Chuyên đề Đạo hàm

CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM Gv: Phan Hữu Thế A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 1.1. Định nghĩa : Cho hàm số  y f x xác định trên khoảng  ;a b và  0 ;x a b , đạo hàm của hàm số tại điểm 0x là :       0 0 0 0 ' lim x x f x f x f x x x    . 1.2. Chú ý :  Nếu kí hiệu    0 0 0;x x x y f x x f x        thì :       0 0 0 0 00 ' lim lim x x x f x x f x y f x x x x           .  Nếu hàm số  y f x cĩ đạo hàm tại 0x thì nĩ liên tục tại điểm đĩ. 2. Ý nghĩa của đạo hàm 2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số  y f x cĩ đồ thị  C   0'f x là hệ số gĩc của tiếp tuyến đồ thị  C của hàm số  y f x tại    0 0 0,M x y C .  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y f x tại điểm    0 0 0,M x y C là :    0 0 0'y f x x x y    . 3. Qui tắc tính đạo hàm và cơng thức tính đạo hàm 3.1. Các quy tắc : Cho    ; ; :u u x v v x C  là hằng số .    ' ' 'u v u v       . ' '. '. . .u v u v v u C u C u        2 2 '. '. . , 0 u u v v u C C u v v uv u                   Nếu    , .x u xy f u u u x y y u      . 3.2. Các cơng thức :     0 ; 1C x         1 1. . . , , 2n n n nx n x u n u u n n                1 , 0 , 0 2 2 u x x u u x u            sin cos sin . cosx x u u u         cos sin cos .sinx x u u u           2 2 1 tan tan cos cos u x u x u         2 2 1 cot cot sin sin u x u x u       . CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM Gv: Phan Hữu Thế 4. Vi phân 4.1. Định nghĩa :  Cho hàm số  y f x cĩ đạo hàm tại 0x vi phân của hàm số  y f x tại điểm 0x là :    0 0 .df x f x x  .  Cho hàm số  y f x cĩ đạo hàm  f x thì tích  .f x x  được gọi là vi phân của hàm số  y f x . Kí hiệu :      . .df x f x x f x dx    hay .dy y dx . 4.2. Cơng thức tính gần đúng :      0 0 0 .f x x f x f x x     . 5. Đạo hàm cấp cao 5.1. Đạo hàm cấp 2 :  Định nghĩa :    f x f x       Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động  s f t tại thời điểm 0t là    0 0a t f t . 5.2. Đạo hàm cấp cao :          1 , , 2n nf x f x n n        . B. BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước: B1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0. B2: Tính y = f(x0 + x) – f(x0). B3: Tính x 0 y lim x    . Bài 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: a) 2y f(x) 2x x 2    tại 0x 1 b) y f(x) 3 2x   tại x0 = –3 c) 2x 1 y f(x) x 1     tại x0 = 2 d) y f(x) sin x  tại x0 = 6  Bài 2: (NC) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: a.   3 khi khi 2 2 10 16 2 x x x f x x x        tại 0 2x  . b)   2 3 2y f x x x    VẤN ĐỀ 2: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CƠNG THỨC Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 4 3 1 y 2x x 2 x 5 3     b) 7 3 y 3 x 5x 3 x     c) 4 2 7 4 3 2 x x y x x x     d) 3 7 6 4 3 2 x y x x x    Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 3 2y (x 2)(1 x )   b) 2 2 2y (x 1)(x 4)(x 9)    c) 2y (x 3x)(2 x)   d)   1y x 1 1 x         CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM Gv: Phan Hữu Thế Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 3 y 2x 1   b) 2x 1 y 1 3x    c) 2 2 1 x x y 1 x x      d) 2x 3x 3 y x 1     e) 22x 4x 1 y x 3     f) 2 x 1 y x 1    Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2 4 2 5y (x x 1) (1 2x )     b) 2 3 2 2( 1) ( 1)y x x x x     c) 3 2x 1 y x 1        d) 2 3 (x 1) y (x 1)    e) 2 2 1 y (x 2x 5)    f) 3 2y (x 2). 1 x   Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 2y 2x 5x 2   b) 3 3y x x 2   c) y x x  d) 2y (x 2) x 3   e) 2 4x 1 y x 2    f) 24 x y x   g) 3 3xy (x 2) x 1     h)   3 y 1 1 2x   Bài 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y x.cosx b) 2 sin x y 1 cosx        c) 3y sin (2x 1)  d) 4 4cos siny x x  e) 2y sin 2 x  f) y cot 2x g) sin sin x x y x x   h) 2 3y 2sin 4x 3cos 5x  i) 2 3y (2 sin 2x)  k) 3 5 2 1 y tan2x tan 2x tan 2x 3 5    l)  2 2sin cos cos3y x    m) sin cos cos sin x x x y x x x    Bài 7: a) Cho hàm số   x x xf sin1 cos   . Tính                 4 '; 2 ';';0'   ffff . b) Cho hàm số   x x xfy 2 2 sin1 cos   . Chứng minh: 3 ' 3 4 3 f f               VẤN ĐỀ 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) (C) là: 0 0 0y f '(x )(x x ) y   (*) 2. Nhắc lại: Cho (): y = ax + b. Khi đó: + d(d) ( ) k a    + d 1 (d) ( ) k a      Bài 1: Cho hàm số (C): 2y f(x) x 2x 3.    Viết phương trình tiếp với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1. b) Tại điểm có tung độ y0 =2. c) Tại giao điểm với trục Oy. d) tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k = 2 e) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0. f) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM Gv: Phan Hữu Thế Bài 2: Cho hàm số 3x 1 y f(x) 1 x     (C). a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d: 1 y x 100 2   . e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với : 2x + 2y – 5 = 0. Bài 3: (NC) Cho hàm số   2 1 2 3 x y x    . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đĩ cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. (Khối A – 2009) . Bài 4: (NC) Cho hàm số   3 1 1 1 x y x    . Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm  2 ; 5M  . Bài 5: (NC) Cho hàm số  3 23 9 5y x x x C     . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị  C , hãy tìm tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc lớn nhất. Bài 6: (NC) Cho hàm số   2 1   x y C x . Tìm điểm  M C , biết tiếp tuyến của  C tại M cắt hai trục tọa độ tại ,A B và tam giác OAB cĩ diện tích bằng 1 2 . (Khối D – 2007) Bài 7: (NC) Cho hàm số :   1 x y C x   . Viết phương trình tiếp tuyến   của  C sao cho   và hai đường    1 2: 1 ; : 1d x d y  cắt nhau tạo thành một tam giác cân. VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH –BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Tìm các nghiệm của phương trình sau: a) '( ) 0f x  với 3 2 1 ( ) 2 3 1 3 f x x x x    b) '( ) 5f x   với 4 3 2 1 3 ( ) 1 4 2 f x x x x    Bài 2: Cho hàm số 3 2( ) 3 2015f x x x   . Hãy giải bất phương trình: a) '( ) 0f x  b) '( ) 3f x  Bài 3: Giải phương trình y’ = 0 biết: a) sin 2 2 cosy x x  b) 2 cos siny x x  . Bài 4: (NC) Cho hàm số :    3 2 4 5 1 3 2 m m f x x x m x m      . Tìm m để : a)   0 ,f x x    ; b)   0f x  cĩ hai nghiệm cùng dấu. Bài 5: (NC) Cho hàm số  3 2 1 2 1 4 3 y x m x mx     . Tìm m để : a) ' 0y  cĩ hai nghiệm phân biệt ; b) 'y cĩ thể viết được thành bình phương của nhị thức ; c) ' 0 ,y x   ; d)  ' 0 , 1 ; 2y x   ; e) ' 0 , 0y x   . CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM Gv: Phan Hữu Thế Bài 6: (NC) Cho hàm số  3 2 1 1 3 3 y mx m x mx      . Xác định m để : a) ' 0 ,y x   . b) ' 0y  cĩ hai nghiệm phân biệt cùng âm ; c) ' 0y  cĩ hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : 2 2 1 2 3x x  . Bài 7: (NC) a) Cho hàm số 21 xxy  . Chứng minh : yyx  '.12 2 . b) Cho hàm số cot 2y x . Chứng minh : 2 ' 2 2 0y y   . VẤN ĐỀ 5: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO 1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng công thức: (n) n 1 /y (y ) . 2. Để tính đạo hàm cấp n:  Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ... từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.  Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng. Bài 1: Cho hàm số f(x) 3(x 1)cosx  . a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''( ), f '' , f ''(1) 2        Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra: a) y cosx, y ''' b) 4 3 2y 5x 2x 5x 4x 7, y''     c) x 3 y , y '' x 4    d) 2y 2x x , y ''  e) y xsin x, y '' f) y x tan x, y '' g) 2 3y (x 1) ,y ''  h) 6 3 (4)y x 4x 4, y   i) (5) 1 y , y 1 x   Bài 3: (NC) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: a) (n) n n 1 1 ( 1) n! 1 x (1 x)          b) (n) n. (sin x) sin x 2        c) (n) n. (cosx) cos x 2        Bài 4: (NC) Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a) 1 y x 2   b) 2 1 y x 3x 2    c) 2 x y x 1   d) 1 x y 1 x    e) 2y sin x f) 4 4y sin x cos x  Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra: a) y xsin x xy'' 2(y ' sin x) xy 0        b) 2 3 y 2x x y y'' 1 0       c) 2 2 2 y x tan x x y'' 2(x y )(1 y) 0        d) 2 x 3 y x 4 2y (y 1)y''          VẤN ĐỀ 6 (NC): ỨNG DUNG ĐẠO HÀM TÍNH GIỚI HẠN Phương pháp : 1)       0 0 0 0 ' lim x x f x f x f x x x    2)               0 0 00 0 0 0 0 ' lim ( ' 0) 'x x f x f x f xx x g x g x g x g x x x        CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM Gv: Phan Hữu Thế Bài 1: Tìm các giới hạn sau : a) x x x 141 lim 3 0   b) 1 75 lim 2 3 23 1    x xx x . c)       2 1 lim 1 n x x x x n x d) 21 )1( 1 lim    x nnxx n x . e)         xx x 4 tan.2tanlim 4   f) x x x sin21 4 sin lim 4            . Bài 2: Tìm các giới hạn sau : a) 2 1 8 3 lim 2 3x x x x     . b) 3 1 3 2 lim 1x x x x    . c)       0 1 2 1 sin lim 3 4 2x x x x x . d) 3 3 22 3 4 24 2 8 2 3 lim 4x x x x x       . e) 1 1 lim 4 3 1    x x x . f) 0 1 2 1 lim 1 3 1 n mx x x     . Bài 3: Tìm các giới hạn sau : a)    lim( ) tan , ( 0) 2x a x a x a a . b) x xx x sin 112 lim 3 2 0   . c) 0 cos5 cos3 lim .sin 2x x x x x  . d) )1tan( 23 lim 1    x xx x . e) xx x x sin cos1 lim 3 0   . f) 2 cos3 1 sin 3 lim 1 sin 3x x x x    . VẤN ĐỀ 7(NC): ỨNG DUNG ĐẠO HÀM TÍNH TỔNG CHỨA TỔ HỢP Bài 1: Tính các tổng sau : a) 1 2 3 2 1 1 2 5 3 5 5 n n n n n nS C C C nC      b)    2 2 3 32 2.1. 2 3.2. 2 1 . 1 . nn n n n n nS C C n n C        . c) 2 1 2 2 2 3 2 3 1 . 2 . 3 . . n n n n nS C C C n C     d) 1 2 1 4 2 ( 1) n n n n n n S C C n C nC      . e) 0 1 2 1 2 2 3 ... ( 1) n n n n n n n S C C C nC n C      . Bài 2: Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức       3 3 35, 3 1 2 n nA C n n n      . Tính tổng :  2 2 2 3 22 . 3 . 1 . n n n n nS C C n C     . Bài 3: Chứng minh rằng với n là số nguyên dương , ta luơn cĩ :    1 1 2 2 1 1.2 . 1 .2 . 2 .2 . 2. 2 .3n n n n n nn n n nn C n C n C C n           Bài 4: Tìm số nguyên dương n biết:              1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2 3.2 4.2 ... 2 1 .2 2011n n n n n n n C C C C n C