Cực trị tọa độ không gian

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! I. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ Dạng 1: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho = + +



u aMA bMB cMC có
u đạt min. Phương pháp giải: + Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức 0aIA bIB cIC+ + = 



+ Phân tích ( )( ) ( )u aMA bMB cMC a b c MI aIA bIB cIC a b c MI= + + = + + + + + = + +








Khi đó min u a b c MI u= + + ⇒ ⇔

M là hình chiếu vuống góc của I lên (P). Tọa độ điểm ( ; ; )M x y z thỏa mãn hệ phương trình ( )∈ = 

P M P IM kn Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho các điểm A(2; 1; −1), B(0; 3; 1) và ( ) : 3 0.P x y z+ − + = Tìm điểm M thuộc (P) sao cho a) min + 

MA MB b) min 2MA MB− 

Đ/s: a) (1;2;0), ( 1;0;2).I M − b) (4; 1; 3), (1; 4;0).I M− − − Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho các điểm A(1; 0; −1), B(2; −2; 1), C(0; −1; 0) và ( ) : 2 2 6 0.− + + =P x y z Tìm điểm M thuộc (P) sao cho a) min + + 


MA MB MC b) min 2 4 3− + 


MA MB MC Đ/s: a) (0;1; 2).≡ −M G b) 32 89 10( 6;5; 6), ; . 9 9 9   − − − −    I M Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho các điểm A(1; 1; 2), B(−2; 1; −7) và ( ) : 1 0.+ − + =P x y z Tìm điểm M thuộc (P) sao cho a) min + 

MA MB b) min 2 + 

MA MB Đ/s: b) (0;1; 1)−I Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho các điểm A(0; 1; −1), B(2; 3; −2), C(6; 1; 14) và ( ) : 2 1 0.+ − + =P x y z Tìm điểm M thuộc (P) sao cho min 2 3+ − 


MA MB MC Đ/s: ( )(2;2;1), 1;0;2 .I M Dạng 2: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho = + +2 2 2T aMA bMB cMC đạt max hoặc min. Phương pháp giải: +) Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức 0aIA bIB cIC+ + = 



14. CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P1 (Nâng cao) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! +) Phân tích 2 2 2 2( )= + + + + +T a b c MI aIA bIB cIC +) Nếu a + b + c > 0 thì T đặt min; a + b + c < 0 thì T đặt max Khi đó ax min min; ⇔ →mT T MI M là hình chiếu vuống góc của I lên (P). Tọa độ điểm ( ; ; )M x y z thỏa mãn hệ phương trình ( )∈ = 

P M P IM kn Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho các điểm A(−3; 5; −5), B(5; −3; 7) và ( ) : 0.+ + =P x y z Tìm điểm M thuộc (P) sao cho a) 2 2= +T MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. b) 2 22= −T MA MB đạt giá trị lớn nhất. Đ/s: a) (1;1;1); (0;0;0)I M b) (13; 11;9), (6; 18;12).− −I M Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho các điểm A(1; 4; 5), B(0; 3; 1), C(2; −1; 0) và ( ) : 3 3 2 15 0.− − − =P x y z Tìm điểm M thuộc (P) sao cho a) 2 2 2= + +T MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. b) 2 2 22 4= + −T MA MB MC đạt giá trị lớn nhất. Đ/s: a) (4; 1;0)≡ −M G là trọng tâm tam giác b) 25 74 9(7; 16; 7), ; . 11 11 11   − − − −    I M Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho các điểm A(1; 1; -1), B(2; 0; 1), C(1; −1; -1) và ( ) : 2 0.+ + + =P x y z Tìm điểm M thuộc (P) sao cho a) 2 22= +T MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. b) 2 2 22= + −T MA MB MC đạt giá trị lớn nhất. Đ/s: b) ( )(2;1;1), 0; 1; 1 .− −I M Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho các điểm A(0; 4; -2), B(1; 2; -1) và ( ) : 1 0.− + + =P x y z Tìm điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức 2 22−MA MB đạt giá trị lớn nhất? Đ/s: ( )(2;0;0), 1;1; 1 .−I M Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho các điểm A(1; 1; 0), 5 ; 1;0 , ( ) : 2 0 3   − − + =    B P x y z . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức 2 23−MA MB đạt giá trị lớn nhất? Đ/s: ( )(2; 2;0), 1;0; 1 .− −I M