Bài toán xét vị trí tương đối

Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Cho hai mặt phẳng ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 : 0 : 0 P A x B y C z D P A x B y C z D  + + + =  + + + =
( ) ( ) 1 1 1 11 2 2 2 2 2 / / A B C DP P A B C D ⇔ = = ≠
( ) ( ) 1 1 1 11 2 2 2 2 2 A B C DP P A B C D ≡ ⇔ = = =
( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 A B A B P P A C A C  ≠ ∩ ⇔  ≠  Đặc biệt, ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2. 0 0.P P n n A A B B C C⊥ ⇔ = ⇔ + + =



 Ví dụ 1: [ĐVH]. Xét vị trí tương đối của các mặt phẳng sau: a) { − + + = − + − = 3 4 3 6 0 3 2 5 3 0 x y z x y z b) { + − + =+ − − =2 3 2 5 03 4 8 5 0x y zx y z c) − − + = − − + = 2 2 4 5 0 255 5 10 0 2 x y z x y z Hướng dẫn giải: a) Ta có 3 4 3 3 2 5 − ≠ ≠ ⇒ − hai mặt phẳng cắt nhau. b) Ta có 2 3 2 3 4 8 − ≠ ≠ ⇒ − hai mặt phẳng cắt nhau. c) Ta có 2 2 4 5255 5 10 2 − = = = ⇒ − hai mặt phẳng đã cho trùng nhau. Ví dụ 2: [ĐVH]. Xác định m, n để các mặt phẳng sau đây song song, cắt nhau, trùng nhau? a) { + − − =+ − + =3 2 7 07 6 4 0x my znx y z b) { − + − =+ + − =5 2 11 03 5 0x y mzx ny z c) − − + − = + − + − =3 ( 3) 2 5 0( 2) 2 10 0x m y zm x y mz Hướng dẫn giải: a) {3 2 7 07 6 4 0x my znx y z+ − − =+ − + =
Hai mặt phẳng song song nhau khi 9 3 2 7 77 6 4 3 n m n m = − −  = = ≠ ⇔  − =
Hai mặt phẳng cắt nhau nhau khi 3 2 7 6 3 2 9 7 6 mn m n − ≠  ≠ − ⇔  − ≠≠  −
Hai mặt phẳng trùng nhau khi 3 2 7 7 6 4 m n − − = = = ⇒ − hệ vô nghiệm. b) {5 2 11 03 5 0x y mzx ny z− + − =+ + − = 05. BÀI TOÁN XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Hai mặt phẳng song song nhau khi 6 5 2 11 5 53 1 5 3 n m n m  = − − −  = = ≠ ⇔  −  = 
Hai mặt phẳng cắt nhau nhau khi 5 2 5 3 3 5 6 1 3 5 m n m n − ≠ ≠  ⇔   ≠ ≠ −   
Hai mặt phẳng trùng nhau khi 5 2 11 3 1 5 m n − − = = = ⇒ − hệ vô nghiệm. c) 3 ( 3) 2 5 0( 2) 2 10 0 x m y z m x y mz − − + − =  + − + − =
Hai mặt phẳng song song nhau khi ( ) 2 42 4 3 2 2 10 4 3 3 4 0 3 3 2 5 44 mm m m m m m m m m mm =+ = + − −  = = ≠ ⇔ − = − ⇔ − − = ⇒  − −   ≠≠  vô nghiệm.
Hai mặt phẳng cắt nhau nhau khi 2 2 4 43 2 2 13 4 0 3 2 m m m m m mm m m + ≠ ≠ ≠ ⇔ ⇔   − ≠ − − − ≠ ≠  −
Hai mặt phẳng trùng nhau khi ( ) 2 42 4 3 2 2 10 4 3 3 4 0 4 3 3 2 5 44 mm m m m m m m m m m mm =+ = + − −  = = = ⇔ − = − ⇔ − − = ⇔ =  − −   ==  Ví dụ 3: [ĐVH]. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau: a) 3 4 3 6 0 3 2 5 3 0 x y z x y z − + + =  − + − = b) 5 5 5 1 0 3 3 3 7 0 x y z x y z + − − =  + − + = c) 3 2 6 23 0 3 2 6 33 0 x y z x y z − − − =  − − + = d) 6 4 6 5 0 12 8 12 5 0 x y z x y z − − + =  − − − = Ví dụ 4: [ĐVH]. Xác định m, n để các mặt phẳng sau đây song song với nhau? a) 2 2 1 0 3 2 0 x ny z x y mz − + − =  − + − = b) 2 3 5 0 6 6 2 0 x my z nx y z + + − =  − − + = c) 3 9 0 2 2 3 0 x y mz x ny z − + − =  + + − = d) 2 0 2 4 3 0 x my z x y nz + − + =  + + − = Ví dụ 5: [ĐVH]. Xác định m, n để các mặt phẳng sau đây vuông góc với nhau? a) 2 7 2 0 3 2 15 0 x y mz x y z − + + =  + − + = b) (2 1) 3 2 3 0( 1) 4 5 0 m x my z mx m y z − − + + =  + − + − = c) 2 12 0 7 0 mx y mz x my z + + − =  + + + = d) 3 ( 3) 2 5 0( 2) 2 10 0 x m y z m x y mz − − + − =  + − + − = II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình ( ) ( ) 0 0 0: : 0 x x y y z zd a b c P Ax By Cz D − − − = =   + + + = d đi qua ( )0 0 0; ;M x y z và có véc tơ chỉ phương ( ); ;du a b c=

 , (P) có véc tơ pháp tuyến ( ); ;Pn A B C=


( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 00 0 0. 0 / / 0 P d P d Aa Bb Ccn u n ud P Ax By Cz DM P M P   + + =⊥ ≠   ⇔ ⇔ ⇔   + + + ≠∉ ∉   







 Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! Kiểm tra . 0d Pu n =



 ( )d P∩ Kiểm tra ( )0M P∈ T F ( )d P⊂ ( )/ /d P T F
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 00 0 0. 0 0 P d P d Aa Bb Ccn u n ud P Ax By Cz DM P M P   + + =⊥ ≠   ⊂ ⇔ ⇔ ⇔   + + + =∈ ∈   








( ) ( ) . 0P dd P n u∩ ⇔ ≠



 Khi đó, tọa độ giao điểm thỏa mãn hệ phương trình 00 0 0 0 0 ... ... 0 ... xx x y y z z ya b c Ax By Cz D z = − − − = =  → =   + + + = =  Lược đồ xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Ví dụ 1: [ĐVH]. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau: a) ( )+ −= = − + − =1 3: ; : 3 3 2 5 0 2 4 3 x y zd P x y z b) ( )− − −= = + − + =9 1 3: ; : 2 4 1 0 8 2 3 x y zd P x y z c) ( ) = − +  = − + − − =  = − + 1 : ; : 2 3 0 2 3 x t d y t P x y z z t Hướng dẫn giải: a) Đường thẳng d đi qua điểm M(−1; 3; 0) và có véc tơ chỉ phương ( )2;4;3 .du =

 Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến ( )3; 3;2 .Pn = −

 Ta có ( )( ). 2;4;3 3; 3;2 6 12 6 0d Pu n = − = − + =



 Lại có, ( ) ( ) ( )1;3;0 / / .M P d P− ∈ ⇒ b) Đường thẳng d đi qua điểm M(9; 1; 3) và có véc tơ chỉ phương ( )8;2;3 .du =

 Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến ( )1;2; 4 .Pn = −

 Ta có ( )( ). 8;2;3 1;2; 4 8 4 12 0d Pu n = − = + − =



 Lại có, ( ) ( ) ( )9;1;3 .M P d P∈ ⇒ ⊂ c) Đường thẳng d đi qua điểm M(−1; 0; −2) và có véc tơ chỉ phương ( )1; 1;3 .du = −

 Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến ( )1;2; 1 .Pn = −

 Ta có ( )( ) ( ). 1; 1;3 1;2; 1 1 2 3 4 0d Pu n d P I= − − = − − = − ≠ ⇒ ∩ =



 Tạo độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình 311 2 1 2 32 3 2 1 72 3 0 1 2 2 3 3 0 2 2 x t xx t y ty t yz t z t x y z t t t t z  = − + = −= − +  = − = −   ⇔ ⇔ =  = − + = − +     + − − = − + − + − − = ⇒ = − = −   Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! 3 1 7 ; ; . 2 2 2 I  ⇒ − −    Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm m để đường thẳng − + += = − 1 2 3 : 2 1 2 x y zd m m và mặt phẳng ( ) + − − =: 3 2 5 0P x y z a) cắt nhau b) song song với nhau c) vuông góc với nhau d) (P) chứa d Hướng dẫn giải: Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; −3) và có véc tơ chỉ phương ( );2 1;2 .du m m= −

 Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến ( )1;3; 2 .Pn = −

 Ta có ( )( ). ;2 1;2 1;3; 2 6 3 4 7 7d Pu n m m m m m= − − = + − − = −



 a) d và (P) cắt nhau khi . 0 7 7 0 1.d Pu n m m≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠



 b) d và (P) song với nhau khi ( ) . 0 7 7 0 1 4 0 d Pu n m m M P  = − = ⇔ ⇔ =  − ≠∉ 



 c) 12 1 2( ) 1 2 1 31 3 2d P mm md P u kn m m = −−⊥ ⇔ = ⇔ = = ⇔ ⇔ = − − = −− 



 d) (P) chứa (d) ( ) . 0 7 7 0 . 4 0 d Pu n m vn M P  = − = ⇔ ⇔ →  − =∈ 



 Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 3: [ĐVH]. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau: a) 12 9 1: ; ( ) :3 5 2 0. 4 3 1 x y zd P x y z− − −= = + − − = b) 11 3: ; ( ) : 3 3 2 5 0 2 4 3 x y zd P x y z+ −= = − + − = c) 13 1 4: ; ( ) : 2 4 1 0 8 2 3 x y zd P x y z− − −= = + − + = d) 3 2 : 1 4 ; ( ) : 4 3 6 5 0 4 5 x t d y t P x y z z t = −  = − − − − =  = − Ví dụ 4: [ĐVH]. Xác định m, n để các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau đây song song, cắt nhau, trùng nhau? a) 1 3 1: ; ( ) : 3 2 5 0 2 2 x y zd P x y z m m + − − = = + + − = − b) 3 4 : 1 4 ; ( ) : ( 1) 2 4 9 0 3 x t d y t P m x y z n z t = +  = − − + − + − =  = − + c) 3 2 : 5 3 ; ( ) : ( 2) ( 3) 3 5 0 2 2 x t d y t P m x n y z z t = +  = − + + + + − =  = − Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho 2 1: ; ( ) : (3 4) ( 1) (3 2 ) 0 1 2 1 x y zd P m x m y m z m+ −= = − + − + − + = − Tìm m để d ⊂ (P). Đ/s: m = 2. III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Cho hai đường thẳng d1 và d2 với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 : ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;: x x y y z zd M x y z d u a b ca b c x x y y z z M x y z d u a b cd a b c − − − = =  ∈ =  →  − − − ∈ = = = 



 Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta thực hiện như sau:
Nếu 1 21 2 1 2 / /d d u ku d d  = → ≡



 + Nếu 1 2 1 2M d d d∈ → ≡ + Nếu 1 2 1 2/ /M d d d∉ →
Nếu 1 21 2 1 2 d d u ku d d ∩ ≠ → ×



 + Nếu 1 2 1 2 1 2; . 0u u M M d d  = → ∩ 









 + Nếu 1 2 1 2 1 2; . 0u u M M d d  = → × 









 Ví dụ 1: [ĐVH]. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: a) = − = − −    = + =    = − = +  1 2 1 2 1 ' : 3 , : 2 ' 2 2 ' x t x t d y t d y t z t z t b) − − − − + += = = = − 1 2 1 7 3 6 1 2 : , : 2 1 4 3 2 1 x y z x y zd d Hướng dẫn giải: a) Ta có 1 1 1 1 2 2 2 2 ( 2;1; 1), (1;3;0) ( 2; 3;2) ( 1;2;2), ( 1;0;2) u M d M M u M d  = − − ∈ ⇒ = − − = − − ∈










Ta nhận thấy 1 2u ku≠




Mặt khác 1 2 1 2 1 2, (4;5; 3) , . 29 0u u u u M M   = − ⇒ = − ≠ →   













 hai đường thẳng chéo nhau b) Ta có 1 1 1 1 2 2 2 2 (2;1;4), (1;7;3) (5; 8; 5) (3; 2;1), (6; 1; 2) u M d M M u M d  = ∈ ⇒ = − − = − − − ∈










Ta nhận thấy 1 2u ku≠




Mặt khác 1 2 1 2 1 2, (9;10; 7) , . (9;10; 7).(5; 8; 5) 0u u u u M M   = − ⇒ = − − − = →   













 hai đường thẳng cắt nhau. Ví dụ 2: [ĐVH]. Trong không gian cho bốn đường thẳng ( ) ( ) ( ) ( )− − − − − − −= = = = = = = = − − − 1 2 3 4 1 2 2 2 1 2 1 : , : ; : , : 1 2 2 2 4 4 2 1 1 2 2 1 x y z x y z x y z x y zd d d d a) Chứng tỏ rằng d1 và d2 cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó. b) Chứng tỏ rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Hướng dẫn giải: a) Ta có 1 1 1 1 2 2 2 2 (1;2; 2), (1;2;0) (1;0;0) (2;4; 4), (2;2;0) u M d M M u M d  = − ∈ ⇒ = = − ∈










Ta nhận thấy 1 21 2 1 2 / /1 2 d d u u d d  ≠ → ≡




Lại có, M1(1; 2; 0) ∈ d1, thay vào d2 ta có 1 2 2 2 02 4 4 − − = = → − vô lí. Vậy M1 ∉ d2 ⇒ hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.
Lập phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2 Do d1 // d2 nên 1 1 2, (0; 2; 2) 2(0;1;1)n u M M = = − − = −  







 Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng là (P) : y + z – 2 = 0 b) Ta có 3 3. 2 0 ( )Pn u P d= ≠ ⇒ ∩



 Gọi giao điểm của (P) và d3 là A. Khóa học VIP A. LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa VIP A. LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH ! Tọa độ của A là nghiệm của hệ 2 0 2 1 1 31; ; . 2 2 2 1 y z x t t A y t z t + − =  =   → = ⇒   =    = + Chứng minh tương tự d4 cắt mp (P) tại điểm B(4; 2; 0). Ta có 1 1 3 3 33; ; (2;1; 1); . 9 0 2 2 2 AB AB u u = − = − = ≠ ⇒   









 không cùng phương với AB


 nên AB cắt d1 và d2 (do d1 song song d2). Vậy AB là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Ví dụ 3: [ĐVH]. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau: a) 1 2 1 1 2 4 : ; : 2 1 3 2 3 x t x y zd d y t z t = − + − + −  = = = − −  = − + b) 1 2 5 2 3 2 ' : 1 ; : 3 ' 5 1 ' x t x t d y t d y t z t z t = + = +    = − = − −    = − = −  c) 1 2 1 2 3 7 6 5 : ; : 9 6 3 6 4 2 x y z x y zd d− − − − − −= = = = d) 1 2 2 2 1 : 1 ; : 1 1 3 x t x d y t d y t z z t = + =    ′= − + = +    ′= = −  e) 1 2 1 5 3 6 1 3 : ; : 2 1 4 3 2 1 x y z x y zd d− + − − + += = = = f) 1 2 2 1 7 2 : ; : 4 6 8 6 9 12 x y z x y zd d− + − −= = = = − − − Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau? Khi đó tìm tọa độ giao điểm của chúng? a) 1 2 1 1 ' : ; : 2 2 ' 1 2 3 ' x mt x t d y t d y t z t z t = + = −    = = +    = − + = −  Đ/s: m = 2 b) 1 2 1 2 ' : 3 2 ; : 1 ' 2 3 ' x t x t d y t d y t z m t z t = − = +    = + = +    = + = − 