Bài giảng Toán cao cấp - Chương 4: Phép tính vi phân hàm một biến

10/13/2012 1 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §1. ĐẠO HÀM §1. Đạo hàm §2. Vi phân §3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi – Cực trị §4. Công thức Taylor §5. Quy tắc L’Hospital 1.1. Các định nghĩa a) Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số ( )y f x xác định trong lân cận ( ; )a b của 0 ( ; )x a b . Giới hạn: 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x f x x f xy x x         (nếu có) được gọi là đạo hàm của ( )y f x tại 0 x . Ký hiệu là 0( )f x hay 0( )y x . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Nhận xét. Do 0x x x   nên: 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . x x f x f x f x x x     b) Đạo hàm một phía Cho hàm số ( )y f x xác định trong lân cận phải 0( ; )x b của 0x . Giới hạn 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x   (nếu có) được gọi là đạo hàm bên phải của ( )y f x tại 0 x . Ký hiệu là 0( )f x  . Tương tự, 0( )f x  . Nhận xét. Hàm số ( )f x có đạo hàm tại 0 x khi và chỉ khi 0 0 0( ) ( ) ( ).f x f x f x      Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 1. Cho 3( ) (0)f x x f   , ( ) (0 )f x x f    . c) Đạo hàm vô cùng • Nếu tỉ số y x    khi 0x  thì ta nói ( )y f x có đạo hàm vô cùng tại 0 x . • Tương tự, ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng một phía. Chú ý Nếu ( )f x liên tục và có đạo hàm vô cùng tại 0 x thì tiếp tuyến tại 0 x của đồ thị ( )y f x song song với trục Oy . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm 1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số: ( )u v u v     ; ( )uv u v uv    ; 2 , k kv k v v         ¡ ; 2 u u v uv v v         . 2) Đạo hàm của hàm số hợp ( ) [ ( )]f x y u x : ( ) ( ). ( )f x y u u x   hay ( ) ( ). ( )y x y u u x   . 3) Đạo hàm hàm số ngược của ( )y y x : 1 ( ) ( ) x y y x    . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp 1)   1.x x    ; 2)   1 2 x x   ; 3)  sin cosx x  ; 4)  cos sinx x   ; 5)   2 1 tan cos x x   6)   2 1 cot sin x x    ; 21 tan x  ; Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 7)  x xe e  ; 8)   . lnx xa a a  ; 9)   1ln x x   ; 10)   1log .lna x x a   ; 11)   2 1 arcsin = 1 x x   ; 12)  2 1 arccos = 1 x x   ; 13)   2 1 arctan 1 x x    ; 14)   2 1 cot 1 arc x x    . 10/13/2012 2 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 1.4. Đạo hàm cấp cao • Giả sử ( )f x có đạo hàm ( )f x và ( )f x có đạo hàm thì  ( ) ( )f x f x  là đạo hàm cấp hai của ( )f x . • Tương tự ta có:  ( ) ( 1)( ) ( )n nf x f x  là đạo hàm cấp n của ( )f x . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 4. Cho hàm số 2( ) sinf x x . Tính đạo hàm (6)(0)f . A. (6)(0) 32f  ; B. (6)(0) 32f  ; C. (6)(0) 16f   ; D. (6)(0) 0f  . Giải. Ta có ( ) sin 2 ( ) 2 cos 2f x x f x x    (4)( ) 4 sin 2 ( ) 8 cos2f x x f x x    (5) (6)( ) 16 sin 2 ( ) 32 cos 2f x x f x x    . Vậy (6)(0) 32f A  . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §2. VI PHÂN Nhận xét • 0( ) . 0( )f x A x x     0( ) 0( )f x xA x x        2.1. Vi phân cấp một Hàm số ( )y f x được gọi là khả vi tại 0 fx D nếu 0 0 0( ) ( ) ( )f x f x x f x    có thể biểu diễn dưới dạng: 0( ) . 0( )f x A x x     với A là hằng số và 0( )x là VCB khi 0x  . Khi đó, đại lượng .A x được gọi là vi phân của hàm số ( )y f x tại 0x . Ký hiệu 0( )df x hay 0( )dy x . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 1. Tính vi phân cấp 1 của 2 3( ) xf x x e tại 0 1x  . 00 0 ( ) ( )x f x A f x A x        . 0 0( ) ( ).df x f x x   hay ( ) ( ).df x f x x  . • Chọn ( ) ( )f x x df x x dx x       . Vậy ( ) ( ) .df x f x dx dy yh y xa d   Giải. Ta có 2 3 3( ) (2 3 ) ( 1)xf x x x e f e      Vậy 3( 1)df e dx  . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 2. Tính vi phân cấp 1 của 2arctan( 1)y x  . Giải. Ta có 2 2 2 2 2 ( 1) 2 1 ( 1) 1 ( 1) x x y x x        . Vậy 2 2 2 1 ( 1) x dy dx x    . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 3. Tính vi phân cấp 1 của hàm số ln(arcsin )2 xy  . Giải. Ta có ln(arcsin )ln(arcsin ) 2 ln 2xy x       ln(arcsin ) 2 1 2 ln2 1 arcsin x x x   ln(arcsin ) 2 2 ln2 1 arcsin x dy dx x x    . 10/13/2012 3 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số ln(sin )y x . Giải. Ta có 2 cos 1 sin sin x y y x x      . Vậy 2 2 2sin dx d y x  . 2.2. Vi phân cấp cao Giả sử ( )y f x có đạo hàm đến cấp n thì: 1 ( )( )n n n nd y d d y y dx  được gọi là vi phân cấp n của hàm ( )y f x . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số 2xy e . Giải. Ta có 2 2 22 2x xy e y e    2( ) 2 2... 2n n x n n x ny d y ee dx    . VD 6. Tính vi phân cấp 2 của ( ) tanf x x tại 0 4 x   . Giải. Ta có 2( ) 1 tanf x x   2( ) 2 tan (1 tan ) 4 4 f x x x f           . Vậy 2 24 4 d f dx       . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức ( )n n nd y y dx không còn đúng nữa. Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 3.1. Các định lý 3.1.1. Bổ đề Fermat Cho hàm số ( )f x xác định trong ( ; )a b và có đạo hàm tại 0 ( ; )x a b . Nếu ( )f x đạt giá trị lớn nhất (hoặc bé nhất) tại 0x trong ( ; )a b thì 0( ) 0f x  . 3.1.2. Định lý Rolle Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ]a b và khả vi trong ( ; )a b . Nếu ( ) ( )f a f b thì ( ; )c a b  sao cho ( ) 0f c  . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 3.1.3. Định lý Cauchy Cho hai hàm số ( )f x , ( )g x liên tục trong [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b và ( ) 0, ( ; )g x x a b    . Khi đó, ( ; )c a b  sao cho: ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) f b f a f c g b g a g c    3.1.4. Định lý Lagrange Cho hàm số ( )f x liên tục trong [ ; ]a b , khả vi trong ( ; )a b . Khi đó, ( ; )c a b  sao cho: ( ) ( ) ( ). f b f a f c b a    Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §4. CÔNG THỨC TAYLOR 4.1. Công thức khai triển Taylor a) Khai triển Taylor với phần dư Peano Cho hàm ( )f x liên tục trên [ ; ]a b có đạo hàm đến cấp 1n  trên ( ; )a b với 0, ( ; )x x a b ta có: ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) . ! (( ) ) kn k n k f x f x x O x xx k    10/13/2012 4 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số b) Khai triển Maclaurin • Khai triển Taylor với phần dư Peano tại 0 0x  được gọi là khai triển Maclaurin. Vậy ( ) 0 (0 ( ) ) ( ) . ! n kn k k f f x x k O x    • Khai triển Maclaurin được viết lại: 2 ( ) (0) (0) ( ) (0) ... 1! 2! (0) ... . ! ( )n n n f f f x f x x f x x n O         Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 1. Khai triển Maclaurin của ( ) tanf x x đến 3x . Giải. Ta có: (0) 0f  , 2( ) 1 tan (0) 1f x x f     , 3( ) 2 tan 2 tan (0) 0f x x x f     , 2 2 2( ) 2(1 tan ) 6 tan (1 tan )f x x x x     (0) 2f   . Vậy 2 3 3(0) (0) (0)tan (0)+ + + +0( ) 1! 2! 3! f f f x f x x x x     3 31 0( ) 3 x x x   . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 4.2. Các khai triển Maclaurin cần nhớ 1) 21 1 ... 0( ) 1 n nx x x x x        . 2) 2 1 ... 0( ) 1! 2! ! n x nx x xe x n       . 3) 2 3 4 ln(1 ) ... 0( ) 1 2 3 4 nx x x xx x       . 4) 2 4 6 cos 1 ... 0( ) 2! 4! 6! nx x xx x      . 5) 3 5 7 sin ... 0( ) 1! 3! 5! 7! nx x x xx x      . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Chú ý Nếu ( )u x là VCB khi 0x  thì ta thay x trong các công thức trên bởi ( )u x . VD 2. Khai triển Maclaurin hàm số 2 1 1 3 y x   đến 6x . Giải. 2 1 1 ( )3x y    2 2 2 2 3 61 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 0( )x x x x        2 4 6 61 3 9 27 0( )x x x x     . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 3. Khai triển Maclaurin của 2ln(1 2 )y x  đến 6x . Giải. 2ln[1 ( 2 )]y x   2 2 2 3 2 6( 2 ) ( 2 )( 2 ) 0( ) 2 3 x x x x        2 4 6 682 2 0( ) 3 x x x x    . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số 2xy  đến 4x . Giải. Biến đổi: ln2 ln22 x xxy e e   . Vậy ln 22x xe 2 3 4 4ln2 ( ln2) ( ln2) ( ln2)1 0( ) 1! 2! 3! 4 ! x x x x x      2 3 4 2 3 4 4ln 2 ln 2 ln 21 ln2 0( ). 2 6 24 x x x x x      10/13/2012 5 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 5. Cho hàm số ( ) cos 2f x x x . Tính (7)(0)f . Giải. Ta có: 2 4 6 6(2 ) (2 ) (2 )cos2 1 0( ) 2! 4 ! 6! x x x x x     (7) (7)(0) 64 (0) 448 7 ! 6! f f    . 3 75 74 16( ) 0( ) 2 6! 64 !4 ! x x x x f x x     Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số §5. QUY TẮC L’HOSPITAL Định lý (quy tắc L’Hospital) Cho hai hàm số ( )f x , ( )g x khả vi trong lân cận của điểm 0x và ( ) 0g x  trong lân cận của 0x (có thể 0( ) 0g x  ). Nếu 0 ( ) lim ( )x x f x g x có dạng 0 0 hoặc   thì: 0 0 ( ) ( ) lim lim . ( ) ( )x x x x f x f x g x g x     Chú ý § Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần. Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Giải. 20 0 ( 2) lim lim 2( ) x x x x x x e e e e L xx           0 0 ( ) lim lim 1 (2 ) 2 x x x x x x e e e e x           . VD 1. Tìm giới hạn 20 2 lim x x x e e L x      . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 2. Tìm giới hạn 2 2 2 20 sin lim .arctanx x x L x x   . A. 0L  ; B. L ; C. 1 2 L  ; D. 1 3 L  . Giải. Khi 0x  , ta có: 2 2 2 2 2 2 4 sin sin .arctan x x x x x x x  : 2 2 40 sin lim x x x L x    . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 30 2 sin2 lim 4x x x L x   20 2 2cos2 lim 12x x x   0 4 sin2 lim 24x x x  0 8 cos2 1 lim 24 3x x D     . Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 3. Tìm giới hạn  3 0 lim ln x L x x   (dạng 0). Giải. Ta có: 30 ln lim x x L x   40 1 lim 3x x x    3 0 lim 0 3x x     . 10/13/2012 6 Ø Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số VD 4. Tìm giới hạn 1 1 1 lim x x L x    (dạng 1). Giải. Ta có: 1 1ln 1 lim xx x L e    ln lim 11 1 ln 1 1 lim x xxxx x e e     1 lim 1xx e e    .