Toán rời rạc - Chương 1: Giới hạn và liên tục

Chương 1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Huỳnh Văn Kha Khoa Toán – Thống Kê Toán A1 - MS: 501001 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 1 / 51 Nội dung 1 Giới hạn dãy số Dãy số – Giới hạn – Một số tính chất Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e Các giới hạn cơ bản – Tính giới hạn 2 Giới hạn hàm số Định nghĩa giới hạn Tính chất – Giới hạn cơ bản – Các dạng vô định Đại lượng VCB - Khử dạng vô định 3 Hàm số liên tục Liên tục – Liên tục một phía Tính chất hàm liên tục trên khoảng đóng Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 1 / 51 Dãy số Một dãy số có thể được xem là một dãy (vô hạn) các con số được được xếp theo một thứ tự nào đó a1, a2, a3, a4, . . . , an, . . . . Với mỗi số tự nhiên n ta có tương ứng duy nhất một số thực an cho nên có thể định nghĩa dãy số là một ánh xạ từ N vào R. Dãy số {a1, a2, a3, . . . } được ký hiệu là {an} hoặc {an}∞n=1 Chú ý, dãy số có thể được đánh số từ 0 hoặc từ bất kỳ số tự nhiên nào khác. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 2 / 51 Dãy số thường được cho dưới dạng công thức cho an. Ví dụ 1. 1. Dãy { n n + 1 }∞ n=1 có an = n n + 1{ 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , . . . , n n + 1 , . . . } 2. Dãy { (−1)n √n − 3 }∞ n=3 có an = (−1)n √ n − 3{ 0, 1,− √ 2, √ 3, . . . , (−1)n √n − 3, . . . } 3. Dãy {cos(npi/3)}∞n=0 có an = cos(npi/3) {1, 1/2,−1/2,−1, . . . , cos(npi/3), . . . } Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 3 / 51 Tuy nhiên nhiều dãy số không thể cho dưới dạng công thức đơn giản như vậy. Ví dụ 2 1. Dãy Fibonacci {an} được định nghĩa bằng quy nạp a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2, n ≥ 3 2. Gọi an là ký tự thứ n trong phần thập phân của số pi thì các phần tử đầu tiên của dãy {an} là {1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4, . . . } 3. Gọi pn là số dân thế giới vào Ngày 31 Tháng 12 Năm n. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 4 / 51 Dãy số hội tụ Xét dãy số an = n n + 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 5 / 51 Ta thấy an = n/(n + 1) tiến về 1 khi n đủ lớn. Cụ thể ta thấy khoảng cách giữa 1 và an là 1− n n + 1 = 1 n + 1 . Khoảng cách này có thể nhỏ tùy ý miễn n đủ lớn. Trong trường hợp này, ta nói dãy {n/(n + 1)} có giới hạn là 1 và viết lim n→∞ n n + 1 = 1. Tổng quát, dãy {an} được nói là có giới hạn bằng L nếu các an có thể gần L tùy ý khi n đủ lớn. Ký hiệu lim n→∞ an = L hoặc lim an = L. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 6 / 51 Một cách chính xác, ta có định nghĩa sau đây. Định nghĩa Dãy số an được nói là có giới hạn bằng L nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại số tự nhiên N sao cho |an − L| < ε,∀n ≥ N. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 7 / 51 Tương tự, dãy số an được nói là có giới hạn bằng ∞ (tương ứng −∞) nếu với mọi số thực M đều tồn tại số tự nhiên N sao cho an > M,∀n ≥ N (tương ứng an < M,∀n ≥ N). Khi đó ta cũng ký hiệu lim an =∞ (tương ứng lim an = −∞) và nói dãy {an} có giới hạn bằng ∞ (hoặc −∞). Nếu lim an = L ∈ R thì ta nói {an} là dãy hội tụ. Ngược lại, nếu lim an = ±∞ hoặc lim an không tồn tại thì ta nói {an} là dãy phân kỳ. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 8 / 51 Một số tính chất Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương, căn, lũy thừa, . . . bằng tổng, hiệu, tích, thương, căn, lũy thừa, . . . của giới hạn (miễn là tính được). Ví dụ nếu lim an và lim bn đều tồn tại thì: lim(an ± bn) = lim an ± lim bn lim(anbn) = (lim an) (lim bn) lim an bn = lim an lim bn (với bn 6= 0, lim bn 6= 0) lim √ an = √ lim an (với an ≥ 0, lim an ≥ 0) lim(an) r = (lim an) r . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 9 / 51 Tiêu chuẩn giới hạn kẹp Nếu an ≤ bn ≤ cn, ∀n ≥ n0 và lim an = lim cn = L thì lim bn = L. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 10 / 51 Dãy đơn điệu - Dãy bị chận Dãy {xn} gọi là dãy tăng nếu: xn ≤ xn+1,∀n ∈ N. Dãy {xn} gọi là dãy giảm nếu: xn ≥ xn+1,∀n ∈ N. Nếu {xn} là dãy tăng hoặc giảm thì ta nói {xn} đơn điệu. Ví dụ: xét tính đơn điệu của các dãy số sau. xn = n 2, xn = n + 1 n , xn = (−1)n √ n + 1 {xn} gọi là bị chận trên nếu: ∃M ∈ R, xn ≤ M,∀n ∈ N. {xn} gọi là bị chận dưới nếu: ∃N ∈ R, xn ≥ N,∀n ∈ N. Nếu {xn} bị chận trên và dưới thì ta nói nó bị chận. Ví dụ: Xét tính bị chận của các dãy số trên. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 11 / 51 Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e Tiêu chuẩn Weierstrass Một dãy số tăng và bị chận trên thì hội tụ. Một dãy số giảm và bị chận dưới thì hội tụ. Xét dãy: xn = ( 1+ 1 n )n . Người ta chứng minh được nó là dãy tăng và bị chận trên. Suy ra nó hội tụ. Ta định nghĩa e = lim n→+∞ ( 1+ 1 n )n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 12 / 51 Các giới hạn cơ bản 1. Nếu a > 0 thì lim n→∞ 1 na = 0, lim n→∞ n a = +∞. 2. Nếu |a| < 1 thì: lim n→∞ a n = 0. Nếu a > 1 thì lim n→∞ a n = +∞. 3. Nếu a > 1 và α ∈ R thì: lim n→∞ nα an = 0. 4. Nếu a > 0 thì lim n→∞ n √ a = 1 Đồng thời lim n→∞ n √ n = 1. 5. Giới hạn liên quan số e: lim n→+∞ ( 1+ x n )n = ex Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 13 / 51 Tính giới hạn Biến đổi đưa về giới hạn cơ bản, áp dụng các tính chất, sử dụng giới hạn kẹp, . . . . Ví dụ: Tính các giới hạn các dãy số sau. 1. lim n→∞ 4n2 + 1 3n2 + 2 a) 3/4 b) 4/3 c) 1/2 d) +∞ 2. lim n→∞ (√ 2n + 3 √ n −√2n + 1 ) a) 3 b) 3/2 c) 3 √ 2 d) 3/(2 √ 2) 3. lim n→∞ n √ n n √ n2 + n √ n + 1 a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) +∞ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 14 / 51 4. lim n→∞ 3 · 5n − 2n 4n + 2 · 5n a) 3/4 b) -1/2 c) +∞ d) 3/2 5. lim n→∞ n22n + n 3n + n2 + 1 a) +∞ b) 0 c) 3/2 d) 1 6. lim n→∞ ( n − 1 n + 1 )2n a) 1 b) e−2 c) e−4 d) e− √ 2 7. lim n→∞ n sin √ n n2 + n − 1 a) 1 b) 0 c) +∞ d) Không tồn tại Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 15 / 51 Giới hạn hàm số Hàm số y = f (x) được nói là có giới hạn bằng L khi x tiến về a nếu có thể làm cho giá trị của f gần L tùy ý bằng cách cho x đủ gần a (nhưng khác a). Ký hiệu: lim x→a f (x) = L Ví dụ: xét hàm số f (x) = x2 − x + 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 16 / 51 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 17 / 51 Các chú ý: Giới hạn hàm số khi x → a chỉ liên quan tới giá trị của f xung quanh a, không liên quan giá trị của f tại a, thậm chí f có thể không xác định tại a. Ví dụ: Xét lim x→1 x − 1 x2 − 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 18 / 51 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 19 / 51 Máy tính chỉ tính xấp xỉ nên giá có thể tính sai trong một số trường hợp. Ví dụ: Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 20 / 51 Tính các giá trị xung quanh chỉ có tác dụng gợi ý về giới hạn. Trong một số trường hợp không chính xác. Ví dụ: Dự đoán giá trị lim x→0 sin pi x bằng cách tính giá trị tại x = 1 2 , x = 1 3 , x = 0.1, x = 0.01, x = 0.001 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 21 / 51 Giới hạn hàm số (tt) – định nghĩa Định nghĩa (chính xác) giới hạn hàm số Cho f là hàm số xác định trên khoảng mở chứa a (có thể ngoại trừ tại a). Ta nói giới hạn của f (x) khi x tiến về a là bằng L nếu: Với mọi ε > 0 cho trước, đều có số δ > 0 để cho: nếu 0 < |x − a| < δ thì |f (x)− L| < ε Tương tự, ta có các khái niệm giới hạn một phía: Giới hạn trái của f khi x tiến về a là bằng L nếu giá trị của f có thể gần L bao nhiêu cũng được, miễn là x đủ gần a và x < a. Ký hiệu giới hạn trái: lim x→a− f (x). Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 22 / 51 Một cách chính xác, giới hạn của f (x) khi x tiến về bên trái a là bằng L nếu: ∀ε > 0,∃δ > 0 : a − δ < x < a⇒ |f (x)− L| < ε Giới hạn phải của f khi x tiến về a là bằng L nếu giá trị của f có thể gần L bao nhiêu cũng được, miễn là x đủ gần a và x > a. Ký hiệu giới hạn phải: lim x→a+ f (x). Một cách chính xác, giới hạn của f (x) khi x tiến về bên phải a là bằng L nếu: ∀ε > 0,∃δ > 0 : a < x < a + δ ⇒ |f (x)− L| < ε Định lý: lim x→a f (x) = L⇔ limx→a+ f (x) = limx→a− f (x) = L Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 23 / 51 Ví dụ 1: Xác định các giá trị sau: Ví dụ 2: Tính (a) lim x→0+ |x | x (b) lim x→0− |x | x (c) lim x→0 |x | x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 24 / 51 Giới hạn hàm số (tt) - vô cùng lim x→a f (x) =∞ nếu: ∀M ∈ R,∃δ > 0 : 0 M. lim x→a f (x) = −∞ nếu: ∀N ∈ R,∃δ > 0 : 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < N. lim x→∞ f (x) = L nếu: ∀ε > 0,∃M ∈ R : x > M ⇒ |f (x)− L| < ε. lim x→−∞ f (x) = L nếu: ∀ε > 0,∃N ∈ R : x < N ⇒ |f (x)− L| < ε. Tương tự cho các giới hạn: lim x→±∞ f (x) = ±∞ và limx→a± f (x) = ±∞ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 25 / 51 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 26 / 51 Tính chất giới hạn hàm số lim x→a f (x) = L ⇔ ∀{xn} nếu xn 6= a và lim xn = a thì lim f (xn) = L. Cho c là hằng số. Nếu lim x→a f (x) ∈ R và limx→a g(x) ∈ R thì: 1. lim x→a[f (x)± g(x)] = limx→a f (x)± limx→a g(x) 2. lim x→a[c f (x)] = c limx→a f (x) 3. lim x→a[f (x) · g(x)] = limx→a f (x) · limx→a g(x) 4. lim x→a f (x) g(x) = lim x→a f (x) lim x→a g(x) với lim x→a g(x) 6= 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 27 / 51 Với n là số nguyên dương, ta có: 5. lim x→a [f (x)] n = [ lim x→a f (x) ]n 6. lim x→a c = c và limx→a x = a 7. lim x→a x n = an 8. lim x→a n √ x = n √ a (a > 0 nếu n chẵn) 9. lim x→a n √ f (x) = n √ lim x→a f (x) ( limx→a f (x) > 0 nếu n chẵn) Như vậy nếu f là một đa thức hay hàm hữu tỉ và a nằm trong miền xác định của nó thì: lim x→a f (x) = f (a) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 28 / 51 Ví dụ: Tính các giới hạn 1. lim x→−2 (x2 − x − 2) (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 6 2. lim x→4 x2 + √ x − 1 x2 − 1 (a) 17 15 (b) 16 15 (c) 15 17 (d) 15 16 • Nếu f (x) = g(x),∀x 6= a thì lim x→a f (x) = limx→a g(x). 3. lim x→1 x − 1 x2 − 1 (a) 1 2 (b) 2 (c) 1 3 (d) 3 4. lim t→0 √ t2 + 9− 3 t2 (a) 16 (b) 1 (c) 6 (d) −6 5. Cho g(x) = { x + pi, nếu x 6= 1 2, nếu x = 1 . Tính lim x→1 g(x). (a) pi (b) pi + 1 (c) 2 (d) pi + 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 29 / 51 • Nếu giá trị của f ở bên trái và bên phải a khác nhau thì ta tính lim x→a+ f (x) và lim x→a− f (x). Ví dụ: 6. Cho f (x) = { √ 1+ x , nếu x > −1 1, nếu x < −1 lim x→−1 f (x) = (a) 1 (b) 0 (c) −1 (d) Không tồn tại. 7. Cho g(x) =  √ x + 1− 1 x , nếu x > 0√ x2 + 1 4 , nếu x ≤ 0 lim x→0 g(x) = (a) 1 2 (b) 1 4 (c) 1 (d) Không tồn tại. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 30 / 51 Trong một số trường hợp ta cần dùng giới hạn kẹp. Nếu f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ở xung quanh a (có thể ngoại trừ tại a) và lim x→a f (x) = limx→a h(x) = L thì khi đó: lim x→a g(x) = L Chú ý: lim x→a f (x) = 0⇔ limx→a |f (x)| = 0. Ví dụ: 8. lim x→0 x sin pi x (a) 0 (b) 1 (c) pi (d) Không tồn tại 9. lim x→0+ √ xesin pi x (a) e (b) pi (c) 0 (d) Không tồn tại Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 31 / 51 Giới hạn các hàm sơ cấp Các hàm mũ, lũy thừa, logarit, lượng giác, lượng giác ngược được gọi là các hàm sơ cấp cơ bản. Tổng, hiệu, tích, thương, hợp nối các hàm sơ cấp cơ bản được gọi là các hàm sơ cấp. Người ta chứng minh được kết quả sau. Nếu a thuộc tập xác định của hàm sơ cấp f thì: lim x→a f (x) = f (a) Như vậy nếu f là hàm sơ cấp thì khi tính giới hạn x → a với a thuộc tập xác định thì chỉ cần thay a vào biểu thức của f . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 32 / 51 Tính toán với ±∞ – dạng vô định Khi gặp giới hạn có ±∞, ta tính như sau (∀a ∈ R) 1. a + (±∞) = ±∞, (±∞) + (±∞) = (±∞) 2. a · (±∞) = { ±∞, nếu a > 0 hoặc a = +∞ ∓∞, nếu a < 0 hoặc a = −∞ 3. a ±∞ = 0, 1 0 = { +∞, nếu mẫu dương −∞, nếu mẫu âm 4. Các biểu thức có dạng: ∞−∞, 0 · ∞, 0 0 , ∞ ∞ là các dạng vô định. Sẽ nói về cách khử dạng vô định ở phần sau. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 33 / 51 Ví dụ: 1. lim x→∞(x 2 − x) (a) 0 (b) 1 (c) −∞ (d) +∞ 2. lim x→0 1 x2 (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không tồn tại 3. lim x→0 1 x (a) −∞ (b) 1 (c) +∞ (d) không tồn tại 4. lim x→1+ 1 1− x (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không ∃ 5. lim x→1− 1 1− x (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) không ∃ 6. lim x→∞( √ x − 3√x −√x) (a) +∞ (b) −∞ (c) 0 (d) 1 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 34 / 51 Tính toán với ±∞ – dạng vô định (tt) 5. Với α > 0: (+∞)α = +∞. 6. Với a > 1: a+∞ = +∞ và a−∞ = 0. 7. Với a > 1: loga(+∞) = +∞ và loga(0+) = −∞. 8. sin(±∞), cos(±∞), tan(±∞), cot(±∞) đều không tồn tại. tan ( pi 2 −) = +∞, tan (−pi2+) = −∞ cot (0+) = +∞, cot (pi−) = −∞ 9. arctan(+∞) = pi2 , arctan(−∞) = −pi2 10. Các biểu thức có dạng: ∞0, 00, 1∞ là các dạng vô định. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 35 / 51 Một số giới hạn quan trọng 1. lim x→0 sin x x = 1, lim x→0 1− cos x x2 = 1 2 2. lim x→0 ex − 1 x = 1, lim x→0 ln(1+ x) x = 1 Ví dụ: 1. lim x→0 ln sin x x (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) không ∃ 2. lim x→∞ cos e −x2 (a) −1 (b) 0 (c) 1 (d) không ∃ 3. lim x→1− [ sin ( e 1 1−x )] (a) sin 1 (b) 0 (c) sin e (d) không ∃ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 36 / 51 4. lim x→1+ [ sin ( e 1 1−x )] (a) sin 1 (b) 0 (c) sin e (d) không ∃ 5. lim x→0 (1+ x)1/x (a) 0 (b) 1 (c) e (d) ∞ 6. lim x→0 (cos x)1/x 2 (a) 1 (b) 1√ e (c) 1e (d) 1 e2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 37 / 51 Đại lượng VCB Hàm số α(x) được gọi là đại lượng VCB khi x → x0 nếu lim x→x0 α(x) = 0 Tính chất: Nếu α(x), β(x) là những VCB khi x → x0 thì α(x)± β(x), α(x)β(x) là những VCB khi x → x0. Nếu α(x) là VCB khi x → x0, β(x) bị chặn trong lân cận nào đó của x0 thì α(x)β(x) cũng là VCB khi x → x0 lim x→x0 f (x) = a⇔ f (x) = a + α(x), với α(x) là VCB khi x → x0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 38 / 51 So sánh các VCB Các VCB α(x), β(x) (khi x → x0) được gọi là những VCB so sánh được nếu tồn tại giới hạn: lim x→x0 α(x) β(x) = c (c có thể là ±∞). Khi đó nếu: 1. c 6= 0, c 6= ±∞ thì ta nói α(x), β(x) là những VCB cùng cấp. 2. c = 0 thì ta nói α(x) là VCB cấp cao hơn β(x). Ký hiệu: α(x) = o(β(x)) khi x → x0. 3. c = ±∞ thì ngược lại t/h 2. Ví dụ: So sánh các VCB sau khi x → 0 1− cos x , x2, x ; và xm, xn với (m > n) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 39 / 51 VCB tương đương Các VCB α(x), β(x) (khi x → x0) được gọi là các VCB tương đương nếu: lim x→x0 α(x) β(x) = 1. Ký hiệu: α(x) ∼ β(x) khi x → x0 Một số VCB tương đương x → 0 1. sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ x 2. (1− cos x) ∼ 1 2 x2 3. ln(1+ x) ∼ (ex − 1) ∼ x 4. [(1+ x)α − 1] ∼ αx Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 40 / 51 Các quy tắc khi dùng VCB 1. Nếu α(x) ∼ α1(x), β(x) ∼ β1(x) thì [α(x)β(x)] ∼ [α1(x)β1(x)] và lim x→x0 α(x) β(x) = lim x→x0 α1(x) β1(x) Như vậy khi tính giới hạn có thể thay các vô cùng bé tương đương vào tích, thương. 2. Nếu α(x) = o(β(x)) thì α(x) + β(x) ∼ β(x). Nghĩa là tổng 2 VCB khác cấp sẽ tương đương với VCB cấp thấp hơn. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 41 / 51 Ví dụ: Tính các giới hạn sau 1. lim x→0 sin 2x ln(1− 3x) (a) − 2 3 (b) 2 3 (c) 1 3 (d) −1 3 2. lim x→0 1− cos x2 x tan3 x (a) 1 3 (b) 1 (c) 1 2 (d) 2 3. lim x→0 (1− ex)(1− cos 2x) x3 + sin4 x (a) 2 (b) −2 (c) 1 2 (d) −1 2 4. lim x→0 sin (√ x + 1− 1)+ x2 + 3 tan2 x sin x3 + 2x (a) 2 (b) 4 (c) 1 2 (d) 1 4 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 42 / 51 3. Nếu α(x) và β(x) là các VCB cùng cấp khi x → x0, với lim x→x0 α(x) β(x) 6= −1 và nếu α(x) ∼ α1(x), β(x) ∼ β1(x) thì khi đó [α(x) + β(x)] ∼ [α1(x) + β1(x)]. Ví dụ: 5. lim x→0 cos x + ln(1− tan2 x)− 1 sin2 x + cos(2x)− 1 (a) 3 (b) −2 (c) −1 2 (d) 3 2 6. lim x→0 3 √ 8+ x2 + sin(tan2 x)− 2 1− cos 3x + x3 (a) 7 18 (b) 13 18 (c) 13 54 (d) 7 54 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 43 / 51 Hàm số liên tục Hàm số f được nói là liên tục tại a nếu f xác định tại a, giới hạn khi x → a của f tồn tại, và lim x→a f (x) = f (a). Nếu f không liên tục tại a ta nói f gián đoạn tại a. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 44 / 51 Liên tục một phía f được nói là liên tục trái tại a nếu lim x→a− f (x) = f (a). f được nói là liên tục phải tại a nếu lim x→a+ f (x) = f (a). Ví dụ: Xét sự liên tục, liên tục trái, liên tục phải của 1. f (x) = { ex , nếu x > 0 x2, nếu x ≤ 0 tại x = 0 2. f (x) =  x 2 − x − 2 x − 2 , nếu x 6= 2 3, nếu x = 2 tại x = 2 3. f (x) = { 1 x2 , nếu x 6= 0 1, nếu x = 0 tại x = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 45 / 51 Hàm số f gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Hàm sơ cấp thì liên tục trên các khoảng xác định của nó. Ví dụ: Tìm a để hàm số 1. f (x) =  x 2 − x x2 − 1 , nếu x 6= 1 a, nếu x = 1 liên tục tại x = 1 (a) 1 (b) 1 2 (c) 1 3 (d) không tồn tại 2. f (x) = { ln |x − 2|, nếu x 6= 2 a, nếu x = 2 liên tục tại x = 2 (a) 1 (b) 0 (c) −1 (d) không tồn tại Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 46 / 51 3. f (x) =  arcsin ( 1−√x 1− x ) , nếu x > 0 và x 6= 1 a 3 + 1, nếu x = 1 liên tục trên (0,∞) (a) pi − 3 (b) pi + 3 (c) pi 3 − 2 (d) pi 2 − 3 4. f (x) = { ax2 + 2x , nếu x < 2 x3 − ax , nếu x ≥ 2 liên tục trên R (a) 1 2 (b) 2 3 (c) 3 2 (d) không tồn tại Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 47 / 51 Tìm a, b để các hàm số sau liên tục trên R 5. f (x) =  x2 − 4 x − 2 , nếu x < 2 ax2 − bx + 3, nếu 2 ≤ x < 3 2x − a − b, nếu x ≥ 3 (a) (a, b) = ( 1 3 , 1 6 ) (b) (a, b) = ( 1 6 , 1 3 ) (c) (a, b) = ( 1 2 , 1 6 ) (d) (a, b) = ( 1 6 , 1 2 ) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 48 / 51 Một số tính chất 1. Nếu f và g đều liên tục tại a thì các hàm sau cũng liên tục tại a: f ± g , c f , f g , f g (với g(a) 6= 0). 2. Nếu f liên tục tại b và lim x→a g(x) = b thì: lim x→a f (g(x)) = f (b). 3. Nếu g liên tục tại a và f liên tục tại g(a) thì hàm hợp nối (f ◦ g)(x) = f (g(x)) liên tục tại a. (sinh viên tự đọc thêm) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 49 / 51 Hàm liên tục trên khoảng đóng Định lý giá trị trung gian Giả sử f liên tục trên khoảng [a, b], lấy N là con số bất kỳ nằm giữa f (a) và f (b) (ở đây giả sử f (a) 6= f (b)). Khi đó tồn tại số c ∈ (a, b) sao cho f (c) = N. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 50 / 51 HẾT Chương 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Giới hạn và liên tục Toán A1 - MS: 501001 51 / 51