Bài giảng Toán kinh tế 1 - Chương 4: Đạo hàm - Vi phân - Nguyễn Ngọc Lam

87 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định trong (a,b), x0  (a,b). Đạo hàm của f tại x0 được định nghĩa và ký hiệu: 0 0 0 )()( lim)(' 0 xx xfxf xf xx     Gọi x = x – x0: Số gia của x tại x0 y = f(x0 + x) – f(x0): Số gia của y tại x0 x y y x     0 lim' 88 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN - Đạo hàm bên phải: - Đạo hàm bên trái: Định lý: f’(x0) tồn tại f’(x0 +) = f’(x0 -) x xf xf x      )(lim)(' 0 0 0 x xf xf x      )(lim)(' 0 0 0 Đạo hàm một phía: Định lý: Nếu f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0. Ví dụ: Xét đạo hàm và tính liên tục của f = |x| tại x0 = 0 89 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN - f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx Đạo hàm trên khoảng, đoạn: Ý nghĩa của đạo hàm: • Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0 • Đường cong liên tục • Sự biến động của y khi x tăng lên 1 đơn vị 90 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: • (u + v)’ = u’ + v’ • (u.v)’ = u’v + v’u 2 ' '' v uvvu v u        Đạo hàm của hàm số hợp: Cho u = u(x) có đạo hàm tại x0, hàm y = f(u) có đạo hàm tại u thì hàm hợp f(u) có đạo hàm tại x0 và y’x = y’u.u’x • (v  0) => (ku)’ = ku’ (k hằng số) Ví dụ, tìm đạo hàm: y = x2 + sinx, y = x2sinx Ví dụ, Tìm đạo hàm y = sin2x 91 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Cho y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f-1(y) thì: Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx ' '1 1)( x y f f  92 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: (c)’ = 0 (x)’ = x-1 (ax)’ = axlna (ex)’ = ex ax xa ln 1 )'(log  x x 1 )'(ln  (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx x tgx 2cos 1 )'(  x gx 2sin 1 )'(cot  21 1 )'(arcsin x x   21 1 )'(arccos x x   21 1 )'( x arctgx   21 1 )'cot( x gxarc   Ví dụ, tính đạo hàm y = u(x)v(x) 93 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) 2 2 2 2 , dx fd dx yd Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). n n n n dx fd dx yd , 94 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Tìm đạo hàm cấp n: 1. y = ex 2. y = ax 3. y = lnx 4. y = x ) 2 sin(ysin (n)  nxxy  Một vài công thức: ) 2 cos(ycos (n)  nxxy  95 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n)    n k kknk n n vuCuv 0 )()()( .)( trong đó u(0) = u, v(0) = v 96 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. VI PHÂN Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại x0 nếu tồn tại A sao cho f = A.x + 0(x). Biểu thức df = A.x được gọi là vi phân của f tại x0. Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv 2v udvvdu v u d        Định lý: f(x) khả vi tại x0  f có đạo hàm và f’(x0) = A. 97 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức tính xấp xỉ: Nếu f(x) khả vi tại x và khi |x| gần 0 ta có: f(x+x) – f(x)  f’(x)x hay f(x+x)  f(x) + f’(x)x Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu dny = y(n)dxn được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. Ví dụ: Tính gần đúng (15,8)1/4 98 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho )(' )()( cf ab afbf    Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). 99 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho )(' )(' )()( )()( cg cf agbg afbf    Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x. 100 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x0 thì x  D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho: 1 0 )1( 0 0 )( 2 0 0 0 0 0 )( )!1( )( )( ! )( ... ...)( !2 )(" )( !1 )(' )()(       n n n n xx n cf xx n xf xx xf xx xf xfxf 1 0 )1( )( )!1( )( )(      n n n xx n cf xR Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrange 101 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN • Đa thức Taylor:    n k k k n xx k xf xP 0 0 0 )( )( ! )( )( Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin 1 )1()( 2 )!1( )( ! )0( ... !2 )0(" !1 )0(' )0()(     n n n n x n cf x n f x f x f fxf 102 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x  (a,b) 0)(lim)(lim   xgxf axax L xg xf xg xf axax   )(' )(' lim )( )( lim Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: 0)(lim)(lim   xgxf xx   )(lim)(lim xgxf axax   )(lim)(lim xgxf xx • Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần. 103 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0) xx xtgx x sin lim 0   30 sin lim x xx x   x arctgx x 1 2lim    Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /) gx x x cot ln lim 0 nx x xln lim  x n x e x  lim 1. Dạng 0/0, / 104 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. Dạng 0.,  - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /. Ví dụ: xx x lnlim 5 0 )4/()4(lim 2 2 xtgx x   ) cos 1 (lim 2/ tgx xx   3. Dạng vô định: 00, 1, 0: Ta xét limfg = elimg.lnf (f > 0) Ví dụ: 2 0 lim x x x  x x x   1 2 1 lim x x gx ln 1 0 )(cotlim  105 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN CỰC TRỊ Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0)). Chiều biến thiên của hàm số: Định lý: Cho f khả vi trong (a,b): 1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng. 2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a,b) thì f giảm. 106 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện cần của cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0. Ví dụ: Xét đạo hàm tại x = 0: y = x3 , y = |x| Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f: a) Không tồn tại f’(x) b) f’(x) = 0 Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được gọi là điểm dừng của f. 107 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện đủ của cực trị: Định lý 1: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0. b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0. c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: 3 2 .)1( xxy  108 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Quy tắc 1 tìm cực trị: 1.Tìm miền xác định 2. Tính f’(x). Tìm f’(x)=0 và không tồn tại f’(x). 3. Lập bảng biến thiên. 4. Suy ra điểm cực trị. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: 3 2 .)1( xxy  109 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý 2: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0. a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu. b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: y = x – ln(1+x) Quy tắc 2 tìm cực trị: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0. 1. Tìm miền xác định 2. Tính f’(x). Tìm nghiệm f’(x)=0, xi. 3. Tính f’’(x) và f’’(xi) 4. Dựa vào dấu của f’’(xi) suy ra cực trị. 110 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT: Cho f(x) xác định trên D: • M được gọi là giá trị lớn nhất của y=f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi xD và tồn tại x0D sao cho f(x0) = M. • M được gọi là giá trị nhỏ nhất của y=f(x) trên tập D nếu f(x) ≥ m với mọi xD và tồn tại x0D sao cho f(x0) = m. 111 C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số trên [a,b]: 1. Tính f tại các điểm tới hạn trong [a,b] và f(a), f(b) 2. fmax (fmin) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị tìm được. Ví dụ: tìm fmax ,fmin của f(x) = x 3 – 3x2 +1 trên [-1, 1] 112 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Biến kinh tế: Q Quantity Sản lượng QS Quantity Supplied Lượng cung QD Quantity Demanded Lượng cầu P Price Giá cả C Cost Chi phí TC Total Cost Tổng chi phí R Revenue Doanh thu TR Total Revenue Tổng doanh thu Pr Profit Lợi nhuận K Capital Tư bản L Labour Lao động FC Fix Cost Định phí VC Variable Cost Biến phí 113 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Hàm số kinh tế: • Hàm sản xuất : Q = f(K,L) • Hàm doanh thu: TR = PQ • Hàm chi phí : TC = f(Q) = VC(Q) + FC • Hàm lợi nhuận :  = TR - TC Thuê mặt bằng, điện nước 50.000đ/ngày Bún 300đ/tô Gia vị 200đ/tô Thịt bò, heo 2.000đ/tô Nhân viên 500đ/tô Ví dụ: Một quán bún bình dân, hãy tính mỗi ngày bán bao nhiêu tô thì có lời với giá bán 5.000đ/tô và chi phí như sau: 114 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế: • Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay đổi của sản lượng khi tăng lao động hay vốn thêm một đơn vị. Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho nhận xét khi L=100 cho bởi hàm sản xuất sau: LQ 5 115 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Chi phí biên MC: (Marginal Cost) Hàm chi phí: TC = TC(Q) MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn vị. Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét. TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100 116 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue) Hàm doanh thu: TR = PQ MR là đại lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng hay giá tăng thêm 1 đơn vị. • Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là: Q = 1.000 – 14P Tìm MR khi p = 40 và p = 30 117 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit) Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)) Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi nhuận khi giá hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị. 118 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Hệ số co giãn: (Elasticity) • Lượng thay đổi tuyệt đối: x • Lượng thay đổi tương đối: x x • Hệ số co dãn: Đo lường sự thay đổi tương đối của y phụ thuộc vào sự thay đổi tương đối của x. y x x y xx yy yx .       y x xy y x x y x yx )('.lim 0       • Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 30 – 4P – P2. Tìm hệ số co dãn tại điểm P = 3. 119 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Tối đa hóa lợi nhuận: Hàm chi phí: TC = TC(x) Hàm cầu: x = QD = f(P) Giả sử thị trường độc quyền: Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = Px – TC(x)                    0 )( 0 )( 0 0 2 2 2 2 dx TCTRd dx TCTRd dx d dx d   120 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp thông tin: Định phí: FC = 600 Biến phí: VC = 1/8 x2 + 6x Hàm cầu: x = -8/7 P + 100 Hãy tìm sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa.