Toán học - Phương pháp tích phân từng phần

   sau đó mới TPTP Bài 9: (ĐHDB – D 2005 – ĐHCĐ – 1998) Tính tích phân sau: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 16     22 22 0 1 1 52 1 cos 1 8 4 2 8 8 I x xdx            HD: Sử dụng công thức hạ bậc 2 1 cos 2cos 2 xx  Khi đó       1 2 2 2 2 0 0 0 1 cos 2 1 12 1 2 1 2 1 cos 2 2 2 2 I I xI x dx x dx x xdx                 Tính 1I bằng cách sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm và tích 2I bằng TPTP Đặt   2 sin 2 1 c 2 2 2 os x xd d x u dxu xvdv        Bài 10: (ĐH Mở - 1997) Tính tích phân sau   2 2 0 1 sinI x xdx    HD: Đặt  2 1 2 cosin s x xd u du xdx v xv xd          Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)       2 2 2 2 0 0 1 sin 1 cosI x xdx x d x         Bài 11: (TN – 2004) Tính tích phân sau   2 2 0 2sin cos 2 3 I x x xdx       HD: Đặt  2 1 sin 2sin cos sin du x dxu x x dv xdx v xdx           Chú ý: - Tách thành tổng hai tích phân thì đơn giản hơn - Có thể sử dụng trực tiếp công thức (2) Bài 12: Tính các tích phân sau a. (ĐHDB – 2007) 22 2 0 cos 2 4 I x x dx      b.   3 24 2 1 1sin 384 32 4 I x x dx        HD: a. Đặt 2 2 sincos du xdxu x v xdv xdx        Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 17 b.     4 4 2 2 1 1 1sin 1 cos 2 2 I x x dx x x dx       sau đó mới TPTP Bài 13: Tính tích phân sau: 2 1 1 4 cos 1 2I xdx        HD: Đặt 1t x  sau đó mới TPTP Bài 14: Tìm các nguyên hàm sau a.  2 ln cos cos x I dx x   Đs:  ln cos tan tanI x x x x C    b.  cos lnI x dx  Đs:    cos ln sin ln2 xI x x C     c. 2sinI x xdx  Đs: 2 1 1sin 2 cos 2 4 4 8 xI x x x C    (ĐHL_1999) Loại 3: Khi   ,x xQ x e a Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính các tích phân sau a. 1 0 xI xe dx  b.   ln 3 2 1 2 xI x x e dx  Giải: a. Cách 1: Đặt x x u x du dx dv e dx v e         Khi đó 1 1 1 1 0 0 0 0 ( 1) 1x x x xI xe dx xe e dx x e       . Cách 2:   1 1 1 / 1 1/ 0 0 0 0 0 ( 1) 1x x x x xI xe dx x e dx xe x e dx x e         . b. Đặt :    2 2 2 xx u x x du x dx v edv e dx           Khi đó       ln 3 2 2 1 ln 3 2 2 2 ln 3 2 ln 3 1 1 x xI x x e x e dx e J        Tính           ln 3 ln 3 ln 3 1 1 1 ln 3 ln 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x x x x x xJ x e dx x d e x e e dx x e e                    ln 3 2 4 2ln 3 4 3 2 6ln 3 12 2 1 xx e e e         Thay vào (1) ta có :    2 2ln 3 2ln 3 6ln 3 12 2 ln 3 8ln 3 12I e e e          Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 18 Bài 2: Tính tích phân sau 1 0 xI xe dx  . Giải: Đặt 1 2 2 t x dt dx dx tdt x      Khi đó   1 1 1 1 12 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 4 2 2t t t t tI t e dt t e te dt e te e dt e                       Bài 3: Tính tích phân sau 1 2 0 xI x e dx  Giải: Đặt 2 2 xx du xdxu x v edv e dx        Khi đó 1 1 1 2 2 0 0 0 1 2 2 0 x x x xI x e dx x e xe dx e xe dx       Tiếp tục tính: 1 0 xJ xe dx  . Đặt x x u x du dx dv e dx v e         Khi đó 1 1 0 0 1 1 0 x x xJ xe dx xe xe dx     Vậy 2I e  Bài 4: Tính tích phân sau 2 sin 0 sin 2xI e xdx    Giải: Ta có 2 2 sin sin 0 0 sin 2 2 sin cosx xI e xdx e x xdx      Đặt sin cost x dt xdx   . Đổi cận 0 0 1 2 x t tx        Khi đó 12 sin 0 0 2 sin cos 2x tI e x xdx te dt     Đặt t t u t du dt dv e dt v e         Khi đó 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 t t t t tI te dt te e dt te e       Vậy 2 I  Bài 5: Tính tích phân sau 3 1 5 0 xI x e dx  Giải: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 19 Đặt 3 2 23 3 dtt x dt x dx x dx     Đổi cận 0 0 1 1 x t x t         Khi đó 3 1 1 1 5 0 0 0 1 11 1 1 1 1 0 03 3 3 3 3 3 x t t t teI x e dx te dt te e dt e         Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)  3 3 1 1 5 3 2 0 0 1 2 x xI x e dx x e d x   Bài 6: (TN – 2008) Tính tích phân sau   1 0 1xI x e dx  Giải: Cách 1: Đặt  1x x u x du dx dv e dx v e x         Khi đó     1 2 0 1 1 31 0 02 2 x x x xI x e x e x dx e e                Cách 2:   1 1 1 0 0 0 1x x J I x e dx xe dx xdx       Tính 1 0 xJ xe dx  đặt x x u x du dx dv e dx v e         bạn đọc tự giải Cách 3: Làm nhanh     1 1 0 0 1x xI x e dx xd e x     bạn đọc tự giải Bài 8: (ĐH – D 2006) Tính tích phân sau   1 2 0 2 xI x e dx  Giải: Đặt   2 2 1 2 x x du dxx e u evdv         Khi đó 1 11 2 2 2 2 2 0 00 1 1 1 5 3 ( 2) 1 2 2 2 4 4 x x xe eI x e e dx e         Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)       1 1 2 2 0 0 12 2 2 x xI x e dx x d e     Bài 13: Tính các tích phân sau Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 20 a. ln 2 0 . xI x e dx  b.  3 21 2 0 2 3 1 x x x x I dx e      Giải: a. Đặt x xdx v e u x du dx dv e            Khi đó   ln 2 ln 2ln 2 0 0 0 1 ln 2. . 2 x x x xI x e e dx x e e           b. Đặt    3 2 2 2 2 2 3 1 3 4 3 2 x x u x x x du x x dx dxdv v e e                   Khi đó     1 2 3 2 2 2 2 0 12 3 4 3 62 3 1 2 2 2 1 0x x x xI x x x dx J e e e                 . Tính J: Đặt    21 1 1 21 2 3 4 3 6 4 2 xx u x x du x dx dx vdv ee               Khi đó     1 2 2 2 2 0 12 6 4 43 4 3 2 6 2 2 0x x xJ x x dx K e e e          Ta tính 1 2 0 6 4 x xK dx e    . Đặt 2 2 2 22 2 6 4 6 2 x x u x du dx dxdv v e e              Khi đó     1 2 2 2 2 2 2 0 1 12 6 6 1 6 14 2 8 6 8 6 1 2 3 0 0x x x dxK x e e e e e e                  Thay (3) vào (2) : 2 2 4 46 2( 2) 2J e e       . Lại thay vào (1) ta có : 2 2 2 6 4 142 2 2 6I e e e           Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: Tính tích phân sau: 3 2 2 3 0 3. 5sin 5 34 x eI e xdx      HD: Đặt 33 5cos5sin 5 3 x x du xdxu x edv e dx v        Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 21 Bài 2: (ĐHHH HCM – 1999) Tính tích phân sau:    2 22 1 2 3 4x xI x x e x x e C       HD: Đặt  2 4 12 1 x x du x dxu x x dv e dx v e              Bài 3: (ĐHCĐ – 1998) Tính tích phân sau:   1 2 2 2 0 5 11 4 x eI x e dx    HD: (TPTP 2 lần) Đặt    2 2 2 1 2 2 1 x x du x dx x e e dx u vdv            Bài 4: (HVKTQY – 1997) Tính tích phân sau: 2 2 0 x I xe dx    HD: Đặt 2 22 x x u du dx dv v x e dx e              Bài 5: (ĐHKT HN – 1999) Tính tích phân sau:   2 2 sin 3 0 1.sin .cos 1 2 xI e x xdx e     HD: Phân tích  2 2 2 2 sin 3 sin 2 0 0 .sin .cos .sin cos 1 sinx xI e x xdx e x x x dx       Đặt 2sin sin cos 2 dtt x x xdx   sau đó mới TPTP Bài 6: Tính tích phân sau: 23 3 1 2 0 1 xx eI dx x     HD: Phân tích 2 23 33 1 2 1 2 2 0 01 1 x xx e x eI dx xdx x x         Đặt 2 2 2 11 x t t x xdx tdt         sau đó mới TPTP Bài 7: (ĐHDB – B 2002) Tính tích phân sau:   0 2 3 2 1 3 41 74 xI x e x dx e      HD: Đặt    2 4 33 2 3 1 2 4 1x x du x dxu x edv e dx v x           Chú ý: Để đơn giản ta có thể tách làm tổng hai tích phân như sau Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 22   1 2 0 0 0 2 23 3 1 1 1 1 1x x I I I x e x dx xe dx x x dx              Tính 1I bằng TPTP và 2I bằng biến đổi số Bài 8: (ĐHQGHCM – 1996) Tính các tích phân sau: a. 1 0 1xI xe dx  b.   1 2 0 2 xI x e dx e   HD: a. Đặt x x u x du dx dv e dx v e         b. 2 22 xx du xdxu x v edv e dx         Loại 4: Khi     ln ; ln ; log ; lnn mQ x x x x f x    Đặt 1ln .ln . , ( )n n dxu x du n x dv P x dx x      Lũy thừa n của lnx bằng số lần lấy tích phân từng phần, như vậy số lần lấy tích phân từng phần không phụ thuộc vào bậc của đa thức P(x). Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau 1 2 0 ln( 1) ( 2) xI dx x    Giải: Đặt  2 1ln( 1) 1 1 2 2 u x du dx xdxdv vx x            . Khi đó      1 1 0 11 1ln 1 ln 2 02 1 2 3 dxI x I x x x              Tính 1 1 1 1 0 0 0 11 4ln ln 0( 1)( 2) 1 2 2 3 dx dx dx xI x x x x x              . Vậy I = – 1 3 ln2 + ln 4 3 Chú ý: - Để cho đơn giản ta có thể biển đối số 2 2 x t t x dx dt        sau đó mới TPTP Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)   1 1 2 0 0 ln( 1) 1ln 1 2( 2) xI dx x d xx            Bài 2: Tính tích phân 1 ln e I x xdx  Giải: Cách 1: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 23 Đặt 2 ln 2 dxduu x x dv xdx xv          Khi đó 2 2 2 2 1 1 1 1ln ln 1 12 2 2 4 4 e ee ex e x eI x xdx x xdx        . Cách 2: /2 2 2 1 1 11 1 1ln ln . ln 2 2 2 4 ee e ex x eI x xdx x dx x xdx               . Vậy 2 1 4 eI  . Bài 3: Tính tích phân sau 2 5 1 ln xI dx x   Giải: Đặt 5 4 ln 1 1 4 dxu x du x dv dx vx x            Khi đó 222 2 5 4 5 4 11 1 1 ln ln 1 ln 2 1 1 15 4 ln 2 4 64 4 2564 4 x x dxI dx x x x x               Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) 2 2 5 4 1 1 ln 1 1ln 4 xI dx xd x x          Bài 4: Tính tích phân sau   1 2 0 ln 1I x x dx  Giải: Cách 1: Đặt 2 1 2t x dt xdx    . Đổi cận 0 1 1 2 x t x t         Khi đó   1 2 2 0 1 1ln 1 ln 2 I x x dx tdt    Đặt ln dxu t du t dv dt v t         Áp dụng công thức tính tích phân từng phần 2 2 1 1 2 ln ln 2ln 2 1 1 tdt t t dt     Vậy   1 2 0 1ln 1 ln 2 2 I x x dx    Cách 2: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 24 Đặt  2 2 2 2 1l 2 n 1 xdu dxu x x xv d x d vx            .bạn đọc tự giải Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức             1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 11 1ln 1 ln 1 1 1 ln 1 1 02 2 I x x dx x d x x x d x                    .    2 2 ln 2 111 2ln 2 1 02 2x          Bài 5: Tính tích phân sau 2 1 (2 1) lnI x xdx  Giải: Đặt 2 ln (2 1) dxduu x x dv x dx v x x           . Khi đó 2 22 22 2 2 1 11 1 1( ) ln 2ln 2 ( 1) 2 ln 2 2ln 2 2 2 x x xI x x x dx x dx x x                   . Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)   2 2 2 1 1 (2 1) ln lnI x xdx xd x x     Bài 6: (ĐHH – D 1998) Tính tích phân sau 2 21 ln xI dx x   Giải: Đặt 2 2 ln 1 dxu x du x dxdv x dx vx x              . Khi đó 2 2 2 2 21 1 1 21 1 1 1ln ( ). ln 2 ln 2 1 2 2 dx dxI x x dx x x x x             1 2 21 1 1 1 1ln 2 ln 2 ln 2 1 12 1 2 2 2 x x            . Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) 2 2 21 1 ln 1lnxI dx xd xx          Bài 7: Tìm nguyên hàm . 1 )1ln( 2 2 dx x xxxI     Giải: Viết I dưới dạng . 1 )1ln( 2 2 dx x xxxI    Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 25 Đặt                         1 1 . 1 1 1 1 1ln 2 22 2 2 2 xv x dxdx xx x x du dx x xdv xxu Khi đó    2 2 2 21 ln 1 1 ln 1 .I x x x dx x x x x C           Bài 8: (ĐH – D 2010) Tính tích phân sau 1 32 ln e I x xdx x       Giải: Ta có 1 2 1 1 1 3 12 ln 2 ln 3 ln . e e e I I I x xdx x xdx x dx x x           Tính 1 1 ln e I x xdx  . Đặt 2 ln 2 dxduu x x dv xdx xv          Khi đó 2 2 2 2 1 11 1 1 1 1ln 2 2 2 2 2 4 e eex e x eI x xdx                   Tính I2 : Đặt t = lnx  dxdt x  Đổi cận khi x = 1 ; t = 0 và khi x = e ; t = 1. Khi đó 11 2 2 0 0 1 2 2 tI tdt          . Vậy 2 2 2 eI  Chú ý: Có thể đặt luôn như sau  2 ln 32 3ln dxu x du x dv x dx v x xx              Khi đó 1 11 2 2 2 2 2 0 00 1 1 1 5 3 ( 2) 1 2 2 2 4 4 x x xe eI x e e dx e         Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)  2 1 1 32 ln ln 3ln e e I x xdx xd x x x          Bài 9: (ĐH – B 2009) Tính tích phân sau   3 2 1 3 ln 1 xI dx x     HD: Cách 1: Đặt  2 3 ln 1 1 1 dxu du xdxdv v x x x               Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 26 Khi đó 3 3 1 1 3 33 ln 3 ln 3 3 1 1 3 ln 3 3 ln 3 3ln ln 1 11 ( 1) 4 2 1 4 1 4 4 2 x dx xI dx x x x x x x                       Cách 2: Phân tích      2 2 2 3 ln 3 ln 1 1 1 x x x x x       Khi đó 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 ln ln3 ( 1) ( 1) ( 1) x dx xI dx dx x x x          Tính 33 1 2 1 1 3 33 ( 1) 4( 1) dxI xx      và 3 2 2 1 ln ( 1) xI dx x   Đặt 2 ln 1 ( 1) 1 dxu x du xdxdv vx x           Khi đó 3 3 3 3 2 1 1 1 1 ln ln 3 ln 3 3ln 1 ( 1) 4 1 4 2 x dx dx dxI x x x x x                Vậy 3 (1 ln 3) ln 2 4 I    Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau: 2 1 ln 1 3 e xI dx x   HD: Đặt 2ln 2 ln ln dxu x du x x dv v x dx x           Chú ý: Để tránh tích TPTP 2 lần ta có thể biến đổi số trước bằng cách đặt ln t t e x t x e dt dx       sau đó mới TPTP Bài 2: (ĐH – D 2008) Tính tích phân sau: 2 3 1 ln xI x   HD: Đặt 3 2 ln 1 2 dxu x du d x dv v x x x            Khi đó 2 2 3 2 1 2 21 1 ln 2 1 3 2ln 2ln 1 12 8 162 4 dxI x x x x         Bài 3: (ĐH – D 2004) Tính tích phân sau:   3 2 2 ln 3ln 3 2I x x dx    HD: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 27 Đặt  2 2 2 1ln xu dux x dx x x dv dx v x              Chú ý: Nếu phân tích      2ln ln 1 ln ln 1x x x x x x      thì tính toán sẽ đơn giản nhưng dài hơn Bài 4: Tính tích phân sau:  3 4 ln tan sin 2 x I dx x     HD:           3 3 2 2 2 4 4 ln tan 1 1 1 13ln tan ln tan ln tan ln 3 0 ln 3 sin 2 2 4 4 16 4 x I dx x d x x x                   Hoặc: Đặt  22 21cos 1tan 1; 3 4 3 dx dtdt t dx dx x tt x x t x t                   . Với : 2 2sin 2 1 tx t   Khi đó   3 3 2 1 1 2 ln 1 ln 1 1 2 2 21 1 t dt tI dt J t tt t        Tính     3 3 2 2 2 1 1 ln 1 1 13ln . ln ln ln 3 0 ln 3 2 2 81 tJ dt t d t t t        Thay vào (1) ta có : 21 ln 3 16 I  Bài 5: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau: 2 3 1 2 1ln 9 9 e I x xdx e   HD: Đặt 2 3 ln 1 3 dxduu x x dv x dx v x          Khi đó 3 3 3 2 3 1 1 1 1 2 1ln 1 13 3 3 9 9 ee ee eI x x x dx x      Bài 6: (HVKTQS – 1997) Tính tích phân sau:   1 2 0 3 3ln 1 . ln 3 4 12 I x x x dx      HD: Đặt   22 2 2ln 1 2 1 2 1 xdu dxu xdv x d x x v x x x                Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 28 Bài 7: (ĐH NN – 1997) Tính tích phân sau:  21 ln 0 1 e e xI dx x     HD: Đặt  2 1 ln 1 1 dxu du xdxdv v x x x             Bài 8: (ĐH HP – 1997) Tính tích phân sau:  2 1 1 ln e I x dx  HD: Đặt    21 ln 2 1 ln dxdu xu x dv dx v x x           Chú ý: Nếu khai triển  2 21 ln 1 2 ln lnx x x    thì tính toán sẽ đơn giản nhưng dài hơn Bài 9: (ĐHHH TPHCM – 2000) Tính tích phân sau:   2 2 1 ln 1 3 ln 3 3ln 2 2 x I dx x      HD: Đặt   2 ln 1 1 1 dxu du x dxv x x d v x              Khi đó     2 2 1 1 ln 1 1 ln 3 1 1ln 2 1 2 1 x I dx dx x x x x x              . 2ln 3 ln 3 ln 2 3ln 3ln 2 ln ln 2 ln 3 12 1 2 2 x x           Chú ý : Qua ví dụ 2 ta thấy tích phân dạng : ln ( ) x dx P x    , vẫn có thể áp dụng cách giải cho tích phân dạng : ( ) lnI P x xdx     Bài 10: Tính tích phân sau:     3 2 0 1ln 5 14ln14 5ln 5 9 2 I x x dx     HD: Đặt  2 2 2 2 ln 5 5 2 xdu dxu x x xdv xdx v            Hoặc: Đặt 2 5 2t x dt xdx    . Đổi cận 0 5, 3 14x t x t      Khi đó   14 5 141 1 14ln14 5ln 5 11ln ln 52 2 2 I tdt t t t      Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 29 Bài 11: Tính tích phân sau: 3 3 1 1 2 11ln 9 18 e x eI x dx x          HD: Phân tích 3 21 1x x x x    sau đó đặt 2 3 ln 1 ln 3 dxu x du x dv x dx xv xx              Bài 12: Tính tích phân sau:     2 0 2 7 ln 1 24 ln 3 14J x x dx     HD: Đặt     2 1ln 1 1 2 7 7 u x du dx x dv x dx v x x             Bài 13: Tính tích phân sau: 22 2 0 1ln 1 xI x dx x     HD: Đặt   32 2 2 2 4 1 2 1ln 1 xdu dx xxu xdv xdx x v            Để đơn giản ta có thể biến đổi số trước bằng cách đặt   2 2 2 2 1 11 21 1 tx tx x xd t t x             sau đó mới TPTP Bài 14: (PVBCTT – 1998) Tính tích phân sau:   3 2 1 5 1.ln 27 27 e eI x x dx   HD: (TPTP 2 lần) Đặt 2 32 2lnln 3 dxdu xu x x xdv x vx d           Chú ý: Để tránh tích TPTP 2 lần ta có thể biến đổi số trước bằng cách đặt ln t t e x t x e dx dx       sau đó mới TPTP Bài 15: (ĐHH – 1998) Tính tích phân sau:   2 2 1 ln 1 l ln 2 2 xI dx x    HD: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 30 Đặt 2 ln 1 dxu x du x dxdv vx x            Bài 16: (ĐHDB – 2006) Tính tích phân sau:   2 1 52 ln ln 4 4 I x x dx    HD: Đặt   2 ln 2 2 2 dxduu x x dv x dx xv x            Bài 17: (ĐHCT – D 1997) Tính tích phân sau: 1 2 0 1 10 1ln 1 3ln 3 ln 2 3 6 I x dx x          HD: Đặt   2 2 3 1 11ln 1 1 11 3 xdu dx dxu x xx x dv x dx xv                     Bài 18: (ĐHL HCM– 2001) Tính tích phân sau: 10 2 2 1 50 99lg 50 ln10 4ln 10 I x xdx    HD: TPTP 2 lần Đặt 2lgu x dv xdx     Chú ý: Để đơn giản ta sử dụng công thức đổi loga như sau 2 2 lnlg ln10 xx  Bài 19: Tính các tích phân sau 3 1 ln e I xdx  HD: Đặt 3 2ln 3ln ,dxu x du x dv dx v x x       Do đó :  3 2 1 ln 3 ln 3 1 1 ee I x x xdx e J    . Tính : 2 1 ln e J xdx  Đặt : 21 1 1 1 2lnln ,xu x du dx dv dx v x x       Do vậy :  2 1 1 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 1 1 e ee e e J x x xdx e x x dx e x x x e                   . Thay vào (1) :  3 2 6 2I e e e     Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 31 Loại 5: Khi          sin ln ;cos ln ;sin log ;cos loga aQ x x x x x Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau 2 2 1 cos (ln ) e I x dx    . Giải: Ta có   2 2 2 1 1 1 1 11 cos(2ln ) ( 1) cos(2ln ) 2 2 2 e e I x dx e x dx          Đặt 22 2 11 1 1 1cos(2ln ) cos(2 ln ) sin(2ln ) 2 2 ee e J x dx x x x dx       2 2 2 2 1 1 1 1( 1) sin(2 ln ) cos(2ln ) ( 1) 4 2 2 e ee x x x dx e J             Suy ra: 2 2 2 21 1 1 1( 1) ( 1) ( 1) (2 3) 10 2 10 5 J e I e e e               Vậy   1 3 0 5cos sin 4 I x x x dx   Bài 2: Tính tích phân sau:   2 6 cos ln sinI x x dx     Giải: Đặt   cosln sin sin cos sin xu x du dx x dv dx v x         Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:         2 2 6 6 12 2 2cos ln sin sin ln sin cos sin ln sin sin ln 2 1 2 6 6 6 I x x dx x x xdx x x x                   Bài 3: Tính tích phân 1 sin(ln ) e I x dx  Giải: Đặt ln t tt x x e dx e dt     Đổi cận 1 1 0 x e t x t         Khi đó   11 0 0 sin cos (sin1 cos1) 1sin 2 2 t t t t e eI e tdt       . Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 32 Vậy (sin1 cos1) 1 2 eI   . Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: (ĐHSPQN – 1995) Tính tích phân sau:     1 1cos ln 1 2 e I x dx e      HD:    cos ln sin ln dxu x du x x dv dx v x          Bài 2: Tính tích phân sau: 4 0 1 1cos 2 .ln(cos ) ln 2 4 8 4 I x x dx        HD: Đặt   sin ln cos cos sin 2cos 2 2 xu dxu x x xdv x v           Dạng 2: Tính tích phân   ln x x e I a Q x dx x               với   2 2 1 1; ;sin ;cos cos sin x x Q x x x  Đặt   ln x x e u a x xdv Q dx                  Chú ý: - Trong dạng này chúng ta sẽ gặp tích phân luân hồi (Sau khi tính tích phân lần thứ hai sẽ trở về tích phân ban đầu - Để tránh hiện tượng “xoay vòng” trong tích phân thì đối với bài toán tích phân mà ta phải tính hai lần TPTP thì lần 1 đặt thể nào thì lần 2 cũng phải đặt như vậy Chú ý: Với hai dạng: sin cosax axI e bxdx J e bxdx         Đặt 1 1sin cos ax ax du e dxu e a dv bxdx v bx b            ta sẽ có được kết quả dạng:   1I A mJ I mJ A     Sau đó để tính tích phân J ta làm tương tự bằng cách : Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 33 Đặt 1 1cos sin ax ax du eu e a dv bxdx v bx b           ta sẽ có được kết quả dạng :   2J B nI J nI B     Giải hệ hai phương trình (1) và (2) ta tìm được I và J . Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau 0 .sinxI e xdx    Giải: Đặt sin cos x xu e du e dx dv xdx v x          Khi đó   0 0 0 .sin .cos .cos 1 1x x xI e xdx e x e xdx e J            Đặt cos sin x xu e du e dx dv xdx v x         Khi đó IxdxexexdxeJ xxx      0 0 0 sin.sin.cos. Thế vào (1) ta được: 12 1 2 eI e I       Cách 2:    / / 0 0 0 0 sin . sin cos cos .x x x xI x e dx e x e xdx e x e dx              0 0 cos sin 1x xe e x e xdx I e I                . Vậy 1 2 eI    . Bài 2: Tính tích phân sau 2 0 cosxI e xdx    Giải: Đặt cos sin x xu e du e dx dv xdx v x         2 2 2 2 0 0 cos sin sin 2 0 x x xI e xdx e x e xdx e I           Tính I2 Đặt 1 1 1 1sin cos x xu e du e dx dv xdx v x          Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 34 Khi đó 2 2 2 2 0 1cos cos 1 12 20 x x eI e x e xdx I I e I I               Bài 3: (ĐHQG HCM – 2000) Tính tích phân sau 1 2 0 sin .xI e x dx  Giải: Ta có: 1 1 1 12 2 0 0 0 0 sin . sin 2 sin cos . sin 2 .x x x xI x de e x x x e dx x de             1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 sin 2 . sin2 2 cos 2 . 2 cos2 4 sin2x x x x xJ x de e x x de e x e xdx                2 2 2 2 2 (1 ) 2 ( 1) 2 1 4 1 4 1 4 e ee J J I                 Hoặc: Hạ bậc tách thành tổng hai tích phân         1 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1sin 1 cos 2 cos 2 1 2 2 2 2 2 x x x xI e x dx e x dx e dx e x dx e I             Tính 1I bằng TPTP Đặt 1cos 2 sin 2 2 x x du e dxu e dv xdx v x            . Do đó :   1 1 1 2 0 0 11 1 1 1 1sin 2 sin 2 .sin 2 sin 0 sin 2 02 2 2 2 2 x x xI e x e xdx e e xdx I                 Tính 2I bằng TPTP Đặt 1sin 2 cos 2 2 x x du e dxu e dv xdx v x             Do vậy :   1 2 1 0 11 1 1 1cos 2 cos 2 1 02 2 2 2 x xI e x e xdx e I             Thay 2I vào 1I ta được  1 1 1 2 1 1 1 11 2 2 2 1 4 eI e I I                Thay 1I vào I ta được   2 2 2 1 1 1 2 ( 1)1 . 2 2 1 4 1 4 e eI e            Bài 4: Tính các tích phân sau : a. 2 2 0 cos3xI e xdx    b. 2 3 0 sin 5xI e xdx    (CĐKTKT – 2005) c. 2 2 0 sinxI e xdx    d. 2 1 2 1 ( sin )x xI e x e x dx    . (ĐHTN – 2000) Giải: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 35 a. 2 2 0 cos3xI e xdx    . Đặt 2 2 2 1cos3 sin 3 3 x x du eu e dv xdx v x          Do đó   2 2 2 0 1 1 1 2 2 1sin 3 . sin 3 12 3 3 3 3 3 30 x xI x e e xdx e J I J e              Tính J = 2 2 0 sin 3xe xdx   . Đặt 2 2 2 1sin 3 cos3 3 x x du e dxu e dv xdx v x           Do vậy :   2 2 2 0 1 2 1 2 2 1cos3 . cos3 22 3 3 3 3 3 30 x xJ x e e xdx I J I          Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình. Giải hệ ta có 3 2 13 eI    b. 2 3 0 sin 5xI e xdx    . Đặt : 3 3 3 1sin 5 cos5 5 x x u e dxu e dv xdx v x           Khi đó   3 32 2 3 3 2 0 1 3 3 3 1cos5 cos5 . 12 5 5 5 5 5 50 x x eI e x e xdx J I J e            Ta lại đặt: 3 3 3 1cos5 sin 5 5 x x du e dxu e dv xdx v x          Khi đó   3 32 2 3 3 2 0 1 3 3 3 1sin 5 sin 5 . 22 5 5 5 5 5 50 x x eI e x e xdx I J I e           Từ (1) và (2) ta tính được : 3 21 1 . 4 20 I J e    . c.  2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1sin 1 cos 2 cos 2 2 2 x x x xI e xdx e x dx e dx e xdx                     2 2 2 0 1 1 1cos 2 1 1 04 4 2 x xe e xdx e J       Tính 2 0 cos 2xJ e xdx    . Đặt : 2 2 2 1cos 2 sin 2 2 x x du e dxu e dv xdx v x          Do đó :  2 2 0 1 1 1sin 2 sin 2 2 02 2 2 x xJ e x e xdx K      . Ta tính K Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 36 Lại đặt : 2 2 2 1sin 2 cos 2 2 x x du e dxu e dv xdx v x          Do đó :     2 2 2 2 0 1 1 1os2 os2 1 1 3 02 2 2 x xK e c x e c xdx e J K J e            Từ (2) và (3) ta tính được :  21 12J e   , sau đó lại thay vào (1)  1 12I e   d.   2 2 2 1 0 1 2 2 2 1 1 0 ( sin ) ( sin ) ( sin ) 1x x x x x xI e x e x dx e x e x dx e x e x dx J K             Tính J: Đặt t x dt dx     . Đổi cận 0 0; 1 1x t x t       . Khi đó :    2 2 2 0 1 1 1 0 0 sin sin s inxdx 2 0 0t t xJ e t dt e tdt e J J J               . Tính K: Đặt 2 2 xx du xdxu x v edv e dx        . Do vậy :   1 1 1 2 0 0 0 1 1 . 2 . 2 . 2 . 0 0 x x x x xK x e x e dx e x d e e x e e dx                   1 2 2 1 2 0 xe e e e e e               . Vậy : 2.I K e   Bài 5: Tính các tích phân sau a. /2 cos 0 sin 2xI e xdx    (ĐHDB – 2004) b.   /4 sin 0 tan cosxI x e x dx    . (ĐHDB – 2005) Giải: a.   /2 2 cos cos 0 0 sin 2 2 .cos . sinx xI e xdx e x xdx      . Đặt cos sint x dt xdx    . Khi 0 1, 0 2 x t x t      Khi đó   0 1 1 0 2 2t tI e t dt e tdt    Đặt t t u t du dt dv e dt v e         Khi đó   1 0 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 0 0 t t tI te e dt e e e e        b.   /4 4 4 sin sin 0 0 0 tan cos tan cosx xI x e x dx xdx e xdx          . Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 37   24 sin sin 2 0 1 ln 2ln cos sin ln 14 4 220 0 x xx e d x e e            Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: (ĐHNN I – B 1998) Tính tích phân sau: 2 2 0 3 2sin 3 13 x eI e xdx     HD: Đặt 22 3cos3sin 3 2 x x du xdxu dv v x ee dx        Bài 2: (ĐHTL – 1996) Tính tích phân sau: 2 2 2 0 1cos 2 3 5 xI e xdx e           HD: Hạ bậc tách thành tổng hai tích phân Bài 3: (ĐHCS – 1997) Tính tích phân sau: 34 3 4 0 4sin 4 1 25 xI e xdx e           HD: Đặt 33 4cos 4sin 4 3 x x du xdxu x edv e dx v        Bài 4: (ĐHHKVN– 1999) Tính tích phân sau: 2 0 sin 3xI e xdx    2 0 cos3xI e xdx    Đs: 1 1 1 33 ; 1 10 10 I J e e                 Bài 5: Tính tích phân sau 1 2 2 2 2 2 0 1 1sin . . 4 2 1 x eI e x dx         HD: Hạ bậc tách thành tổng hai tích phân Ta có 1 1 2 2 2 0 0 1 cos 2sin . 2 x x xI e x dx e dx          Dạng 3: Hai dạng đặc biệt Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 38 Loại 1: Tính tích phân sin cos n n dxI x dxI x              . Đặt 2 2 2 2 1 sin 1 cos sin cos n n xu x dx xdv dx dx x                                   Loại 2: Tính tích phân 2I ax bx cdx      Đặt 2 2 2 2 ax bdu dxu ax bx c ax bx c dxdv v x             Đặc biệt: 2 2I x a dx     Đặt 2 2 2 2 xdu dxu x a x a dv vx xd           Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐHSPV – B 1999) Tính tích phân sau: 1 2 0 1I x dx  Giải: Đặt 2 21 1 xdu dxu x x dv dx v x           Khi đó 1 1 1 12 21 2 2 2 2 20 0 0 0 0 1 1 2 11 2 2 2 21 1 1 1 x dx x dx dxI x x dx I I x x x x                      Đặt 2 1t x x   ta được 2 2 2 2 2 11 1 1 1 1 x x x t dx dtdt dx dx dx tx x x x                 Đổi cận 0 1; 1 1 2x t x t       Khi đó   1 1 2 2 0 1 1ln(1 2) 2 ln 1 2 21 dx dtI I tx               Tổng quát: Chứng minh 2 2 2 2 2 xx a dx x a    2 2 2ln 2 a x x a  +C Thật vậy : Đặt Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 39 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) xdxduu x a x a dv dx v x x dx x a a dxI x x a x x a x a x a                        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln ln 2 2 dxx x a x a dx a x a x x a I a x x a x aI x a x x a C                      Bài 2: Tính tích phân sau 4 4 0 1 cos I dx x    Giải: Đặt 2 3 2 1 2sin cos cos 1 tan cos xu du dxx x v xdv dx x            Khi đó 4 2 3 0 1 sin.tan 2 . tan 2 24 cos cos0 xI x xdx J x x      Tính 2 24 4 4 4 4 3 4 4 4 2 0 0 0 0 0 sin sin 1 cos.tan tan 14 cos cos cos cos cos 0 x x x dx dxJ xdx dx dx I x I x x x x x                     Vậy 42 2 2 2( 1) 3 I J I I       Tương tự: Bài 1: Tính tích phân sau: 1 2 0 3I x dx  71 ln 3 4   Bài 2: Tính tích phân sau 2 4 4 4 3sin dxI x     Dạng 4: Tính tích phân dạng    lnI f x Q x dx       với   2 2 1 1; ;sin ;cos cos sin x x Q x x x  Đặt           ' ln f x du dxu f x f x dv Q x v Q x dx               Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 40 Bài tập giải mẫu: Bài 1: (HVKHQS – 1999) Tính tích phân sau   2 0 cos .ln 1 cosI x x dx    Giải: Đặt   sinln 1 cos 1 cos cos sin xu x du dx x dv xdx v x            Khi đó       22 2 0 0 sinln 1 cos .sin 1 cos sin 12 2 1 cos 20 0 xI x x dx x dx x x x                Bài 2: (ĐH – B 2011) Tính tích phân 3 2 0 1 sin cos x xI dx x     Giải: Ta có 3 3 3 3 2 2 2 2 0 0 0 0 sin sin sintan 33 cos cos cos cos0 dx x xdx x xdx x xdxI x x x x x              Đặt 2 sin coscos u x du dx xdxdv v xx            Khi đó 3 3 33 2 2 00 0 0 sin 2 cos3 3 3 cos cos 3cos sin 1 x xdx x dx xdx xx x I x                3 0 2 1 sin 1 2 1 2 33 ln 3 ln 3 2 sin 1 3 2 2 3 x x             Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: (ĐHTL – 2001) Tính tích phân sau:   4 0 ln 1 tan ln 2 8 I x dx      HD: Đặt    2ln 1 tan cos 1 tan dxuu x x x dv dx v x          Bài 2: Tính tích phân sau:   4 6 cos ln tanI x x dx     HD: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 41 Đặt   2 1 1 cos .sincos t ln tan c an sios n u du dx dx x xx x dv v x x x          Bài 3: Tính tích phân sau:   2 0 cos ln 1 sinI x x dx    HD: Đặt   cos 1 si ln 1 sin co is n s n xu du d x dv x v xx            Bài 4: Tính tích phân sau:   3 2 0 ln cos cos x I dx x    HD: Đặt   2 sinln cos co tan cos s tan u xx dx du dx xdx x v vx d x             Bài 5: Tính tích phân sau:   4 2 6 ln cos sin x I dx x     HD: Đặt   2 ln cos sin tan cos cotsin u x xdu dx xdx xdxdv v xx              Bài 6: Tính tích phân sau:  2 2 6 cos ln sin 1 2ln 2 sin x x I dx x      HD: Biến đổi số sint x sau đó mơi TPTP Bài 7: Tính tích phân sau:  3 2 4 ln tan 3 ln 3 3 1 2cos x I dx x       HD: Biến đổi số tant x sau đó mơi TPTP Dạng 5: Tích phân là tích của các hàm giống nhau (tham khảo) Loại 1: Tính tích phân      '. .I P x Q x Q x dx     Đặt           ' '. u P x du P x dx dv Q x Q x dx v Q x           Loại 2: Tính tích phân           ' n n P x f x Q x I dx dx Q x Q x        Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 42 Đặt       ' n u f x du Q x vdv dx Q x          Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau   2 2 0 sin cos 1 cosI x x x dx    Giải: Đặt         3 2 2 1 cossin 1 cos 1 cos 1 co sincos s 3 du xx x xdxu x d vd xv xdx                Khi đó           2 2 3 3 3 4 0 0 1 1 2 1 2 1 17cos . 1 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos2 2 3 3 3 3 3 12 120 0 I x x x x dx x d x x                  Chú ý: Các cách khác xem chuyên đề tích phân hàm lượng giác của tác giả Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau 2 0 sin 2 sin 1 3cos x xI dx x     Giải: Đặt   2cos 1 2sin 1 3cos 2sin 1 3cos 31 3cos 3 1 3cos u x du x d xx v xdv dx x x                Khi đó     2 2 0 0 2 4 2 42cos 1 1 3cos sin 1 3cos 1 3cos 1 3cos2 3 3 3 90 I x x x xdx xd x               32 8 341 3cos 2 3 27 270 x      Chú ý: Các cách khác xem chuyên đề tích phân hàm lượng giác của tác giả Bài 3: (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau  21 ln 2 ln e xI dx x x    Giải: Đặt  2 1ln 1 1 2 ln 2 ln u x du x dv dx xx x x            Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 43 Khi đó       3 1 1 2 ln1 1 1 1 1 3ln . ln 2 ln ln 1 12 ln 2 ln 3 2 ln 3 3 2 e d xe e I x dx x x x x x                   Chú ý: Các cách khác xem chuyên đề giải toán tích phân bằng nhiều cách của tác giả Bài 4: (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau ln 5 2 ln 2 1 x x eI dx e    Giải: Phân tích ln 5 ln 52 ln 2 ln 2 . 1 1 x x x x x e e eI dx dx e e       Đặt 2 1 1 x x x x x u e du e dx edv dx v e e            Khi đó     ln 5ln 5 ln 5 ln 2ln 2 ln 2 ln 5 4 20.2 1 2 1. 16 2 1 1 16 1 1 ln 2 3 3 x x x x x x x xI e e e e dx e d e e e              Hoặc có thế tính nhanh như sau   ln 5 ln 5ln 5 ln 2ln 2 ln 2 2 1 2 1 2 1x x x x x xI e d e e e e e dx           ln 5ln 5 ln 2ln 2 4 20=16 2 1 1 16 1 1 3 3 x x x xe d e e e        Chú ý: Các cách khác xem chuyên đề giải toán tích phân bằng nhiều cách của tác giả Bài 5: Tính tích phân sau 3 3 2 0 1 xI dx x   Giải: Đặt   2 2 2 2 ln 1 1 2 du xdxu x xxdxdv vx            Khi đó         3 3 2 2 2 2 2 0 0 1 13ln 1 ln 1 3ln 2 ln 1 1 2 20 J I x x x x dx x d x          Tính     3 2 2 0 ln 1 1J x d x   Đặt      22 2 2 2 1ln 1 1 1 1 d xu x du x dv d x v x              Khi đó       3 2 2 2 0 1 333ln 2 1 ln 1 1 ln 2 2 20 I x x d x                Chú ý: Các cách khác xem chuyên đề giải toán tích phân bằng nhiều cách của tác giả Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 44 Bài 6: Tìm nguyên hàm sau   3 3 22 2 1 1 x xI dx dx x x x       Giải: Đặt   3 2 2 3 1 1 1 u x du x dx dxdv v x x             Khi đó 3 2 3 2 1 13 3 1 1 1 1 x x x xI dx dx x x x x              3 3 213 1 3 ln 1 1 1 1 2 x x xx dx x x C x x x                       Chú ý: Các cách khác xem chuyên đề giải toán tích phân bằng nhiều cách của tác giả Bài 7: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau 1 3 2 0 1I x x dx  Giải: Đặt   2 2 22 3 2 1 11 3 du xdxu x v xdv x x           Khi đó         1 12 2 2 2 2 2 2 23 3 3 0 0 11 2 1 2. 1 1 1 1 03 3 3 15 I x x x x dx x d x          Chú ý: Các cách khác xem chuyên đề giải toán tích phân bằng nhiều cách của tác giả Bài 8: Tính tích phân sau 3 0 cos cos3 . 8 I x x dx     HD: 3 3 0 0 1cos cos3 . cos (sin3 ) 3 I x x dx xd x      3 2 2 0 0 0 1 cos sin 3 3 cos sin sin3 . cos sin sin3 . 3 x x x x x dx x x x dx             2 2 2 0 0 0 1 1 1cos (cos2 cos4 ) cos cos2 cos cos4 ) 2 2 2 x x x dx x xdx x x dx          2 0 0 1 1(1 cos 2 )cos2 cos (cos3 cos sin3 sin ) 4 2 x xdx x x x x x dx        3 2 0 0 0 1 1 1(1 cos 2 )cos2 cos cos3 . cos sin sin3 . 4 2 2 x xdx x x dx x x x dx          0 0 0 1 1 1 1 1 (1 cos 2 )cos2 – cos2 (1 cos4 ) 4 2 2 4 8 x xdx I I xdx x dx            bạn đọc giải tiếp Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 45 Bài 9: (ĐH DHN – A 2000) Tính tích phân sau   2 0 1 sin 1 cos xx e I dx x     Giải: Ta có  2 2 2 2 20 0 1 sin sin 1 cos 1 cos2cos 2 x x x o x e e e xI dx dx dx e xx x             Cách 1: Ta có 2 1 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 1 sin sin 1 sin. . . 1 cos 1 cos 1 cos 2 1 coscos 2 x x x x x I I x e dx x e dx xI e dx e dx e dx xx x x x                     Tính 2 1 20 1 2 cos 2 xe dxI x    Đặt 2 tancos 2 2 x xu e du e dx dxdv xvx          Áp dụng công thức tính tích phân từng phần 2 2 2 2 1 20 0 0 1 tan tan . tan .2 2 2 2 2cos 0 2 x x x xe dx x x xI e e dx e e dx x            Tính 2 2 2 2 20 0 0 2sin cossin 2 2. . tan . 1 cos 22cos 2 x x x x x x xI e dx e dx e dxxx          Vậy 2I e   Cách 2: Ta có 2 2 2 2 20 0 0 0 sin. . (tan ) tan . 1 cos 2 22cos 2 xx x xe xe x xI dx dx e d e dx x x             2 22 2 2 0 00 0 tan tan . tan . tan 2 2 2 2 x x x xx x x xe e dx e dx e e           Chú ý: Các cách khác xem chuyên đề giải toán tích phân bằng nhiều cách của tác giả Bài 10: Tính tích phân sau: 4 2 0 cos .cos 2I x xdx    Giải: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 46 Đặt 2 2cos sin sin 2cos 1 sin 2cos 2 2 du x xdx xdxu x v xdv xdx           Khi đó  4 4 4 42 2 0 0 0 0 1 cos 41 1 1 1 1cos .sin 2 sin 2 cos 44 2 2 2 2 4 40 x I x x xdx dx dx xdx               1 1 1sin 4 44 4 16 160 x x          Chú ý: Các cách khác xem chuyên đề giải toán tích phân bằng nhiều cách của tác giả Tương tự: (ĐHNN – 1998) Tính tích phân sau: 2 2 0 cos .cos 2 0I x xdx    Bài 11: Tính tích phân sau 2 0 .sin cosI x x xdx    Giải:   0 0 1 1.sin 2 cos . sin 3 sin 2 4 I x x xdx x x x dx       Đặt    1sin 3 sin cos3 cos 3 du dxu x dv x x dx v x x           . Khi đó 0 1 1 1cos3 cos cos3 cos 04 3 3 3 I x x x x x dx                 1 1 1 1 5cos3 cos sin 3 sin2 2 2 3 2 18 2 90 0 x x x x x                   . Bài 12: Tính tích phân sau 4 3 0 sin cos x xI dx x    Giải: Đặt 3 3 2 sin (cos ) 1 cos cos 2cos u x du dx x d xdv dx v x x x             Khi đó 4 44 2 2 0 0 0 1 1 1tan 4 2 4 22cos 2cos xI dx x x x              Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: Tính tích phân sau: tan tan4 4 3 2 0 0 sin .tan cos cos x xe x e xI dx dx x x      Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 47 HD: Đặt 2tan cos dxt x dt x    sau đó mới TPTP Bài 2: Tính tích phân sau:   23 4 4 sin ln tan cos xI x dx x     HD:     2 23 3 4 2 4 4 sin tanln tan ln tan cos cos x xI x dx x dx x x        Đặt 2tan cos dxt x dt x    sau đó mới TPTP Bài 3: Tính tích phân sau: 3 33 2 2 2 0 01 1 x x xI dx dx x x       HD: Đặt   2 2 2 2 2 2 11 . 1 21 1 u x du xdx d xxdv dx v x x x              Bài 4: (GTVT – 1998) Tính tích phân sau: 2 2 2 1 1 ln 2ln e e eI dx e xx         HD: 2 2 2 2 22 2 1 1 1 ln ln ln ln ln lnln e e e e e e e e e e edx x dx dxI dx xd x x x x x xx e                       Bài 5: (ĐHSPV – A 2001) Tính tích phân sau: 3 2 3 sin 4 2 3ln 3cos 2 3 x xI dx x          HD: Đặt   2 2 cossin cos cos 1 cos x d xx dx x x u du dx vdv x           Chú ý: 5 2 3tan 12 2 3     Bài 6: Tính tích phân sau: 23 2 0 sin 3 3 4sin 2 cos x xdxI x x      HD: Phân tích 2 2 2 2 2 sin sin tan sin 2 cos 2sin cos cos 2cos x x x x x x x x x x x x   sau đó mới TPTP Bài 7: Tính tích phân sau:       2 1 2 0 ln 1 1 1 22 2 1 ln 1 2 2 3 9 91 x x x I dx x x            Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 48 HD: Đặt       2 2 2 2 2 3 2 ln 1 1 1 11 1 11 3 3 dxu x x du x xdv dx x x xdx v x x xx x                     Bài 8: Tính tích phân sau: 2 22 3 4 cos ln 2 4 16sin x xI dx x         HD: Đặt   3 3 2 1sincos sin ni in 2s s x d xx dx x x u du dx vdv x           Bài 9: Tính tích phân sau:   1 2 2 0 . 1 32 xx e eI dx x      HD: Đặt    2 2 2 1 2 . 2 xxu du x x e dx dxdv vx x e x              Cách 2: Để làm giảm độ phức tạp ta có thể làm như sau Phân tích        22 2 4 4 4 2 4 2 4 2 4x x x x x x           Khi đó           21 1 1 1 12 2 2 2 0 0 0 0 0 2 4 2 4 14 4 22 2 2 x x x x J x xx eI e dx e dx e dx dx dx xx x x                   Tính J làm xuất hiện tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân Tương tự: (ĐHLN – 2001) Tính tích phân sau:     21 2 0 1 . 1 xx e I dx x     Bài 10: Tính tích phân sau:   1 0 2 1 sin 1 1 cos x xI dx x e e       HD: Đặt 1 sin 1 cos sin 1 cos 1 cos x x x x xu du dxx x dxdv v e e              Chú ý: Có sự xuất hiện tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân Bài 11: Tính tích phân sau: 2 1 ln 1 ln 2 3 e x eI dx x       HD: Phân tích Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 49   2 2 1 1 1 1 ln 4 4 ln 2 ln 2 ln 2 e e e e J xI dx dx dx dx x x x               Tính J làm xuất hiện tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân Bài 12: Tính tích phân sau:  1 cos2 0 1 cos ln 1 1 sin 2 xx I dx x             HD: Phân tích               1 cos1 cos ln 1 cos ln 1 cos ln 1 sin ln 1 cos cos .ln 1 cos ln 1 sin 1 sin xx x x x x x x x x                  Rồi mới TPTP Chú ý: Khi đặt 2 x t  thì     2 2 0 0 ln 1 cos ln 1 sinx dx x dx       Tương tự: (ĐHSPV – A 2001) Tính tích phân sau:  1 cos1 0 1 sin 4ln 2ln 2 1 ln 1 cos xx I dx x e            Bài 13: Tính tích phân sau:   2 22 1 2 ln 1 8ln 2 51 x xI dx x     HD: Đặt  22 2 ln 2 1 1 1 dxu x du xxdv dx vx x            Bài 14: (ĐHQGHN – 1998) Tính tích phân sau: 34 2 0 sin 3 2 cos 2 xI dx x     HD: Đặt 3 2 2 sin 3sin cos 1 tan cos u x du x x v xdv dx x         Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] “ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN “ 50 LỜI KẾT Tôi hi vọng qua chuyên mục “Phương pháp tích phân từng phần” này các em học sinh không còn phải sợ tích phân nữa và hi vọng các bạn đồng nghiệp có thêm một tài liệu bổ ích cho giảng dạy. Tôi không viết ra được hết cách bởi vì thời gian có hạn. Tuy nhiên năng lực và kinh nghiệm còn thiếu và đôi khi không thể tránh được sai sót khi đánh máy và tính toán. Rất mong các bạn học sinh và các bạn đồng nghiệp góp ý kiến, bổ sung thêm giúp tôi và các bạn hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn Chúng ta chỉ cần chú ý một quy tắc “song song” trong TPTP là đã sử dụng được công thức (1) thì cũng sử dụng được công thức (2) và ngược lại Góp ý theo địa chỉ Email: [email protected] SONG TREN DOI CAN CO MOT TAM LONG DU CHANG DE LAM GI DU DE GIO CUON DI