Cơ sở toán học trong đo đạc

Chương 2 CƠ SỞ TOÁN HỌC TRONG ĐO ĐẠC 2.1. TÍNH TOÁN TRONG ĐO ĐẠC 2.1.1. Sai số trong đo đạc 2.1.1. Khái niệm sai số và ý nghĩa Khái niệm về sai số Trong đo đạc khi đi xác định vị trí tương quan của các điểm trên mặt đất ta phải tiến hành đo các đại lượng cần thiết. Các đại lượng đo là khoảng cách, chênh cao giữa hai điểm, gốc giữa hai hướng..v..v.. Để xác định được các đại lượng đó phải dùng các dụng cụđo tiến hành đo theo một phương pháp xác định. Nếu gọi X là giá trị "Thật" cần tìm của đại lượng cần đo. Trong quá trình đo thu được kết quả là D. Kết quảđo D này có thể gần bằng, cũng có thể bằng X. Như vậy giữa giá trị cần tủn và kết quảđo tồn tại quan hệ: X - D = ± ε Trong đó: ± ε là sai số thực của các kết quảđo D. Giá trị thực X là đại tượng cần tủn, trên thực tế khi đo chỉ thu được các kết quả đo D. Vậy muốn tìm giá trị thực X thì ta cần tìm cách làm cho hệ số E là nhỏ nhất. Trong đo đạc ta thường bắt gặp hai cách đo: Đo trực tiếp và đo gián tiếp. Đo trực tiếp một đại lượng là so sánh nó với đại lượng đơn vị bằng cách đặt trực tiếp đại lượng đơn vị vào đại lượng đo. Ví dụ: Dùng thước thép đo trực tiếp độ dài các đoạn thẳng trên mặt đất. Còn đo gián tiếp là xác định các giá trị của đại lượng cần đo thông qua việc đo trực tiếp các đại lượng khác. Ví dụ: Đo độ dài một cạnh trong một tam giác ta có thể xác định nhờ vào đo hai góc và một cạnh khác của tam giác đo. • Nguyên nhân gây ra sai số Khi đo nhiều lần một đại lượng nào đó như đường kính hoặc chiều cao cây chẳng hạn, người ta thấy kết quả nhận được của đại lượng đo giữa các lần đo không giống nhau, điều đó chứng tỏ trong kết quảđo có sai số. Qua nghiên cứu và tìm hiểu người ta thấy có ba nguyên nhân chính là gây nên sai sốđo đạc: Do dụng cụđo: Một trong các nguyên nhân làm cho kết quảđo khác nhau là do dụng cụđo vì công nghệ chế tạo các công cụđó chỉ đạt đến độ chính xác nhất định. Do người đo: Khả năng giác quan của con người có hạn, nên khi đặt dụng cụđo không đúng vị trí, đọc sai kết quả...hoặc do một sơ xuất nào đó của người đo dẫn tới kết quảđo có sự sai số. Do điều kiện bên ngoài: Bao gồm nhiệt độ, độ ẩm, gió những yếu tố này thay đổi trong quá trình đo làm cho kết quảđo có sự sai số. Như vậy nhìn chung khi đo một đại lượng nào đó nhiều lần chúng ta nhận được các giá trị khác nhau do "điều kiện đo". Vấn đề là từ kết quả đố làm thế nào để nhận được các giá trị tin cậy nhất của đại lượng đo, đồng thời đánh giá được độ chính xác của độ tin cậy đó • Ý nghĩa của việc nghiên cứu sai số trong đo đạc Trong bất kỳ một phép đo nào đó đều có chứa sai số nhất định, việc nghiên cứu những sai số này có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong công tác đo đạc bởi: -Hạn chế được tối đa những phép đo chứa sai số lớn, đặc biệt do sai lầm. -Đánh giá được chất lượng kết quảđo, đây là một thông số kỹ thuật quan trọng của đo đạc. -Lựa chọn phương pháp đo hợp lý đảm bảo độ chính xác cho phép, ít tốn thời gian, công sức của người đo. 2.1.1.2. Phân loại sai số 2.1.1.2.1. Sai lầm Đây là những sai số có giá trị tuyệt đối lớn nguyên nhân gây ra sai lầm là do sự sơ suất, sự không chú ý của người làm công tác. Sai số này thường có trị số rất lớn, sai số này rất dễ phát hiện nếu chúng ta đo một đại lượng nào đồ một số lần nhất định. Nếu kết quảđo các sai số này chúng ta nhất thiết phải loại nó ra khỏi dãy phép đo. Kiểm tra trực tiếp có nghĩa là chúng ta đo lại đại lượng đó vẫn theo phương pháp cũ Kiểm tra gián tiếp nghĩa là đo lại đại lượng đó bằng một phương pháp khác độc lập với phương pháp trước đây là cách nên dùng hơn cả. Ví dụ: Đo đoạn đường dài 100 m bằng thước 20 mà Người đo phải đo 5 lần, nhưng khi nhớ lại nhớ nhầm đo có 4 lần làm cho kết quảđo đoạn đường chỉ dài 80m. 2.1.1.2.2. Sai số hệ thống Nguyên nhân gây ra sai số hệ thống thường là do dụng cụđo, ngoài ra còn có thể do người đo hoặc dụng cụ bên ngoài. Đặc điểm của sai số này là giá trị và dấu của nó không đổi trong suốt quá trình đo. Sai số này có thể khắc phục được nếu chúng ta tìm ra nguyên nhân. Đây cũng là loại sai số cần loại bỏ trong dãy phép đo. Nói chung, chúng ta có thể biết được nguyên nhân và giá trị của các sai số hệ thống. Do vậy chỉ cần loại trừ hoặc làm giảm ảnh hưởng của chúng khỏi kết quảđo bằng cách: tính toán, hiệu chỉnh vào kết quảđo (chẳng hạn kiểm nghiệm thước khi đo dài); dùng phương pháp đo thích hợp. Ví dụ: Đảo ống kính giữa hai lần đo khi đo góc Ví dụ: Dùng loại thước dài 30 m để đo dài một đoạn thẳng, nhưng thực tế toàn bộ chiều dài thước chỉ có 29,90 m. Nếu dùng thước này đo độ dài một đoạn đường nào đó thì mỗi lần đo sẽ thiếu 0, 1 m do thước. Đặc biệt nếu đo nhiều đoạn thì sai số sẽ càng lớn Đó chính là sai số hệ thống do thước. 2.1.1.2.3. Sai số ngẫu nhiên Sai số này gây ra do nhiều nguyên nhân như người đo, dụng cụđo và điều kiện ngoại cảnh Đây là loại sai số có giá trị nhỏ có trị số và dấu thay đổi trong quá trình đo. Như vậy đây là loại sai số không thể loại bỏ được trong phép đo. Đây cũng chính là đối tượng xem xét của sai số trong đo đạc, tuy nhiên khi tiến hành với một số lượng lớn các phép đo sau đó tìm và biểu diễn tương quan giữa số lần xuất hiện với giá trị của sai số. Chúng ta sẽ nhận được các tính chất của sai số ngâu nhiên như sau: Sai số ngẫu nhiên có giá trị càng nhỏ (giá trị tuyệt đối) thì số lần xuất hiện càng nhiều. Sai số ngẫu nhiên âm và dương có trị số tuyệt đối bằng nhau thì số lần xuất hiện gần bằng nhau. Sai số ngẫu nhiên không vượt quá một giới hạn nhất định, giới hạn này được quy định bởi dụng cụđo và phương pháp đó. Trị trung bình của các sai số ngẫu nhiên có xu hướng tiến tới 0 khi số phép do tiến đến vô cùng (∞ ). Ví dụ: Khi đo cạnh đấu thước có thể đạt đúng vị trí, cũng có thể đặt sai vị trí (trước hoặc sau vị trí). Khi đo thước bị võng, nhưng võng ít hay nhiều phụ thuộc vào lực kéo thước khi đo. Độ giãn của thước bị thay đổi khi nhiệt độ không khí thay đổi. Những thay đổi trên là ngẫu nhiên vì vậy khi ảnh hưởng đến kết quảđo cũng là ngẫu nhiên. Chú ý: Trong sai số ngâu nhiên người ta vẫn thấy có quy luật nhất định. Ví dụ: Tung một đồng xu cân đối đồng chất nhiều lần thì số lần xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa gần như bằng nhau. Tóm lại: Sai số tính toán hoàn toàn có thể loại bỏ được bằng cách chọn số lẻ thích hợp và phương pháp tính hợp lý Trong sai sốđo có sai lầm, sai số hệ thống và sai số ngẫu nhiên. Sai lầm là loại sai số không thể chấp nhận được, phải tìm mọi biện pháp phát hiện và loại bỏ. Khi kỹ thuật đo đạc ngày càng phát triển thì sai số hệ thống cũng dần được hạn chế và loại bỏ nếu chúng ta biết được quy luật tác động của từng nguyên nhân tới kết quảđo. Còn sai số ngẫu nhiên là sai số không gì loại bỏ được, nhưng nếu trong kết quảđo không chứa sai lầm và sai số hệ thống thì hoàn toàn yên tâm, dùng phương pháp số bình phương nhỏ nhất làm giảm nhỏ sai số trong kết quả sau tính toán bình sai và tìm được kết quảđáng tin cậy nhất. Trong đo đạc muốn hạn chế sai số ngẫu nhiên ta cần tiến hành đo nhiều lần trong những điều kiện khác nhau nhất định rồi lấy kết quả trung bình của chúng. 2.1.1.3. Một số phương phát đánh giá độ chính xác kết quảđo 2.1.1.3.1. Sai số trung bình (s) Giả sửđo một đại lượng nào đó n lần được các kết quả là l1, l2, ln… Trị thật của đại lượng đo kí hiệu là X. Khi đó nếu kí hiệu sai số ngẫu nhiên thực là ∆i thì:. ∆i = X - li nghĩa là sai số thực bằng trị thực trừđi trịđo Để đánh giá độ chính xác của dãy kết quảđo này người ta thường dùng sai số trung bình cộng Thường được kí hiệu là s và được tính theo công thức sau Trong đó: s: Sai số trung bình cộng ∆i: Sai số ngẫu nhiên n: Số lần đo Ví dụ: Hai tổ A và B cùng đo một đoạn thẳng được các kết quả có chứa những sai số thật như sau: Tổ A có dãy sai số thật là +5, -6, -8, +9, -10, +12, +13 Tổ B có dãy sai số thật là: -3, +4, +5, -8, +lo, -15, -18 Muốn biết kết quảđo của tổ nào chính xác hơn ta phải tính sai số trung bình s theo công thức (*) ta có: -Tổ A Tổ B: Nghĩa là sA = sB = \ do đó ta kết luận tổ A, tổ B đo chính xác như nhau. 2.1.1.3. 2. Sai số trung phương (m ) Đây là công thức do Gauss đưa ra hay chính là công thức trung bình bình phương, kí hiệu là m. Qua công thức trung bình (s) mới chỉ phản ánh được một đặc điểm của các sai số về giá trị tuyệt đối, còn chưa phản ánh được mức độ dao động của các sai số. Để thấy rõ đặc điểm giao động của sai số phải dùng sai số trung phương m theo định nghĩa sau đây: Với ví dụ trên ta có: -Tổ A và tổ B: Nhờ vào đó ta kết luận tổ A chính xác hơn tổ B. Nhận xét: Muốn tính được sai số trung phương theo công thức (**) thì phải tính được các sai số thật ∆i = X - li; nghĩa là phải biết được giá trị thật X của đại lượng cần đo. Trong thực tế có nhiều trường hợp không thể biết được X. Vì thế nhà trắc địa Betsen đã lìm ra công thức sau dây để tính sai số trung phương Như vậy muốn giảm sai số thì phải tăng số lần đo. 2.1.1.3.3. Sai số xác suất (p) Người ta có thểđánh giá chất lượng phép đo bằng cách tính của xác suất trong trường hợp đó người ta sắp xếp các sai số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn về trị tuyệt đối khi đó sai sốở giữa của dãy đó được gọi là sai số xác suất. Sai số xác suất có mối quan hệ mật thiết với sai số trung bình cộng (s) và sai số trung phương (m). Qua nghiên cứu các tác giảđã đưa ra được mối quan hệ giữa các sai số này như sau: p/s/m tương ứng là: 0,67/0,8/1,0 2.1.1.3.4. Sai số tương đối (1/T) Trong một số trường hợp người ta nhận thấy nếu chỉ tính những sai số nói trên (gọi là các sai số tuyệt đối), nhiều khi chúng ta không thấy hết thực chất của chất lượng phép đo. Trong những trường hợp như vậy người ta phải tính sai số tương đối Sai số tương đối được kí hiệu bằng phân số 1/T. Được tính bằng sai số trung phương trên giá trị đại lượng đo. 1/T = m/ giá trị đại lượng đo. Ví dụ: Có hai cạnh đo với các kết quả và sai số trung phương như sau: D12 = 100 m; m12 = - 1 cm D23 = 2 m; m23 = - 1 mm Dùng sai số tương đối để so sánh: 1/T12 = 100m; m12 = ± 1cm D23 = 2m; m23 = ± 1mm Vậy phép đo D12 chính xác hơn phép đo D23. 2.1.1.3.5. Sai số giới hạn (f) Trong điều kiện đo xác định thì giá trị của các sai số ngẫu nhiên không thể vượt quá một giới hạn nhất định. Giá từđó gọi là sai số giới hạn và kí hiệu là f. Nghiên cứu sai số ngẫu nhiên người ta thấy: Trong 1000 sai số thực có ba giá trị vượt quá giới hạn ba lần giá trị của sai số trung phương m. Trong 100 sai số thực có năm giá trị vượt quá giới hạn hai lần của sai số trung phương m. Vì vậy, thường chọn sai số giới hạn bằng ba lần sai số trung phương. f = 3.m Trong trường hợp yêu cầu độ chính xác cao thì chọn sai số giới hạn bằng hai lần sai số trung phương f = 2.m Kết luận: (1) Sai số trung phương m để so sánh, đánh giá độ chính xác của kết quảđo. (2) Sai số xác suất p để chỉ ra khoảng giá trị có khả năng xuất hiện của các sai số trong các kết quảđo. (3) Sai số giới hạn f để loại các kết quả mang sai số sai lầm ra khỏi kết quảđo. (4) Sai số tương đối là để so sánh các kết quảđo cạnh 2.1.1.4. Sai số trung phương của một hàm số các kết quảđo Giả sử trong tam giác AEC đo hai góc được góc E và góc C với các sai số tương ứng là mE và mC Ta tính được góc Â= 1800 - (Ê +Ĉ), nghĩa là A là một hàm số của Ê và Ĉ, mà Ê và Ĉ dã có sai số thì ắt góc  cũng phải có sai số. Vậy mA của nó bằng bao nhiêu? Một cách tổng quát hơn khi một đại lượng nào đó là hàm số của các đại lượng đo đạc độc lập khác thì độ chính xác của các đại lượng ấy được tính như thế nào? Nếu có hàm số nhiều. biến số F=f(x,y,…,v), trong đó x,y,...,v là các biến sốđo đạc độc lập có các sai số trung bình tương ứng mx, my,..., mv thì sai số trung phương của hàm số mF được tính theo công thức: Trong đó: Các đạo hàm riêng phần của hàm số F theo từng biến số x y,…,v tương ứng. Ví dụ: Trong tam giác AEC đo hai góc được góc Ê = 50000'00" với mB = ± 3" và Ĉ = 60 0 00'00" với mC = ± 4". Tính góc  và mA; Tính được  = 1800 - (Ê + Ĉ) = 70000'00" Sai số trung phương của góc A tính theo công thức: 2.1.1.5. Số trung bình cộng và sai số trung phương M của nó Giả sử chiều dài thật của đoạn thảng AB là X chưa biết. Muốn biết đoạn thẳng AB là bao nhiêu ta phải đo n lần, được các kết quảđo là l1, l2,…, ln với các sai số trung phương tương ứng là m1, m2,…, mn. Hỏi Chiều dài của đoạn AB là bao nhiêu (và sai số tương ứng của nó). Gọi x là trung bình cộng của trị sốđo: Gọi x là hàm số của các đại lượng mx -đo li, theo công thức trên tính được sai số trung phương của hàm x là: Giả sử coi m1 = m2 = … = mn = m thì sẽ tính được sai số trung phương của số trung bình cộng là m : x Từ công thức trên rút ra nhận xét số trung bình cộng có sai số bé hơn n lần so với sai số của từng kết quảđo. Do đó, ta lấy số trung bình cộng làm chiều dài của đoạn AB. 2.1.2. Hai bài toán cơ bản trong đo đạc Trong đo đạc, việc tính tọa độ các điểm khống chế mặt. bằng phải, đưa vào. số liệu gồm có: Tọa độ điểm đầu, góc định hướng và độ dài cạnh. Cách tọa như vậy gọi là bài toán thuận tọa độ. Ngược lại, nếu biết tọa độ 2 điểm, tìm góc định hướng và độ dài cạnh, gọi là bài toán nghịch tọa độ. Hai bài toán cơ bản này là công cụ không thể thiếu được trong việc tính toán tọa độ các điểm khống chế mặt bằng. 2.1.2.1. Bài toán thuận tọa độ -Giả sử cần có tọa độ điểm B, xuất phát từ tọa độ điểm A là xA, xB tiến hành đo độ dài SAB, góc định hướng αAB. Nội dung tính tọa độ điểm B như sau: Giải: XB = XA + ∆AB = XA + SAB.cos αAB YB = YA + ∆yAB = YA + SAB. sin αAB Công thức trên chỉ phù hợp với việc tính toán bằng máy tính. Nếu muốn sử dụng bảng.lôgant ta phải log hoá hai vế về số gia tọa độ rồi tra ngược để có số gia tọa độ: ∆x = S.cos αAB; ∆y = S.sinαAB Cuối cùng có: XB = XA + ∆xAB Y B = YA + ∆yAB Ví dụ: Cho biết tọa độ điểm A là: XA = 498 m; YA = 107 m; chiều dài cạnh AB là 213 m; góc định hướng αAB = 137 0 . Hãy xác định tọa độđiểm B? Giải: Áp dụng công thức trên ta có: ∆x = S.cosαAB = 213.cos137 0 ∆y = S.sinαAB = 213.sin137 0 Vậy tọa độ của điểm B là: XB = XA + ∆xAB = 498 + 213.cos137 0 = 342,22 m YB = YA + ∆yAB = 498 + 213.sin137 0 = 342,22 m 2.1.2.2. Bài toán nghịch tọa độ Trường hợp, nếu biết tọa độ hai điểm A và B phải tìm góc định hướng và độ dài cạnh, thì được gọi là bài toán ngược tọa độ. Tóm tắt giải nội dung bài toán ngược tọa độ như sau: Giả sử cần có độ dài SAB, góc định hướng αAB khi biết tọa độ điểm A là XA, YA, tọa độ điểm B là XB, YB. Giải: ∆y = YB - YA; ∆x = XB - XA Ví dụ: Cho tọa độ của điểm M (XM = 152 m; YM = 365 m); tọa độ của điểm N (XN = 306 m; YN = 504 m). Hãy xác định góc định hướng AMN và độ dài MN? Giải Áp dụng công thức trên ta có: Vậy độ dài MN sẽ được tính bằng Và góc định hướng φMN sẽ là: 2.2. MỘT SỐ ĐƠN VỊ THƯỜNG DÙNG TRONG ĐO ĐẠC 2.2.1. Đơn vịđo dài Đơn vịđo dài là mét và ký hiệu là m. Theo định nghĩa, mét là khoảng cách mà ánh sáng đi được trong chân không trong khoảng thời gian: 1/299792456 giây (Nguyễn Thế Thận, 1999). Một định nghĩa khấc người ta cho mét là 1.552.734,83λk (ký hiệu là m). Trong đó λk là bước sóng của ta hồng ngoại do Cadimi (Cd) phát ra trong điều kiện tiêu chuẩn. Ngoài đơn vịđo mét dùng trong đo dài người ta còn dùng các bội số của mét như đềcamét (dam), hectômet (hm), kilômet (km). Các ước số của mét là đềximet (dm), xăngtimet (cm) và milimet (mm) 2.2.2. Đơn vịđo góc Độ: Một vòng tròn có 360 độ ( 0 ), góc 1 0 chắn cung có chiều dài bằng 1/360 chu vi đường tròn. Phút (') 1'=1/600 hay 10:60' Giây (") 1,=1/60' hay 1':60" Grát: Một vòng tròn có 400 grát ( g ). Góc 1 g chắn cung bằng 1/400 chu vi đường tròn. Xăngtigrát (c) 1 c = 1/100 g hay 1 g = 100 cc Xăngtixăngtigrat (cc) 1cc = 1/100c hay 1c = 100cc Hằng số chuyển đổi cung giữa đơn vịđo góc trong hệ độ và đơn vịđo trong hệ rađian Một đường tròn có bán kính là R có chiều dài chu vi là 2piR. Hằng số pi để chuyển đổi cung từ đơn vị do dài sang đơn vịđo góc, ngược lại có hằng số rô (ρ) chuyển đổi cung từ đơn vịđo góc sang đơn vịđo dài ρ 0 = 180 0 / pi ≈ 57,3 ρ' = ρ0/60 ≈ 3.438 ρ" = ρ/60 ≈ 206.265 2.2.3. Đơn vịđo diện tích Đơn vị đểđo diện tích là mét vuông, kí hiệu là m 2 . Ước số của mét vuông là Đềcimet vuông (dm2) = 1m2. 10-2 Xăngtimet vuông (cm 2 ) = 1m 2 . 10 -4 Milimet vuông (mm2) = 1m2.10-6 Bội số của mét vuông là: Are (a) = 1m 2 .10 2 Hecta (ha) = 1m 2 .10 4 Kilômet vuông (km2): 1m2.106 2.2.4. Đơn vịđo thể tích Đơn vị đểđo thể tích và mét khối, kí hiệu là m 3 . chúng ta hay bắt gặp Đềximel khối (dm3) = 1m 3 . 10 -3 xănglứnet khối (cm3) = 1m3.10-6 Milimel khối (mm3) = 1m 3 .10 -9