Bài giảng xác suất thống kê - Chương 4: Tổng thể và mẫu

Giảng viên: Chu Bình Minh Bài giảng Xác suất thống kê Nam Dinh,Februay, 2008 PHẦN 2 THỐNG KÊ TOÁN CHÖÔNG 4: TOÅNG THEÅ VAØ MAÃU I. Khái niêm lý thuyết mẫu Nhiều bài toán trong thực tế dẫn đến nghiên cứu một hay nhiều dấu hiệu định tính hoặc địnhlượng đặc trưng cho các phần tử của một tập hợp nào đó. Chẳng hạn nếu muốn điều tra thu nhập bình quân của các gia đình ở Hà Nội thì tập hợp cần nghiên cứu là các hộ gia đình ở Hà Nội, dấu hiệu nghiên cứu là thu nhập của từng mỗi gia đình. I. Khái niêm lý thuyết mẫu Một doanh nghiệp muốn nghiên cứu các khách hàng của mình về dấu hiệu định tính có thể là mức độ hài lòng của khách hàng đối với sản phẩm hoặc dịch vụ của doanh nghiệp, còn dấu hiệu định lượng là số lượng sản phẩm của doanh nghiệp mà khách hàng có nhu cầu được đáp ứng. Khi khảo sát một tín hiệu là quá trình ngẫu nhiên người ta tiến hành lấy mẫu tại những thời điểm nào đó và thu được các tín hiệu mẫu. I. Khái niêm lý thuyết mẫu Để xử lý dấu hiệu cần nghiên cứu đôi khi người ta sử dung phương pháp nghiên cứu toàn bộ, đó là điều tra toàn bộ các phần tử của tập hợp theo dấu hiệu cần nghiên cứu để rút ra các kết luận cần thiết. Tuy nhiên trong thực tế việc áp dụng phương pháp này gặp phải những khó khăn sau: - Do qui mô của tập hợp cần nghiên cứu quá lớn nên việc nghiên cứu toàn bộ sẽ đòi hỏi nhiều chi phí về vật chất và thời gian, có thể không kiểm soát được dẫn đến bị chồng chéo hoặc bỏ sót. I. Khái niêm lý thuyết mẫu - Trong nhiều trường hợp không thể nắm được toàn bộ các phần tử của tập hợp cần nghiên cứu, do đó không thể tiến hành toàn bộ được. - Có thể trong quá trình điều tra sẽ phá hủy đối tượng nghiên cứu Vì thế trong thực tế phương pháp nghiên cứu toàn bộ thường chỉ áp dụng đối với các tập hợp có qui mô nhỏ, còn chủ yếu người ta sử dụng phương pháp không toàn bộ mà đặc biệt là phương pháp nghiên cứu chọn mẫu. II. Tổng thể. Toàn bộ các phần tử đồng nhất theo một dấu hiệu nghiên cứu định tính hay định lượng nào đó là một tổng thể. Số lượng phần tử của tổng thể gọi là kích thước của tổng thể. Dấu hiệu nghiên cứu của tổng thể được mô tả bằng biến ngẫu nhiên X gọi là biến ngẫu nhiên gốc. Do đó, ta có thể áp dung các công thức xác suất để áp dụng vào việc nghiên cứu tổng thể. II. Tổng thể. Ví dụ 1 Nghiên cứu thời gian tự học của sinh viên một trường đại học thì tổng thể là toàn bộ các sinh viên của trường này. Do trường đại học này có 5000 sinh viên nên tổng thể có kích thước 5000. Dấu hiệu nghiên cứu là thời gian tự học trong ngày của mỗi sinh viên trường này (Dấu hiệu nghiên cứu định lượng). II. Tổng thể. Ta có thể mô hình hóa dấu hiệu nghiên cứu bằng cách. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên của trường và gọi X là thời gian tự học của sinh viên này, X gọi là biến ngẫu nhiên gốc. Do vậy thay vì nghiên cứu thời gian tự học trong ngày của mỗi sinh viên ta sẽ sử dung các kiến thức về xác suất nghiên cứu biến ngẫu nhiên gốc X ví dụ như muốn biết thời gian tự học trung bình trong ngày của mỗi sinh viên ta cần tìm EX (trung bình tổng thể), cần biết tỉ lệ sinh viên có thời gian tự học trong ngày lớn hơn 5 giờ ta cần tìm P(X>5), II. Tổng thể. Ví dụ 2 Nghiên cứu tỉ lệ khách hàng không hài lòng với sản phẩm A thì tổng thể là toàn bộ khách hàng dùng sản phẩn A. Trường hợp này thường khó xác định được kích thước chính xác của tổng thể. Dấu hiệu nghiên cứu ở đây là mỗi khách hàng dùng sản phẩm A có hài lòng hay không (dấu hiệu nghiên cứu định tính). Ta mô hình hóa dấu hiệu trên bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng dùng sản phẩm A và gọi X là số khách hàng không hài lòng chọn được. X chỉ nhận hai giá trị 0 và 1 và (X=1) chính là biến cố chọn được khách hàng không hài lòng nên P(X=1) = p là tỉ lệ khách không hài lòng với sản phẩm A. Vậy biến ngẫu nhiên X có quy luật A(p). III. Mẫu ngẫu nhiên. Ta gọi một mẫu là ngẫu nhiên nếu trong phép lấy mẫu đó mỗi phần tử được chọn một cách độc lập và có xac suất như nhau. Do đó tá khái niệm: III. Mẫu ngẫu nhiên. Định nghĩa: Mẫu ngẫu nhiên kích thước n là tập hợp gồm n biến ngẫu nhiên độc lập 𝑋1,𝑋2, ,𝑋𝑛 được thành lập từ biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể và có cùng quy luật phân phối xác suất với X. Ký hiệu: 𝑊 = (𝑋1,𝑋2, ,𝑋𝑛) Tức là các biến ngẫu nhiên 𝑋1,𝑋2, ,𝑋𝑛 độc lập và 𝑋𝑖~𝑋 III. Mẫu ngẫu nhiên. Khi 𝑋𝑖 nhận giá trị cụ thể 𝑥𝑖 thì ta có mẫu cụ thể: 𝑤 = (𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑛) Để mô tả số liệu của một mẫu cụ thể ta thường sử dụng: + Bảng phân bố tần số: 𝑥𝑖 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑛𝑖 𝑛1 𝑛2 𝑛𝑛 Với 𝑛𝑖 là tần số xuất hiện của 𝑥𝑖 trong mẫu. + Bảng phân bố tần suất: 𝑥𝑖 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑓𝑖 𝑓1 𝑓2 𝑓𝑛 Với 𝑓𝑖 là tần suất xuất hiện của 𝑥𝑖 trong mẫu. III. Mẫu ngẫu nhiên. Ví dụ 1 Từ tập hợp các sinh viên của trường chọn ngẫu nhiên 100 sinh viên và gọi: 𝑋1 là thời gian tự học trong ngày của sinh viên chọn lần 1. Hiển nhiên 𝑋1~𝑋. 𝑋2 là thời gian tự học trong ngày của sinh viên chọn lần 2. Hiển nhiên 𝑋2~𝑋 và 𝑋1 ,𝑋2 độc lập. 𝑋100 là thời gian tự học trong ngày của sinh viên chọn lần 100. Hiển nhiên 𝑋100 ~𝑋 và 𝑋1 ,𝑋2, ,𝑋100 độc lập. III. Mẫu ngẫu nhiên. Khi đó một bộ gồm 100 biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng quy luật phân phối với biến ngẫu nhiên gốc X : 𝑊 = (𝑋1,𝑋2, ,𝑋100 ) Gọi là mẫu ngẫu nhiên kích thước 100. Giả sử trong trường hợp chọn cụ thể ta được: Lần 1 chọn được sinh viên tự học 2 giờ/1 ngày nên 𝑥1 = 2 Lần 2 chọn được sinh viên tự học 6 giờ/1 ngày nên 𝑥2 = 6 Lần 100 chọn được sinh viên tự học 5 giờ/1 ngày nên 𝑥100 = 5 III. Mẫu ngẫu nhiên. Khi đó ta có một mẫu cụ thể 𝑤 = (2; 6; ; 5) Do khi liệt kê 100 phần tử trên một hàng gây cảm giác giắc rối mà ta lại nhận thấy nhiều phần tử trên hàng đó có giá trị bằng nhau (chẳng hạn có 10 phần tử bằng 2, 15 phần tử bằng 6, 5 phần tử bằng 5) ta có thể biểu diễn mẫu cụ thể trên dạng: 𝑥𝑖 2 6 5 𝑛𝑖 10 15 5 Thì bảng trên gọi là bản phân phối tần số của mẫu. Hoặc ta có thể lập bảng phân phối tần suất của mẫu với 𝑓𝑖 = 𝑛𝑖 𝑛 𝑥𝑖 2 6 5 𝑓𝑖 10/100 15/100 5/100 III. Mẫu ngẫu nhiên. Ví dụ 2 Do không xác định được toàn bộ các khách hàng nên công ti sẽ không thể hỏi ý kiến của toàn bộ khách hàng về sản phẩm A được nên công ti tiến hành thăm dò bằng cách hỏi ý kiến của 50 khách hàng dùng sản phẩn A (Ngay cả khi xác định được nhưng do số lượng quá nhiều cũng làm như trên) và gọi: 𝑋1 là là số khách hàng không hài lòng chọn được lần 1 nên 𝑋1~𝐴(𝑝) 𝑋2 là là số khách hàng không hài lòng chọn được lần 2 nên 𝑋2~𝐴(𝑝) và 𝑋1 ,𝑋2 độc lập III. Mẫu ngẫu nhiên. 𝑋50 là là số khách hàng không hài lòng chọn được lần 50 nên 𝑋50~𝐴(𝑝) và 𝑋1,𝑋2, ,𝑋50 độc lập Khi đó một bộ gồm 50 biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng quy luật phân phối A(p) với biến ngẫu nhiên gốc X : 𝑊 = (𝑋1,𝑋2, ,𝑋50) Là một mẫu ngẫu nhiên kích thước 50. III. Mẫu ngẫu nhiên. Giả sử trong trường hợp chọn cụ thể ta được: Lần 1 chọn được khách hàng hài lòng với sản phẩm A nên 𝑥1 = 0 Lần 2 chọn được khách không hàng hài lòng với sản phẩm A nên 𝑥2 = 1 Lần 50 chọn được khách không hàng hài lòng với sản phẩm A nên 𝑥50 = 1 III. Mẫu ngẫu nhiên. Khi đó ta có một mẫu cụ thể 𝑤 = (0; 1; ; 1) Giả sử trong mẫu có 5phần tử bằng 1. Khi đó ta có bảng phân phối tần số của mẫu 𝑥𝑖 0 1 𝑛𝑖 45 5 𝑓 = 5 50 gọi là tỉ lệ mẫu III. Mẫu ngẫu nhiên. Mẫu có thể cho dưới dạng khoảng 𝑥𝑖 (𝑎1; 𝑏1) (𝑎2; 𝑏2) (𝑎𝑛 ; 𝑏𝑛) 𝑛𝑖 𝑛1 𝑛2 𝑛𝑛 Co thể chuyển về dạng điểm bằng cách đơn giản là đặt: 𝑥𝑖 = 𝑏𝑖 + 𝑎1 2 Ta có: 𝑥𝑖 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑛𝑖 𝑛1 𝑛2 𝑛𝑛 IV. Thống kê. 1. Khái niệm Cho mẫu 𝑊 = (𝑋1,𝑋2 , ,𝑋𝑛) , thống kê G là việc tổng hợp mẫu đã cho dưới dạng môt hàm nào đó theo các biến 𝑋1 ,𝑋2, ,𝑋𝑛 . Tức là 𝐺 = 𝑓(𝑋1,𝑋2, ,𝑋𝑛) Sau đây là một số thống kê quan trọng IV. Thống kê. 2. Trung bình mẫu 𝑋 = 1 𝑛 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1 Ta có: 𝐸𝑋 = 𝐸𝑋 và 𝐷𝑋 = 𝐷𝑋 3. Phương sai mẫu 𝑆 2 = 1 𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑋 ) 2 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 𝑋𝑖 2 𝑛 𝑖=1 − (𝑋 )2 Ta có: 𝐸𝑆 2 = 𝑛−1 𝑛 𝐷𝑋 IV. Thống kê. 4. Phương sai mẫu hiệu chỉnh 𝑆2 = 1 𝑛 − 1 (𝑋𝑖 − 𝑋 ) 2 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 − 1 𝑋𝑖 2 𝑛 𝑖=1 − 𝑛 𝑛 − 1 (𝑋 )2 Ta có: 𝐸𝑆2 = 𝐷𝑋 IV. Thống kê. Chú ý: Khi mẫu cụ thể cho dưới dạng tần số ta có thể rút gọn: 𝑥 = 1 𝑛 𝑛𝑖𝑥𝑖 𝑚 𝑖=1 𝑠 2 = 1 𝑛 𝑛𝑖𝑥𝑖 2 𝑚 𝑖=1 − (𝑥 )2 𝑠2 = 1 𝑛 − 1 𝑛𝑖𝑥𝑖 2 𝑚 𝑖=1 − 𝑛 𝑛 − 1 (𝑥 )2 IV. Thống kê. Ví dụ Cho mẫu dưới dạng bảng phân phối tần số. 𝑥𝑖 3 4 5 6 7 8 𝑛𝑖 5 10 15 20 15 5 Tính 𝑥 , 𝑠 2, 𝑠2 Giải IV. Thống kê. 𝑥 = 1 70 3.5 + 4.10 + 5.15 + 6.20 + 7.15 + 8.5 = 5,643 𝑠 2 = 1 70 32. 5 + 42. 10 + 52. 15 + 62. 20 + 72. 15 + 82. 5 − (5,643)2 = 1,3422 𝑠2 = 1 69 32. 5 + 42. 10 + 52. 15 + 62. 20 + 72. 15 + 82. 5 − 70 69 (5,643)2 = 1,3522 IV. Thống kê. Ta có thể lập bảng đề tính cho giảm sai sót. 𝑥𝑖 𝑛𝑖 𝑥𝑖𝑛𝑖 𝑥𝑖 2𝑛𝑖 3 5 15 45 4 10 40 160 5 15 75 375 6 20 120 720 7 15 105 735 8 5 40 320 n = 70 𝑥𝑖𝑛𝑖= 395 𝑥𝑖 2𝑛𝑖 = 2355 Suy ra 𝑥 = 𝑥𝑖𝑛𝑖 𝑛 ; 𝑠 2 = 𝑥𝑖 2𝑛𝑖 𝑛 − (𝑥 )2, 𝑠2 = 𝑥𝑖 2𝑛𝑖 𝑛 − 1 − 𝑛 𝑛 − 1 (𝑥 )2 IV. Thống kê. Hoặc ta sử dụng máy tính CASIOfx500 để tính Thực hiện theo các bước : 1. Vào chế độ thống kê (SD) : mode 2 2. Nhập mẫu : Lặp lại quá trình 𝑥𝑖 shift ; 𝑛𝑖 DT. Cu thể đối với mẫu đã cho là 3 shift ; 5 DT 4 shift ; 10 DT 8 shift ; 5 DT IV. Thống kê. 3. Xem kết quả Xem 𝑥 : shift S-var 1 = Xem 𝑠 : shift S-var 2 = Xem 𝑠 : shift S-var 3 = V. Phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng. 1. Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc có quy luật chuẩn Từ tổng thể ta rút ra mẫu 𝑊𝑛 = (𝑋1,𝑋2, ,𝑋𝑛) thì các biến ngẫu nhiên 𝑋1 ,𝑋2, ,𝑋𝑛 độc lập và có cùng quy luật phân phối với 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎2) ( 𝑡ứ𝑐 𝑙à 𝑋𝑖~𝑁 𝜇,𝜎 2 , 𝑖 = 1,𝑛 ). Do 𝑋 là tổ hợp tuyến tính của 𝑋1 ,𝑋2, ,𝑋𝑛 nên nó cũng có quy luật phân phối chuẩn và 𝐸𝑋 = 𝜇,𝐷𝑋 = 𝜎2 𝑛 nên 𝑋 ~𝑁(𝜇, 𝜎2 𝑛 ) suy ra 𝑼 = 𝑿 − 𝝁 𝝈 𝒏 ~ 𝑵(𝟎,𝟏) V. Phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng. 1. Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc có quy luật chuẩn Do 𝑆 2 = 1 𝑛 (𝑋𝑖 − 𝜇) 2 𝑛 𝑖=1 ⟺ 𝑛𝑆 2 = (𝑋𝑖 − 𝜇) 2 𝑛 𝑖=1 nên 𝝌𝟐 = 𝒏𝑺 𝟐 𝝈𝟐 = ( 𝑿𝒊 − 𝝁 𝝈 )𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 ~𝝌(𝒏) 𝟐 V. Phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng. 1. Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc có quy luật chuẩn Tương tự 𝝌𝟐 = (𝒏 − 𝟏)𝑺𝟐 𝝈𝟐 ~𝝌(𝒏−𝟏) 𝟐 Nếu ta xây dựng tiếp thống kê 𝑇 = 𝑈 𝜒 2 𝑛 − 1 = 𝑋 − 𝜇 𝜎 𝑛 𝑛 − 1 𝑆2 𝑛 − 1 𝜎2 = 𝑻 = 𝑿 − 𝝁 𝑺 𝒏 ~ 𝑻(𝒏−𝟏) V. Phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng. 2. Trường hợp có hai biến ngẫu nhiên gốc có cùng phân phối chuẩn Giả sử ta xét một lúc hai tổng thể. Ở tổng thể thứ nhất ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑋~𝑁(𝜇1,𝜎1 2), ở tổng thể thứ hai ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑌~𝑁(𝜇2,𝜎2 2) . Từ hai tổng thể nói trên rút ra hai mẫu ngẫu nhiên độc lập có kích thước tương ứng 𝑛1 và 𝑛2: 𝑊𝑋 = (𝑋1,𝑋2, ,𝑋𝑛1 ) 𝑊𝑌 = (𝑌1,𝑌2, ,𝑌𝑛2 ) V. Phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng. 2. Trường hợp có hai biến ngẫu nhiên gốc có cùng phân phối chuẩn Xét 𝑋 − 𝑌 : Do 𝑋 ~𝑁(𝜇1, 𝜎1 2 𝑛1 ) và 𝑌 ~𝑁(𝜇2, 𝜎2 2 𝑛2 ) nên 𝑋 − 𝑌 ~𝑁(𝐸 𝑋 − 𝑌 ,𝐷 𝑋 − 𝑌 ) và 𝐸 𝑋 − 𝑌 = 𝐸𝑋 − 𝐸𝑌 = 𝜇1 − 𝜇2,𝐷 𝑋 − 𝑌 = 𝐷𝑋 + 𝐷𝑌 = 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 suy ra 𝑋 − 𝑌 ~𝑁(𝜇1 − 𝜇2, 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 ) V. Phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng. 2. Trường hợp có hai biến ngẫu nhiên gốc có cùng phân phối chuẩn nên 𝑼 = 𝑿 − 𝒀 − (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐) 𝝈𝟏 𝟐 𝒏𝟏 + 𝝈𝟐 𝟐 𝒏𝟐 ~𝑵(𝟎,𝟏) V. Phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng. 2. Trường hợp có hai biến ngẫu nhiên gốc có cùng phân phối chuẩn Mặt khác ta có các thống kê 𝜒𝑋 2 = (𝑛1 − 1)𝑆𝑋 2 𝜎1 2 ~𝜒(𝑛1−1) 2 𝜒𝑌 2 = (𝑛2 − 1)𝑆𝑌 2 𝜎2 2 ~𝜒(𝑛2−1) 2 nên 𝝌𝟐 = 𝝌𝑿 𝟐 + 𝝌𝒀 𝟐~𝝌𝒏𝟏+𝒏𝟐−𝟐 𝟐 V. Phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng. 2. Trường hợp có hai biến ngẫu nhiên gốc có cùng phân phối chuẩn suy ra 𝑇 = 𝑈 𝜒2 𝑛1 + 𝑛2 − 2 ~𝑇(𝑛1+𝑛2−2) V. Phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng. 2. Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc tuân theo quy luận phân phối không - một Ở trong những trường hợp này ta thường xử dụng định lý giới hạn trung tâm là : Khi 𝑛 ≫ 0, thì 𝑈 = 𝑋 − 𝐸𝑋 𝜎 𝑛~𝑁(0,1) và 𝑈 = 𝑋 − 𝐸𝑋 𝑆 𝑛~𝑁(0,1) V. Phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng. 2. Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc tuân theo quy luận phân phối không - một Giả sử trong tổng thể, biến ngẫu nhiên gốc X tuân theo quy luật không-một 𝑃 𝑋 = 1 = 𝑝,𝑃 𝑋 = 0 = 1 − 𝑝 = 𝑞 Từ tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: 𝑊𝑛 = (𝑋1,𝑋2 , ,𝑋𝑛), 𝑋 = 1 𝑛 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑓 = 𝑚 𝑛 V. Phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng. 2. Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc tuân theo quy luận phân phối không - một Với 𝑚 = 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1 ~𝐵(𝑝;𝑛) nên 𝐸 𝑚 = 𝑛𝑝,𝐷 𝑚 = 𝑛𝑝𝑞, suy ra 𝐸𝑋 = 𝐸 𝑚 𝑛 = 𝑝,𝐷𝑋 = 𝐷 𝑚 𝑛 = 𝑝𝑞 𝑛 Khi n lớn và p không quá nhỏ thì 𝑼 = 𝑿 − 𝒑 𝒑𝒒 𝒏~𝑵(𝟎,𝟏) V. Phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng. 2. Trường hợp 2 biến ngẫu nhiên gốc tuân theo quy luận phân phối không - một Giả sử ta xét một lúc hai tổng thể. Ở tổng thể thứ nhất ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑋 tuân theo quy luật không-một với 𝑃 𝑋 = 1 = 𝑝1 ,𝑃 𝑋 = 0 = 1 − 𝑝1 = 𝑞1 ở tổng thể thứ hai ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑌 tuân theo quy luật không-một với 𝑃 𝑌 = 1 = 𝑝2 ,𝑃 𝑋 = 0 = 1 − 𝑝2 = 𝑞2 Từ hai tổng thể nói trên rút ra hai mẫu ngẫu nhiên độc lập có kích thước tương ứng 𝑛1 và 𝑛2: 𝑊𝑋 = (𝑋1,𝑋2, ,𝑋𝑛1 ) 𝑊𝑌 = (𝑌1,𝑌2, ,𝑌𝑛2 ) V. Phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng. 2. Trường hợp 2 biến ngẫu nhiên gốc tuân theo quy luận phân phối không - một Xét 𝑋 − 𝑌 , với 𝑋 = 1 𝑛1 𝑋𝑖 𝑛1 𝑖=1 , 𝑌 = 1 𝑛2 𝑌𝑖 𝑛2 𝑖=1 . Do 𝐸 𝑋 − 𝑌 = 𝐸𝑋 − 𝐸𝑌 = 𝑝1 − 𝑝2 ,𝐷 𝑋 − 𝑌 = 𝐷𝑋 + 𝐷𝑌 = 𝑝1𝑞1 𝑛1 + 𝑝2𝑞2 𝑛2 suy ra 𝑼 = 𝑿 − 𝒀 − (𝒑𝟏 − 𝒑𝟐) 𝒑𝟏𝒒𝟏 𝒏𝟏 + 𝒑𝟐𝒒𝟐 𝒏𝟐 ~𝑵(𝟎,𝟏)