Chuyên đề Xác suất ở bậc phổ thông

CHUYÊN ĐỀ XÁC SUẤT Ở BẬC PHỔ THÔNG Bộ môn Toán, ĐH Phương Đông HÀ NỘI, 2015 Cuốn "Đại số và Giải tích 11" đã cung cấp khá nhiều ví dụ và minh họa chi tiết để giới thiệu về Xác suất. Tài liệu này chúng tôi viết chỉ nhằm bổ sung hoặc làm rõ hơn các khái niệm đã được nói tới. Đồng thời tổng kết lại một số kỹ thuật đơn giản để giải bài toán Xác suất mà không đi vào các bài toán khó hoặc phức tạp. Mục lục Mục lục i 1 Biến cố ngẫu nhiên và các phép toán 1 1.1 Không gian mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Biến cố ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Phép toán trên các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Tính chất cơ bản của Xác suất 12 2.1 Định nghĩa Xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Tính chất của xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Một số ví dụ tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Một số kỹ thuật khác 19 3.1 Công thức xác suất hợp mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Sự độc lập của các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Một số bài thi Đại học gần đây 25 i CHƯƠNG1 Biến cố ngẫu nhiên và các phép toán Chúng ta đã biết rằng các khái niệm như phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố ngẫu nhiên được nói đến bằng cách mô tả trực giác mà không định nghĩa chúng chặt chẽ về mặt toán học. Chính vì thế mà có thể dẫn đến nhầm lẫn hoặc hiểu mơ hồ về các khái niệm này trong những bài toán cụ thể. Mục này chúng ta làm việc với không gian mẫu, biến cố ngẫu nhiên cùng với các phép toán hợp và giao. Chúng ta vẫn nhào nặn với các ví dụ điển hình, bình luận dài dòng và cố gắng chỉ ra những điều cảm giác như tầm thường, đôi khi nó giúp các bạn hiểu hơn về khái niệm. Cũng nên ôn lại phần mệnh đề và tập hợp trước khi học về xác suất. 1.1 Không gian mẫu Khái niệm phép thử các bạn có thể tìm đọc lại trong Đại số và Giải tích 11. Ở đây ta luôn giả sử 𝒯 là một phép thử ngẫu nhiên. KẾT QUẢ SƠ CẤP. Mỗi kết quả đơn giản nhất, không thể chia nhỏ được nữa, của 𝒯 được gọi là một kết quả sơ cấp. Như vậy, để ω là một biến cố sơ cấp của 𝒯 , có hai điều cần lưu ý. 1 1.1. Không gian mẫu ∙ Thứ nhất, ω phải là một kết quả của phép thử 𝒯 . Thứ hai, kết quả ω phải là nhỏ nhất theo nghĩa tập hợp. VÍ DỤ 1.1 Cho 𝒯 là phép thử tung một đồng xu kim loại có hai mặt, ký hiệu S là kết quả xuất hiện mặt sấp và N là kết quả xuất hiện mặt ngửa. Hiển nhiên thấy rằng hai kết quả này là nhỏ nhất, không thể phân chia được. Khi đó phép thử có hai kết quả sơ cấp là S và N. VÍ DỤ 1.2 Tung một súc sắc 6 mặt, gọi ωi là kết quả mặt có i chấm xuất hiện, i = 1, . . . , 6. Để thấy được yếu tố nhỏ nhất là quan trọng, ta xét A := kết quả số chấm xuất hiện là chẵn. So sánh ω2 và A thì thấy rằng: ω2 không thể phân chia được nữa, còn A có thể được phân chia nhỏ hơn, vì ta có thể xem A = {ω2,ω4,ω6}, tức là A không phải là nhỏ nhất theo nghĩa tập hợp. Vậy ω2 là kết quả sơ cấp còn A không là kết quả sơ cấp của phép thử. Tuy hơi ngờ nghệch (,) nhưng cũng cần lưu ý thêm rằng, kết quả sơ cấp của phép thử này không là kết quả sơ cấp của phép thử khác, cho dù chúng cùng là "sơ cấp". Chẳng hạn S là kết quả sơ cấp của phép thử tung một đồng xu nhưng không là kết quả của phép thử tung một súc sắc. Lưu ý, trong thực tế không phải lúc nào ta cũng xác định được biến cố sơ cấp của một phép thử. Thậm chí biết nó là kết quả rồi nhưng không biết nó có phải là sơ cấp hay không. Vì thế, để thuận tiện cho lý luận logic, chúng ta quy ước hoặc ngầm hiểu về kết quả sơ cấp của phép thử mà ta đang xét. Trong thực tế, việc khảo sát kết quả sơ cấp đôi khi được bỏ qua. KHÔNG GIAN MẪU. Tập hợp tất cả các kết quả sơ cấp của 𝒯 được gọi là không gian mẫu1, ta thường ký hiệu không gian mẫu là Ω. 1Còn gọi là không gian các biến cố, không gian các sự kiện 2 1.2. Biến cố ngẫu nhiên Ω = {ω | ω là kết quả sơ cấp của 𝒯 }. Trong khái niệm này cũng có hai điều cần lưu ý: ∙ Thứ nhất, Ω là một tập hợp. Sau này ta có thể thao tác với các kết quả như thao tác trên tập hợp. ∙ Thứ hai, Ω bao gồm tất cả các kết quả sơ cấp của phép thử 𝒯 . Tức là mỗi kết quả sơ cấp là một phần tử của tập Ω này. VÍ DỤ 1.3 Bây giờ ta tung hai đồng xu, mỗi kết quả sơ cấp là một bộ gồm 2 mặt tương ứng với hai đồng xu. Ta có thể viết không gian mẫu như sau Ω = {SS, SN,NS,NN}. Rõ ràng là như vậy vì Ω thỏa mãn hai điều đã nói ở trên. Nói thêm là S /∈ Ω vì S không là kết quả sơ cấp của phép thử tung hai đồng xu, hoặc A = {SN,NS} − có hai mặt khác nhau là một kết quả nhưng không phải là sơ cấp, do đó A /∈ Ω. VÍ DỤ 1.4 Trong phép thử tung một súc sắc, gọi C là kết quả số chấm xuất hiện là chẵn, L là kết quả số chấm là lẻ. Rõ ràng tập hai phần tử là {C, L} đã chứa tất cả các kết quả của phép thử nhưng nó không là không gian mẫu. Tại sao? Bởi vì C, L không phải là sơ cấp. Lưu ý, không phải lúc nào chúng ta cũng viết được tường minh không gian mẫu. Các ví dụ mà chúng ta xét ở trong bài này đều được xem là lý tưởng, tức là không gian mẫu có một số tính chất tốt đẹp nào đó, dễ nhận biết về mặt trực giác. 1.2 Biến cố ngẫu nhiên BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN. Giả sử Ω là không gian mẫu của phép thử 𝒯 . 3 1.2. Biến cố ngẫu nhiên Mỗi tập con của Ω sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên2. Ta thường ký hiệu các biến cố là chữ cái Latinh hoa A, B,C, ... hoặc có thêm chỉ số dưới A1, A2, ...; ký hiệu các kết quả sơ cấp là ω hoặc có thể thêm chỉ số dưới. Nếu có ω ∈ A thì kết quả sơ cấp ω được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. VÍ DỤ 1.5 Trong ví dụ tung 2 đồng xu thì SS, SN,NS,NN là các kết quả sơ cấp. Ta gọi A là kết quả hai đồng xu xuất hiện đúng một mặt ngửa, B là kết quả có hai mặt xuất hiện khác nhau. Bên ngoài, về mặt ngôn từ thì A và B có vẻ khác nhau, nhưng thực chất thì chúng bằng nhau về mặt tập hợp nếu ta mô tả chúng thông qua các kết quả sơ cấp A = {SN,NS} = B. Như vậy {SN,NS} là một tập con của không gian mẫu Ω, vậy nó là biến cố theo định nghĩa ở trên. Bản chất cùng là một tập con nhưng có thể có nhiều tên gọi khác nhau. VÍ DỤ 1.6 Trong ví dụ tung 1 con xúc xắc ở trên, ta có 6 kết quả sơ cấp. Biến cố A = {ω2,ω4,ω6} là biến cố xúc xắc xuất hiện số chấm là chẵn. Biến cố xuất hiện mặt 2 chấm là biến cố thuận lợi cho biến cố A, ta viết ω2 ∈ Ω. BIỂU ĐỒ VENN. Ta có thể biểu diễn các biến cố một cách trực quan bằng biểu đồ Venn như sau: không gian mẫu Ω thường được biểu diễn là một miền hình chữ nhật, biến cố A biểu diễn là một miền có hình dạng tuỳ ý, thường là hình tròn để dễ phân biệt, kết quả sơ cấp ω là một điểm nào đó trong Ω. 4 1.2. Biến cố ngẫu nhiên BIẾN CỐRỖNG. Biến cố không bao giờ xảy ra trong một phép thử ngẫu nhiên được gọi là biến cố rỗng hoặc biến cố không, ta thường ký hiệu là ∅. Như vậy, biến cố ∅ không chứa một kết quả sơ cấp nào. VÍ DỤ 1.7 Trong phép thử tung một xúc xắc, gọi A là biến cố xuất hiện mặt 7 chấm, gọi B là biến cố xuất hiện mặt 100 chấm. Dễ thấy cả A, B đều là biến cố rỗng vì không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho A, B. Ta thấy rằng, về hình thức thì dường như chúng khác nhau, nhưng về bản chất thì A, B là giống nhau, đều không chứa phần tử sơ cấp nào. Chính vì thế mà người ta dùng ∅ để chỉ tất cả những biến cố có cùng bản chất như vậy. Sau đây ta sẽ xét đến hai biến cố đặc biệt, rất có ý nghĩa trong lý thuyết xác suất. BIẾN CỐ CHẮC CHẮN. Biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên được gọi là biến cố chắc chắn, ta thấy rằng biến cố chắc chắn chính là toàn bộ không gian mẫu Ω. VÍ DỤ 1.8 Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Biến cố sinh viên đó có tuổi dưới 200 là biến cố chắc chắn, tức là bất kì sinh viên nào cũng có tuổi dưới 200. QUAN HỆ KÉO THEO. Cho A, B là hai biến cố ngẫu nhiên. Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu: A xảy ra thì B xảy ra. Tức là, nếu ω ∈ A thì ω ∈ B. Về phương diện tập hợp thì ta có thể thấy ngay rằng A là tập con của B, kí hiệu A ⊂ B. Hai biến cố A, B được gọi là bằng nhau nếu A kéo theo B và ngược lại, B kéo theo A. Khi đó ta hiểu hai tập A và B bằng nhau về mặt tập hợp, ta viết A = B. VÍ DỤ 1.9 Tung một xúc xắc, gọi A là biến cố xuất hiện mặt có chấm chẵn lớn hơn 3, gọi B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm không là 2 và không là 5. Ta có A kéo theo B, do A = {ω4,ω6} ⊂ {ω1,ω3,ω4,ω6} = B. 5 1.3. Phép toán trên các biến cố VÍ DỤ 1.10 Trong hộp có 2 bi xanh và 2 bi đỏ, người ta lấy ngẫu nhiên 2 viên, gọi A là biến cố có đúng 1 bi đỏ, B là biến có 2 viên khác màu, rõ ràng A, B là hai biến cố bằng nhau. Câu hỏi: Kiểm tra quan hệ kéo theo có thỏa mãn các tính chất: phản xạ, bắc cầu, đối xứng hay không? Nếu không thì hãy lấy một phản ví dụ. BÀI TẬP TÍNH TOÁN BÀI TẬP 1 Xét phép thử tung 3 đồng xu, mỗi đồng xu có một mặt sấp và một mặt ngửa. i) Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử này và tính số lượng các kết quả sơ cấp. ii) Hãy mô tả biến cố có đúng 2 mặt ngửa. iii) Hãy cho một ví dụ về biến cố rỗng và biến cố chắc chắn. BÀI TẬP 2 Phép thử tung 2 xúc xắc, mỗi xúc xắc có 6 mặt, mỗi mặt có từ 1 đến 6 chấm. i) Hãy mô tả không gian mẫu và tính số lượng các kết quả sơ cấp. ii) Hãy mô tả biến cố tổng số chấm xuất hiện là 6. iii) Hãy cho một ví dụ về biến cố rỗng và biến cố chắc chắn. BÀI TẬP 3 Trong trò chơi lô-tô loại hai chữ số, người ta mua một con số, xem đó là phép thử ngẫu nhiên. i) Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử này và tính số lượng các kết quả sơ cấp. ii) Hãy mô tả biến cố tổng hai chữ số trên con số được mua là 6. iii) Hãy cho một ví dụ về biến cố rỗng và biến cố chắc chắn. BÀI TẬP 4 Tung 3 đồng xu, mô tả các biến cố: i) Biến cố A có đúng 0 đồng xu mặt sấp. ii) Biến cố B có đúng 1 đồng xu mặt sấp. iii) Biến cố C có đúng 2 đồng xu mặt sấp. iv) Biến cố D có đúng 3 đồng xu mặt sấp. v) Biến cố E có ít nhất một đồng xu mặt sấp. vi) Biến cố F có nhiều nhất hai đồng xu mặt sấp. BÀI TẬP 5 Tung 2 xúc xắc, mô tả các biến cố: i) Biến cố A có số chấm xuất hiện trên hai mặt là bằng nhau. ii) Biến cố B có tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt là 7. iii) Biến cố C có hiệu số chấm xuất hiện trên hai mặt là 2. iv) Biến cố D có số chấm của xúc xắc 1 lớn hơn số chấm của xúc xắc 2. 1.3 Phép toán trên các biến cố Tương tự như các phép toán trên tập hợp, ta có các phép toán trên các biến cố ngẫu nhiên như phép hợp, phép giao và phép trừ. 6 1.3. Phép toán trên các biến cố PHÉP HỢP. Cho A, B là hai biến cố của cùng một phép thử ngẫu nhiên, biến cố hợp của A và B kí hiệu là A ∪ B, Biến cố A ∪ B xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra. ω ∈ A ∪ B khi và chỉ khi ω ∈ A hoặc ω ∈ B. Nói cách khác, hoặc là A xảy ra hoặc là A xảy ra. Về phương diện tập hợp, biến cố A ∪ B chính là hợp của A và B. VÍ DỤ 1.11 Mọi biến cố A đều là tổng của các kết quả sơ cấp thuận lợi cho A, biến cố chắc chắn Ω là tổng của tất cả các kết quả sơ cấp của phép thử đó. Chẳng hạn Ω của phép thử tung 1 đồng xu, ta có Ω = {S} ∪ {N}. VÍ DỤ 1.12 Từ một cỗ bài Tây có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra một bộ 3 lá. Gọi A là biến cố bộ lấy ra có lá Át3. Ta có nhiều cách biểu diễn khác nhau của A. Chẳng hạn, A = A1 ∪ A2 ∪ A3 trong đó Ai là biến cố có đúng i lá Át trong bộ 3 lá được rút ra. Hoặc cũng có thể viết dài dòng hơn bằng cách liệt kê tất cả các trường hợp có thể A = {Ace♣, 1, 1♠} ∪ ....∪ {Ace♣, Ace, Ace♠}. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP HỢP. Ta thấy rằng phép hợp của hai biến cố thực chất là phép hợp của hai tập hợp, do đó phép toán này thừa kế các tính chất của phép hợp của hai tập hợp, như tính chất giao hoán hoặc tính kết hợp. Ở đây ta bổ sung thêm hai tính chất nữa. 3ta hiểu là có ít nhất một lá Át 7 1.3. Phép toán trên các biến cố H1 Tính giao hoán, A ∪ B = B ∪ A. H2 Tính kết hợp, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. H3 Tính trung hòa của biến cố rỗng, A ∪∅ = A. H4 Tính nuốt, nếu A ⊂ B thì A ∪ B = B. Từ đây suy ra A ∪Ω = Ω. Về mặt trực giác thì các tính chất này khá hiển nhiên. Các bạn có thể tìm chứng minh chặt chẽ qua ngôn ngữ tập hợp. Mỗi một tính chất đều có ý nghĩa thực tế riêng, ta xét ví dụ sau đây. VÍ DỤ 1.13 Lấy ngẫu nhiên ra một bộ 3 lá từ một cỗ bài Tây. Gọi A là biến cố bộ lấy ra có lá Át. Minh họa cho H3, biến cố bộ lấy ra có 4 lá Q là biến cố rỗng, do đó biến cố A ∪∅ = bộ lấy ra có Át hoặc có 4 lá Q = bộ lấy ra có Át = A. Minh họa cho H4, biến cố bộ lấy ra có nhiều nhất 3 lá Q là biến cố chắc chắn, do đó biến cố bộ lấy ra có Át hoặc nhiều nhất 3 lá Q chính là bộ lấy ra có nhiều nhất 3 lá Q, đó là Ω. PHÉP GIAO. Cho A, B là hai biến cố của cùng một phép thử ngẫu nhiên, biến cố giao của A và B kí hiệu là A ∩ B. Biến cố giao xảy ra khi cả hai biến cố A, B đồng thời xảy ra. ω ∈ A ∩ B khi và chỉ khi ω ∈ A và ω ∈ B. Nói cách khác A xảy ra và B xảy ra. Về phương diện tập hợp, biến cố A ∩ B chính là giao A và B. 8 1.3. Phép toán trên các biến cố VÍ DỤ 1.14 Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Gọi T là biến cố học sinh giỏi môn Toán, V là biến cố học sinh giỏi môn Văn, khi đó T ∩V là biến cố học sinh học giỏi cả 2 môn Toán và Văn. VÍ DỤ 1.15 Hai thợ săn cùng ngắm bắn vào một mục tiêu, gọi A là biến cố thợ săn thứ nhất bắn trượt, B là biến thợ săn thứ hai bắn trượt, khi đó C = biến cố mục tiêu không bị trúng đạn là A ∩ B. VÍ DỤ 1.16 Gieo hai đồng xu, A là biến cố có ít nhất một mặt S còn B là biến cố có ít nhất một mặt N. Khi đó A ∩ B là biến cố có một S và một S. Biểu diễn dưới dạng tập hợp A = {SS, SN,NS}, B = {NN, SN,NS} và A ∩ B = {SN,NS}. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP GIAO. Tương tự như phép hợp, ta thấy rằng các tính chất của phép giao của hai biến cố được thừa kế từ tập hợp. G1 Tính giao hoán, A ∩ B = B ∩ A. G2 Tính kết hợp, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. G3 Tính phân phối, (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (A ∩ C). G4 Nếu A ⊂ B thì A∩ B = A. Từ đây suy ra A∩∅ = ∅ và A∩Ω = A. XUNG KHẮC. Hai biến cố A, B được gọi là xung khắc nếu A ∩ B = ∅. Nói cách khác A xảy ra thì B không xảy ra, và ngược lại. Trong biểu đồ Venn ta thấy hai biến cố này rời nhau. 9 1.3. Phép toán trên các biến cố VÍ DỤ 1.17 Gieo một súc sắc, A là biến cố có chấm chẵn xuất hiện còn B là biến cố xuất hiện 1 chấm hoặc 5 chấm. Khi đó A và B là xung khắc với nhau. Biểu diễn dưới dạng tập hợp A = {ω2,ω4,ω6}, B = {ω1,ω5} và A ∩ B = ∅. Câu hỏi: i) Quan hệ xung khắc có tính chất đối xứng, phản xạ, bắc cầu? Nếu không thì hãy nêu một phản ví dụ. ii) Nếu C ⊂ A, A xung khắc với B thì C có xung khắc với B không? iii) Có biến cố nào xung khắc với tất cả các biến cố khác? BIẾN CỐ ĐỐI. Biến cố B được gọi là biến cố đối của A nếu thỏa mãn A ∩ B = ∅ và A ∪ B = Ω. Tức là phải thỏa mãn hai điều kiện, một là chúng xung khắc với nhau, hai là hợp của chúng phủ toàn bộ Ω. Câu hỏi: i) Liệu rằng A luôn có biến cố đối hay không và biến cố đối đó có là duy nhất hay không? Có!4 Vì thế mà ta ký hiệu biến cố đối của A là A. ii) Hơn nữa, bạn hãy cho biết biến cố đối của biến cố đối của A, ký hiệu là A , sẽ là gì? VÍ DỤ 1.18 Gieo một súc sắc, A là biến cố có chấm chẵn xuất hiện còn A là biến cố xuất hiện chấm lẻ, vì A = {ω2,ω4,ω6}, B = {ω1,ω3,ω5} và có A ∩ B = ∅, A ∪ B = Ω. Câu hỏi: i) Nếu A ⊂ B, thì quan hệ giữa A và B sẽ thế nào? iii) Có biến cố nào xung khắc với tất cả các biến cố khác? 4Bạn thử chứng minh xem sao 10 1.3. Phép toán trên các biến cố BÀI TẬP TÍNH TOÁN BÀI TẬP 6 Chứng minh các tính chất sau đây: i) A ∪ B = A ∩ B, ii) A ∩ B = A ∪ B, iii) A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) iv) Giả sử A ⊂ B và C ⊂ D, hơn nữa B,D là xung khắc thì A, B là xung khắc. BÀI TẬP 7 Cho các biến cố như hình dưới Hãy tô đen các biến cố: i) (A∩ B)∪C ii) A ∪ C iii) A ∩ B∩C BÀI TẬP 8 Cho các biến cố như hình dưới Hãy tô đen các biến cố: i) (A∩ B)∪C ii) A ∪ C iii) A ∩ B∩C BÀI TẬP 9 Gieo đồng thời hai con xúc xắc 6 mặt trên mặt bàn: a) Tìm không gian mẫu và số lượng kết quả sơ cấp. b) Mô tả biến cố B có tổng các dấu chấm của hai mặt xuất hiện là 4. c) Mô tả biến cố C có số dấu chấm của hai mặt xuất hiện bằng nhau. d) Minh hoạ biến cố B và C theo biểu đồ Venn. e) Biến cố B và C có xung khắc với nhau không? f) Hãy chỉ ra một biến cố xung khắc với cả B và C. BÀI TẬP 10 Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào cùng một bia, gọi A, B,C là các sự kiện các xạ thủ tương ứng bắn trúng bia. Hãy biểu diễn các sự kiện sau: a) Có ít nhất một viên trúng bia. b) Cả ba viên đều trúng bia. c) Chỉ có một viên trúng bia. d) Không viên nào trúng bia. e) Tìm mối liên hệ của các biến cố nói trên. 11 CHƯƠNG2 Tính chất cơ bản của Xác suất Dưới đây, thực hiện một phép thử 𝒯 , ta hiểu xác suất1 của một biến cố ngẫu nhiên A, ký hiệu là P(A), là một số thực nằm trong đoạn [0, 1], nó biểu thị khả năng xuất hiện của biến cố A trong phép thử. Xác suất của một biến cố càng gần 0 thì biến cố đó càng ít xảy ra, ngược lại xác suất của biến cố càng gần 1 thì biến cố đó càng dễ xảy ra. 2.1 Định nghĩa Xác suất ĐỒNG KHẢ NĂNG. Xét phép thử 𝒯 có không gian mẫu là Ω, hai kết quả sơ cấp ω và ω′ được gọi là đồng khả năng nếu khả năng xảy ra của ω và ω′ trong phép thử là như nhau. Ở bậc phổ thông, chúng ta chỉ xét các phép thử lý tưởng, tức là không gian mẫu là hữu hạn có n phần tử, và tất cả các kết quả sơ cấp đều là đồng khả năng và khả năng xuất hiện là 1/n. Khi đó các phép thử như tung một đồng xu, tung một súc sắc hay chọn một số trong trò chơi xổ số mà chúng ta đã xét chẳng qua là mặc cái áo khác nhau mà thôi. Chúng chỉ sai khác nhau về số lượng các kết quả sơ cấp. VÍ DỤ 2.1 Trong phép thử gieo một đồng tiền xu cân đối và đồng chất, khi đó Ω = {S,N}. Về lý thuyết, khi nói đồng xu cân đối và đồng chất thì có nghĩa là 1xác có nghĩa là đúng, suất có nghĩa là phần 12 2.1. Định nghĩa Xác suất đồng xu đó lý tưởng: khả năng xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa cùng bằng 1/2. Khi đó ta nói S và N là hai kết quả sơ cấp đồng khả năng. Khái niệm đồng khả năng cho phép ta định nghĩa xác suất của một biến cố. XÁC SUẤT. Ta luôn giả thiết rằng phép thử 𝒯 với không gian mẫu Ω có số kết quả sơ cấp là n(Ω) và chúng là đồng khả năng. Biến cố A có tất cả n(A) hữu hạn kết quả sơ cấp thuận lợi cho A. Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa bằng P(A) = n(A) n(Ω) . CÁC BƯỚC TÍNH XÁC SUẤT. Từ công thức nói trên, ta có các bước tính xác suất theo định nghĩa. Bước 1. Tìm Ω và n(Ω). Bước 2. Tìm A và n(A). Bước 3. Thay vào công thức P(A) = n(A)/n(Ω). Chú ý rằng, trong một số bài toán ta có thể bỏ qua việc tìm Ω và A và đi tìm ngay các con số n(Ω) và n(A). VÍ DỤ 2.2 Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, hãy tính xác suất để xuất hiện mặt có số chấm là lẻ? GIẢI. Ta có Ω = {ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6} nên n(Ω) = 6. Gọi L là biến cố số chấm xuất hiện là lẻ, khi đó L = {ω1,ω3,ω5} và n(L) = 3. Vậy nên xác suất cần tìm là P(L) = n(L) n(Ω) = 3 6 = 1/2. 13 2.2. Tính chất của xác suất VÍ DỤ 2.3 Một người chơi xổ số lô-tô loại 2 chữ số, anh ta mua 5 vé số khác nhau. Hỏi cơ hội trúng của anh ta là bao nhiêu? GIẢI. Ta có không gian mẫu Ω = {00, 01, ..., 99} với n(Ω) = 100. Gọi T là biến cố người chơi trúng số, ở đây ta không cần viết tường minh biến cố T nhưng theo giả thiết thì biết n(T) = 5. Vậy nên xác suất cần tìm là P(T) = n(T) n(Ω) = 5 100 = 0, 05. 2.2 Tính chất của xác suất Bây giờ ta sẽ chỉ ra một số tính chất cơ bản của xác suất. Các tính chất này cho ta cái nhìn thấu đáo hơn, đồng thời nó cũng cung cấp một số kỹ thuật tính xác suất gián tiếp trong khi dùng trực tiếp công thức P(A) = n(A)/n(Ω) là khó khăn. Tính chất 1. Ta có P(∅) = 0 và P(Ω) = 1. CHỨNG MINH Hiển nhiên thấy rằng n(∅) = 0, khi đó theo định nghĩa xác suất P(∅) = n(∅) n(Ω) = 0 n(Ω) = 0. Hơn nữa, cũng theo định nghĩa ta có xác suất của biến cố chắc chắn P(Ω) = n(Ω) n(Ω) = 1. Từ tính chất này cho ta thấy ý nghĩa tên gọi của biến cố không thể ∅, với xác suất bằng 0. Đồng thời Ω được gọi là chắc chắn vì nó có xác suất là 1. Tính chất 2. Nếu A ⊂ B thì P(A) ≤ P(B), hơn nữa 0 ≤ P(A) ≤ 1 với mọi biến cố A. 14 2.2. Tính chất của xác suất CHỨNG MINH Do A ⊂ B nên n(A) ≤ n(B). Ta chia cả hai vế cho n(Ω) được P(A) = n(A) n(Ω) ≤ n(A) n(Ω) = P(B). Bây giờ ta áp dụng kết quả này để chứng minh ý thứ hai. Do ∅ ⊂ A nên P(∅) ≤ P(A). Chú ý rằng P(∅) = 0 theo TC1 nên suy ra 0 ≤ P(A). Để chứng minh bất đẳng thức còn lại, ta chú ý rằng P(Ω) = 1 do đó với A ⊂ Ω thì P(A) ≤ P(Ω) = 1. Từ tính chất này cho ta thông tin về xác suất như sau: không thể âm và không thể vượt quá 1. Xác suất P(.) là một hàm tăng. Nếu biến cố càng nở rộng ra thì xác suất càng lớn, và ngược lại, biến cố thu hẹp về ∅ thì xác suất càng gần 0. Tính chất 3. Với mọi biến cố A, B ta có công thức P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B). CHỨNG MINH Quan sát2 thấy rằng n(A ∪ B) = n(A) + n(B)− n(A ∩ B). Chia cả hai vế của đẳng thức này cho n(Ω) thì ta có điều phải chứng minh. Tính chất này cho hệ quả quan trọng sau đây, nói rằng khi bai biến cố xung khắc thì xác suất của một tổng bằng tổng các xác suất thành phần. 2Có thể diễn giải đẳng thức trên qua ngôn từ: số phần tử trong hợp bằng tổng số phần tử ở hai tập trừ đi số phần tử trong giao. Sở dĩ có dấu trừ vì nếu không thì n(A∩ B) đã được tính hai lần, một lần ở n(A) và một lần ở n(B) 15 2.3. Một số ví dụ tính xác suất Tính chất 4. Nếu biến cố A, B là xung khắc thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B). CHỨNG MINH Rõ ràng đây là một hệ quả của TC3 khi A ∩ B = ∅. Có P(A∪B) = P(A)+ P(B)− P(A∩B) = P(A)+ P(B)− P(∅) = P(A)+ P(B). Tính chất sau đây hay sử dụng, mô tả mối quan hệ giữa cặp biến cố đối. Tính chất 5. Ta có công thức P(A) = 1− P(A). CHỨNG MINH Đây là một hệ quả của TC3 khi ta áp dụng Ω = A ∪ A trong đó A và A là xung khắc. Ta có suy diễn 1 = P(Ω) = P(A ∪ A) = P(A) + P(A). Chuyển vế P(A) sang bên trái thì ta được điều cần chứng minh. Công thức này cho ta thấy ý nghĩa: các biến cố bù nhau thì xác suất cũng bù nhau. Có thể viết lại là P(A) = 1− P(A). Nó cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố thông qua xác suất biến cố đối của nó. 2.3 Một số ví dụ tính xác suất Trong các bài toán tính xác suất, ngoài cách tính trực tiếp bằng định nghĩa, ta còn có thể sử dụng 3 tính chất cuối, sau đây ta xét một số ví dụ minh họa. Lưu ý rằng, trong các ví dụ này thì xác suất của các biến cố đều được cho trực tiếp mà bỏ qua việc tính không gian mẫu, chúng tôi muốn nhấn mạnh việc sử dụng công thức. Hơn nữa chúng tôi cố ý xếp các ví dụ và bài tập không theo một trình tự nào cả. 16 2.3. Một số ví dụ tính xác suất VÍ DỤ 2.4 Cho các biến cố với các xác suất sau P(A) = 0, 2, P(B) = 0, 3, P(A∩ B) = 0, 1. Hãy tìm P(A ∪ B). GIẢI. Áp dụng công thức xác suất của hợp, và với số liệu đã cho, ta có P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B) = 0, 2+ 0, 3− 0, 1 = 0, 4. VÍ DỤ 2.5 Cho không gian mẫu của một phép thử với Ω = {a, b, c, d, e}. Biết rằng 5 kết quả sơ cấp này đồng khả năng. Biến cố A = {a, d, e}, B = {b, c, e}. Hãy tìm các xác suất P(A), P(B), P(A¯), P(A ∩ B), P(A ∪ B). GIẢI. Với những điều đã cho, ta dễ dàng tính được P(A) = 3/5, P(B) = 3/5. Hơn nữa có A ∩ B = {e}, A ∪ B = {a, b, c, d, e} = Ω. Do đó các xác suất cần tìm là P(A ∩ B) = 1/5, P(A ∪ B) = 1. Tuy nhiên ta có thể tính P(A ∪ B) bằng cách áp dụng công thức xác suất của hợp P(A ∩ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B) = 3/5+ 3/5− 1/5 = 1. Lưu ý, hai ví dụ nói trên thuần túy nhào nặn các công thức. Vấn đề sẽ phức tạp hơn đối với những bài toán thực tế: khi nào thì áp dụng công thức này công thức kia? Rất khó đưa ra câu trả lời cụ thể, tuy nhiên, các bạn có thể căn cứ vào câu hỏi, cần tính xác suất của biến cố nào, sau đó đi tìm mối quan hệ của biến cố đó với những biến cố đã cho trong giả thiết. VÍ DỤ 2.6 Một sinh viên từ nhà tớ trường phải qua 2 ngã tư có đèn đỏ, xác suất gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ nhất là 0, 6 ; ở ngã tư thứ hai là 0, 5, xác suất gặp đèn đỏ ở cả 2 ngã tư là 0, 3. Hãy tìm xác suất sinh viên này tới trường gặp đèn đỏ. GIẢI. Gọi A và B tương ứng là biến cố sinh viên gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ nhất và thứ hai, khi đó A ∩ B là biến cố sinh viên gặp đèn đỏ ở cả hai ngã tư. Theo đầu bài, có các xác suất: P(A) = 0, 6, P(B) = 0, 5, P(A ∩ B) = 0, 3 Ta thấy rằng biến cố sinh viên gặp đèn đỏ trên đường tới trường xảy ra khi: hoặc A xảy ra, hoặc B xảy ra. Nó chính là biến cố A ∪ B , vậy xác suất cần tìm là: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B) = 0, 6+ 0, 5− 0, 3 = 0, 8. 17 2.3. Một số ví dụ tính xác suất VÍ DỤ 2.7 Ở một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%, tỉ lệ người mắc bệnh về huyết áp là 12%, tỉ lệ người mắc cả 2 loại bệnh trên là 7%. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong vùng này, tính xác suất để người đó không mắc bệnh nào trong 2 bệnh trên? GIẢI. Gọi T là biến cố người đó mắc bệnh tim, có P(T) = 0, 09. Gọi H là biến cố người đó mắc bệnh về huyết áp, có P(H) = 0, 12 và P(T ∩ H) = 0, 07. Khi đó biến cố để người đó không mắc bệnh nào trong hai bệnh trên là T ∪ H. Vậy xác suất cần tính là P(T ∪ H). Ta áp dụng công thức xác suất biến cố đối, áp dụng công thức xác suất hợp, sau đó thay các kết quả ở trên, ta có P(T ∪ H) = 1− P(T∪H) = 1− (P(T)+ P(H)− P(T∩H)) = 1− 0, 14 = 0, 86. VÍ DỤ 2.8 Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi, tìm xác suất để 2 viên bi đó cùng màu. GIẢI. Gọi A là biến cố lấy được 2 bi xanh, B là biến cố lấy được 2 bi đỏ, C là biến cố lấy được hai bi cùng màu. Khi đó A và B là xung khắc và C = A ∪ B. Hơn nữa, P(A) = C26 C210 = 1 3 , P(B) = C24 C210 = 2 15 . Áp dụng công thức xác suất hợp của hai biến cố xung khắc, ta có P(C) = P(A) + P(B) = 7 15 . Ở đây các bạn có thể tính bằng cách thứ hai, P(C) = 1− P(C). Trong đó C là biến cố đối của C: hai bi khác màu, tức là có 1 xanh và 1 đỏ. Tính xác suất P(C) = C16C 1 4 C210 = 6.4 45 = 8 15 . Vậy nên P(C) = 1− P(C) = 1− 8 15 = 7 15 . 18 CHƯƠNG3 Một số kỹ thuật khác Mục này ta sẽ nêu một số công thức nữa, cũng thường được sử dụng trong việc tính xác suất. 3.1 Công thức xác suất hợp mở rộng XÁC SUẤT HỢP 3 BIẾN CỐ. Cho A, B,C là 3 biến cố xung khắc với nhau từng đôi một, nghĩa là A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = ∅. Khi đó ta có công thức tính P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C). Đây là công thức mở rộng của công thức xác suất hợp hai biến cố xung khắc. Chứng minh công thức này cũng tương tự. Các bạn có thể mở rộng công thức theo hai hướng trong câu hỏi sau? Câu hỏi: i) Nếu bỏ giả thiết các biến cố xung khắc với nhau từng đôi một thì công thức sẽ thay đổi thế nào? ii) Công thức tổng quát cho xác suất của n biến cố xung khắc với nhau từng đôi một sẽ là gì? VÍ DỤ 3.1 Cho Cho A, B,C là 3 biến cố xung khắc với nhau từng đôi một và có P(A) = P(B) = 0, 2 còn P(C) = 0, 3. Hãy tìm các xác suất sau: P(A ∪ B ∪ C), P((A ∪ B) ∩ C). 19 3.1. Công thức xác suất hợp mở rộng GIẢI. Áp dụng công thức, dễ dang chỉ ra kết quả P(A ∪ B ∪ C) = 0, 2+ 0, 2+ 0, 3 = 0, 7. Còn xác suất thứ hai, áp dụng tính chất (A ∪ B) ∩ C) = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = ∅. Vậy nên P((A ∪ B) ∩ C) = 0. VÍ DỤ 3.2 Một hộp có 5 bi xanh và 5 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên ra 5 viên bi, tìm xác suất để có ít nhất 3 bi màu xanh. GIẢI. (Gợi ý) Gọi A là biến cố lấy được đúng 3 bi xanh, B là biến cố lấy được 4 bi xanh, C là biến cố lấy được 5 bi xanh. Khi đó A, B và C là xung khắc. Khi đó biến cố có ít nhất 3 bi màu xanh là A ∪ B ∪ C. Chú ý rằng P(A) = C35C 2 5 C510 , P(B) = C45C 1 5 C510 , P(C) = C55C 0 5 C510 . Áp dụng công thức trên, xác suất cần tìm P(A∪ B∪C) = P(A)+ P(B)+ P(C). Ở trên chúng ta đã nêu ra một công thức cho P(A ∪ B), tuy nhiên công thức đó đôi khi không sử dụng được nếu thông tin đầu bài cho chỉ cho xác suất giao các biến cố đối. CÔNG THỨC P(A ∪ B) = 1− P(A ∩ B). CHỨNG MINH Từ Bài tập 6, Chương 1, công thức A ∪ B = A∩ B kéo theo P(A ∪ B) = P(A ∩ B). Áp dụng công thức biến cố đối cho vế trái ta có P(A ∪ B) = 1− P(A ∪ B). Từ đây suy ra P(A ∪ B) = 1− P(A ∩ B). VÍ DỤ 3.3 Xác suất một học sinh trong lớp không biết tiếng Đức và cũng không biết tiếng Pháp là 0,85. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, hỏi xác xuất để bạn đó biết ít nhất một trong hai thứ tiếng này là bao nhiêu? 20 3.2. Sự độc lập của các biến cố GIẢI. Gọi D là biến cố học sinh đó biết tiếng Đức, P là biến cố học sinh biết tiếng Pháp. Theo giả thiết thì có P(D ∩ P) = 0, 84. Hơn nữa, biến cố bạn học sinh đó biết tiếng Đức hoặc biết tiếng Pháp chính là D ∪ P. Vậy xác suất cần tìm là P(D ∪ P). Áp dụng công thức trên có P(D ∪ P) = 1− P(D ∩ P) = 1− 0, 84 = 0, 16. CÔNG THỨC P(A ∪ B) = 1− P(A ∩ B) CHỨNG MINH Từ Bài tập 6, Chương 1, công thức A ∩ B = A∪ B kéo theo P(A ∩ B) = P(A ∪ B). Áp dụng công thức biến cố đối cho vế trái ta có P(A ∩ B) = 1− P(A ∩ B). Từ đây suy ra P(A ∪ B) = 1− P(A ∩ B). VÍ DỤ 3.4 Xác suất một học sinh trong lớp có tài khoản Facebook và có điện thoại di động là 0,95. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, hỏi xác xuất để bạn đó không có Facebook hoặc không có điện thoại là bao nhiêu? GIẢI. Gọi F là biến cố học sinh đó có Facebook, M là biến cố học sinh đó có điện thoại. Theo giả thiết thì có P(F ∩M) = 0, 95. Hơn nữa, biến cố bạn đó không có Facebook hoặc không có điện thoại chính là F ∩M. Vậy xác suất cần tìm là P(F ∩M). Áp dụng công thức trên có P(F ∩M) = 1− P(F ∩M) = 1− 0, 95 = 0, 05. 3.2 Sự độc lập của các biến cố BIẾN CỐ ĐỘC LẬP. Ta nói hai biến cố A, B là độc lập với nhau nếu P(A ∩ B) = P(A).P(B). 21 3.2. Sự độc lập của các biến cố Nghĩa là khi xác suất của giao bằng tích các xác suất thì chúng là độc lập. Ta có thể hiểu về tính độc lập như sau: khi hai biến cố độc lập thì việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng gì đến biến cố kia và ngược lại. Để hiểu hơn, các bạn trả lời câu hỏi sau. Câu hỏi: i) Cho A, B là hai biến cố có xác suất 0 < P(A), P(B) < 1. Nếu A ⊂ B thì hai biến cố này có độc lập được không? Nếu A, B xung khắc thì chúng có độc lập được không? ii) Hãy cho biết biến cố Ω,∅ độc lập với những biến cố nào? Sau đây ta sẽ nói đến hai hệ quả khi A và B là độc lập. HQ1.Nếu A và B độc lập thì công thức hợp P(A∪ B) = P(A)+ P(B)− P(A)P(B). HQ2. Nếu A và B độc lập thì cặp biến cố A và B cũng độc lập. Từ đó suy ra cặp A và B cũng độc lập. CHỨNG MINH Hệ quả 1 là hiển nhiên, ta sẽ chứng minh hệ quả hai. Ta cần chỉ ra P(A ∩ B) = P(A)P(B). Thật vậy, theo Bài tập 6, Chương 1, có A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B). Hơn nữa do B, B là xung khắc và các tập thành phần ở vế phải là tập con của chúng, tức là (A ∩ B) ⊂ B và (A ∩ B) ⊂ B, cũng xung khắc. Khi đó P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B). Do A, B độc lập nên P(A ∩ B) = P(A)P(B). Chuyển sang vế trái và nhóm lại ta được P(A ∩ B) = P(A)(1− P(B)) = P(A)P(B). Khi làm bài, ta luôn chú ý đến giả thiết có cho tính độc lập hay không. Trong một số bài tập, tính độc lập không được nói rõ mà phải ngầm hiểu. Chúng ta sẽ đề cập đến một số ví dụ. VÍ DỤ 3.5 Một toà nhà chung cư có 2 cầu thang máy. Xác suất để mỗi cầu thang chạy tốt là 0,9. Chúng hoạt động độc lập nhau. Một vị khách tới thăm khu 22 3.2. Sự độc lập của các biến cố nhà, tìm xác suất để anh ta lên được toà nhà bằng cầu thang máy. GIẢI. Gọi A, B tương ứng là biến cố cầu thang thứ nhất, thứ hai chạy tốt. Hai biến cố này độc lập nhau và có P(A) = P(B) = 0, 9. Anh ta lên được bằng cầu thang máy nếu ít nhất một trong hai thang máy chạy tốt, tức là biến cố A ∪ B. Xác suất cần tìm là P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A)P(B) = 2.0, 9− 0, 9.0, 9 = 0, 99. VÍ DỤ 3.6 Trong một ngày, xác suất để bạn An đi học muộn là 0,05. Xác suất để An bị gọi lên bảng kiểm tra bài cũ là 0,03. Biết rằng hai sự kiện này là độc lập nhau. Hỏi xác suất để An không đi học muộn và cũng không bị kiểm tra bài cũ trong ngày là bao nhiêu? GIẢI. Gọi A là biến cố An đi học muộn P(A) = 0, 05, B là biến cố lên bảng kiểm tra bài cũ, P(B) = 0, 03. Xác suất cần tìm là P(A ∩ B). Từ các công thức đã biết ở trên, ta có P(A ∩ B) = 1− P(A ∪ B) = 1− [P(A) + P(B)− P(A)P(B)] = 0, 935. Trong ví dụ sau đây thì tính độc lập được ngầm hiểu. VÍ DỤ 3.7 Chọn ngẫu nhiên một lá bài trong cỗ bài 52 lá, ghi nhận kết quả rồi trả lại lá bài trong cỗ bài và rút một lá bài thứ hai, cũng ngẫu nhiên. Tính xác suất để được lá bài là thứ nhất là Bích và lá bài thứ hai là Cơ. GIẢI. Gọi B là biến cố rút được lá Bích ở lần 1, C là biến cố rút được lá Bích ở lần 2. Theo cách rút ta thấy hai biến cố này là độc lập nhau nên xác suất cần tìm P(B ∩ C) = P(B)P(C) = 1 52 × 1 52 . BÀI TẬP TÍNH TOÁN BÀI TẬP 11 Trong hòm có 15 viên bi đánh số từ 1 đến 15. Lấy hú hoạ một lần 2 viên. Tìm xác suất để: a) Tống số trên hai viên bi bằng 10. b) Tổng số trên hai viên bi không vượt quá 5. c) Tổng số trên hai viên bi bằng 30. BÀI TẬP 12 Một khối lập phương có các mặt quét sơn. chia khối lập phương thành 1000 khối lập phương nhỏ. Lấy 23 3.2. Sự độc lập của các biến cố ngẫu nhiên ra một khối nhỏ. Tìm xác suất: a) Khối lấy ra có một mặt quét sơn. b) Khối lấy ra có hai mặt quét sơn. c) Khối lấy ra có ba mặt quét sơn. BÀI TẬP 13 Một lớp học có 50 học sinh, giả sử ngày sinh của học sinh rơi vào ngày bất kỳ trong 365 ngày là cùng khả năng. Xác suất để trong lớp có ít nhất 2 sinh viên trùng sinh nhật là bao nhiêu? BÀI TẬP 14 Một người bắn độc lập và liên tiếp 3 viên đạn vào một mục tiêu. Biết xác suất để mỗi viên trúng là 0,8. Hãy tìm xác suất để có: i) Không viên nào trúng. ii) Có đúng 1 viên trúng. iii) Có đúng hai viên trúng. iv) Cả ba viên đều trúng. v) Nhiều nhất hai viên trúng. BÀI TẬP 15 Trong một nhà máy có 3 máy dệt. Trong một ngày, xác suất để máy thứ nhất bị sự cố là 0,05, xác suất để máy thứ hai bị sự cố là 0,1 và xác suất để máy thứ ba bị sự cố là 0,15. Tính xác suất để trong một ngày mà : a) Chỉ có một máy bị sự cố. b) Chỉ có hai máy bị sự cố. c) Không có máy nào bị sự cố. BÀI TẬP 16 Biết xác suất để một học sinh thi đậu ở lần thi thứ nhất, thứ hai lần lượt là 0,9 và 0,6. Tính xác suất để học sinh ấy thi đậu trong kì thi, biết rằng mỗi học sinh được phép thi tối đa 2 lần. BÀI TẬP 17 Một đoàn tàu có 3 toa đỗ ở sân ga. Có 5 hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa tàu. Tìm xác suất để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách lên tàu. BÀI TẬP 18 Một người bỏ ngẫu nhiên bốn lá thư vào bốn chiếc phong bì thư đã đề sẵn địa chỉ. Tìm xác xuất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng địa chỉ. 24 CHƯƠNG4 Một số bài thi Đại học gần đây Các kỹ thuật tổng quan và lưu ý khi làm một bài xác suất đã được chúng tôi giới thiệu ở trên. Chương này chúng ta sẽ thực hành tính toán với một số đề thi đại học của những năm gần đây. Cần nói thêm rằng, trong lời giải có bình luận, phân tích và hướng dẫn nên dài dòng. Khi trình bày bài thì viết ngắn ngọn súc tích hơn. Việc tính toán ra kết quả cụ thể dành cho các bạn. Các đề thi dưới đây đều dùng phương pháp tính xác suất theo định nghĩa. Do đó việc có kỹ năng tốt về các quy tắc đếm và tổ hợp là điều cần thiết. KHỐI B - 2012. Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. GIẢI VẮN TẮT. Ta có tổng số học sinh là 25. Như vậy số cách chọn 4 học sinh trong lớp là C425 = 12.650. Hơn nữa số cách chọn 4 học sinh trong đó có cả nam và nữ là C115C 3 10 + C 2 15C 2 10 + C 3 15C 1 10 = 11.075. Từ đây ta có xác suất cần tìm là 11.075 12.650 = 443 506 . 25 HƯỚNG DẪN VÀ BÌNH LUẬN. Quan sát câu hỏi trong đề bài, ta thấy rằng xác suất cần tính đối với biến cố 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. Do vậy ta sẽ gọi biến cố này là A và cần tính P(A). Để tính được P(A) ta cần tìm mối liên hệ A với các biến cố đơn giản hơn, càng đơn giản càng tốt, mà trong đó các biến cố này có quan hệ xung khắc hoặc độc lập. Từ nhận xét này, ta sẽ chỉ ra hai cách. ⊙ Cách 1, thực chất đây chính là cách đã trình bày ở trên. Chúng tôi trình bày và giải thích một cách chi tiết như sau. Ta hiểu 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ thì sẽ có các trường hợp sau, đồng thời ta gọi tên các biến cố đó. TH1 Gọi A1 là biến cố có 1 nam và 3 nữ. TH2 Gọi A2 là biến cố có 2 nam và 2 nữ. TH3 Gọi A3 là biến cố có 3 nam và 1 nữ. Bây giờ ta tìm mối quan hệ của A với A1, A2, A3. Ta dễ thấy rằng có hai khẳng định sau: ∙ Biến cố A được biểu diễn bằng hợp các biến cố A1, A2, A3. ∙ Hơn nữa 3 biến cố A1, A2, A3 là xung khắc từng đôi một. Và dễ dàng tính các xác suất của chúng. Áp dụng công thức xác suất của hợp 3 biến cố xung khắc từng đôi một, có P(A) = P(A1 ∪ A2 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) + P(A3). Hơn nữa, từ giả thiết, ta có các xác suất sau P(A1) = C115C 3 10 C425 , P(A2) = C215C 2 10 C425 , P(A3) = C315C 1 10 C425 . Do đó xác suất cần tìm là P(A) = C115C 3 10 + C 2 15C 2 10 + C 3 15C 1 10 C425 = 11.075 12.650 = 443 506 . 26 ⊙ Cách 2, ta hiểu 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ là biến cố đối của biến cố B là 4 học sinh được gọi toàn là nam hoặc toàn là nữ. Như vậy ta chỉ cần đi tìm xác suất P(B) và từ đó suy ra P(A) = 1− P(B). Ta phân tích C thành hai trường hợp đơn giản hơn, TH1 Gọi B1 là biến cố có toàn là nam, như vậy có 4 nam và 0 nữ. TH2 Gọi B2 là biến cố có toàn là nữ, như vậy có 0 nam và 4 nữ. Bây giờ ta tìm mối quan hệ của B với B1, B2. Ta dễ thấy rằng có hai khẳng định sau: ∙ Biến cố B được biểu diễn bằng hợp các biến cố B1, B2. ∙ Hơn nữa 2 biến cố B1, B2 là xung khắc từng đôi một. Và dễ dàng tính các xác suất của chúng. Áp dụng công thức xác suất của hợp 2 biến cố xung khắc từng đôi một, có P(B) = P(B1 ∪ B2) = P(B1) + P(B2). Hơn nữa, từ giả thiết, ta có các xác suất sau P(B1) = C415C 0 10 C425 , P(B2) = C015C 4 10 C425 . Do đó xác suất P(B) là P(B) = C415C 0 10 C425 + C015C 4 10 C425 . Vậy xác suất cần tìm P(A) trong đề bài là P(A) = 1− P(B) = 1− ( C415C 0 10 C425 + C015C 4 10 C425 ) = 443 506 . KHỐI A - 2013. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để chọn là số chẵn. 27 GIẢI VẮN TẮT. Gọi abc là một bộ gồm ba chữ số chọn ra từ tập số gồm 7 số đã cho. Ta thấy a có 7 cách chọn, b có 6 cách chọn và c có 5 cách chọn. Do đó số phần tử của S là A37 = 210. Để số abc là số chẵn thì chữ số c có 3 cách chọn, b có 6 cách chọn và a có 5 cách chọn. Như vậy số cách chọn abc là số chẵn là 5× 6× 3 = 90. Vậy xác suất cần tìm là 90 210 = 3/7. HƯỚNG DẪN VÀ BÌNH LUẬN. Đây là bài toán tính xác suất theo định nghĩa. Ngoài cách đã nói ở trên ta có thể sử dụng biến cố đối. Ta gọi A là biến cố chọn được số lẻ, lý luận như trên ta tìm được n(A) = 5× 6× 4 = 120. Xác suất cần tìm chính là 1− P(A) = 1− 120 210 = 3/7. So sánh hai cách thì thấy cách đầu tiên đơn giản và ít gây nhầm lẫn hơn. KHỐI A - 2014. Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 tới 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Xác suất để 4 thẻ được chọn ra đều được đánh số chẵn? HƯỚNG DẪN VÀ BÌNH LUẬN. Đây cũng là bài toán tính xác suất theo định nghĩa. Trước tiên ta phải tìm số cách chọn 4 thẻ từ 16 thẻ, dễ thấy đây chính là C416 = 1820. Ta thấy số thẻ đánh số chẵn và số thẻ đánh số lẻ là bằng nhau và bằng 8. Ta gọi A là biến cố chọn được 4 thẻ đều đánh số chẵn. Khi đó ta có số kết quả sơ cấp thuận lợi cho A là C48 = 70. Xác suất cần tìm chính là P(A) = 70 1820 = 1/26. 28 BÀI TẬP THỰC HÀNH BÀI TẬP 19 Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong số bi lấy ra không đủ cả ba màu. BÀI TẬP 20 Một người gọi điện thoại, quên hai chữ số cuối và chỉ nhớ rằng hai chữ số đó phân biệt. Tính xác suất để người đó gọi một lần đúng số cần gọi. BÀI TẬP 21 Một tổ có 9 nam và 3 nữ. Chia tổ thành 3 nhóm mỗi nhóm gồm 4 người. Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên nhóm nào cũng có nữ. BÀI TẬP 22 Có hai bài thi Toán và Văn. Biết xác suất để Vân đạt điểm tối đa Toán và Văn lần lượt là 0,9 và 0,6. Vân được giấy khen nếu có điểm tối đa của một môn nào đó. Hãy tìm xác suất để Vân không được giấy khen. Biết làm bài hai môn là độc lập nhau. BÀI TẬP 23 Trong một trăm vé sổ số có 1 vé trúng 100000đ, 5 vé trúng 50000đ và 10 vé trúng 10000đ. Một người mua ngẫu nhiên ba vé. a) Tìm xác suất để người mua trúng thưởng 30000 đồng. b) Tìm xác suất để người mua trúng thưởng 200000 đồng. BÀI TẬP 24 Một người say rượu bước 4 bước. Mỗi bước anh tiến lên phía trước 0,5 m hoặc lùi lại phía sau 0,5m với xác suất như nhau. Tìm xác xuất để: a) Anh ta trở lại vạch xuất phát. b) Anh ta cách điểm xuất phát 2m. 29