Bài giảng Toán kinh tế 1 - Chương 6: Tích phân - Nguyễn Ngọc Lam

146 C6. TÍCH PHÂN 1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH: Định nghĩa: - Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên D nếu F’(x) = f(x) với mọi x  D - Tập hợp các nguyên hàm của f(x) được gọi là tích phân bất định của f(x). Ký hiệu:   CxFdxxf )()( Trong đó, F(x): Nguyên hàm C: Hằng số dx: vi phân của biến x 147 C6. TÍCH PHÂN Các tính chất cơ bản:   dxxgdxxfdxxgxf )()())()((  dxxfkdxxkf )()(   )(')( xfdxxf  148 C6. TÍCH PHÂN Một số công thức: Cxdx  -1)( C 1 x dxx 1      Cxln x dx  C aln a dxa x x  Cxcosxdxsin  Cxsinxdxcos  Cgxcot xsin dx 2  Ctgx xcos dx 2  C a x arccosC a x arcsin xa dx 22   Cbxxln bx dx 2 2   C a x gcotarc a 1 C a x arctg a 1 xa dx 22   C xa xa ln a2 1 xa dx 22      149 C6. TÍCH PHÂN Một số phương pháp tính tích phân: 1. Phương pháp đổi biến: Ví dụ: Tính  dxxe x2 2. Phương pháp tích phân từng phần:   vduuvudv Ví dụ: Tính  xdxln  tgxdx  dxxe x 150 C6. TÍCH PHÂN Tích phân hàm hữu tỉ: Bậc của tử nhỏ hơn mẫu. )( )( xQ xP m m m ax A ax A ax A ax xP )( ... )()()( )( 2 21        n nn n cbxx CxB cbxx CxB cbxx CxB cbxx xP )( .. )()()( )( 222 22 2 11 2           Với b2 – 4c < 0 ; trong đó m, n là số nguyên dương. Xác định Ai, Bj, Cj được thực hiện bằng đồng nhất thức Ví dụ: Tính   dx ax 1   dx ax m)( 1   )1( 2 xx xdx 151 C6. TÍCH PHÂN Tích phân hàm vô tỉ: Sử dụng phương pháp đổi biến chuyển về hàm hữu tỉ.   3 11 x dx Ví dụ: Tính 152 C6. TÍCH PHÂN 2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH: Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định, liên tục và không âm trên [a,b], chia [a,b] thành n đoạn: a = x0 < x1 <xn = b Gọi k = xk – xk-1, trong mỗi [xk,xk-1] ta lấy ck bất kỳ và lập tổng:    n k kkn cfS 1 )( Nếu tồn tại hữu hạn    n k kk n n n cfSI 1 )(limlim Giới hạn này không phụ thuộc vào cách chi [a,b] và cách lấy điểm ck thì y = f(x) khả tích trên [a,b] và I được gọi là tích phân xác định của f trên [a,b]. Ký hiệu:  b a dxxf )( 153 C6. TÍCH PHÂN  a b b a dxxfdxxf )()( bca ,)()()(  b c c a b a dxxfdxxfdxxf   b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( Rk ,)()(  b a b a dxxfkdxxkf Một số tính chất cơ bản: 154 C6. TÍCH PHÂN Công thức Newton – Leibnitz: Cho f liên tục trên [a,b] và F là nguyên hàm của f thì: )()()()( aFbFxFdxxf ba b a  Phương pháp tính tích phân xác định: Sử dụng các phương pháp tích phân bất định. Ví dụ: Tính tích phân:   2 0 1 dxx   1 0 2 2 1 2 dx e ee x xx  e xdx 1 2ln 155 C6. TÍCH PHÂN 3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG: Tích phân suy rộng loại 1 (có cận vô hạn): Cho hàm số f(x) xác định trên [a,+) và f khả tích trên [a,t] với mọi t > a. Bdxxfdxxf t ata    )(lim)( B được gọi là tích phân suy rộng của f trên [a,+). Nếu B hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ và ngược lại ta nói là phân kỳ 156 C6. TÍCH PHÂN Tương tự có các dạng khác như sau:   b tt b dxxfdxxf )(lim)(      c c dxxfdxxfdxxf )()()( Ví dụ: Xét các tích phân suy rộng sau:    0 dxe x    0 2 1x xdx 157 C6. TÍCH PHÂN Tích phân suy rộng của các hàm không âm: Định lý: Cho f(x) và g(x) là hai hàm không âm trên [a,+) và f(x) ≤ g(x), khi đó:   a dxxg )(   a dxxf )(hội tụ thì hội tụ   a dxxg )(  a dxxf )( phân kỳ thì phân kỳ Ví dụ: Xét tính hội tụ và phân kỳ:    0 2sin xdxe x 158 C6. TÍCH PHÂN Định lý : Cho f(x), g(x) là hai hàm không âm trên [a,+) )(0,k , )( )( lim   k xg xf x cùng hội tụ hoặc phân kỳ  aa dxxgdxxf )( ,)( Ví dụ: Xét tính hội tụ và phân kỳ:    1 3 2 1 dx x x 159 C6. TÍCH PHÂN Tích phân loại 2 (của hàm không bị chặn): Cho hàm số f(x) liên tục trong khoảng [a,b) và Bdxxfdxxf t abt b a   )(lim)( được gọi là tích phân suy rộng của f trên [a,b] Nếu B hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ. Tương tự ta có định tích phân suy rộng loại 2 trong trường hợp f(x) không bị chặn khi gần điểm a và f(x) không bị chặn đồng thời tại a và b.   )(lim xf bt 160 C6. TÍCH PHÂN Ví dụ, Tính tích phân   2 1 2x dx I 161 C6. TÍCH PHÂN Định lý: Cho f(x) và g(x) là hai hàm liên tục không âm trên [a,b), f(x) ≤ g(x), không bị chặn tại b và   )(lim)(lim xgxf bxbx  b a dxxg )(  b a dxxf )(hội tụ thì hội tụ  b a dxxg )( b a dxxf )( phân kỳ thì phân kỳ 162 C6. TÍCH PHÂN Định lý: Cho f(x) và g(x) là hai hàm liên tục không âm trên [a,b) có:   )(lim)(lim xgxf bxbx  b a dxxg )(  b a dxxf )( cùng hội tụ hoặc phân kỳ )(0,k , )( )( lim   k xg xf bx 163 C6. TÍCH PHÂN 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG: Ứng dụng tích phân bất định: Tìm hàm mục tiêu từ hàm giá trị biên. Tìm hàm chi phí: Cho biết hàm chi phí biên một sản phẩm của doanh nghiệp và chi phí cố định là 50. 523 2  xxMC Tìm hàm doanh thu và hàm cầu: Cho biết hàm doanh thu biên. 2500 QMR  164 C6. TÍCH PHÂN Tìm hàm lợi nhuận: Cho biết hàm lợi nhuận biên theo sản lượng và nếu chỉ bán 50 sản phẩm thì lỗ 13.500$. 5005  QMP Ứng dụng tích phân xác định: Phân tích lợi nhuận: Lợi nhuận biên của 1 sản phẩm 2,120005,0  xMP a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi lượng bán tăng từ 100 lên 101 đơn vị? b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi lượng bán tăng từ 100 lên 110 đơn vị? 165 C6. TÍCH PHÂN Chi phí trung bình: Cho hàm chi phí theo thời gian t (tháng) của doanh nghiệp trong thời gian 3 năm. Tìm chi phí sản xuất trung một tháng trong kỳ kinh doanh này. 15,1302,0006,0 2  ttTC Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cung và hàm cầu: Hàm cầu: P = -0,3x + 10 Hàm cung: P = 0,1x + 2 Hãy tìm thặng của người tiêu dùng và thặng dư của người sản xuất tại điểm cân bằng.