Chuyên đề Định lí Viét và ứng dụng
Bài toán 3 : bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai Dạng 1 : so sánh với số 0 Bài toán : cho phương trình bậc hai a + bx + c (1) (a,b,c phụ thuộc vào tham số m) . Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , sao cho
Bạn đang xem nội dung tài liệu Chuyên đề Định lí Viét và ứng dụng, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224
ĐỊNH LÍ VIÉT VÀ ỨNG DỤNG
ĐỊNH LÍ :
Cho phương trình bậc hai a + bx + c (a≠ 0) (1) .
Giả sử , là hai nghiệm của (1) khi đó
= + = −
= . =
Chứng minh :
Nếu , là hai nghiệm của (1) khi đó ,
a + bx + c = a(x - )(x - )
a + bx + c = a - a( + )x + a . , ∀x
= − a( + )
= a ( . )
+ = −
. =
Ý NGHĨA CỦA ĐỊNH LÍ :
Định lí viét tuy không cho ta công thức nghiệm tường minh để xác định rõ , nhưng
cho ta biết được tổng + và tích . .
ĐỊNH LÍ ĐẢO CỦA ĐỊNH LÍ VIÉT :
Nếu
+ = −
=
. =
=
thì , là hai nghiệm của phương trình
-sx+P = 0
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VIÉT :
I . BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài toán 1 : Tìm giá trị của một số biểu thức đối xứng
Việc tìm nghiệm của một phương trình bậc hai là rất có nghĩa,tuy nhiên trong một số trường
hợp , việc tìm nghiệm tường minh của một phương trình bậc hai là không đơn giản.Ví dụ
như tìm nghiệm của các phương trình bậc hai có chứa tham số . Hơn nữa có nhiều bài toán
ta cũng không cần thiết phải biết tường minh nghiệm của phương trình mà chỉ cần biết 1
biểu thức nào đó liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai lúc này định lí viét tỏ ra rất
ý nghĩa.
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224
Ví dụ : Gọi , là hai nghiệm của phương trình
+ x – 1 = 0 . Hãy tính các biểu thức
sau
A=
+
; B =
+
; C =
+
; D =
+
HƯỚNG DẪN GIẢI
A=
+
=( + )
- 2 . (1)
Theo viét thì
= + = −
= −1
= . =
= −1
thay vào (1) ta được A = 3
B =
+
= ( + )
- 3 . ( + ) (2)
Theo viét thì
= + = −
= −1
= . =
= −1
thay vào (2) ta được B = -4
C =
+
= (
+
) - 2
.
(3)
Theo viét thì
= + = −
= −1
= . =
= −1
và
+
= 3.
Thay vào (3) ta được C = 7
D =
+
= (
+
)(
+
) – ( . )
( + ) + ( . )
Từ các kết quả của A,B,C và định lí viét ta tính được D = -28
PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH LÍ VIÉT TÍNH CÁC BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG
BÀI TOÁN :
Gọi , là hai nghiệm của phương trình a
+ bx + c (a≠ 0) (1) .
Tính P( , ) với P( , ) là biểu thức đối xứng theo ,
( biểu thức P( , ) đgl đối xứng P( , ) = P( , ) )
Phương pháp
Bước 1 : từ biểu thức đối xứng ta dùng các biến đổi sơ cấp để đưa chúng về dạng tổng hay
tích của hai nghiệm , . Giả sử sau biến đổi ta thu được biểu thức (1)
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224
Bước 2 : theo định lí viét thì
= + = −
= . =
Thay vào biểu thức (1) ta sẽ tìm được giá trị của biểu thức đối xứng
Chú ý : một số biểu thức đối xứng thường gặp
+
=( + )
- 2 . =
– 2P
+
= ( + )
- 3 . ( + ) =
- 3PS
+
= (
+
) - 2
.
+
= (
+
)(
+
) – ( . )
( + ) + ( . )
+
=
=
+
=
=
Bài toán 2 : tìm giá trị của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa tính chất
P( , ) nào đó
Trường hợp 1 : P( , ) là biểu thức đối xứng
Phương pháp :
Bước 1 : tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (∆ ≥ 0)
Bước 2 : Biến đổi biểu thức đối xứng ban đầu về thành tổng tích của các nghiệm ,tức
là :
P( , ) = F( + , . ) (1)
Bước 3 : theo định lí viét thì
= + = −
= . =
Thay vào (1) ta được : P( , ) = F( + , . ) = F(−
,
) . Lúc này với việc kết
hợp các bước lại với nhau ta sẽ tìm được yêu cầu của bài toán
Ví dụ 1 : xác định giá trị của tham số m để phương trình
- 2(m-1)x + - 3m + 4 có hai nghiệm x , x thỏa √x + √x = 2√2
HƯỚNG DẪN GIẢI
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224
Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥ 0 ( − 1) - + 3m – 4 ≥ 0
Theo yêu cầu bài toán √x + √x = 2√2
(√x + √x )
= (2√2)
+ + 2√x x = 8 (1)
Theo định lí viét thì
= + = −
= 2( − 1) (2)
= . =
= − 3m + 4 (3)
Thay (2) , (3) vào (1) ta được 2(m-1) + 2 √ − 3m + 4 = 8
√ − 3m + 4 = 5 – m
≤ 5
− 3m + 4 = (5 – m )
(4)
Giải (4) ta được m = 3 thỏa điều kiện ∆ ≥ 0
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm
Ví dụ 2 : xác định giá trị của tham số m để phương trình
- 2mx + 2 - m có hai nghiệm x , x thỏa
+
đạt giá trị nhỏ nhất
HƯỚNG DẪN GIẢI
Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥ 0 + m – 2 ≥ 0
m ∈ (-∞ ; −2] ∪ [1 ; ∞ )
Theo định lí viét
= + = 2
= . = 2 −
Vậy
+
=( + )
- 2 . = 4
+ 2m – 4
Xét bảng biến thiên
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224
Giá trị nhỏ nhất của
+
là 2 xảy ra khi m = 1
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Ví dụ 2 : Gọi ; là hai nghiệm của phương trình
– (2sin - 1)x + 6(sin ) - sin – 1 = 0 (1)
Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức
+
HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có ∆= - 20(sin ) + 5
Phương trình (1) có hai nghiệm ∆≥ 0- 20(sin ) + 5≥ 0
-
≤ sin ≤
Với thỏa -
≤ sin ≤
thì (1) có hai nghiệm ; và
theo định lí viét thì
= + = −
= 2 sin − 1
= . =
= 6(sin ) − sin – 1
+
=
+
=( + )
- 2 . = −8(sin )
− 2sin + 3
Bài toán trở về tìm GTLN,GTNN của hàm số −8(sin ) − 2sin + 3 (*)
Cách 1 : dùng đạo hàm ( lớp 12)
Cách 2 : đặt t = sin , điều kiện -
≤ ≤
, khi đó
(*) -8 - 2t +3 , vì -8 < 0 nên ta có bảng biến thiên của tam thức bậc hai
-8 - 2t +3 là
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224
Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN là
và GTNN là 0
Trường hợp 2 : P( , ) là biểu thức không đối xứng
Dạng 1 : P( , ) là biểu thức không đối xứng nhưng ta có thể biến đổi để đưa về dạng
đối xứng
Ví dụ 1 tìm điều kiện của các số thực a và k để phương trình
- (3a + 2)x + = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa điều kiện nghiệm này bằng k lần
nghiệm kia
HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét phương trình - (3a + 2)x + = 0 (1) ta có ∆ = 5 + 12a + 4
Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆≥ 0 5 + 12a + 4 ≥ 0
a-
Theo yêu cầu bài toán nghiệm này gấp k lần nghiệm kia khi và chỉ khi :
( -k )( -k ) = 0
. +
- k(
+
) = 0
. +
- k[( + )
− 2 . ] = 0
+ - k[(3 + 2) − 2 ] = 0
( - 7k + 1) - 12ka – 4k = 0
Vậy điều kiện cần tìm là : ( - 7k + 1) - 12ka – 4k = 0 với a-
Ví dụ 2 : xác định giá trị của tham số m để phương trình
m - (m-1)x + m – 4 = 0 có hai nghiệm x , x thỏa
+
= 0
HƯỚNG DẪN GIẢI
Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥ 0( − 1) – 4m(m – 4) ≥ 0
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224
Theo yêu cầu bài toán
+
= 0
= -
x = -x
x + x = 0 (1)
Theo định lí viét ta có x + x =
(2)
Thế (2) vào (1) ta được
= 0 m = 1 thỏa điều kiện ∆ ≥ 0
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Dạng 2 : P( , ) là biểu thức không đối xứng và ta không thể biến đổi để đưa về dạng
đối xứng
Cụ thể :tìm điều kiện của tham số m để phương trình a + bx + c (a,b,c phụ thuộc vào
tham số m) có 2 nghiệm , thỏa + =
Phương pháp :
Bước 1 : Xác định điều kiện để phương trình a + bx + c có hai nghiệm∆≥ 0
Bước 2 : từ giả thiết bài toán và định lí viét ta có hệ sau
= + ( )
= . ( )
+ = ( )
Giải hệ 3 phương trình trên kết hợp với điều kiện ∆≥ 0 ta xác định được giá trị của tham số
cần tìm
Ví dụ 1 : xác định giá trị của tham số m để phương trình 3 - 5x + m = 0 có hai nghiệm
, thỏa - =
HƯỚNG DẪN GIẢI
Để phương trình có hai nghiệm ∆≥ 0 25 – 12m ≥ 0 m≤
Từ định lí viét và giả thiết ta có hệ phương trình sau
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ = + =
(1)
= . =
(2)
− =
(3)
Giải hệ trên ta được m =
kiểm tra thấy m =
thỏa điều kiện ∆≥ 0
Vậy m =
là giá trị cần tìm
Ví dụ 2 : xác định giá trị của tham số m để phương trình 5 + mx - 28 = 0 có hai nghiệm
, thỏa 5 + 2 - 1 = 0
HƯỚNG DẪN GIẢI
Vì 5.(-28) < 0 nên phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm
Từ định lí viét và giả thiết ta có hệ phương trình sau
= + =
(1)
= . =
(2)
5 + 2 − 1 = 0 (3)
Giải ra ta được m = -
hoặc m = -13
Vậy m = -
hoặc m = -13 là các giá trị cần tìm
Bài toán 3 : bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai
Dạng 1 : so sánh với số 0
Bài toán : cho phương trình bậc hai a + bx + c (1) (a,b,c phụ thuộc vào tham số m) . Tìm
m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , sao cho
Cùng âm
∆ > 0
> 0
< 0
(lưu ý a ≠ 0)
Cùng dương
∆ > 0
> 0
> 0
(lưu ý a ≠ 0)
Trái dấu P< 0
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224
Ví dụ 1 : tìm m để phương trình sau (m+3) - 3(m-1) + 4m = 0 có bốn nghiệm phân
biệt
HƯỚNG DẪN GIẢI
(m+3) - 3(m-1) + 4m = 0 (1)
Đặt = t , điều kiện t ≥ 0 , ta có :
(1) (m+3)2 - 3(m-1)t + 4m = 0 (2)
(1) có bốn nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm dương phân biệt
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
+ 3 ≠ 0
∆= 9( − 1) − 16 ( + 3)> 0
=
> 0
=
( )
> 0
√
< m < -3
Vậy với m thỏa
√
< m < -3 là các giá trị cần tìm của m
Các file đính kèm theo tài liệu này:
chuyen_de_1_dinh_li_vi_et__3852.pdf
