Xây dựng thang đánh giá năng lực hiểu biết định lượng của học sinh khi giải quyết tình huống toán học hóa - Nguyễn Thị Tân An

Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(29)/2014: tr. 5-15 XÂY DỰNG THANG ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG CỦA HỌC SINH KHI GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG TOÁN HỌC HÓA NGUYỄN THỊ TÂN AN Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế Tóm tắt: Bài báo đề cập đến sáu năng lực hiểu biết định lượng theo quan điểm của Niss (2003) và Turner (2011), gồm giao tiếp với toán học, phân tích và xây dựng mô hình toán học, suy luận, sử dụng kí hiệu thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán, biểu diễn, giải quyết vấn đề. Các năng lực này có thể được đánh giá riêng lẻ, nhưng qua phân tích các hoạt động của quá trình toán học hóa, chúng tôi nhận thấy các tình huống toán học hóa chứa đựng yếu tố định lượng đòi hỏi học sinh phải phối hợp cả 6 năng lực trên trong quá trình giải quyết vấn đề thực tế. Vì vậy, dựa trên thang đánh giá của Hiệp hội các trường Đại học Mỹ ACC&U (2009), bài báo đề xuất thang đánh giá các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh một cách phù hợp khi giải quyết tình huống toán học hóa. Từ khóa: Hiểu biết định lượng, Năng lực hiểu biết định lượng, Tình huống toán học hóa 1. GIỚI THIỆU Trong lớp học toán, giáo viên thường tập trung dạy khái niệm, công thức, qui tắc, thuật toán để trang bị cho học sinh những kiến thức và kỹ năng giúp giải quyết các hiện tượng toán học cơ bản như giải phương trình, bất phương trình, vẽ đồ thị Tuy nhiên trong thực tế, các tình huống có thể sử dụng toán học để giải quyết thường đa dạng, phức tạp, các vấn đề không xuất hiện cùng với các quy tắc, chỉ dẫn, gợi ý mà thường đòi hỏi học sinh phải có khả năng tìm ra kiến thức toán liên quan, khả năng chuyển đổi tình huống được cho theo ngôn ngữ toán học và phải kết hợp nhiều nội dung toán khác nhau. Khả năng để có thể áp dụng các kiến thức toán cơ bản vào các ngữ cảnh hàng ngày là biểu hiện của hiểu biết định lượng. Mặc dù yêu cầu về hiểu biết định lượng (HBĐL) chỉ mới xuất hiện ở cuối thế kỉ 20, nhưng HBĐL ngày càng giành được nhiều sự quan tâm trong giáo dục toán và là một trong những năng lực HS cần được trang bị ở nhà trường, điều này cũng chi phối việc đánh giá và ảnh hưởng đến chương trình toán của nhiều nước như Anh, Đức, Úc, Mỹ, Đan Mạch, Hà Lan (Madison và Steen, 2007, [7]). Để phát triển HBĐL cho học sinh, theo Turner (2011, [10]) các em cần được chú ý rèn luyện sáu năng lực thành phần bao gồm giao tiếp với toán học, phân tích và xây dựng mô hình toán học, suy luận, sử dụng kí hiệu thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán, biểu diễn, giải quyết vấn đề. Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy các tình huống toán học hóa có thể giúp phát triển các năng lực HBĐL, bởi vì mỗi bước của quá trình giải quyết tình huống đều cần cả sáu năng lực trên. Do đó, với mong muốn có thể đo lường các bài làm của học sinh để đánh giá mức độ phát triển HBĐL, trong bài báo này, chúng tôi đã lựa chọn xây dựng thang 6 NGUYỄN THỊ TÂN AN đánh giá các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh khi giải quyết tình huống toán học hóa. 2. TÌNH HUỐNG TOÁN HỌC HÓA VÀ QUÁ TRÌNH TOÁN HỌC HÓA a. Tình huống toán học hóa Các nghiên cứu từ lý thuyết và thực hành dạy học đã chỉ ra những khó khăn thường gặp khi sử dụng tình huống thực tế trong lớp học toán như học sinh thiếu kiến thức thực tế liên quan đến tình huống, thiếu kinh nghiệm chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai chiều. Hơn nữa, các tình huống thực tế thường có nhiều cách khác nhau để tiếp cận nên giáo viên khó dự đoán trước các cách giải quyết của học sinh cũng như khó hướng dẫn các em trong quá trình giải quyết (Blum, 2011, [3], Ikeda, 2007, [5], Kaiser, 2006, [6]). Để hạn chế những khó khăn nêu trên nhưng vẫn đáp ứng mục tiêu tăng cường dạy học toán theo hướng thực tế, chúng tôi quan tâm đến những tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế nhưng có định hướng giáo dục, mà chúng tôi gọi là tình huống toán học hóa (THH). Tình huống toán học hóa là tình huống xuất phát từ thế giới bên ngoài lĩnh vực toán học, chứa đựng những yếu tố quan trọng của thực tế, nhưng đã được đơn giản hóa, lý tưởng hóa, đặc biệt hóa, thêm các điều kiện, giả thiết phù hợp, hạn chế những yếu tố không cần thiết cho phép học sinh tiếp cận với một số công cụ toán học theo ý đồ của giáo viên, tuy nhiên vẫn còn phản ánh đúng một phần nào đó tình huống thực tế ban đầu (Nguyễn, 2013, [1]). So với tình huống thực tế, tình huống toán học hóa giúp học sinh hình dung rõ hơn về tình huống, có thêm dữ liệu thông tin vì vậy quá trình xây dựng mô hình toán học diễn ra thuận lợi hơn. b. Quá trình toán học hóa Để giải quyết một tình huống toán học hóa, học sinh cần lựa chọn mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, sau đó thể hiện và đánh giá kết quả trong ngữ cảnh ban đầu, đôi khi cần phải điều chỉnh mô hình toán hoặc lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý. Đó là các bước chính của quá trình toán học hóa được thể hiện trong sơ đồ dưới đây (Nguyễn, 2013, [1]). Sơ đồ 1. Quá trình toán học hóa Kết quả thực tế Kết quả toán học Tình huống toán học hóa Mô hình toán học (1) (2) (3) (4) XÂY DỰNG THANG ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG... 7 Bước 1: Chuyển đổi từ tình huống toán học hóa sang mô hình toán học Các hoạt động liên quan đến quá trình này: Nhận ra các yếu tố toán học và các biến quan trọng của tình huống; Nhận ra các cấu trúc toán trong tình huống như các quy tắc, các mối quan hệ toán học; Phân biệt giữa các thông tin liên quan và không liên quan đến yêu cầu của tình huống; Sử dụng các biến, kí hiệu, sơ đồ, đồ thị, hình vẽ phù hợp để biểu diễn tình huống một cách toán học; Chuyển các đối tượng, dữ liệu, mối quan hệ, điều kiện, giả thiết, yêu cầu của tình huống sang ngôn ngữ toán; Thiết lập mô hình toán từ tình huống. Bước 2: Giải toán Quá trình này bao gồm các hoạt động: Lựa chọn và thực hiện một phương án giải; Sử dụng các công cụ toán học như khái niệm, quy tắc, công thức, thuật toán để tìm ra kết quả; Sử dụng và chuyển đổi giữa các biểu diễn khác nhau trong quá trình tìm lời giải; Thiết lập quy tắc, mối liên hệ giữa các đối tượng toán học, tạo ra các lập luận toán học. Bước 3: Chuyển đổi từ kết quả toán sang kết quả thực tế Sau khi thu được kết quả toán từ bước 2, học sinh sẽ giải thích kết quả đó trong ngữ cảnh của tình huống ban đầu. Quá trình này bao gồm các hoạt động: Nhận ra các yếu tố thực tế tương ứng với kết quả toán có được; Hiểu được kết quả toán cho biết điều gì về tình huống ban đầu; Cố gắng giải thích kết quả toán theo ngôn ngữ thực tế thông thường; Đôi khi, một câu trả lời đầy đủ đòi hỏi sử dụng những lập luận để có được kết quả thực tế phù hợp. Bước 4: Phản ánh Quá trình này bao gồm các hoạt động: Kiểm tra tính hợp lý, thỏa đáng của kết quả với thông tin được cho ban đầu; Xem xét ảnh hưởng của các yếu tố thực tế lên kết quả và các tính toán của mô hình để điều chỉnh hay chấp nhận kết quả; Hiểu phạm vi và hạn chế của mô hình toán, phương pháp giải cũng như công cụ toán học được sử dụng trong quá trình giải quyết tình huống; Giải thích tại sao kết quả không phù hợp với tình huống được cho, xem lại một số bước hoặc thực hiện lại quá trình toán học hóa nếu kết quả không phù hợp; Tìm kiếm các khả năng khác của tình huống (nếu có). 3. CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG Có nhiều định nghĩa khác nhau về HBĐL, nhưng phần lớn đều quan tâm đến khả năng vận dụng kiến thức toán vào những tình huống của cuộc sống hàng ngày. Trong bài báo này, chúng tôi chọn định nghĩa sau đây: Hiểu biết định lượng là khả năng để nhận ra, hiểu và sử dụng các kiến thức toán một cách hiệu quả trong những tình huống định lượng của cuộc sống hàng ngày, từ những tình huống quen thuộc đến những tình huống mới không quen thuộc (Hallett, 2003, [4]). Ở định nghĩa trên, tình huống định lượng là một tình huống thực tế chứa đựng các yếu tố định lượng như số lượng, trọng lượng, kích thước, diện tích, tỉ lệ, phần trăm ở đó 8 NGUYỄN THỊ TÂN AN các yếu tố toán học được thể hiện rõ ràng hoặc ngầm ẩn và luôn tồn tại một mô hình toán học cho phép biểu diễn tình huống theo các yếu tố toán học. Từ định nghĩa, ta nhận thấy có ba thành phần liên quan đến HBĐL: - Tình huống ở đó vấn đề được đặt ra; - Nội dung toán mà học sinh cần sử dụng để giải quyết tình huống; - Các năng lực cần được kích hoạt để kết nối giữa nội dung toán và tình huống được cho, từ đó giải quyết vấn đề đặt ra. Sơ đồ 2. Ba thành phần liên quan đến HBĐL Để có thể đánh giá HBĐL của học sinh một cách tường minh, chúng ta cần đến những năng lực HBĐL cụ thể. Niss (2003, [8]), Turner (2011, [10]), PISA (2012, [9]) đã chỉ ra sáu năng lực cơ bản của HBĐL, mỗi năng lực được mô tả như sau: a. Giao tiếp với toán học Năng lực này bao gồm: Khả năng hiểu tình huống như là nhận ra các thông tin liên quan, hiểu đúng câu hỏi, yêu cầu đặt ra; Khả năng trình bày các bước giải rõ ràng, logic, đầy đủ; Khả năng giải thích kết quả toán học trong phạm vi tình huống thực tế. b. Phân tích và xây dựng mô hình toán học Năng lực này bao gồm: Khả năng phân tích các mô hình toán học có sẵn, đánh giá phạm vi và giá trị của các mô hình đó; Khả năng xây dựng mô hình toán học đối với những tình huống ngoài toán. c. Sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán Năng lực này bao gồm: Khả năng hiểu và sử dụng các kí hiệu, thuật ngữ toán học, các mệnh đề và biểu thức chứa kí hiệu, công thức toán... dựa trên việc hiểu các khái niệm, quy tắc, thuật toán, quá trình toán học; Khả năng hiểu mối quan hệ giữa ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông thường, và khả năng chuyển đổi qua lại giữa hai hình thức ngôn ngữ này; Khả năng thực hiện các phép toán đúng và chính xác. d. Suy luận Năng lực này bao gồm: Khả năng sử dụng các quy tắc suy luận toán học, tư duy logic để liên kết các yếu tố của bài toán và rút ra kết luận; Khả năng kiểm tra tính đúng đắn của một nhận định được cho hoặc đưa ra nhận định về một vấn đề. Các năng lực HBĐL Nội dung Toán Tình huống XÂY DỰNG THANG ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG... 9 e. Biểu diễn Năng lực này bao gồm: Khả năng hiểu các mối quan hệ qua lại giữa các biểu diễn khác nhau của cùng một đối tượng cũng như biết được điểm mạnh điểm yếu của mỗi loại biểu diễn; Khả năng thực hiện chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn; Khả năng lựa chọn một biểu diễn hay kết hợp nhiều biểu diễn khác nhau của các đối tượng toán học để nắm bắt tình huống hay tìm ra một phương pháp giải quyết. f. Giải quyết vấn đề toán học Năng lực này bao gồm: Khả năng phát hiện và thiết lập một vấn đề toán học từ nhiệm vụ hay tình huống được cho; Khả năng lựa chọn một cách tiếp cận phù hợp và đưa ra một phương pháp toán hiệu quả để giải quyết vấn đề toán học đã được thiết lập, đồng thời giám sát, kiểm soát quá trình thực hiện. Trong thực tế, khi gặp một tình huống định lượng, học sinh không nhất thiết sử dụng tất cả các năng lực trên đây. Hơn nữa, mặc dù các năng lực được mô tả một cách riêng lẻ nhưng giữa chúng có sự giao thoa với nhau, chẳng hạn trong “biểu diễn” thì vẫn có “giao tiếp”, trong “chuyển đổi” có “biểu diễn” Tuy nhiên, qua phần mô tả các năng lực HBĐL (mục 3) và những hoạt động học sinh cần thực hiện ở mỗi bước của quá trình toán học hóa (mục 2), chúng tôi nhận thấy cả sáu năng lực HBĐL đều tồn tại ở mỗi bước của quá trình toán học hóa. Vì vậy, khi giải quyết các tình huống toán học hóa, học sinh cần kích hoạt cả sáu năng lực này. 4. XÂY DỰNG THANG ĐÁNH GIÁ CÁC NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG CỦA HỌC SINH KHI GIẢI QUYẾT MỘT TÌNH HUỐNG TOÁN HỌC HÓA Thiết kế thang đánh giá giúp đo mức độ đạt được các năng lực HBĐL trong nhiều nhiệm vụ toán học hóa chứa đựng yếu tố định lượng khác nhau là cần thiết để nghiên cứu sự phát triển của các năng lực. Dựa trên thang đánh giá năng lực HBĐL của sinh viên do Hiệp hội các trường Đại học Mỹ (ACC&U) đưa ra năm 2009 ([2]), cùng với các hoạt động của quá trình toán học hóa trình bày ở mục 2, chúng tôi đã xây dựng thang đánh giá các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh khi giải quyết tình huống toán học hóa. Sự tiến bộ của mỗi năng lực thể hiện qua bốn mức độ từ 0 đến 3 trong mỗi giai đoạn của quá trình THH. Như vậy mức độ cao nhất của mỗi năng lực là 9 và thấp nhất là 0. Dưới đây là thang đánh giá của sáu năng lực hiểu biết định lượng gồm giao tiếp với toán học; phân tích và xây dựng mô hình toán học; suy luận; sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán; biểu diễn và giải quyết vấn đề. Bảng 1. Thang đánh giá các năng lực hiểu biết định lượng Năng lực Các mức độ đạt được 3 2 1 0 Giao tiếp với toán Nhận ra tất cả thông tin liên quan và hiểu đúng yêu cầu của tình huống. Nhận ra và hiểu đúng một số thông tin liên quan đến tình huống. Nhận ra một số thông tin liên quan nhưng không hiểu đúng thông tin nào. Không nhận ra thông tin nào. 10 NGUYỄN THỊ TÂN AN học Trình bày các bước giải rõ ràng, đầy đủ và logic. Trình bày các bước giải đúng, nhưng không đầy đủ hoặc phương pháp giải đúng nhưng chưa hoàn thành. Trình bày các bước giải thiếu logic, không đúng, không mạch lạc hoặc khó hiểu. Không trình bày bước giải nào. Giải thích kết quả toán trong tình huống ban đầu hợp lý. Giải thích kết quả chưa hợp lý nhưng có thể chấp nhận. Giải thích kết quả toán trong tình huống ban đầu không hợp lý. Không có giải thích. Phân tích xây dựng mô hình toán học Tạo ra một mô hình toán học phù hợp với tình huống. Mô hình TH chỉ phản ánh một phần tình huống. Mô hình toán học không phản ánh đúng tình huống. Không tạo ra một mô hình toán học nào. Sử dụng mô hình đã xây dựng để nắm bắt các điều kiện, mối quan hệ TH, hướng dẫn quá trình GQVĐ. Sử dụng mô hình đã xây dựng để nắm bắt một số điều kiện, mối quan hệ TH quan trọng. Sử dụng mô hình đã xây dựng để nắm bắt các điều kiện, mối quan hệ toán học nhưng không đúng. Không sử dụng mô hình đã xây dựng để hướng dẫn quá trình GQVĐ. Nhận ra phạm vi hoặc hạn chế của mô hình được sử dụng. Nhận ra phạm vi hoặc hạn chế của mô hình, nhưng không đầy đủ. Nhận ra một số phạm vi hoặc hạn chế của mô hình nhưng không đúng. Không nhận ra phạm vi hoặc hạn chế của mô hình được sử dụng. Suy luận Phân tích, tổng hợp, đánh giá thông tin để hiểu đúng các mối quan hệ của tình huống. Dựa vào suy luận để hiểu đúng các mối quan hệ quan trọng của tình huống. Sử dụng suy luận sai dẫn đến hiểu sai các mối quan hệ quan trọng. Không sử dụng suy luận để hiểu các mối quan hệ của tình huống. Sử dụng các suy luận đúng và hợp lý để đưa ra các kết luận đúng. Suy luận để rút ra kết luận phù hợp nhưng có những lỗi nhỏ về logic. Rút ra kết luận từ các suy luận không đúng. Kết luận không dựa trên suy luận. Xét ảnh hưởng của các yếu tố thực tế lên kết quả và cung cấp lý do hợp lý. Xét ảnh hưởng của các yếu tố thực tế lên kết quả nhưng không đưa ra lý do. Chỉ ra ảnh hưởng của các yếu tố thực tế lên kết quả nhưng không đúng. Không xem xét ảnh hưởng của các yếu tố thực tế lên kết quả. Sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán Sử dụng các kí hiệu, ngôn ngữ toán học đúng và phù hợp để biểu diễn tình huống THH. Sử dụng kí hiệu, ngôn ngữ TH biểu diễn đúng tình huống THH nhưng chưa đầy đủ. Sử dụng các kí hiệu, ngôn ngữ toán học để biểu diễn tình huống THH nhưng không đúng. Không sử dụng các kí hiệu, ngôn ngữ toán học để biểu diễn tình huống THH. Sử dụng đúng các công thức, quy tắc. Sử dụng đúng các công thức, quy tắc. Sử dụng sai các công thức, quy tắc. Không thực hiện tính toán nào. XÂY DỰNG THANG ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG... 11 học thực hiện các phép toán Tính toán đúng dẫn đến kết quả đúng. Tính toán đúng nhưng chưa đi đến kết quả. Thực hiện sai các tính toán quan trọng. Hiểu mối quan hệ giữa ngôn ngữ toán và ngôn ngữ thực tế để có thể chuyển kết quả toán sang kết quả thực tế. Chuyển kết quả toán sang kết quả thực tế nhưng không đầy đủ. Chuyển kết quả toán sang kết quả thực tế nhưng không đúng. Không thể chuyển kết quả toán sang kết quả thực tế. Biểu diễn Sử dụng các biểu diễn toán đúng và phù hợp để biểu diễn các thông tin thực tế. Biểu diễn các thông tin thực tế bằng các biểu diễn toán đúng nhưng một số chưa phù hợp. Sử dụng các biểu diễn toán không đúng để biểu diễn các thông tin thực tế. Không sử dụng biểu diễn toán nào để biểu diễn các thông tin thực tế. Liên kết nhiều biểu diễn khác nhau để tìm ra kết quả. Sử dụng nhiều biểu diễn nhưng có những biểu diễn chưa phù hợp. Sử dụng các biểu diễn không đúng, không phù hợp trong quá trình giải. Không sử dụng biểu diễn nào. Biểu diễn kết quả thực tế dưới dạng phù hợp. Biểu diễn kết quả thực tế đúng, nhưng chưa phù hợp. Biểu diễn kết quả thực tế không đúng. Không sử dụng biểu diễn nào. Giải quyết vấn đề Thiết lập một vấn đề toán học từ tình huống được cho. Thiết lập vấn đề toán học từ tình huống được cho nhưng chưa đầy đủ. Thiết lập một vấn đề toán học từ tình huống được cho nhưng không đúng. Không thể thiết lập một vấn đề toán học từ tình huống được cho. Lựa chọn một phương pháp hiệu quả để giải quyết. Lựa chọn một phương pháp giải quyết hợp lý. Phương pháp giải quyết không phù hợp, không đúng. Không đưa ra một phương pháp giải quyết nào. Kiểm tra tính hợp lý, thỏa đáng của kết quả toán đối với tình huống ban đầu. Thực hiện kiểm tra tính hợp lý, thỏa đáng của kết quả toán đối với tình huống ban đầu nhưng chưa đầy đủ. Cố gắng thực hiện kiểm tra tính hợp lý, thỏa đáng của kết quả toán đối với tình huống ban đầu nhưng không đúng. Không thực hiện kiểm tra tính hợp lý, thỏa đáng của kết quả toán đối với tình huống ban đầu. 5. PHÂN TÍCH BÀI LÀM HỌC SINH Để nghiên cứu sự phát triển năng lực HBĐL của học sinh, chúng tôi đã thiết kế bốn tình huống toán học hóa và thực hiện nghiên cứu đối với 46 học sinh lớp 10A2 Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huyện Hương Trà, Thành phố Huế. Dạy thực nghiệm được tiến hành trong bốn tiết của bốn tuần liên tiếp, mỗi tiết học sinh được yêu cầu sử dụng 12 NGUYỄN THỊ TÂN AN những kiến thức, kĩ năng toán của mình để giải quyết một tình huống trong môi trường hoạt động nhóm với thời gian 30 phút mà không có sự hướng dẫn từ phía giáo viên hoặc người nghiên cứu. Bài làm của học sinh được chúng tôi dùng để phân tích, đánh giá và so sánh sự phát triển HBĐL qua quá trình THH. Ngoài ra, chúng tôi cũng sử dụng phương pháp quan sát và phỏng vấn suốt giai đoạn thực nghiệm để hỗ trợ quá trình phân tích. Trong phạm vi bài báo này, chúng tôi chỉ chọn một tình huống cụ thể là tình huống CẦU THANG để phân tích các mức độ về năng lực HBĐL của học sinh. CẦU THANG. Một cầu thang nhà ở được thiết kế an toàn khi mỗi bậc có chiều cao tối đa là 19 cm và chiều sâu tối thiểu là 25 cm. Em hãy thiết kế một cầu thang an toàn đi từ tầng 1 lên tầng 2 của ngôi nhà có khoảng cách giữa hai sàn là 2,8 m và chiều dài cầu thang là 3,6 m bằng cách chỉ ra số bậc, chiều cao và chiều sâu của mỗi bậc. Giải thích cách làm của em. chiều dài cầu thang khoảng cách giữa 2 sàn chiều sâu bậc chiều cao bậc Lưu ý: số bậc được tính bao gồm cả sàn tầng 2, ví dụ trong hình vẽ trên, cầu thang có tất cả 9 bậc. Tình huống đặt ra ở cuối chương trình lớp 10, với ý định kiểm tra khả năng học sinh sử dụng kiến thức, kĩ năng về hệ bất phương trình để giải quyết một tình huống toán học hóa. Trong tình huống này, các số liệu đã được cung cấp cụ thể như chiều cao tối đa và chiều sâu tối thiểu mỗi bậc, khoảng cách giữa hai sàn, chiều dài cầu thang, và các thông tin đều cố gắng phản ánh trung thực thực tế. Ngoài ra, lưu ý cùng với hình vẽ minh họa cũng góp phần giúp học sinh hình dung rõ hơn về tình huống. Từ tình huống và hình vẽ minh họa, chúng ta có thể rút ra các thông tin quan trọng, cần thiết cho quá trình xây dựng mô hình toán, đó là: (1) Cầu thang có các chiều cao bậc bằng nhau và các chiều sâu bậc bằng nhau; (2) Chiều cao bậc ≤ 19 cm, chiều sâu bậc ≥ 25 cm; (3) Quan hệ giữa chiều cao bậc và khoảng cách hai sàn: Số bậc×chiều cao bậc = 280 cm (4) Quan hệ giữa chiều sâu bậc và chiều dài cầu thang: (Số bậc-1)×chiều sâu bậc = 360 cm Trong tình huống có các từ ngữ như “tối đa”, “tối thiểu”, gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức để xây dựng mô hình toán. Ngoài ra, dựa vào bốn thông tin (1) – (4), ta có thể nhận ra các biến của tình huống, đó là số bậc, chiều cao bậc, chiều sâu bậc và mối quan hệ giữa chúng. Nếu gọi n là số bậc thang (n nguyên dương), y là chiều cao bậc và x là chiều sâu bậc thì tùy thuộc vào số biến ta chọn mà mô hình toán sẽ là những hệ bất phương trình khác nhau: XÂY DỰNG THANG ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG... 13 25 19 280 ( 1) 360 x y ny n x ≥⎧ ⎪ ≤⎪ ⎨ =⎪ ⎪ − =⎩ 25 19 280 360 1 x y y x ≥⎧ ⎪ ≤⎪ ⎨ ⎪ = + ⎪⎩ 280 19 360 25 1 n n ⎧ ≤⎪⎪ ⎨ ⎪ ≥ ⎪ −⎩ Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày việc đánh giá các năng lực hiểu biết định lượng, sử dụng thang đánh trên vào ba bài làm của học sinh đối với tình huống “cầu thang”. Học sinh 1. Học sinh này nhận ra và hiểu đúng các thông tin của tình huống ngoại trừ việc xác định sai mối quan hệ giữa chiều sâu bậc và chiều dài cầu thang dẫn đến xây dựng mô hình toán không đúng. Vì vậy đối với học sinh này, các năng lực HBĐL chỉ được đánh giá ở giai đoạn 1 của quá trình THH – chuyển từ tình huống THH sang mô hình toán. Nhưng do mô hình học sinh tạo ra chưa phù hợp nên mỗi năng lực HBĐL của học sinh đạt mức độ là 2. Hình 1. Bài làm của học sinh 1 Học sinh 2. Học sinh này đã xây dựng một mô hình toán phù hợp nhưng chưa hoàn thành việc giải bài toán nên các năng lực HBĐL chỉ được đánh giá ở giai đoạn 1 và 2. Trong bước giải toán, học sinh đã thể hiện phương pháp giải đúng, các suy luận đúng và hợp lý, tính toán đúng nhưng chưa đi đến kết quả cuối cùng. Dựa vào thang đánh giá, học sinh này đạt mức độ 5 đối với các năng lực giao tiếp, suy luận, sử dụng kí hiệu thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán, đạt mức độ 6 đối với các năng lực còn lại. Hình 2. Bài làm của học sinh 2 Học sinh 3. Học sinh đã xây dựng một mô hình toán phù hợp với tình huống, giải bài toán đúng và chuyển kết quả toán sang kết quả thực tế hợp lý, tuy nhiên không thấy thể hiện bước phản ánh. Do đó các năng lực giao tiếp với toán học; sử dụng kí hiệu, thuật 14 NGUYỄN THỊ TÂN AN ngữ toán học và thực hiện các phép toán; biểu diễn và giải quyết vấn đề đạt mức tối đa là 9. Năng lực phân tích và xây dựng mô hình toán học, suy luận chỉ đạt mức độ 6. Hình 3. Bài làm của học sinh 3 6. KẾT LUẬN Hiểu biết định lượng là khả năng sử dụng kiến thức và kĩ năng toán một cách hiệu quả trong nhiều tình huống thực tế chứa đựng yếu tố định lượng. Việc sử dụng các tình huống như vậy qua thời gian dài, liên tục trong điều kiện lớp học bình thường sẽ cho phép quan sát sự phát triển các năng lực HBĐL của học sinh (Kaiser, 2006). Do đó, chúng tôi hy vọng rằng với việc tạo ra thang đánh giá các năng lực HBĐL sẽ cung cấp một công cụ để đánh giá và phát triển các năng lực này của học sinh thông qua giải quyết các tình huống toán học hóa. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Tân An (2013). Xây dựng các tình huống dạy học hỗ trợ quá trình toán học hóa, Tạp chí Khoa học ĐH sư phạm tp Hồ Chí Minh, 48 (82), trang 5-13. [2] AAC&U (2009). Quantitative literacy value rubric, [3] Blum, W. (2011). Can modelling be taught and learnt? Some answers from empirical research, Trends in teaching and learning of mathematical modelling, Springer Netherlands, pp.15-30. [4] Hallett, D. H. (2003). The role of mathematics courses in the development of quantitative literacy, Quantitative Literacy: Why Numeracy Matters for Schools and Colleges, 91-98. [5] Ikeda, T. (2007). Possibilities for, and obstacles to teaching applications and modelling in the lower secondary levels, Modelling and applications in mathematics education, Springer US, pp.457-462. XÂY DỰNG THANG ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG... 15 [6] Kaiser, G., Blomhøj, M., & Sriraman, B. (2006). Towards a didactical theory for mathematical modelling, ZDM, 38(2), 82-85. [7] Madison, B. L., & Steen, L. A. (2007). Evolution of numeracy and the National Numeracy Network, Numeracy, 1(1), 2. [8] Niss, M. A. (2003). Quantitative literacy and mathematical competencies, Quantitative literacy, Princeton: National Council on Education and the Disciplines, pp. 215-220. [9] OECD / PISA (2012). Assessment and Analytical Framework Mathematics, Reading, Science, Problem Solving and Financial Literacy, OECD, Paris, France. [10] Turner, R. (2011). Identifying cognitive processes important to mathematics learning but often overlooked, Australian Mathematics Teacher Jan 22-26. Title: BUILDING A RUBRIC TO MEASURE QUANTITATIVE LITERACY COMPETENCIES OF STUDENTS WHEN THEY FACE WITH MATHEMATISATION SITUATIONS Abstract: This article mentions to six quantitative literacy competencies based on the viewpoint of Niss (2003) and Turner (2011), including communicating with mathematics, analysing and building mathematical models, reasoning, handling symbol and formal mathematical language, representing, solving problems. These competencies can be assessed separately, but through analysing activities of mathematisation process, we found that solving mathematisation situations requires students to combine all of six competencies. So, based on the rubric of ACC&U (2009), the article proposed a rubric that can be applied for measuring student’s work when they face with mathematisation situations. Keywords: Quantitative literacy, Quantitative literacy competencies, Mathematisation situation. ThS. NGUYỄN THỊ TÂN AN Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế ĐT: 0986 732 307, Email: tanan0704@gmail.com