Xử lý số tín hiệu - Chương 5: Thiết kế mạch lọc số

Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 73 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Chương 5 THIẾT KẾ MẠCH LỌC SỐ 1. Cấu trúc của hệ FIR Tổng quát, một hệ thống FIR mô tả bằng phương trình sai phân: y(n) = 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑀−1 𝑘=0 (5.1) Hệ thống này được biểu diễn bằng hàm hệ thống: H(z) = bkz −kM−1 k=0 (5.2) Hay đáp ứng xung: h(n) = bn 0 ≤ n ≤ M− 1 0 khác (5.3) 1.1. Cấu trúc dạng trực tiếp Dạng trực tiếp có thể xây dựng ngay từ phương trình sai phân không đệ quy (5.1) hay phương trình tương đương: y(n) = ℎ(𝑛)𝑥(𝑛 − 𝑘)𝑀−1𝑘=0 (5.4) Hình 5.1 – Cấu trúc dạng trực tiếp của hệ thống FIR Ta thấy, khi dùng cấu trúc này thì cần M – 1 ô nhớ để lưu M – 1 giá trị ngõ vào trước đó và thực hiện M phép nhân và M – 1 phép cộng số phức để tính một giá trị ngõ ra. 1.2. Cấu trúc dạng liên tầng Từ phương trình (5.2), ta có thể phân tích dưới dạng: H(z) = 𝐻𝑘(𝑧) 𝐾 𝑘=1 (5.5) Xét cấu trúc một tầng ở dạng bậc 2, nghĩa là: Hk(z) = bk0 + bk1z -1 + bk2z -2 (5.6) x(n) z -1 z -1 z -1 y(n) … h(0) h(1) h(M-1) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 74 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Khi đó, các điểm không của H(z) sẽ được phân chia thành từng cặp trong đó thông thường các điểm không liên hiệp phức sẽ thuộc một nhóm để phương trình (5.6) có các hệ số thực. Các điểm không thực của H(z) có thể kết hợp với một điểm không bất kỳ còn lại. Hình 5.2 – Cấu trúc liên tầng của hệ thống FIR 1.3. Cấu trúc dạng lấy mẫu tần số Xét đáp ứng xung h(n) của hệ thống LTI có đáp ứng tần số là: H() = ℎ(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛𝑀−1𝑛=0 (5.7) Ta chỉ định một tập tần số như sau: k = 2𝜋 𝑀 (𝑘 + 𝛼), 𝑘 = 0, 1,… , 𝑀−1 2 𝑛ế𝑢 𝑀 𝑙ẻ 𝑘 = 0, 1,… , 𝑀 2 − 1 𝑛ế𝑢 𝑀 𝑐ℎẵ𝑛 𝛼 = 0 ℎ𝑎𝑦 1 2 (5.8) Khi đó: H(k + α) = H( 2𝜋 𝑀 (𝑘 + 𝛼)) = ℎ(𝑛)𝑒−𝑗 2𝜋 𝑀 (𝑘+𝛼)𝑛𝑀−1 𝑛=0 (5.9) Tập hợp các giá trị {H(k + α)} gọi là các mẫu tần số của H(). Trong trường hợp α = 0, {H(k)} tương ứng với DFT M điểm của {h(n)}. Từ (5.9): h(n) = 1 𝑀 𝐻(𝑘 + 𝛼)𝑒 𝑗 2𝜋 𝑀 (𝑘+𝛼)𝑛𝑀−1 𝑘=0 (5.10) Khi α = 0, (5.10) chính là IDFT của {H(k)}. Thực hiện biến đổi z (5.10): H(z) = 1 𝑀 𝐻(𝑘 + 𝛼)𝑒 𝑗 2𝜋 𝑀 (𝑘+𝛼)𝑛𝑀−1 𝑘=0 𝑀−1 𝑛=0 𝑧 −𝑛 (5.11) Hay có thể viết lại như sau: H1(z) x(n) = x1(n) H2(z) y1(n) = x2(n) y2(n) = x3(n) … HK(z) yK(n) = y(n) H1(z) H1(z) bk1 bk0 bk2 xk(n) yk(n) = xk+1(n) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 75 GV: Phạm Hùng Kim Khánh H(z) = 𝐻(𝑘 + 𝛼) 1 𝑀 𝑒 𝑗 2𝜋 𝑀 (𝑘+𝛼)𝑧−1 𝑛 𝑀−1 𝑛=0 𝑀−1 𝑘=0 (5.12) = 1−𝑧−𝑀𝑒 𝑗2𝜋𝛼 𝑀 𝐻(𝑘+𝛼) 1−𝑧−1𝑒 𝑗 2𝜋 𝑀 (𝑘+𝛼) 𝑀−1 𝑘=0 Như vậy, H(z) được xây dựng từ tập mẫu tần số {H(k + α)} thay thế cho tập {h(n)}. Ta biểu diễn mạch lọc ở dạng ghép liên tầng bao gồm 2 tầng: tầng đầu H1(z) chỉ chứa các điểm không và tầng thứ hai H2(z) chứa các mạch lọc đơn cực song song. H1(z) = 1−𝑧−𝑀𝑒 𝑗2𝜋𝛼 𝑀 (5.13) H2(z) = 𝐻(𝑘+𝛼) 1−𝑧−1𝑒 𝑗 2𝜋 𝑀 (𝑘+𝛼) 𝑀−1 𝑘=0 (5.14) Các điểm không và điểm cực lần lượt là: zk = 𝑒 𝑗 2𝜋 𝑀 (𝑘+𝛼) pk = 𝑒 𝑗 2𝜋 𝑀 (𝑘+𝛼) Rõ ràng các điểm không và điểm cực giống nhau cùng ở tần số k = 2𝜋 𝑀 (𝑘 + 𝛼) là các tần số được chỉ định trước tại (5.8). Hình 5.3 – Cấu trúc dạng lấy mẫu tần số 1.4. Cấu trúc dạng mắt lưới Xét mạch lọc FIR với hàm hệ thống: Hm(z) = Am(z) (5.15) Trong đó Am(z) là một đa thức có dạng: Am(z) = 1 + 𝛼𝑚 𝑘 𝑧 −𝑘𝑚 𝑘=1 (5.16) z -M x(n) 𝑒−𝑗2𝜋𝛼 z -1 H(α) z -1 H(1+α) 𝑒−𝑗 2𝜋 𝑀 𝛼 𝑒−𝑗 2𝜋 𝑀 (1+𝛼) z -1 H(M - 1+α) 𝑒−𝑗 2𝜋 𝑀 (𝑀−1+𝛼) y(n) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 76 GV: Phạm Hùng Kim Khánh và A0(z) = 1. Đáp ứng xung đơn vị của mạch lọc thứ m là: hm(0) = 1 và hm(k) = αm(k), k = 1, 2, …, m. Gọi {x(n)} là chuỗi ngõ vào và {y(n)} là chuỗi ngõ ra, ta có: y(n) = x(n) + 𝛼𝑚 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑚 𝑘=1 (5.17) Xét mạch lọc bậc 1 (m = 1): y(n) = x(n) + α1(1)x(n – 1) (5.18) Cấu trúc mạch lọc như hình vẽ sau ứng với K1 = α1(1): Hình 5.4 – Cấu trúc mắt lưới đơn tầng Xét trường hợp m = 2: y(n) = x(n) + α2(1)x(n – 1) + α2(2)x(n – 2) (5.19) Thực hiện ghép 2 tầng từ dạng đơn tầng như hình 5.4: f1(n) = f0(n) + K1g0(n – 1) (5.20) g1(n) = K1f0(n) + g0(n – 1) Nên: f2(n) = f1(n) + K2g1(n – 1) (5.21) g2(n) = K2f1(n) + g1(n – 1) Hình 5.5 – Cấu trúc mắt lưới 2 tầng Từ (5.20) và (5.21): f2(n) = f0(n) + K1g0(n – 1) + K2[K1f0(n – 1) + g0(n – 2)] (5.22) Mà f0(n) = g0(n) = x(n): f2(n) = x(n) + K1(1 + K2)x(n – 1) + K2x(n – 2) (5.23) Phương trình của cấu trúc mắt lưới 2 tầng giống với phương trình của hệ FIR (5.19) khi các hệ số bằng nhau, nghĩa là: z -1 x(n) f1(n) g1(n) g0(n) f0(n) K1 K1 z -1 K2 K2 g2(n) z -1 x(n) f1(n) = y(n) g1(n) g0(n) f0(n) K1 K1 f2(n) = y(n) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 77 GV: Phạm Hùng Kim Khánh α2(1) = K1(1 + K2) và α2(2) = K2 (5.24) Hay: K2 = α2(2) và K1 = 𝛼2(1) 1+𝛼2(2) (5.25) Khi tiếp tục thực hiện quá trình như trên, ta có thể xây dựng được cấu trúc mạch lọc mắt lưới m tầng từ tập hợp các phương trình đệ quy theo thứ tự sau: f0(n) = g0(n) = x(n) (5.26) fm(n) = fm – 1(n) + Kmgm – 1(n – 1) gm(n) = Kmfm – 1(n) + gm – 1(n – 1), m = 1, 2, …, M – 1 trong đó ngõ ra của tầng thứ M – 1 tương ứng với ngõ ra của một mạch lọc bậc M – 1: y(n) = fM – 1(n) (5.27) Hình 5.6 – Cấu trúc mạch lọc dạng mắt lưới M – 1 tầng Theo phương trình của mạch lọc dạng trực tiếp và dạng mắt lưới, ta có: fm(n) = 𝛼𝑚 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑚 𝑘=0 , αm(0) = 1 (5.28) gm(n) = 𝛽𝑚 𝑘 𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑚 𝑘=0 , βm(m) = 1 (5.29) trong đó βm(k) = αm(m – k), k = 0, 1, …, m. Thực hiện biến đổi z: Fm(z) = Am(z)X(z) (5.30) Gm(z) = Bm(z)X(z) Từ βm(k) = αm(m – k): Bm(z) = 𝛼𝑚(𝑚 − 𝑘)𝑧 −𝑘 𝑚 𝑘=0 = 𝑧 −𝑚 𝛼𝑚 𝑘 𝑧 𝑘𝑚 𝑘=0 = z -m Am(z -1 )(5.31) Ngoài ra, theo (5.26): F0(z) = G0(z) = X(z) (5.32) Fm(z) = Fm-1(z) + KmGm-1(z)z -1 z -1 fm(n) gm(n) gm-1(n) fm-1(n) Km Km Tầng 1 x(n) Tầng 2 Tầng 2 y(n) f0(n) g0(n) f1(n) g1(n) f2(n) g2(n) … … fM -2(n) gM-2(n) gM-1(n) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 78 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Gm(z) = KmFm-1(z) + Gm-1(z)z -1 Chia 2 vế của phương trình (5.32) cho X(z) và áp dụng kết quả (5.30): A0(z) = B0(z) = 1 (5.33) Am(z) = Am-1(z) + KmBm-1(z)z -1 Bm(z) = Km(z)Am-1(z) + Bm-1(z)z -1 Hay có thể biểu diễn ở dạng ma trận: 𝐴𝑚(𝑧) 𝐵𝑚(𝑧) = 1 𝐾𝑚 𝐾𝑚 1 𝐴𝑚−1(𝑧) 𝐵𝑚−1(𝑧)𝑧 −1 (5.34) Khi thực hiện chuyển đổi các hệ số từ dạng trực tiếp sang dạng mắt lưới hay ngược lại, ta cần chú ý các kết quả sau: αm(0) = 1 (5.35) αm(m) = Km 2. Thiết kế bộ lọc FIR 2.1. Bộ lọc FIR đối xứng và phản đối xứng Bộ lọc FIR kích thước M mô tả bằng phương trình sai phân: y(n) = 𝑏𝑘𝑥(𝑛 − 𝑘) 𝑀−1 𝑘=0 (5.36) trong đó {bk} là các hệ số của mạch lọc. Biểu diễn theo tích chập của đáp ứng xung của hệ thống: y(n) = ℎ(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘)𝑀−1𝑘=0 (5.37) Như vậy, đáp ứng xung của hệ thống h(k) = bk. Hàm hệ thống: H(z) = ℎ(𝑘)𝑧−𝑘𝑀−1𝑘=0 (5.38) Mạch lọc FIR có pha tuyến tính khi đáp ứng xung h(n) thỏa mãn điều kiện; h(n) =  h(M – 1 – n) (5.39) Phương trình (5.39) gọi là điều kiện đối xứng và phản đối xứng của mạch lọc. Kết hợp với (5.38): H(z) = h(0) + h(1)z -1 + … + h(M – 1)z-(M – 1) (5.40) = 𝑧−(𝑀−1)/2 ℎ 𝑀−1 2 + ℎ(𝑛) 𝑧(𝑀−1−2𝑛)/2 ± 𝑧−(𝑀−1−2𝑛)/2 (𝑀−3)/2 𝑛=0 ,𝑀 𝑙ẻ = 𝑧−(𝑀−1)/2 ℎ(𝑛) 𝑧(𝑀−1−2𝑛)/2 ± 𝑧−(𝑀−1−2𝑛)/2 𝑀 2 −1 𝑛=0 ,𝑀 𝑐ℎẵ𝑛 Thay thế z-1 bằng z trong (5.38), ta có: z -(M – 1) H(z -1 ) =  H(z) (5.41) Từ đó, ta thấy nghiệm của đa thức H(z) tương tự nghiệm của đa thức H(z-1), nghĩa là nếu z1 là nghiệm của H(z) thì 1/z1 cũng là nghiệm. Trong trường hợp h(n) có các hệ số thực, nếu z1 là nghiệm phức thì cũng sẽ có nghiệm z1 * và cũng có nghiệm 1/z1 * . Nếu h(n) = h(M – 1 – n), H() biểu diễn như sau: Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 79 GV: Phạm Hùng Kim Khánh H() = Hr()e -j(M – 1)/2 (5.42) Trong đó: Hr() = ℎ 𝑀−1 2 + 2 ℎ 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑀−1 2 − 𝑛 ,𝑀 𝑙ẻ (𝑀−3)/2 𝑛=0 (5.43) Hr() =2 ℎ 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑀−1 2 − 𝑛 ,𝑀 𝑐ℎẵ𝑛 𝑀 2 −1 𝑛=0 (5.44) Đặc tính pha của bộ lọc là: Θ 𝜔 = −𝜔 𝑀−1 2 𝑛ế𝑢 𝐻𝑟 𝜔 > 0 −𝜔 𝑀−1 2 + 𝜋 𝑛ế𝑢 𝐻𝑟 𝜔 < 0 (5.45) Nếu h(n) = - h(M – 1 – n): H() = Hr()e -j[(M – 1)/2 + /2] (5.46) Trong đó: Hr() = 2 ℎ 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑀−1 2 − 𝑛 ,𝑀 𝑙ẻ (𝑀−3)/2 𝑛=0 (5.47) Hr() =2 ℎ 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑀−1 2 − 𝑛 ,𝑀 𝑐ℎẵ𝑛 𝑀 2 −1 𝑛=0 (5.48) Đặc tính pha của bộ lọc là: Θ 𝜔 = 𝜋 2 −𝜔 𝑀−1 2 𝑛ế𝑢 𝐻𝑟 𝜔 > 0 3𝜋 2 −𝜔 𝑀−1 2 + 𝜋 𝑛ế𝑢 𝐻𝑟 𝜔 < 0 (5.49) 2.2. Bộ lọc FIR pha tuyến tính dùng cửa sổ Xét mạch lọc có đáp ứng xung hd(n) và biến đổi Fourier Hd(): Hd() = ℎ𝑑(𝑛)𝑒 −𝑗𝜔𝑛∞ 𝑛=0 (5.50) hd(n) = 1 2𝜋 𝐻𝑑(𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑛 𝑑𝜔 𝜋 −𝜋 (5.51) Tổng quát, đáp ứng xung hd(n) vô hạn trên miền thời gian nên ta thực hiện cắt hd(n) tại điểm n = M – 1 (để kích thước mạch lọc là M) bằng cách nhân với hàm cửa sổ chữ nhật: h(n) = hd(n)w(n) (5.52) trong đó: w(n) = 1 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀 − 1 0 𝑛 𝑘ℎá𝑐 (5.53) Xét trên miền tần số: H() = 1 2𝜋 𝐻𝑑 𝑣 𝑊 𝜔 − 𝑣 𝑑𝑣 𝜋 −𝜋 (5.54) Trong đó: W() = 𝑤(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛𝑀−1𝑛=0 = 𝑒 −𝑗𝜔𝑛𝑀−1 𝑛=0 (5.55) = 1−𝑒−𝑗𝜔𝑀 1−𝑒−𝑗𝜔 = 𝑒−𝑗𝜔 (𝑀−1)/2 sin⁡( 𝜔𝑀 2 ) sin⁡( 𝜔 2 ) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 80 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hàm cửa sổ có đáp ứng biên độ và pha: 𝑊(𝜔) = sin⁡( 𝜔𝑀 2 ) sin⁡( 𝜔 2 ) (5.56) Θ 𝜔 = −𝜔 𝑀−1 2 𝑛ế𝑢 sin 𝜔𝑀 2 ≥ 0 −𝜔 𝑀−1 2 + 𝜋 𝑛ế𝑢 sin 𝜔𝑀 2 < 0 (5.57) Đáp ứng biên độ mô tả như hình 5.7. Độ rộng của búp sóng chính là 4/M nên nếu M càng lớn thì búp sóng chính càng hẹp tuy nhiên biên độ của các búp sóng phụ khá cao và hầu như không ảnh hưởng khi tăng M. Để giảm biên độ của các búp sóng phụ, ta có thể thay đổi hình dạng cửa sổ. Tuy nhiên, độ rộng của búp sóng chính sẽ tăng lên. Một số dạng cửa sổ mô tả như bảng 5.1. Bảng 5.2 mô tả một số đặc tính của các hàm cửa sổ trên miền tần số bao gồm độ rộng của búp sóng chính và đỉnh của búp sóng phụ. Hình 5.7 – Đáp ứng biên độ của hàm cửa sổ chữ nhật với M = 31 và M = 61 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 Normalized frequency M ag nit ud e [d B] M = 31 M = 61 Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 81 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Bảng 5.1 – Các hàm cửa sổ khi thiết kế mạch lọc FIR Cửa sổ h(n) 0 ≤ n ≤ M – 1 Bartlett (tam giác) 1− 2 𝑛 − 𝑀 − 1 2 𝑀 − 1 Blackman 0.42− 0.5𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑛 𝑀 − 1 + 0.08𝑐𝑜𝑠 4𝜋𝑛 𝑀 − 1 Hamming 0.54− 0.46𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑛 𝑀 − 1 Hanning 1 2 1− 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑛 𝑀 − 1 Kaiser 𝐼0 𝛼 𝑀 − 1 2 2 − 𝑛 − 𝑀 − 1 2 2 𝐼0 𝛼 𝑀 − 1 2 Lanczos 𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝑛 − 𝑀 − 1 2 /(𝑀 − 1) 2𝜋 𝑛 − 𝑀 − 1 2 /( 𝑀 − 1 2 ) 𝐿 , 𝐿 > 0 Tukey 1 𝑛 − 𝑀 − 1 2 < 𝛼 𝑀 − 1 2 , 0 < 𝛼 < 1 1 2 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑛 − 1 + 𝛼 (𝑀 − 1)/2 1− 𝛼 (𝑀 − 1)/2 𝛼 𝑀 − 1 2 ≤ 𝑛 − 𝑀 − 1 2 ≤ 𝑀 − 1 2 I0: hàm Bessel sửa đổi bậc 0 In(x) = 1 𝜋 cos 𝜋𝜏 − 𝑥𝑠𝑖𝑛𝜏 𝑑𝜏 𝜋 0 Bảng 5.2 – Đặc tính tần số của một số cửa sổ Cửa sổ Độ rộng búp sóng chính Đỉnh búp sóng phụ [dB] Chữ nhật 4/M -13 Bartlett 8/M -27 Hanning 8/M -32 Hamming 8/M -43 Blackman 12/M -58 Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 82 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 5.8 – Dạng cửa sổ và đáp ứng tần số của cửa sổ Bartlett với N = 31 Hình 5.9 – Dạng cửa sổ và đáp ứng tần số của cửa sổ Blackman với N = 31 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Samples Am plit ud e Time domain 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de (d B) Frequency domain 5 10 15 20 25 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Samples Am plit ud e Time domain 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de (d B) Frequency domain Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 83 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 5.10 – Dạng cửa sổ và đáp ứng tần số của cửa sổ Hanning với N = 31 Hình 5.11 – Dạng cửa sổ và đáp ứng tần số của cửa sổ Hamming với N = 31 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Samples Am plit ud e Time domain 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de (d B) Frequency domain 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Samples Am plit ud e Time domain 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -80 -60 -40 -20 0 20 40 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de (d B) Frequency domain Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 84 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 5.12 – Dạng cửa sổ và đáp ứng tần số của cửa sổ Kaiser với N = 31, β = 2.5 Hình 5.13 – Dạng cửa sổ và đáp ứng tần số của cửa sổ Tukey với N = 31 Xét hệ thống là mạch lọc pha tuyến tính với tần số mong muốn: 𝐻𝑑 𝜔 = 𝑒−𝑗𝜔 (𝑀−1)/2 0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐 0 𝑘ℎá𝑐 (5.58) Đáp ứng xung đơn vị tương ứng là: hd(n) = 1 2𝜋 𝑒 −𝑗𝜔 𝑛− 𝑀−1 2 𝑑𝜔 𝜔𝑐 −𝜔𝑐 = 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑐 𝑛− 𝑀−1 2 𝜋 𝑛− 𝑀−1 2 (5.59) 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Samples Am plit ud e Time domain 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de (d B) Frequency domain 5 10 15 20 25 30 0 0.2 .4 .6 0.8 1 Samples Am plit ud e Time domain 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de (d B) Frequency domain Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 85 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Tổng quát, hd(n) là tín hiệu không nhân quả và vô hạn theo thời gian. Nhân hd(n) với cửa sổ chữ nhật như (5.53): h(n) = 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑐 𝑛− 𝑀−1 2 𝜋 𝑛− 𝑀−1 2 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀 − 1 0 𝑘ℎá𝑐 (5.60) Đáp ứng tần số của (5.60) được mô tả như hình 5.14 với M = 61 và M = 101. Hình 5.14 – Mạch lọc thông thấp FIR dùng cửa sổ chữ nhật với M = 61 và M = 101 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de Frequency domain 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de Frequency domain Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 86 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Đáp ứng tần số của một số cửa sổ như sau: Hình 5.15 – Mạch lọc thông thấp FIR dùng cửa sổ chữ nhật (M = 101) Hình 5.15 – Mạch lọc thông thấp FIR dùng cửa sổ Hamming (M = 101) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de (d B) Frequency domain 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -140 -120 -100 -80 -40 -20 0 20 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de (d B) Frequency domain Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 87 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 5.16 – Mạch lọc thông thấp FIR dùng cửa sổ Bartlett (M = 101) Hình 5.17 – Mạch lọc thông thấp FIR dùng cửa sổ Hanning (M = 101) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de (d B) Frequency domain 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de (d B) Frequency domain Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 88 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 5.18 – Mạch lọc thông thấp FIR dùng cửa sổ Blackman (M = 101) Hình 5.19 – Mạch lọc thông thấp FIR dùng cửa sổ Kaiser (M = 101) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de (d B) Frequency domain 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de (d B) Frequency domain Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 89 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Hình 5.20 – Mạch lọc thông thấp FIR dùng cửa sổ Tukey (M = 101) 2.3. Thiết kế mạch lọc FIR pha tuyến tính bằng phương pháp lấy mẫu tần số Khi sử dụng phương pháp lấy mẫu tần số để thiết kế mạch lọc FIR, ta chỉ ra đáp ứng tần số mong muốn là một tập các tần số cách đều nhau: k = 2𝜋 𝑀 (𝑘 + 𝛼), 𝑘 = 0, 1,… , 𝑀−1 2 𝑛ế𝑢 𝑀 𝑙ẻ 𝑘 = 0, 1,… , 𝑀 2 − 1 𝑛ế𝑢 𝑀 𝑐ℎẵ𝑛 𝛼 = 0 ℎ𝑎𝑦 1 2 (5.61) Từ Hd() = ℎ𝑑(𝑛)𝑒 −𝑗𝜔𝑛∞ 𝑛=0 ứng với các tần số như (5.61): H(k + α) = H( 2𝜋 𝑀 (𝑘 + 𝛼)) = ℎ(𝑛)𝑒−𝑗 2𝜋 𝑀 (𝑘+𝛼)𝑛𝑀−1 𝑛=0 (5.62) Đáp ứng xung đơn vị của mạch lọc: h(n) = 1 𝑀 𝐻(𝑘 + 𝛼)𝑒 𝑗 2𝜋 𝑀 (𝑘+𝛼)𝑛𝑀−1 𝑘=0 (5.63) Khi h(n) là các giá trị thực, ta thấy các mẫu tần số H(k + α) thỏa mãn điều kiện đối xứng: H(k + α) = H*(M – k – α) (5.64) Từ (5.42) và (5.46), khi thực hiện lấy mẫu với tần số k = 2𝜋 𝑀 (𝑘 + 𝛼), ta được: H(k + α) = 𝐻𝑟 2𝜋 𝑀 (k + α) 𝑒 𝑗 𝛽𝜋 2 −2𝜋 𝑘+𝛼 (𝑀−1)/2𝑀 (5.65) trong đó β = 1 khi h(n) là phản đối xứng và β = 0 khi h(n) đối xứng. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de (d B) Frequency domain Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 90 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Ta định nghĩa một tập hợp các mẫu tần số thực như sau: G(k + α) = −1 𝑘𝐻𝑟 2𝜋 𝑀 (k + α) (5.66) Từ (5.65) và (5.66): H(k + α) = 𝐺 k + α 𝑒𝑗𝜋𝑘 𝑒 𝑗 𝛽𝜋 2 −2𝜋 𝑘+𝛼 (𝑀−1)/2𝑀 (5.67) Điều kiện đối xứng của (5.64) được thay thế bằng điều kiện đối xứng của 𝐺 k + α . Kết quả được mô tả trong bảng 8.3. Bảng 8.3 – Đáp ứng xung đơn vị h(n) =  h(M – 1 – n) Đối xứng α = 0 H(k) = G(k)e jπk/M G(k) = −1 𝑘𝐻𝑟 2𝜋𝑘 𝑀 G(k) = – G(M – k) h(n) = 1 𝑀 𝐺 0 + 2 𝐺 𝑘 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑘 𝑀 (𝑛 + 1 2 )𝑈𝑘=1 U = 𝑀−1 2 𝑀 𝑙ẻ 𝑀 2 − 1 𝑀 𝑐ℎẵ𝑛 α = ½ H(k + ½) = G(k + ½)e -jπ/2 e jπ(2k+1)/2M G(k + ½) = −1 𝑘𝐻𝑟 2𝜋 𝑀 (𝑘 + 1 2 ) G(k + ½) = G(M – k – ½) h(n) = 2 𝑀 𝐺 𝑘 + 1 2 𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝑀 (𝑘 + 1 2 )(𝑛 + 1 2 )𝑈𝑘=0 Phản đối xứng α = 0 H(k) = G(k) ejπ/2ejπk/M G(k) = −1 𝑘𝐻𝑟 2𝜋𝑘 𝑀 G(k) = G(M – k) h(n) = − 2 𝑀 𝐺 𝑘 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑘 𝑀 𝑛 + 1 2 𝑈𝑘=1 𝑀 𝑙ẻ 1 𝑀 (−1)𝑛+1𝐺 𝑀/2 + 2 𝐺 𝑘 𝑠𝑖𝑛 2𝜋𝑘 𝑀 (𝑛 + 1 2 )𝑈𝑘=1 𝑀 𝑐ℎẵ𝑛 α = ½ H(k + ½) = G(k + ½)ejπ(2k+1)/2M G(k + ½) = −1 𝑘𝐻𝑟 2𝜋 𝑀 (𝑘 + 1 2 ) G(k + ½) = - G(M – k – ½) G(M/2) = 0 khi M lẻ h(n) = 2 𝑀 𝐺 𝑘 + 1 2 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 𝑀 (𝑘 + 1 2 )(𝑛 + 1 2 )𝑉𝑘=0 V = 𝑀−3 2 𝑀 𝑙ẻ 𝑀 2 − 1 𝑀 𝑐ℎẵ𝑛 Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 91 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Ví dụ: Xác định các hệ số của mạch lọc FIR có pha tuyến tính kích thước M = 15 có đáp ứng xung đối xứng và đáp ứng tần số: 𝐻𝑟 2𝜋𝑘 15 = 1 𝑘 = 0,1,2,3 0.4 𝑘 = 4 0 𝑘 = 5,6,7 Do h(n) là đối xứng và các tần số chọn ứng với α = 0 nên theo bảng 8.3: G(k) = −1 𝑘𝐻𝑟 2𝜋𝑘 15 = 1 𝑘 = 0,2 −1 𝑘 = 1,3 0.4 𝑘 = 4 0 𝑘 = 5,6,7 h(n) = 1 15 𝐺 0 + 2 𝐺 𝑘 𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝑘 15 (𝑛 + 1 2 )7𝑘=1 h(0) = h(14) = - 0.01411 h(1) = h(13) = - 0.00195 h(2) = h(12) = 0.04 h(3) = h(11) = 0.01122 h(4) = h(10) = - 0.09139 h(5) = h(9) = - 0.0181 h(6) = h(8) = 0.31332 h(7) = 0.52 Từ phương trình (5.67), khi h(n) đối xứng: H(ω) = 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑀 2 −𝜋𝛼 𝑀 𝐺(𝑘+𝛼) 𝑠𝑖𝑛 𝜔 2 − 𝜋 𝑀 (𝑘+𝛼) 𝑀−1 𝑘=0 𝑒 −𝑗𝜔 (𝑀−1)/2 (5.68) trong đó: 𝐺 𝑘 + 𝛼 = −𝐺(𝑀 − 𝑘) 𝛼 = 0 𝐺(𝑀 − 𝑘 − 1 2 ) 𝛼 = 1 2 (5.69) Tương tự, khi h(n) phản đối xứng: H(ω) = 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑀 2 −𝜋𝛼 𝑀 𝐺(𝑘+𝛼) 𝑠𝑖𝑛 𝜔 2 − 𝜋 𝑀 (𝑘+𝛼) 𝑀−1 𝑘=0 𝑒 −𝑗𝜔 (𝑀−1)/2𝑒𝑗𝜋 /2 (5.70) trong đó: 𝐺 𝑘 + 𝛼 = 𝐺(𝑀 − 𝑘) 𝛼 = 0 −𝐺(𝑀 − 𝑘 − 1 2 ) 𝛼 = 1 2 (5.71) 2.4. Thiết kế mạch lọc FIR pha tuyến tính có cân bằng gợn sóng (equiripple) tối ưu Xét một mạch lọc thông thấp có tần số biên của dải thông là ωp và dải chắn là ωs. Từ hình vẽ 5.21, đáp ứng tần số thỏa mãn điều kiện trong dải thông: 1 – δ1 ≤ Hr(ω) ≤ 1 + δ1, |ω| ≤ ωp (5.72) và trong dải chắn: – δ2 ≤ Hr(ω) ≤ δ2, |ω| ≥ ωs (5.73) Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 92 GV: Phạm Hùng Kim Khánh δ1: độ gợn dải thông δ2: độ gợn dải chắn Hình 5.20 – Đặc tính biên độ của mạch lọc thông thấp Ta xét 4 trường hợp sau:  Đáp ứng xung đối xứng và M lẻ Hr(ω) = ℎ 𝑀−1 2 + 2 ℎ 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑀−1 2 − 𝑛 𝑀−3 2 𝑛=0 (5.74) Ta đặt k = (M – 1)/2 – n và định nghĩa {a(k)} như sau: a(k) = ℎ 𝑀−1 2 𝑘 = 0 2ℎ 𝑀−1 2 − 𝑘 𝑘 = 1,2,… , 𝑀−1 2 (5.75) Từ (5.74) và (5.75): Hr(ω) = 𝑎 𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑘 𝑀−1 2 𝑘=0 (5.76)  Đáp ứng xung đối xứng và M chẵn Hr() =2 ℎ 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑀−1 2 − 𝑛 𝑀 2 −1 𝑛=0 (5.77) Đặt k = M/2 – n và định nghĩa {b(k)} như sau: b(k) = 2h(M/2 – k) (5.78) Từ (5.77) và (5.78): Hr(ω) = 𝑏 𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜔(𝑘 − 1 2 ) 𝑀 2 𝑘=1 (5.79) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Normalized Frequency ( rad/sample) Ma gn itu de Frequency domain 1 + δ1 1 - δ1 δ2 ωp ωs Dải chuyển tiếp Dải thông Dải chắn Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 93 GV: Phạm Hùng Kim Khánh Xét hệ số {𝑏 𝑘 }: 𝑏 0 = 1 2 𝑏(1) (5.80) 𝑏 𝑘 = 2𝑏 𝑘 − 𝑏 𝑘 − 1 ,𝑘 = 1,2,… , 𝑀 2 − 2 𝑏 𝑀 2 − 1 = 2𝑏( 𝑀 2 ) Khi đó: Hr(ω) = 𝑐𝑜𝑠 𝜔 2 𝑏 𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑘 𝑀 2 −1 𝑘=0 (5.81)  Đáp ứng xung phản đối xứng và M lẻ Hr() = 2 ℎ 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑀−1 2 − 𝑛 (𝑀−3)/2 𝑛=0 (5.82) Đặt k = (M – 1)/2 – n và định nghĩa {c(k)} như sau: c(k) = 2h 𝑀−1 2 − 𝑘 (5.83) Từ (5.82) và (5.83): Hr(ω) = 𝑐 𝑘 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑘 𝑀−1 2 𝑘=1 (5.84) Xét hệ số {𝑐 𝑘 }: 𝑐 𝑀−3 2 = 𝑐( 𝑀−1 2 ) (5.85) 𝑐 𝑀−5 2 = 2𝑐( 𝑀−3 2 ) 𝑐 𝑘 − 1 − 𝑐 𝑘 + 1 = 2𝑐 𝑘 ,𝑘 = 2,… , 𝑀−5 2 𝑐 0 + 1 2 𝑐 2 = 𝑐 1 Khi đó: Hr(ω) = 𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑐 𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑘 (𝑀−3)/2 𝑘=0 (5.86)  Đáp ứng xung phản đối xứng và M chẵn Hr() =2 ℎ 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝜔 𝑀−1 2 − 𝑛 𝑀 2 −1 𝑛=0 (5.87) Đặt k = M/2 – n và định nghĩa: d(k) = 2h(M/2 – k) (5.88) Từ (5.87) và (5.88): Hr(ω) = 𝑑 𝑘 𝑠𝑖𝑛𝜔(𝑘 − 1 2 ) 𝑀 2 𝑘=1 (5.89) Xét hệ số {𝑑 𝑘 }: 𝑑 𝑀 2 − 1 = 2𝑑( 𝑀 2 ) (5.90) 𝑑 𝑘 − 1 − 𝑑 𝑘 = 2𝑑 𝑘 , 𝑘 = 2,… , 𝑀 2 − 1 Xử lý số tín hiệu Chương 5: Thiết kế mạch lọc số Trang 94 GV: Phạm Hùng Kim Khánh 𝑑 0 − 1 2 𝑑 1 = 𝑑 1 Khi đó: Hr(ω) = 𝑠𝑖𝑛 𝜔 2 𝑑 𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑘 𝑀 2 −1 𝑘=0 (5.91) Từ 4 trường hợp trên, ta biểu diễn Hr(ω) như sau: Hr(ω) = P(ω)Q(ω) (5.92) trong đó: Q(ω) = 1 ℎ 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔,𝑀 𝑙ẻ 𝑐𝑜𝑠 𝜔 2 ℎ 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔,𝑀 𝑐ℎẵ𝑛 𝑠𝑖𝑛𝜔 ℎ 𝑛 𝑝ℎả𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔,𝑀 𝑙ẻ 𝑠𝑖𝑛 𝜔 2 ℎ 𝑛 𝑝ℎả𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔,𝑀 𝑐ℎẵ𝑛 (5.93) P(ω) = 𝛼 𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑘𝐿𝑘=0 (5.94) L = 𝑀−1 2 ℎ 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔,𝑀 𝑙ẻ 𝑀 2 − 1 ℎ 𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔,𝑀 𝑐ℎẵ𝑛 𝑀−3 2 ℎ 𝑛 𝑝ℎả𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔,𝑀 𝑙ẻ 𝑀 2 − 1 ℎ 𝑛 𝑝ℎả𝑛 đố𝑖 𝑥ứ𝑛𝑔,𝑀 𝑐ℎẵ𝑛 α(k): thông số của mạch lọc, có quan hệ tuyến tính với h(n)