Công thức xác suất thống kê

i. M t s công th c ph n xác su tộ ố ứ ầ ấ I. Xác su t c a bi n cấ ủ ế ố : * n(A) m (A) P(A)= P(B)+P(C) n u ế B và C là xung kh cắ * A=B+C ⇒ P(A)=P(B+C) = P(B)+P(C)-P(B.C) n u ế B và C là không xung kh cắ P(B).P(C) n u ế B và C là đ c l pộ ậ • A=B.C ⇒ P(A)=P(B.C) = P(B).P(C/B)=P(C).P(B/C) n u ế B và C là không đ c l pộ ậ * n21n21 A...AA...AAA +++= * n21n21 A...A.A...AAA =++ * P(A)+ ( )AP =1 • Công th c ứ Bernoulli: ( ) ( ) xnxxnn p1pCxP −−= , x = 0,1,2,…,n • Công th c ứ Xác su t đ y đấ ầ ủ: ∑ = = n 1i ii ))P(A/HP(HP(A) • Công th c ứ Bayes: n1,2,..,i /A))P(HP(H /A))P(HP(H P(A) /A))P(HP(H /A)P(H n 1i ii iiii i =∀== ∑ = II. Bi n ng u nhiên và quy lu t phân ph i xác su tế ẫ ậ ố ấ : 1. Các tham s đ c tr ngố ặ ư : ∑ = n 1i i pix n u ế X là bi n ng u nhiên ế ẫ r i r cờ ạ E(X) = ∫+∞ ∞− xf(x) n u ế X là bi n ng u nhiên ế ẫ liên t cụ ∑ = n i ii px 1 2 n u ế X là bi n ng u nhiên ế ẫ r i r cờ ạ E(X2) = ∫+∞ ∞− )(2 xfx n u ế X là bi n ng u nhiên liên t cế ẫ ụ V(X)= ( )( ) 2XEXE − = ( ) ( )( ) 22 XEXE − ( ) )(XVX =σ Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề 1 2. M t s quy lu t phân ph i xác su t thông d ngộ ố ậ ố ấ ụ : ♦X∼ A(P) ⇒ * ( ) ( ) 1;01 1 =−== − xppxXP xx * E(X)=p ; V(X)=p(1-p) ; ( ) )1( ppX −=σ ♦ X∼ B(n,p) ⇒ ( q=1-p ) * ( ) ( ) nxppCxXP xnxxn ,...,1,01 =−== − * E(X)=np ; V(X)=npq ; ( ) npqX =σ Nx ∈0 * M t c a Xố ủ ∼ B(n,p): x0 = pnpxpnp +≤≤−+ 01 ♦ X∼ P(λ) ⇒ * ( ) ! 1)( x eppCxXP x xnxx n λλ − − ≈−== ; x=0,1,2,… ( n khá l n, p khá nh ; ớ ỏ λ=np ) * E(X)=V(X)=λ; ( ) λσ =X * M t c a Xố ủ ∼ P(λ): λλ ≤≤− 01 x ; x0∈N ♦ X∼ N(µ ,σ 2) ( ) 2 2 2σ μx e 2 1 f(x) − − ∏=⇒ ( σ > 0 ) * E(X)=µ ; V(X)=σ 2 ; σ (X)=σ *    −Φ−   −Φ=<< σ µ σ µ abbXaP 00)( * P(X<b) 5,00 +   −Φ≈ σ µb * P(X>a)    −Φ−≈ σ µa 05,0 * ( )   Φ=<− σ ε εµ 02XP Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề X 0 1 P 1-p p X 0 1 … x … n P 000 −nn qpC 111 −n n qpC … xnxx n qpC − … 0qpC nnn 2 • Giá tr t i h n chu nị ớ ạ ẩ : * Đ nh nghĩa: ị ( ) αα =>UUP , U∼ N(),1) * Chú ý: 645,1;96,1; 05,0025,01 ==−=− UUUU αα • Giá tr t i h n Studentị ớ ạ : * Đ nh nghĩa: ị ( )( ) αα => nTTP , T∼ T(n) * Chú ý: αααα UTTT nnn ≈−= − )()()( 1 ; v i ớ 30≥n • Giá tr t i h n Khi bình ph ngị ớ ạ ươ : * Đ nh nghĩa: ị ( )( ) αχχ α => nP 22 , χ2∼χ 2(n) • Giá tr t i h n Fisher- Snedecorị ớ ạ : * Đ nh nghĩa: ị ( )( ) αα => 21 ,nnFFP , F ∼ F(n1,n2) * Chú ý: ( ) ( )12 21 , 1 , 1 nn nn F F α α − = III. Bi n ng u nhiên hai chi u r i r cế ẫ ề ờ ạ X Y 1x 2x …. ix …. nx T ngổ 1y P(x1,y1) P(x2,y1) …. P(xi,y1) …. P(xn,y1) P(Y=y1) 2y P(x1,y2) P(x2,y2) ….. P(xi,y2) ….. P(xn,y2) P(Y=y2) … …. …. … … … …. …. jy P(x1,yj) P(x2,yj) …. P(xi,yj) …… P(xn,yj) P(Y=yj) …. …. …. …. …. …. ….. …. my P(x1,ym) P(x2,ym) …. P(xi,ym) ….. P(xn,ym) P(Y=ym) T ngổ P(X=x1) P(X=x2) … P(X=xi) …. P(X=xn) 1 • ( ) ( )jiji yYxXPyxP === ,, • ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ == ==== n i jij m j jii yxPyYPyxPxXP 11 ,;, • ( ) ( )( ) ( )( )j ji ji yYP yYxXP yYxXP = == === , / • ( ) ( )( )( )( ) ( ) )()(,)(((, 1 1 YEXEyxPyxYEYXEXEYXCov n i m j jijiXY −=−−== ∑∑ = = µ • ( ) ( )YX XY XY σσ µρ = Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề 3 • ( ) ),(2)()( 22 YXabCovYVbXVabYaXV ++=+ III.M t s quy lu t s l nộ ố ậ ố ớ : • B t đ ng th c Trêb sépấ ẳ ứ ư : X b t kỳ; E(X), V(X) h u h n; ấ ữ ạ ε>0 ( )( ) 2 )(1 εε XV XEXP −≥<− ( )( ) 2 )(εε XVXEXP ≤≥−⇔ • Đ nh lý Trêb sépị ư : X1, X2,…, Xn đ c l p t ng đôi; E(Xộ ậ ừ i), V(Xi) h u h n ữ ạ ∀i=1,2,…,n; ε>0 ( ) 111 11 =    <− ∑∑ == ∞→ ε n i i n i in XE n X n PLim • Đ nh lý Bernoulliị : f là t n su t xu t hi n bi n c ầ ấ ấ ệ ế ố A trong l c đ Bernoulli v i 2 tham s n, pượ ồ ớ ố ε > 0 , ta có ( ) 1=<− ∞→ εpfPLim n B. M t s công th c trong ph n Th ng kê toánộ ố ứ ầ ố I. M t s công th c trên m uộ ố ứ ẫ : ( ) ∑ ∑∑ = == −= − = −=== k i ii k i ii k i ii xn n sMs n ns xxMsxn n xxn n x 1 22* 22 1 22 1 )(1; 1 ;1;1 µ * T n su t m u f là hình nh c a tham s p trong t ng th trên m u.ầ ấ ẫ ả ủ ố ổ ể ở ẫ * T ng th : Xổ ể ∼ ( )2,σµN ⇒ X ∼     n N 2 ,σµ ⇒ ( ) ( ) n XVXE 2 , σµ == * T ng th ổ ể X∼ A(p) ⇒ f ∼    n pqpN , ⇒ ( ) ( ) n pqfVpfE == , ( khi n đ l n).ủ ớ II. M t s công th c v c l ngộ ố ứ ề ướ ượ : 1. c l ng giá tr tham sƯớ ượ ị ốµ trong quy lu t ậ ( )2,σµN Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề 4 Cô ng th cứ Tr ng h p đã bi t ườ ợ ế 2σ (ít g p)ặ Tr ng h p ch a bi t ườ ợ ư ế 2σ (th ng g p)ườ ặ n≤30 n>30 KTC đ iố x ngứ 22 αα σµσ U n xU n x +<<− )1( 2 )1( 2 −− +<<− nn T n sxT n sx αα µ 22 αα µ Un sxU n sx +<<− KTC cướ l ngượ maxµ α σµ U n x +< <µ ( )1−+ nTn sx α <µ αUn sx + KTC cướ l ngượ minµ α σµ U n x −> >µ ( )1−− nT n sx α >µ αUn sx − Công th cứ xác đ nhị kích th cướ m u m iẫ ớ (n*) sao cho: Giữ nguyên độ tin c yậ (1-α) và mu n đố ộ dài kho ngả tin c yậ đ i x ngố ứ I≤ I0 2 2/2 0 2 * 4 α σ U I n ≥ 2)1( 2/2 0 2 * )(4 −≥ nT I sn α 2 2/2 0 2 * 4 αUI sn ≥ Chú ý : 2 I =ε 2. c l ng giá tr tham s p trong quy lu t A(pƯớ ượ ị ố ậ ) KTC đ i x ngố ứ 22 )1()1( αα Un ff fpU n ff f − +<< − − KTC c l ng ướ ượ maxp αUn ff fp )1( − +< KTC c l ng ướ ượ minp αUn ff fp )1( − −> Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề 5 Công th c xác đ nhứ ị kích th c m u m i (nướ ẫ ớ *) sao cho: Gi nguyên đ tin c y (1-ữ ộ ậ α) và mu n đ dài kho ng tinố ộ ả c y đ i x ng Iậ ố ứ ≤ I0 ( ) 2 2/2 0 * 14 αUI ffn −≥ Chú ý : 2 I =ε Chú ý : N u P=ế N M thì có th c l ng M qua P và N (quan h M và P là thu n chi u), có thể ướ ượ ệ ậ ề ể c l ng N qua P là M (quan h N và P là ng c chi u).ướ ượ ệ ượ ề 3. c l ng giá tr tham sƯớ ượ ị ố 2σ trong quy lu t ậ ( )2σ,μN Công th cứ Tr ng h p ườ ợ đã bi t ế µ (ít g pặ ) Tr ng h p ườ ợ ch a bi t ư ế µ (th ng g p)ườ ặ KTC hai phía ( )nn snsn 2 2 1 2* 2 )(2 2/ 2* αα χσχ − << ( )12 2 1 2 2 )1(2 2/ 2 )1()1( − − − − << − nn snsn αα χ σ χ KTC cướ l ng ượ max2σ ( )n ns 2 1 2* 2 αχσ −< ( )121 2 2 )1( − − − < n sn αχ σ KTC cướ l ng ượ min2σ ( )n ns 2 2* 2 αχ σ > ( )12 2 2 )1( − − > n sn αχ σ III. M t s công th c v ki m đ nh gi thuy t th ng kêộ ố ứ ề ể ị ả ế ố ♦Ki m đ nh v tham s c a quy lu t phân ph i g cể ị ề ố ủ ậ ố ố 1. Bài toán ki m đ nh v tham s ể ị ề ố µ trong quy lu t ậ ( )2,σµN : a. Bài toán so sánh µ v i giá tr th c cho tr c ớ ị ự ướ 0µ Tr ng h pườ ợ 2σ đã bi t (ế ít g pặ ) C p gi thuy t c n ki mặ ả ế ầ ể đ nhị Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0 H0: 0µµ = H1: 0µµ > ( )    >−== αα σ µ UU nx UW ;0 H0: 0µµ = H1: 0µµ < ( )    −<−== αα σ µ UU nx UW ;0 H0: 0µµ = H1: 0µµ ≠ ( )    >−== 2/0 ; αα σ µ UU nx UW Tr ng h pườ ợ 2σ ch a bi t (ư ế th ng g pườ ặ ) Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0 Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề 6 C p gi thuy tặ ả ế c nầ ki m đ nhể ị Tr ng h p ườ ợ n≤30 Tr ng h p ườ ợ n>30 H0: 0µµ = H1: 0µµ > ( ) ( )    >−== −10 ; nTTs nx TW αα µ ( )    >−== αα µ UUs nx UW ;0 H0: 0µµ = H1: 0µµ < ( ) ( )    −<−== −10 ; nTTs nx TW αα µ ( )    −<−== αα µ UUs nx UW ;0 H0: 0µµ = H1: 0µµ ≠ ( ) ( )    >−== −12/0 ; nTTs nx TW αα µ ( )    >−== 2/0 ; αα µ UUs nx UW b. Bài toán so sánh hai tham s ố 1µ v i ớ 2µ c a 2 quy lu t phân ph i chu n ủ ậ ố ẩ Tr ng h pườ ợ 2221 , σσ đã bi t (ế ít g pặ ) C p gi thuy t c n ki mặ ả ế ầ ể đ nhị Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0 H0: 21 µµ = H1: 21 µµ >       > + − == αα σσ UU nn xx UW ; 2 2 2 1 2 1 21 H0: 21 µµ = H1: 21 µµ <       −< + − == αα σσ UU nn xx UW ; 2 2 2 1 2 1 21 H0: 21 µµ = H1: 21 µµ ≠       > + − == 2/ 2 2 2 1 2 1 21 ; αα σσ UU nn xx UW Tr ng h p ườ ợ 2221 , σσ ch aư bi t; nế 1 30≥ , n2 30≥ (th ng g p)ườ ặ C p gi thuy t c n ki mặ ả ế ầ ể đ nhị Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0 H0: 21 µµ = H1: 21 µµ >       > + − == αα UU n s n s xx UW ; 2 2 2 1 2 1 21 Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề 7 H0: 21 µµ = H1: 21 µµ <       −< + − == αα UU n s n s xx UW ; 2 2 2 1 2 1 21 H0: 21 µµ = H1: 21 µµ ≠       > + − == 2/ 2 2 2 1 2 1 21 ; αα UU n s n s xx UW Tr ng h p ườ ợ 2221 , σσ ch aư bi tế C p gi thuy t c n ki mặ ả ế ầ ể đ nhị Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0 H0: 21 µµ = H1: 21 µµ > ( )       > + − == kTT n s n s xx TW αα ; 2 2 2 1 2 1 21 H0: 21 µµ = H1: 21 µµ < ( )       −< + − == kTT n s n s xx TW αα ; 2 2 2 1 2 1 21 H0: 21 µµ = H1: 21 µµ ≠ ( )       > + − == kTT n s n s xx TW 2/ 2 2 2 1 2 1 21 ; αα ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )222121 1 2 1 2 1 2 2 21 // / ; 111 11 nsns ns c cncn nn k + = −−+− −− = 2. Bài toán ki m đ nh v tham s ể ị ề ố 2σ trong quy lu t ậ ( )2,σµN : a. Bài toán so sánh 2σ v i giá tr th c cho tr c ớ ị ự ướ 20σ Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề 8 C p gi thuy t c n ki mặ ả ế ầ ể đ nhị Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0 H0: 202 σσ = H1: 202 σσ > ( )     > − == − )1(22 2 0 2 2 ;1 nsnW αα χχσ χ H0: 202 σσ = H1: 202 σσ < ( )     < − == − − )1(2 1 2 2 0 2 2 ;1 nsnW αα χχσ χ H0: 202 σσ = H1: 202 σσ ≠ ( )     − == − − − )1(2 2/1 2)1(2 2/ 2 2 0 2 2 ;1 nn haysnW ααα χχχχσ χ b. Bài toán so sánh hai tham s ố 21σ v i ớ 22σ c a 2 quy lu t phân ph i chu nủ ậ ố ẩ C p gi thuy t c nặ ả ế ầ ki m đ nhể ị Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0 H0: 2221 σσ = H1: 2221 σσ >     >== −− )1,1(2 2 2 1 21; nnFF s s FW αα H0: 2221 σσ = H1: 2221 σσ <     <== −− − )1,1( 12 2 2 1 21; nnFF s s FW αα H0: 22 2 1 σσ = H1: 22 2 1 σσ ≠     == −− − −− )1,1( 2/1 )1,1( 2/2 2 2 1 2121; nnnn FFhayFF s sFW ααα 3. Bài toán ki m đ nh v tham s p trong quy lu t A(p)ể ị ề ố ậ : a. Bài toán so sánh giá tr tham s p v i giá tr th c pị ố ớ ị ự 0 cho tr c:ướ C p gi thuy t c n ặ ả ế ầ ki m đ nhể ị Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0 H0: 0pp = H1: 0pp > ( ) ( )       > − − == αα UUpp npf UW ; 1 00 0 H0: 0pp = H1: 0pp < ( ) ( )       −< − − == αα UUpp npf UW ; 1 00 0 H0: 0pp = H1: 0pp ≠ ( ) ( )       > − − == 2/ 00 0 ; 1 αα UU pp npfUW b. Bài toán so sánh hai tham s ố 1p v i ớ 2p c a 2 quy lu t Không-M tủ ậ ộ Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề 9 Trong đó: 21 2211 nn fnfn f + + = ♦ Ki m đ nhphi tham sể ị ố • Ki m đ nh v d ng quy lu t phân ph i g c:ể ị ề ạ ậ ố ố * C p gi thuy t c n ki m đ nh: ặ ả ế ầ ể ị H0: X ∼ Quy lu t Aậ H1: X ∼ Quy lu t Aậ (Xét quy lu t A là r i r c)ậ ờ ạ * Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0: ( ) ( )    > ′ ′ − == −− = ∑ 122 1 2 2 ; rk k i i ii n nn W αα χχχ Trong đó: M u ng u nhiên 1 chi u v X là ẫ ẫ ề ề X(n); xi xu t hi n nấ ệ i l n ; ầ nn k i i =∑ =1 ; ii npn =′ ; ( )ii xXPp == ; r là s tham s trong quy lu t A c n c l ng, tham s c a quy lu t A đ cố ố ậ ầ ướ ượ ố ủ ậ ượ c l ng b ng ph ng pháp c l ng h p lý t i đa; ướ ượ ằ ươ ướ ượ ợ ố Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề C p gi thuy t c nặ ả ế ầ ki m đ nhể ị Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0 H0: 21 pp = H1: 21 pp > ( )       >     +− − == αα UU nn ff ff UW ; 111 21 21 H0: 21 pp = H1: 21 pp < ( )       −<     +− − == αα UU nn ff ff UW ; 111 21 21 H0: 21 pp = H1: 21 pp ≠ ( )       >     +− − == 2/ 21 21 ; 111 αα UU nn ff ff UW 10 • Ki m đ nh v tính đ c l p hay ph thu c c a 2 d u hi u đ nh tính:ể ị ề ộ ậ ụ ộ ủ ấ ệ ị * C p gi thuy t c n ki m đ nh: ặ ả ế ầ ể ị H0: X , Y là đ c l pộ ậ H1: X , Y là ph thu cụ ộ * Mi n bác b c a gi thuy t Hề ỏ ủ ả ế 0: ( )( )( )       >    −== −− = = ∑∑ 1122 1 1 2 2 ;1 kh h i k j ji ij mn n nW αα χχχ Trong đó: M u ng u nhiên 2 chi u v X,Y là ẫ ẫ ề ề X(n); giá tr (xị i,yj )xu t hi n nấ ệ ij l n;ầ nmnnnnmn k j j h i i h i k j iji k j ijj h i ij ===== ∑∑∑∑∑∑ === === 111 111 ,, . • Ki m đ nh Jarque-Bera v d ng phân ph i chu n:ể ị ề ạ ố ẩ H0 : X tuân theo quy lu t phân ph i chu nậ ố ẩ +> H1: X không tuân theo quy lu t phân ph i chu n ậ ố ẩ → MBB c a Hủ 0 :     >   − +== 2(2)α 2 4 2 3 α χJB;24 3)(a 6 a nJBW ( a3 là h s b t đ i x ng, aệ ố ấ ố ứ 4 là h s nh n)ệ ố ọ ------------------------------------------------------------------------------------- Ph m H ng Huy n-TKTạ ươ ề 11