Chuyên đề Bất đẳng thức Cô-si

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! Bài 1: [ĐVH]. Cho các số thực , , 0>a b c . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b b c c a abc( )( )( ) 8+ + + ≥ b) a b c a b c abc2 2 2( )( ) 9+ + + + ≥ Bài 2: [ĐVH]. Cho các số thực , , 0>a b c . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) ( )33(1 )(1 )(1 ) 1+ + + ≥ +a b c abc b) + + ≥ + +bc ca ab a b c a b c Bài 3: [ĐVH]. Cho các số thực , , 0>a b c . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6+ + + + + ≥a b b c c a abc b) 2 + + + + ≤ + + + ab bc ca a b c a b b c c a Bài 4: [ĐVH]. Cho các số thực , , 0>a b c . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3 2 + + ≥ + + + a b c b c c a a b b) 3 3 3 21 1 1( ) ( ) + + + + ≥ + +    a b c a b c a b c Bài 5: [ĐVH]. Cho các số thực , , 0>a b c . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3 3 3 2 2 23( ) ( )( )+ + ≥ + + + +a b c a b c a b c b) a b c a b c3 3 3 39( ) ( )+ + ≥ + + Bài 6: [ĐVH]. Cho a, b > 0. Chứng minh 1 1 4+ ≥ +a b a b (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: a) 1 1 1 1 1 12 + + ≥ + +  + + + a b c a b b c c a ; với a, b, c > 0. b) 1 1 1 1 1 12 2 2 2   + + ≥ + +  + + + + + + + + + a b b c c a a b c a b c a b c ; với a, b, c > 0. Bài 7: [ĐVH]. Chứng minh các BĐT sau: a) Cho x, y, z > 0 thoả 2 4 12+ + =x y z . Chứng minh: 2 8 4 6 2 2 4 4 + + ≤ + + + xy yz xz x y y z z x . b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 12 + + ≥ + +  − − −  p a p b p c a b c . Bài 8: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0. Chứng minh 1 1 1 9+ + ≥ + +a b c a b c (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: a) 2 2 2 1 1 1 3( ) ( ) 2   + + + + ≥ + +  + + +  a b c a b c a b b c c a . b) Cho x, y, z > 0 thoả 1+ + =x y z . Tìm GTLN của biểu thức: 1 1 1 = + + + + + x y zP x y z . Bài 9: [ĐVH]. Chứng minh các BĐT sau: a) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + ≤ . 02. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! Tìm GTNN của biểu thức 2 2 2 1 1 1 2 2 2 = + + + + + P a bc b ac c ab . b) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 1 30+ + + ≥ + + ab bc caa b c . Bài 10: [ĐVH]. Cho 2 số thực dương a và b thỏa mãn 2 2 2a b+ = . Chứng minh ( ) ( )3 2 3 2 6a a a b b b b a+ + + ≤ . Bài 11: [ĐVH]. Cho ; 0 : 1a b a b≥ + = . Chứng minh rằng ( )2 1 4 ab a b+ ≤ . Bài 12: [ĐVH]. Cho ba số thực ; ; 0a c b c c≥ ≥ > . Chứng minh rằng ( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤ . Bài 13: [ĐVH]. Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn 1x y+ ≤ . Chứng minh ( )4 4 18 5+ + ≥x y xy . Bài 14: [ĐVH]. Cho ba số thực dương ; ;x y z thỏa mãn 3 3 3 1x y z+ + = . Chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + > − − − . Bài 15: [ĐVH]. Cho ba số thực dương ; ;x y z thỏa mãn 16xyz x y z = + + . Chứng minh ( )( ) 8x z x y+ + ≥ . Bài 16: [ĐVH]. Cho ba số thực dương ; ; 0a b c > sao cho 3a b c+ + = . Chứng minh rằng a b c ab bc ca+ + ≥ + + . Bài 17: [ĐVH]. Cho ba số thực dương ; ;a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 17 . 6 a b c abcP a b cabc + + = + + + . LỜI GIẢI BÀI TẬP Bài 1: [ĐVH]. Cho các số thực , , 0>a b c . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a b b c c a abc( )( )( ) 8+ + + ≥ b) a b c a b c abc2 2 2( )( ) 9+ + + + ≥ Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có ( )( )( ) 2 .2 .2 8a b b c c a ab bc ca abc+ + + ≥ = . Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 32 2 2 2 2 23( )( ) 3 .3 9a b c a b c abc a b c abc+ + + + ≥ = . Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau. Bài 2: [ĐVH]. Cho các số thực , , 0>a b c . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) ( )33(1 )(1 )(1 ) 1+ + + ≥ +a b c abc b) + + ≥ + +bc ca ab a b c a b c Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! ( ) ( ) 33 33 2 2 23 3 (1 )(1 )(1 ) 1 1 1 3 3 1 a b c abc a b c ab bc ca abc abc a b c abc abc + + + ≥ + = + + + + + + + ≥ + + + = + Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 2 1 2 . 2 . 2 . 2 bc ca ab bc ca ca ab bc ab a b c a b b c a c bc ca ca ab bc ab a b c a b b c a c        + + = + + + + +                ≥ + + = + +    Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau. Bài 3: [ĐVH]. Cho các số thực , , 0>a b c . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 6+ + + + + ≥a b b c c a abc b) 2 + + + + ≤ + + + ab bc ca a b c a b b c c a Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6(1 ) (1 ) (1 ) 6 6+ + + + + = + + + + + ≥ =a b b c c a a b b c c a a b c a b b abc Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ca ab bc ca a b b c c a ab bc ca a b b c c a ab bc ca a b c + + ≤ + + + + + + + + + ++ + + + = ≤ = Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau. Bài 4: [ĐVH]. Cho các số thực , , 0>a b c . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3 2 + + ≥ + + + a b c b c c a a b b) 3 3 3 21 1 1( ) ( ) + + + + ≥ + +    a b c a b c a b c Lời giải: a) Biến đổi tương đương ( ) 3 91 1 1 2 2 9 2 1 1 12 2 2 9 a b c a b c b c c a a b b c c a a b a b c a b c a b c b c c a a b a b c a b b c c a + + ≥ ⇔ + + + + + ≥ + + + + + + + + + + + + ⇔ + + ≥ + + +   ⇔ + + + + ≥ + + +  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! ( ) ( )( ) ( )( )( ) 3 3 2 2 2 3 1 1 1 3 a b c a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a + + = + + + + + ≥ + + + + + ≥ + + + + + + Nhân từng vế ta có ( ) 1 1 12 2 2 9a b c a b b c c a   + + + + ≥ + + +  , bất đẳng thức cuối cùng đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau. b) Biến đổi tương đương 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) 2 2 2 2 2 2         + + + + ≥ + + ⇔ + + + + + + + +                ≥ + + + + + ⇔ + + + + + ≥ + + a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b a b a c b c a b c ab bc ac ab bc ca b a c a c b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 . 2 . 2 . 2 2 2a b a c b c a b a c b c ab bc ca b a c a c b b a c a c b + + + + + ≥ + + = + + . Bất đẳng thức cuối cùng đúng. Dấu bằng xảy ra khi ba số bằng nhau. Bài 5: [ĐVH]. Cho các số thực , , 0>a b c . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3 3 3 2 2 23( ) ( )( )+ + ≥ + + + +a b c a b c a b c b) a b c a b c3 3 3 39( ) ( )+ + ≥ + + Hướng dẫn giải: a) BĐT ⇔ ( ) ( ) ( )a b c a b b a b c bc c a ca3 3 3 2 2 2 2 2 22( )+ + ≥ + + + + + . Chú ý: a b ab a b3 3 ( )+ ≥ + . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. b) Áp dụng b) ta có: a b c a b c a b c3 3 3 2 2 29( ) 3( )( )+ + ≥ + + + + . Dễ chứng minh được: a b c a b c2 2 2 23( ) ( )+ + ≥ + + ⇒ đpcm. Bài 6: [ĐVH]. Cho a, b > 0. Chứng minh 1 1 4+ ≥ +a b a b (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: a) 1 1 1 1 1 12 + + ≥ + +  + + + a b c a b b c c a ; với a, b, c > 0. b) 1 1 1 1 1 12 2 2 2   + + ≥ + +  + + + + + + + + + a b b c c a a b c a b c a b c ; với a, b, c > 0. Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có ( ) 1 1 12 .2 4a b ab a b ab   + + ≥ =    Do 1 1 4, 0 .a b a b a b > ⇒ + ≥ + Dấu " "= xảy ra .a b⇔ = Vậy (1) được chứng minh. a) Áp dụng (1) với , , 0a b c > ta có Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! 1 1 4 1 1 4 1 1 4 ; ; a b a b b c b c c a c a + ≥ + ≥ + ≥ + + + 2 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 12 . a b c a b b c c a a b c a b b c c a   ⇒ + + ≥ + + ⇒ + + ≥ + +  + + + + + +  BĐT được chứng minh, dấu " "= xảy ra .a b c⇔ = = b) Áp dụng (1) với , , 0a b c > ta có ( ) ( ) 1 1 4 4 . 2a b b c a b b c a b c + ≥ = + + + + + + + Tương tự 1 1 4 1 1 4; 2 2b c c a a b c c a a b a b c + ≥ + ≥ + + + + + + + + 2 2 2 4 4 4 2 2 2a b b c c a a b c a b c a b c ⇒ + + ≥ + + + + + + + + + + + 1 1 1 1 1 12 2 2 2a b b c c a a b c a b c a b c   ⇒ + + ≥ + +  + + + + + + + + +  BĐT được chứng minh, dấu " "= xảy ra .a b c⇔ = = Bài 7: [ĐVH]. Chứng minh các BĐT sau: a) Cho x, y, z > 0 thoả 2 4 12+ + =x y z . Chứng minh: 2 8 4 6 2 2 4 4 + + ≤ + + + xy yz xz x y y z z x . b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 12 + + ≥ + +  − − −  p a p b p c a b c . Lời giải: a) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có ( ) ( ) 2 2 22 2 .2 2 8 2 , 4 x y x y x y x y xy xy + + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≤ dấu " "= xảy ra 2 .x y⇔ = ( ) ( ) 2 2 2 42 4 2 2 .4 2 4 32 8 , 4 y z y z y z y z yz yz + + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≤ dấu " "= xảy ra 2 4 .y z⇔ = ( ) ( )2 44 2 4 . 4 16 4 , 4 z x z x z x z x zx zx + + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≤ dấu " "= xảy ra 4 .z x⇔ = ( ) ( ) ( )2 2 22 2 4 4 2 8 4 4 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 x y y z z x xy yz xzP x y y z z x x y y z z x + + + ⇒ = + + ≤ + + + + + + + + ( ) ( ) ( )2 2 4 4 2 4 12 6. 4 2 2 x y y z z x x y zP + + + + + + + ⇒ ≤ = = = BĐT được chứng minh, dấu " "= xảy ra 4 2 4 2 2 4 12 1. x x y z y x y z z = = =  ⇔ ⇔ =  + + =  = b) Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi ta có Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! 0; 0. 2 2 2 2 a b c b c a a b c a c bp a a p b b+ + + − + + + −− = − = > − = − = > Khi đó áp dụng BĐT (1) trong bài 6 ta có ( ) ( ) 1 1 4 4 4 4 . 2p a p b p a p b p a b a b c a b c + ≥ = = = − − − + − − − + + − − Tương tự 1 1 4 1 1 4; p b p c a p c p a a + ≥ + ≥ − − − − 2 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 12 . p a p b p c a b c p a p b p c a b c   ⇒ + + ≥ + + ⇒ + + ≥ + +  − − − − − −   BĐT được chứng minh, dấu " "= xảy ra a b c ABC⇔ = = ⇔ ∆ đều. Bài 8: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0. Chứng minh 1 1 1 9+ + ≥ + +a b c a b c (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: a) 2 2 2 1 1 1 3( ) ( ) 2   + + + + ≥ + +  + + +  a b c a b c a b b c c a . b) Cho x, y, z > 0 thoả 1+ + =x y z . Tìm GTLN của biểu thức: 1 1 1 = + + + + + x y zP x y z . Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có ( ) 3 31 1 1 13 .3 9.a b c abc a b c abc   + + + + ≥ =    Do 1 1 1 9, , 0 .a b c a b c a b c > ⇒ + + ≥ + + Dấu " "= xảy ra .a b c⇔ = = Như vậy BĐT (1) được chứng minh. a) Áp dụng (1) với , , 0a b c > ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 9 . . 2 a b c a b c a b b c c a a b b c c a a b c   + + + + ≥ + + = + + + + + + + + + +  Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có ( )( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 3 a b c a b c a b c a b c + + + + + + ≥ + + ⇒ + + ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 9 3 . . 3 2 2 a b c a b c a b c a b b c c a a b c + +  ⇒ + + + + ≥ = + + + + + + +  BĐT được chứng minh, dấu " "= xảy ra .a b c⇔ = = b) Cho x, y, z > 0 thoả 1+ + =x y z . Tìm GTLN của biểu thức: 1 1 1 = + + + + + x y zP x y z . Có 1 1 1 1 1 11 1 1 3 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y zP x y z x y z x y z   = + + = − + − + − = − + + + + + + + + + + +  Áp dụng (1) với , , 0x y z > ta có Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! ( ) ( ) ( ) 1 1 1 9 9 9 9 1 1 1 1 1 1 3 1 3 4x y z x y z x y z + + ≥ = = = + + + + + + + + + + + + 1 1 1 9 9 33 . 1 1 1 4 4 4 P x y z   ⇒ − + + ≤ ⇒ ≤ − = + + +  Dấu " "= xảy ra 1 . 3 x y z⇔ = = = Vậy max 3 4 P = đạt được khi 1 . 3 x y z= = = Bài 9: [ĐVH]. Chứng minh các BĐT sau: a) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + ≤ . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 2 1 1 1 2 2 2 = + + + + + P a bc b ac c ab . b) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 1 30+ + + ≥ + + ab bc caa b c . Lời giải: a) Áp dụng BĐT (1) trong bài 8 với , , 0a b c > ta có ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 9 9 . 2 2 2 P a bc b ca c ab a b c ≥ = + + + + + + + Bài ra 2 90 1 9. 1 a b c P< + + ≤ ⇒ ≥ = Dấu " "= xảy ra 1 . 3 a b c⇔ = = = Vậy min 9P = đạt được khi 1 . 3 a b c= = = b) Áp dụng BĐT (1) trong bài 8 với , , 0a b c > ta có 1 1 1 9 ab bc ca ab bc ca + + ≥ + + (1) Với a b c 1+ + = có ( ) ( ) ( )22 2 2 1 1 1 1 22a b c ab bc caa b c ab bc ca = = + + − + ++ + − + + (2) Từ (1) và (2) ta được ( )2 2 2 1 1 1 1 1 9 1 2a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca + + + ≥ + + + − + + + + Lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 20 2 2a b b c c a a b c ab bc ca− + − + − ≥ ⇔ + + ≥ + + ( ) ( )22 2 2 3 .a b c ab bc ca a b c ab bc ca⇔ + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + Bài ra ( ) 11 3 1 . 3 a b c ab bc ca ab bc ca+ + = ⇒ + + ≤ ⇒ + + ≤ Dấu " "= xảy ra 1 . 3 a b c⇔ = = = Đặt 10; 3 ab bc ca t t  + + = ⇒ ∈   và 1 9 . 1 2 P t t ≥ + − Ta sẽ chứng minh 1 9 130 (*), 0; . 1 2 3 t t t   + ≥ ∀ ∈  −   Thật vậy, với 10; 3 t   ∈   có ( ) ( ) ( ) ( )2(*) 9 1 2 30 1 2 60 47 9 0 3 1 20 9 0t t t t t t t t⇔ + − ≥ − ⇔ − + ≥ ⇔ − − ≥ Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! Điều này luôn đúng với 10; . 3 t  ∀ ∈   BĐT được chứng minh, dấu " "= xảy ra 1 . 3 a b c⇔ = = =
Cách 2 (Sơ lược) Biến đổi 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 3 3 3 3 P a b c ab bc ca ab bc ca       = + + + + + +     + +      2 2 2 4 4 2 9 . 3 3 3 3 P a b c ab bc ca ab bc ca ⇒ ≥ + + + + + + + + 2 2 2 16 2 9 . 3 3 3 3 P a b c ab bc ca ab bc ca ⇒ ≥ + + + + + + + + ( )2 16 6 16 6 30.1 11 3 3 P ab bc caa b c ab bc ca ⇒ ≥ + ≥ + = + ++ + + + + + BĐT được chứng minh, dấu " "= xảy ra 1 . 3 a b c⇔ = = = Bài 10: [ĐVH]. Cho 2 số thực dương a và b thỏa mãn 2 2 2a b+ = . Chứng minh ( ) ( )3 2 3 2 6a a a b b b b a+ + + ≤ . Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 3 23 2 3 2 . . 2 2 2 2 2 2.2 2 4 6 a a b b b a a a a b b b b a a b a ab b ab a b + + + + + + + ≤ + = + + = + ≤ + + = Dấu đẳng thức xảy ra khi hai số cùng bằng 1. Bài 11: [ĐVH]. Cho ; 0 : 1a b a b≥ + = . Chứng minh rằng ( )2 1 4 ab a b+ ≤ . Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 21 1 .2 . . 2 2 4 1 1 8 8 64 ab a b ab a b ab a b a b ab a b + + + = + ≤ + = = ⇒ + ≤ Dấu đẳng thức xảy ra khi 12 41 ab a b a b a b  = + ⇔ = = + = . Bài 12: [ĐVH]. Cho ba số thực ; ; 0a c b c c≥ ≥ > . Chứng minh rằng ( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤ . Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! ( ) ( ) . . 1 1 1 2 2 2 P c a c c b cP c a c c b c b a a bab c a c c b c c c c c b a a b b a a b P ab − − = − + − ⇒ = + − − + + + − + + − ≤ + = = ⇒ ≤ Khi đó ta có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi 2a b c= = . Bài 13: [ĐVH]. Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn 1x y+ ≤ . Chứng minh ( )4 4 18 5+ + ≥x y xy . Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng ( )22 2 2 212 2 xy x y x y x y≤ + ⇒ + ≤ + . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 44 4 2 4 4 8 8. 4. 1 2 2 1 1 1 14 8 5 4 4 x y x y x y x y xy x y x y xy xy  + +  + ≥ ≥ = + =     ≤ + = ⇒ ≥ ⇒ + + ≥ Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 2 a b= = . Bài 14: [ĐVH]. Cho ba số thực dương ; ;x y z thỏa mãn 3 3 3 1x y z+ + = . Chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + > − − − . Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 1 11 2 2 2 1 1 x x x x x x x x x x + − − ≤ = ⇒ = ≥ − − . Tương tự 2 2 3 3 2 2 2 ; 2 1 1 y zy z y z ≥ ≥ − − . Kết hợp lại ta được ( )2 2 2 3 3 32 2 2 2 21 1 1 x y z x y z x y z + + ≥ + + = − − − . Dấu đẳng thức không xảy ra nên ta có đpcm. Bài 15: [ĐVH]. Cho ba số thực dương ; ;x y z thỏa mãn 16xyz x y z = + + . Chứng minh ( )( ) 8x z x y+ + ≥ . Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia! ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 164 4. . 64 8 + + = + + + ≥ + + = + + =       + + ⇒ + + ≥ x z x y x x y z yz xyz x y z x y z x y z x z x y Dấu đẳng thức xảy ra khi ( )( ) 16 x x y z yz xyz x y z + + =  + + = Bài 16: [ĐVH]. Cho ba số thực dương ; ; 0a b c > sao cho 3a b c+ + = . Chứng minh rằng a b c ab bc ca+ + ≥ + + . Lời giải: Biến đổi tương đương 2 2 2 2 2 2+ + ≥ + +a b c ab bc ca ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 9⇔ + + ≥ + + − + + ⇔ + + + + + ≥a b c a b c a b c a b c a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 32 2 32 3 3a a a a a a a+ = + + ≥ = . Tương tự 2 22 3 ; 2 3b b b c c c+ ≥ + ≥ . Dẫn đến ( )2 2 22 2 2 3 9a b c a b c a b c+ + + + + ≥ + + = . Bất đẳng thức cuối đúng, dấu đẳng thức xảy ra khi ba số cùng bằng 1. Bài 17: [ĐVH]. Cho ba số thực dương ; ;a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 17 . 6 a b c abcP a b cabc + + = + + + . Lời giải: Đặt 3 a b c t abc + + = , theo bất đẳng thức Cauchy thì 33 3a b c abc t+ + ≥ ⇒ ≥ . Mặt khác 17 1 1 49 1 49 532 . .3 6 9 18 9 18 6 t tP t t t t t = + = + + ≥ + = . Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.