Bài giảng Kỹ thuật máy tính và mạng - Chương 3: Biến đổi Z

Chương 3. Biến đổi Z Giảng viên: Nguyễn Thị Phương Thảo Bộ môn: Kỹ thuật Máy tính và Mạng Email: [email protected] Website: https://sites.google.com/a/wru.vn/thaont/ Giới thiệu Kỹ thuật biến đổi là một công cụ rất quan trong phân tích tín hiệu và hệ thống tuyến tính bất biến. Biến đổi Z nhằm đưa tín hiệu và hệ thống từ miền thời gian sang miền số phức Z Biến đổi Z giúp chúng ta dễ dàng hơn khi phân tích đáp ứng của một hệ thống khi có nhiều tín hiệu vào khác nhau. Nội dung 3.1 Biến đổi Z 3.2 Tính chất của biến đổi Z 3.3 Biến đổi Z ngược 3.4 HT TTBB trong miền Z 3.1 Biến đổi Z Biến đổi Z: Biến đổi Z một phía: Trong đó: là một biến phức: Ký hiệu: Miền hội tụ (MHT) của là tập hợp tất cả các giá trị của làm cho có giá trị hữu hạn. a. Biến đổi Z thuận Nhận xét: Tín hiệu rời rạc được xác định duy nhất bởi biến đổi z, và miền hội tụ của nó Ví dụ 1:Xác định biến đổi z của các tín hiệu sau Chú ý 3.1 Biến đổi Z (tiếp) Miền hội tụ của các dãy vô hạn Điểm cực và điểm không 3.1 Biến đổi Z (tiếp) 3.1 Biến đổi Z (tiếp) Biến đổi Z ngược được định nghĩa như sau: Với C là đường cong kín bao quanh gốc tọa độ và phải nằm trong miền hội tụ của biến đổi Z Chúng ta thường không dùng trực tiếp công thức định nghĩa để tính biến đổi Z ngược Biến đổi Z ngược Chương 3. Biến đổi Z 3.1 Biến đổi Z 3.2 Tính chất của biến đổi Z 3.3 Biến đổi Z ngược 3.4 HT TTBB trong miền Z 3.2 Tính chất của biến đổi Z Tính tuyến tính Ta có Thì Khi tính toán biến đổi Z của nhiều tín hiệu ta có thể tính bd Z của từng tín hiệu thành phần, sau đó cộng các kết quả lại Ví dụ: tìm bd Z của t/h sau: b. Tính chất trễ Ta có Thì Miền hội tụ của giống miền HT của , ngoài ra: Với , Với , VD: Có . Xác định BĐ z của tín hiệu 3.2 Tính chất của biến đổi Z 3.2 Tính chất của biến đổi Z Nhân tín hiệu với dãy lũy thừa Ta có Thì Ví dụ Tìm biến đổi Z, miền hội tụ: 3.2 Tính chất của biến đổi Z Tích chập trong miền Z Ta có: Phép tính tích chập có ý nghĩa hết sức quan trọng khi xét hệ thống tuyến tính bất biến h(n) Z H(z) Ví dụ Tìm biến đổi Z của tích chập , với: Cho t/h qua hệ thống, thu được t/h ra . Tính 3.2 Tính chất của biến đổi Z Đạo hàm của biến đổi Z: Ví dụ: Tính Z[x(n)] với x(n)=n.(1/2) n u(n) 3.2 Tính chất của biến đổi Z Như vậy, tính chất đ ạo hàm của biến đổi Z : Ta có Thì 3.2 Tính chất của biến đổi Z Miền thời gian ngược Ta có: Thì Tổng hợp tính chất của BD Z Tính chất tuyến tính Dịch chuyển trong miền tg Nhân tín hiệu với a n Tích chập Đạo hàm Miền thời gian ngược ax 1 (n)+bx 2 (n) aX 1 (z)+bX 2 (z) ROC : r1 |a| <|z|< r2 |a| x(-n)X(1/z) Chương 3. Biến đổi Z 3.1 Biến đổi Z 3.2 Tính chất của biến đổi Z 3.3 Biến đổi Z ngược 3.4 HT TTBB trong miền Z 3.3 Biến đổi Z ngược Biến đổi Z ngược: Có 3 phương pháp để xác định biến đổi Z ngược: Sử dụng công thức định nghĩa (đã đề cập phần trước, ít sử dụng) Phân tích thành chuỗi lũy thừa Phương pháp khai triển phân số từng phần 3.3.1 Phương pháp phân tích thành chuỗi lũy thừa Mục đích của phương pháp này là đưa X(z) về dạng chuỗi lũy thừa của z -1 (hoặc z) giống với công thức biến đổi Z Tín hiệu nhân quả: Tín hiệu phản nhân quả : Với c n là các hằng số 3.3.1 Phương pháp phân tích thành chuỗi lũy thừa Cách làm: thực hiện phép chia tử cho mẫu theo hai trường hợp sau: Tín hiệu nhân quả: chia đa thức tử cho đa thức mẫu với các phần tử của hai đa thức này được viết theo thứ tự số mũ của tăng dần Tín hiệu phản nhân quả: chia đa thức tử cho đa thức mẫu với các phần tử của hai đa thức này được viết theo thứ tự số mũ của giảm dần Phép chia sẽ kết thúc khi ta đạt được số mẫu cần thiết hoặc khi tìm được dạng chung của tín hiệu Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z ngược của X(z): a. Với miền hội tụ nằm ngoài vòng tròn đơn vị b. Miền hội tụ │z│< 0.5 Một số nhận xét Phương pháp này không thực tế trong trường hợp ta muốn tính với số mẫu cần xác định lớn vì việc thực hiện phép chia như vậy sẽ rất mất thời gian Phương pháp này cho chúng ta giá trị trực tiếp của tại các giá trị nhất định. Trong một số trường hợp, việc xác định dạng chung của tín hiệu gặp nhiều khó khăn. Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp phân tích thành chuỗi lũy thừa để tính 6 xung đầu tiên của tín hiệu có biến đổi Z như sau: Với là tín hiệu nhân quả Với là tín hiệu phản nhân quả 3.3.2 Phương pháp khai triển phân số từng phần Nguyên tắc: Đ ưa thành tổng các phân thức tối giản. Trong đó, là các phân thức tối giản . Đối chiếu với bảng Một số biến đổi Z cơ bản để suy ra dạng tín hiệu tương ứng với . Áp dụng tính chất tuyến tính của biến đổi Z ta có: Các bước thực hiện Bước 1 : Đ ưa về dạng chính tắc có dạng hữu tỷ: Với M là bậc của , N là bậc của là chính tắc nếu và  chuyển đến Bước 2 Nếu M N: chưa chính tắc, ta đưa đa thức về dạng chính tắc sử dụng phép chia như sau: Ta dễ dàng tìm được biến đổi Z ngược của chuỗi: Phân thức đã ở dưới dạng chính tắc  chuyển đến Bước 2 (Bước 2 ta coi là phân thức đã chính tắc) Bước 2 : Phân tích thành các phân thức tối giản: Đưa về dạng Tìm các điểm cực của : . Có 2 trường hợp như sau: Nếu phân thức có N điểm cực riêng biệt: Với A k được tính như sau: Nếu đa thức có nghiệm bội bậc l : p k Với A ik được xác định như sau: Bước 3: Dựa vào bảng tìm biến đổi Z ngược của từng phân thức tối giản sau đó tổng hợp kết quả (chú ý miền hội tụ của BĐ Z) Ví dụ Tìm biết tín hiệu là nhân quả Chương 3. Biến đổi Z 3.1 Biến đổi Z 3.2 Tính chất của biến đổi Z 3.3 Biến đổi Z ngược 3.4 HT TTBB trong miền Z 3.4 Hệ thống TTBB trong miền Z Miền thời gian Miền Z Trong đó: : hàm truyền đạt của hệ thống Hàm truyền đạt của hệ thống h(n) H(z) Với hệ thống được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: Thực hiện biến đổi Z 2 vế ta được: Sử dụng các tính chất trễ và tuyến tính ta có: Hàm truyền đạt của hệ thống Hàm truyền đạt của hệ thống Nếu a 0 =1 ta có Ví dụ Xác định hàm truyền đạt của hệ thống Xác định đáp ứng xung của hệ thống được mô tả bằng PT SP TT HSH thông qua biến đổi z ngược của hàm truyền đạt H(z) (Phần 3.3) Đáp ứng ra của hệ thống Để xác định đáp ứng ra , ta thực hiện biến đổi z ngược của Giải PT SP TT HSH thông qua miền Z c ) Tính ổn định và nhân quả của HT TTBB Trong thực tế, chỉ có các hệ thống nhân quả là thực hiện được về mặt vật lý Khi thiết kế, hệ thống ổn định có ý nghĩa quan trọng Tiêu chuẩn ổn định của hệ thống TTBB Tiêu chuẩn ổn định của hệ thống Mặt khác, ta có: Kết luận : Hệ thống ổn định nếu vòng tròn đơn vị nằm trong miền hội tụ của của hệ thống Tiêu chuẩn ổn định của HT TTBB nhân quả HT TTBB sẽ nhân quả khi miền HT nằm ngoài đường tròn bán kính r 1 Hệ thống TTBB ổn định khi miền hội tụ phải chứa vòng tròn đơn vị r 1 < 1 Do đó, điều kiện ổn định của hệ thống TTBB nhân quả là: Tất cả các điểm cực phải nằm trong vòng tròn đơn vị Ví dụ VD1: Cho hệ thống nhân quả được mô tả bởi phương trình sau: y(n) = ay(n-1) +x(n) Tìm hàm truyền đạt của hệ thống Tìm đáp ứng xung của hệ thống Nghiên cứu độ ổn định của hệ thống VD2: Xét sự ổn định của hệ thống nhân quả sau: