 2 22 cos i sin 3 3 z 2 cos i sin 2 2 pi pi  +    = pi pi  +    Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức [ ]1 1 1 2 1 2 2 2 z r z cos( ) i sin( ) z r = = ϕ − ϕ + ϕ − ϕ , ta được: a) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 00 0cos85 isin 85 1 1z cos 85 40 i sin 85 40 cos45 isin 45 icos 40 isin 40 2 2 + = = − + − = + = + + b) 2 22 cos i sin 2 2 2 2 6 23 3 z cos i sin cos i sin i 2 3 2 3 2 2 6 6 4 42 cos i sin 2 2 pi pi  +   pi pi pi pi pi pi       = = − + − = + = +      pi pi        +    Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! a) 1 iz 2 2i − = + b) 1 3iz 3 i − + = + Hướng dẫn giải: a) Ta có: 1 i 2 cos i sin 4 4 −pi −pi  − = +    ; 2 2i 2(1 i) 2 2 cos i sin 4 4 pi pi  + = + = +    Khi đó: 2 cos i sin 1 i 1 1 14 4 z cos i sin cos i sin i 2 2i 2 4 4 4 4 2 2 2 22 2 cos i sin 4 4 −pi −pi  +  −  pi pi pi pi  −pi −pi       = = = − − + − − = + = −      pi pi+         +    b) Ta có: 2 21 3i 2 cos i sin 3 3 pi pi  − + = +    ; 3 i 2 cos i sin 6 6 pi pi  + = +    Khi đó 2 22 cos i sin 1 3i 2 23 3 z cos i sin cos i sin z i 3 6 3 6 2 23 i 2 cos i sin 6 6 pi pi  +  − + pi pi pi pi pi pi     = = = − + − = + ⇒ =   pi pi +    +    Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số a) z 5 cos i sin .3 cos i sin 6 6 4 4 pi pi pi pi    = + +        b) 0 0 0 0 2(cos 45 isin 45 ) z 3(cos15 isin15 ) + = + 4. Công thức Moiver và ứng dụng dạng lượng giác của số phức a) Công thức Moiver Cho số phức z = r(cosϕ + isinϕ), khi đó zn = [r(cosϕ + isinϕ)]n = rn[cos(nϕ) + isin(nϕ)] Công thức zn = rn[cos(nϕ) + isin(nϕ)] được gọi là công thức Moiver. Ví dụ: ( ) ( ) ( )4 44z 1 i 2cos i sin 2 cos 4. i sin 4. 4 cos i sin 44 4 4 4pi pi  pi pi      = + = + = + = pi + pi = −             Bằng các phép tính toán đại số ta cũng dễ dàng thu được kết quả như trên!!! b) Ứng dụng dạng lượng giác ♦ Ứng dụng 1: Tính toán các biểu thức số phức với lũy thừa lớn Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính module và viết các số phức liên hợp của mỗi số phức sau a) ( )6z 1 i 3= − + b) 1001 iz 1 i− =  +  Hướng dẫn giải: a) Ta có: ( ) 662 2 2 21 i 3 2 cos i sin z 1 i 3 2 cos i sin3 3 3 3pi pi  pi pi    − + = + ⇒ = − + = +         ( )6 6 612 122 cos i sin 2 cos4 isin 4 2 z 64 3 3 pi pi  = + = pi + pi = ⇒ =    Từ đó ta có z 64; z 64= = b) Ta có: 1 i 2 cos i sin 4 4 −pi −pi  − = +    Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! 2 cos i sin 1 i 4 41 i 2 cos i sin cos i sin i 4 4 1 i 2 22 cos i sin 4 4 −pi −pi  + pi pi − −pi −pi   + = + ⇒ = = + = −  pi pi+    +    100 1001 i 100 100 z cos i sin cos i sin 1 1 i 2 2 2 2 − −pi −pi − pi − pi    ⇒ = = + = + =   +    Từ đó ta được z 1; z 1= = Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính module của mỗi số phức sau a) ( ) ( )( ) 8 6 5 1 i 3 3 i z 1 i + − = − b) ( ) ( ) ( ) 46 5 1 i 3 3i z 1 3i + − = − Hướng dẫn giải: a) Ta có: ♦ ( )8 8 88 8 2 21 i 3 2 cos i sin 1 i 3 2 cos i sin 2 cos i sin3 3 3 3 3 3pi pi pi pi pi pi     + = + ⇒ + = + = +           ♦ ( ) ( ) ( )6 6 66 63 i 2 cos i sin 3 i 2 cos i sin 2 cos i sin6 6 6 6−pi −pi − pi − pi   − = + ⇒ − = + = −pi + −pi          ♦ ( ) ( )55 5 5 5 51 i 2 cos i sin 1 i 2 cos i sin 4 2 cos i sin4 4 4 4 4 4−pi −pi − pi − pi − pi − pi     − = + ⇒ − = + = +           Từ đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 68 6 14 5 2 22 cos i sin .2 cos i sin cos i sin1 i 3 3 i 23 3 3 3z 5 55 5 4 21 i cos i sin4 2 cos i sin 4 44 4 pi pi  −pi −pi+ −pi + −pi  +   + −   = = = − pi − pi − pi − pi  − ++    14 14 142 5 5 2 11 11 2 cos i sin cos i sin z 3 4 3 4 12 124 2 4 2 4 2  −pi pi −pi pi  pi pi      = + + + = + ⇒ =              b) Ta có: ♦ ( ) ( )66 6 6 3 31 i 2 cos i sin 1 i 2 cos i sin 8 cos i sin4 4 4 4 2 2pi pi pi pi pi pi     + = + ⇒ + = + = +           ♦ ( ) ( ) ( )4 4 6 63 3i 3 1 i 6 cos i sin 3 3i 6 cos i sin4 4 4 4−pi −pi − pi − pi   − = − = + ⇒ − = + =       3 336 cos i sin 2 2 − pi − pi  = +    ♦ ( )5 5 5 51 3i 2 cos i sin 1 3i 2 cos i sin3 3 3 3−pi −pi − pi − pi   − = + ⇒ − = +       Từ đó ta có: ( ) ( ) ( ) 46 5 5 3 3 3 38 cos i sin .36 cos i sin1 i 3 3i cos0 isin 02 2 2 2 z 9. 5 55 51 3i cos i sin2 cos i sin 3 33 3 pi pi − pi − pi    + +   + − +    = = = − pi − pi − pi − pi  − ++    5 59 cos i sin z 9 3 3 pi pi  = + ⇒ =    ♦ Ứng dụng 2: Tìm căn bậc n của số phức - Khái niệm căn bậc n: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Cho số phức z, một số phức w được gọi là căn bậc n của số phức z nếu wn = z. - Cách tìm căn bậc n của số phức z Giải sử số phức z đã cho là z = r(cosϕ + isinϕ), và số phức w là w = r’(cosϕ’ + isinϕ’) Khi đó điều kiện wn = z tương đương với: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nr ' cos ' i sin ' r cos i sin r ' cos n ' i sin n ' r cos i sinϕ + ϕ = ϕ + ϕ ⇔ ϕ + ϕ = ϕ + ϕ       Từ đó ta suy ra n n r ' rr ' r k2 n ' k2 ' n  = =  ⇒  ϕ + piϕ = ϕ + pi ϕ =   , với k = 0, 1, 2…n –1. Vậy các căn bậc n của số phức z là n k2 k2w r cos i sin , k 0, n 1 n n ϕ + pi ϕ + pi  = + = −    Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các căn bậc n theo yêu cầu a) Căn bậc 3 của z 3 i= − b) Căn bậc 4 của z = i Hướng dẫn giải: a) Ta có z 3 i 2 cos i sin 6 6 −pi −pi  = − = +    Gọi số phức w = r(cosϕ + isinϕ) là căn bậc 3 của z, khi đó w3 = z. Theo công thức tính căn bậc n của số phức ta có 3 k2 k2 6 6w 2 cos isin , k 0,2 3 3 −pi −pi  + pi + pi  = + =      Với k = 0 ta được 3 31 6 6w 2 cos isin 2 cos i sin3 3 18 18 −pi −pi    −pi −pi  = + = +         Với k = 1 ta được 3 32 2 2 11 116 6w 2 cos isin 2 cos i sin 3 3 18 18 −pi −pi  + pi + pi  pi pi  = + = +         Với k = 2 ta được 3 33 4 4 23 236 6w 2 cos isin 2 cos i sin 3 3 18 18 −pi −pi  + pi + pi  pi pi  = + = +         Vậy số phức đã cho có ba căn bậc ba là w1, w2, w3 như trên. b) Ta có z i cos i sin 2 2 pi pi = = + Gọi số phức w = r(cosϕ + isinϕ) là căn bậc 4 của z, khi đó w4 = z. Theo công thức tính căn bậc n của số phức ta có: 4 k2 k2 k2 k2 2 2 2 2w 1 cos isin cos i sin , k 0,3 4 4 4 4 pi pi pi pi + pi + pi + pi + pi  = + = + =      Với k = 0 ta được 1 2 2w cos isin cos i sin4 4 8 8 pi pi pi pi = + = + Với k = 1 ta được 2 2 2 5 52 2w cos isin cos i sin 4 4 8 8 pi pi + pi + pi pi pi = + = + Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Với k = 2 ta được 3 4 4 9 92 2w cos isin cos i sin 4 4 8 8 pi pi + pi + pi pi pi = + = + Với k = 3 ta được 4 6 6 13 132 2w cos isin cos i sin 4 4 8 8 pi pi + pi + pi pi pi = + = + Vậy số phức đã cho có bốn căn bậc bốn là w1, w2, w3, w4 như trên. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số a) ( ) ( )68z 1 i 1 i 3= + − b) ( )15z 2 2 3i= − c) 5 7pi piz cos i sin i .(1 3i) 3 3   = − +    d) ( ) ( )( ) 4 6 3 3 3i . 1 i z 3 i − − = + Bài 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác a) ( ) ( )7 10z 3 i 1 i= − − b) ( ) ( )8 10z 6 i 2 3 i= − − b) ( )( ) 7 8 1 i z 3 i + = − d) ( ) ( )89z 1 i 1 i 3= − + Bài 3: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác a) ( ) ( ) ( )7 10 4z 3 i 1 i 3 1 i= + − + b) ( )( ) 5 11 3 i z 1 i 3 + = − c) 20 1 i 3 z 1 i  + =    −  d) ( )( ) 6 7 10 3 i .(3i) z 1 i − = + Bài 4: [ĐVH]. Tìm các căn bậc 3 của: a) z = 1 b) z = 1 + i c) z = 1 – i d) z 1 3i= + Bài 5: [ĐVH]. Tìm các căn bậc 4 của: a) z 3 i= − b) z 2 2i= − c) z 1 i 3= + d) z i= − Bài 6: [ĐVH]. Tính: 2010 2010 1 z z + biết 1z 1 z + =

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdf04_dang_luong_giac_cua_so_phuc_bg_3923.pdf
Tài liệu liên quan