Xác suất thống kê - Đại lượng ngẫu nhiên và các phân phối xác suất

CHƯƠNG III. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT  III.1. ĐỊNH NGHĨA và PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN.  III.2. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC. III.1. ĐỊNH NGHĨA và PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN. 1. Khái niệm  Đại lượng cho tương ứng mỗi kết quả của phép thử với một số được gọi là đại lượng ngẫu nhiên (hay biến ngẫu nhiên) trên các kết quả của phép thử đó. Nói một cách khác, đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có giá trị thay đổi tuỳ theo phép thử.  Ví dụ 1. a) Số môn thi đậu của một sinh viên trong một học kì (khi phải thi 5 môn). b) Nhiệt độ của phòng học trong một ngày đêm. c) Số người đến giao dịch tại một ngân hàng trong một tháng. d) Chiều cao của thanh niên Việt nam thường trong khoảng 155 cm đến 180 cm. 2. Các loại đại lượng ngẫu nhiên  Đại lượng ngẫu nhiên được chia thành hai loại: rời rạc và liên tục.  Đại lượng ngẫu nhiên X có dạng X = {x1, x2,...,xn} hoặc X = {x1, x2,...,xn,...} được gọi là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.  Đại lượng ngẫu nhiên có giá trị lấp đầy một khoảng (a, b) hay đoạn [a, b] nào đó được gọi là đại lượng ngẫu nhiên liên tục (a, b có thể hữu hạn hoặc vô hạn).  Ví dụ 2. Các đại lượng ngẫu nhiên cho ở ví dụ 1 là đại lượng gì?  Ví dụ 3. a) Số môn thi đậu của một sinh viên trong một học kì (khi phải thi 5 môn). b) Nhiệt độ của phòng học trong một ngày đêm. c) Số người đến giao dịch tại một ngân hàng trong một tháng. d) Chiều cao của thanh niên Việt nam thường trong khoảng 155 cm đến 180 cm. 3. Phân phối xác suất  Để nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên X ta cần biết các giá trị có thể có của X và xác suất để nó nhận mỗi giá trị đó. Mối liên hệ giữa các giá trị có thể có của X và xác suất tương ứng được gọi là phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X.  Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc ta có bảng phân phối xác suất. Trường hợp đại lượng ngẫu nhiên liên tục ta có hàm mật độ phân phối xác suất. a) Bảng phân phối xác suất Cho X = {x1, x2,...,xn} là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.  Đặt pi = P(xi), i = 1,2,...,n. Khi đó bảng sau đây được gọi là bảng phân phối xác suất của X.  Tính chất: X x1 x2... xn P p1 p2... pn 1 0 1, 1 n i i i p p      Ví dụ 3. Gọi X là số môn thi đậu của một sinh viên trong học kì phải thi 5 môn. Khi đó X nhận các giá trị: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Giả sử X có bảng phân phối xác suất sau đây.  Từ bảng ta có xác suất thi đậu 4 môn của sinh viên đó là 0,15; xác suất đậu cả 5 môn là 0.  Trong các xác suất ta thấy P(x=3) lớn nhất nên khả năng anh ta đậu 3 môn là nhiều nhất. X 0 1 2 3 4 5 P 0,05 0,15 0,3 0,35 0,15 0  Ví dụ 4. Một xạ thủ được phép bắn 3 viên đạn. Gọi X là số viên đạn anh ta bắn trúng bia. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, biết xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi viên đạn đều là 0,8.  Giải. Ta thấy X nhận 4 giá trị là: 0, 1, 2, 3. X 0 1 2 3 P 0,008 0,096 0,384 0,512 b) Hàm mật độ phân phối xác suất  Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị trong khoảng (a, b) (a, b là số hữu hạn hoặc vô hạn). Hàm mật độ phân phối xác suất của X là hàm số f(x) xác định trên (a, b) sao cho với mọi α, β thuộc (a,b) ta có  Hàm mật độ phân phối xác suất có các tính chất sau đây: ( ) ( )P x f x dx           1 ( ) 0 , ( , ); 2 ( ) 1 b a f x x a b f x dx     Ví dụ 5. Cho đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ phân phối xác suất a) Tìm hằng số a. b) Tính  Giải. a) Tập xác định của hàm số đã cho là (-∞,+∞). Do đó: cos 2 2 ( ) 0 , 2 2 a x khi x f x khi x                  (0 ) 4 P x    2 2 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1f x dx f x dx f x dx f x dx                   2 2 2 2 12 0 cos 0 1 sin 1 2 1 2 2 dx a xdx dx a x a a                         4. Hàm phân phối xác suất  Cho X là đại lượng ngẫu nhiên (rời rạc hoặc liên tục). Khi đó hàm số có dạng được gọi là hàm phân phối xác suất của X.  Hàm phân phối xác suất có các tính chất sau đây: (1) F(x) là hàm không giảm; (2) 0  F(x)  1, xR; (4) P(a  X < b) = F(b) – F(a); (5) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì F’(x)=f(x),xR  Ngược lại, nếu F(x) là hàm số xác định trên R và có các tính chất (1) – (3) thì F(x) là hàm phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên nào đó. ) (0 ) 4 b P x    ( ) ( ) ,F x P X x x   ¡  3 lim ( ) 0; lim ( ) 1; x x F x F x     4 0 1 1 2 cos sin 4 2 2 4 0 xdx x      a) Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất với x1 < x2 < … <xn , thì hàm phân phối xác suất của X là X x1 x2... xn P p1 p2... pn   1 1 21 11 2 1 0 .......................................... .... 1 n nn n x x x x xp F x x x xp p p x x                ,neáu ,neáu ............. ,neáu ,neáu  Ví dụ 6. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau  Giải. Hàm phân phối xác suất của X có dạng X 1 2 4 P 0,25 0,45 0,3 0 1 0,25 1 2 ( ) 0,7 2 4 1 4 khi x khi x F x khi x khi x            Ví dụ 7. Một sinh viên thi ba môn Toán, Lý, Hóa với xác suất đậu lần lượt là 0,6 ; 0,7 ; 0,8. Hãy tìm hàm phân phối xác suất của số môn anh ta đậu trong ba môn đó.  b) Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ phân phối xác suất là f(x) thì  Ví dụ 8. Cho hàm số a) Chứng tỏ f(x) là hàm mật độ xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên X. b) Tìm hàm phân phối xác suất F(x) của X. c) Tính xác suất . ( ) ( ) x F x f t dt    2 [0,1] ( ) 0 [0,1] x khi x f x khi x     1 (0 ) 2 P x   Giải. a) Ta có và Vậy f(x) là hàm mật độ xác suất của 1 đại lượng ngẫu nhiên X. b) Ta có ( ) 0,f x x   ¡ 0 1 0 1 0 1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 0 1 0 f x dx f x dx f x dx f x dx dx xdx dx x                      2 0 0 ( ) ( ) 0 1 1 1 x khi x F x f t dt x khi x khi x            2 21 1 1 1c) (0 ) 0 0 2 2 2 4 P x F F                    Ví dụ 5. Cho đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ phân phối xác suất a) Tìm hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X. b) Tính xác suất . cos 2 2 ( ) 0 , 2 2 a x khi x f x khi x                  6 3 P x         1. Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc a) Kì vọng  Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất là:  Khi đó số được gọi là kì vọng của X.  Kì vọng của đại lượng ngẫu nhiên là trung bình theo xác suất các giá trị có thể nhận của đại lượng đó. X x1 x2... xn P p1 p2... pn III.2. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC 1 ( ) n i i i E X x p    b) Phương sai  Số D(X) = E(X2) – E2(X) được gọi là phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, trong đó: E(X): là kì vọng của X, là kì vọng của X2.  Phương sai còn được tính bởi:  Phương sai là trung bình của bình phương sai số giữa X và trung bình theo xác suất của X.  c) Độ lệch chuẩn: Số được gọi là độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X. 2 2 1 ( ) n i i i E X x p     2 1 ( ) ( ) n i i i D X x E X p      D(X)X   Ví dụ 1. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X, biết bảng phân phối xác suất của nó là  Giải. Ta có X 1 2 4 P 0,25 0,45 0,3 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1.0,25 2.0, 45 4.0,3 2,35 ; ( ) 1 .0,25 2 .0, 45 4 .0,3 6,85; ( ) ( ) ( ) 6,85 2,35 1,3275 ; ( ) ( ) 1,3275 1,1522. E X E X D X E X E X X D X                 Hướng dẫn sử dụng máy tính Casio fx-500MS 1. Chọn phép tính thống kê: ấn MODE 2. 2. Xóa các bài thống kê cũ: ấn SHIFT CLR 1 = 3. Nhập dữ liệu: ấn liên tiếp 1 SHIFT ; 0,25 DT 2 SHIFT ; 0,45 DT 4 SHIFT ; 0,3 DT 4. Gọi kết quả: Tìm số Trung bình: SHIFT S-VAR 1 = Độ lệch chuẩn: SHIFT S-VAR 2 = Phương sai: Ta lấy độ lệch chuẩn bình phương. Hướng dẫn sử dụng máy tính Casio fx-570ES  Bấm: Shift mode  4 (stat)  Chọn: 1 (On)  Bấm: On  Bấm: mode 3 1(1-var)  Màn hình hiện ra bảng nhập dữ liệu x1 n1 (Ta dùng dấu mũi tên x2 n2 di chuyển giữa 2 cột) ... ... xm nm.  Bấm AC.  Gọi kết quả: Shift 1 5(Var) màn hình hiện ra: n, X TB, σn(độ lệch) σn-1(độ lệch hiệu chỉnh)  Đối với máy tính 570 ES Plus ta làm tương tự như 570ES, và gọi kết quả: Shift 1 4(Var)  Ví dụ 2. Một sinh viên thi 4 môn, xác suất đậu từng môn là 0,6. Gọi X là số môn sinh viên đó đậu. Hãy lập bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X. 2. Một số phân phối xác suất thông dụng a) Phân phối nhị thức  Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X = {0,1,2,...,n} được gọi là có phân phối nhị thức nếu tồn tại số p∈(0,1) sao cho trong đó q = 1 – p; k = 0, 1, 2,..., n. Khi đó ta KH: X ~ B(n,p). Nếu X có phân phối nhị thức thì E(X) = np; D(X) = npq.  Ví dụ 3 (Tiếp theo ví dụ 2). Số môn sinh viên đậu trong 4 môn là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với n = 4, p = 0,6. Vậy ( ) k k n kk np P X k C p q    ( ) 4.0,6 2,4 ; ( ) 4.0,6.0,4 0,96.E X np D X npq       Ví dụ 4. Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 3%. Chọn ngẫu nhiên 15 sản phẩm trong kho hàng của nhà máy. Gọi X là số phế phẩm có trong 15 sản phẩm đó. Tìm phân phối xác suất của X và tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X. b) Phân phối siêu bội  Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X = {0,1,2,...,n} được gọi là có phân phối siêu bội nếu tồn tại các số tự nhiên N, M sao cho 0 ≤ M ≤ N và Khi đó ta KH: X ~ H(M,N,n).  Nếu X có phân phối siêu bội thì trong đó ( ) ; 0,1,2,..., . k n k M N M k n N C C p P X k k n C      ( ) ; ( ) 1 N n E X np D X npq N     ; 1 . M p q p N     Ví dụ 5. Một lô hàng có 30 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong 5 sản phẩm đó. Tìm phân phối xác suất của X và tính kì vọng, phương sai của X.  Giải. Ta có Do đó X có phân phối siêu bội. Vậy 5 1 0 20 5 30 ( ) ; 0 ,1, 2 ,3 , 4 ,5 . k kC C P X k k C     10 5 ( ) . 5. ; 30 3 10 10 30 5 250 ( ) 5. .(1 ). 0,958 1 30 30 30 1 261 M E X np n N N n D X npq N               Ví dụ 6. Một cái hộp đựng 6 viên bi đỏ và 14 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 8 viên bi. Gọi X là số viên bi đỏ lấy được. Tìm phân phối xác suất của X và tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X. c) Phân phối Poisson  Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X = {0,1,2,...,n} được gọi là có phân phối Poisson nếu tồn tại số a > 0 sao cho Khi đó ta kí hiệu X ~ P(a). Số a được gọi là tham số của phân phối Poisson.  Nếu X có phân phối Poisson thì E(X) = D(X) = a. Chú ý.  (1) Nếu X là số lần biến cố A xuất hiện trong một khoảng thời gian hoặc trên một miền, một vùng nào đó thì X ~ P(a), với a là giá trị trung bình của số lần A xảy ra.  (2) Nếu X ~ B(n,p), trong đó p khá nhỏ và n khá lớn thì có thể xấp xỉ X ~ P(a) với a = np. ( ) ; 0,1, 2,... ! a k k e a p P X k k k       Ví dụ 7. Số liệu của một hãng hàng không cho thấy trong 1000 chuyến bay thì có 18 trường hợp hành khách bị mất hành lí do bỏ quên. Gọi X là số trường hợp hành khách bị mất hành lí trong một chuyến bay. Tìm xác suất để trong một chuyến bay a) Không ai bị mất hành lí. b) Có một hành khách bị mất hành lí.  Giải. Ta nhận thấy số hành lí bị mất trung bình của mỗi chuyến bay là Do đó có thể xem X có phân phối Poisson với a = 0,018, nghĩa là X ~ P(0,018). Vậy 18 0,018 1000 a       0 0,018 1 0,018 0 0,982 ; 0! 1 .0, 018 0,018 1! a a e a P X e e a P X e              Ví dụ 8. Xác suất một hộp sữa trong kho bị hỏng là 0,2%. Chọn ngẫu nhiên 800 hộp trong kho. Tìm xác suất có ít nhất 3 hộp bị hỏng. Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của số hộp sữa bị hỏng trong 800 hộp đó. d) Phân phối chuẩn  Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ của nó có dạng:  Kí hiệu  Khi đó:  Trường hợp đặc biệt khi ta có phân phối chuẩn tắc với hàm mật độ    2 2 2 1 , 2 x f x e x          2N ,X       2E X ; D X   0; 1     2 2 1 , 2 x f x e x      Đặt (Hàm Laplace, bảng giá trị có sẵn)  Khi đó:  Nếu thì . Do đó, ta chỉ cần tìm hiểu phân phối chuẩn tắc.  Nếu thì   2 2 0 1 . 2 x t x e dt             1 ; 2 F x x x x        2,X N    0,1XY N     2,X N    P X                           Chú ý: Trong thực tế, rất nhiều đại lượng ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn hoặc gần chuẩn như: chiều cao hay cân nặng của thanh niên, trí thông minh của trẻ nhỏ, điểm thi của thí sinh,... (với μ, σ được cho).  Ví dụ: Biết rằng chiều cao của trẻ em Việt Nam tuân theo phân phối chuẩn N(1,3;0,01). Tìm xác suất để trẻ em VN có chiều nằm trong khoảng (1,2; 1,4).  Giải. Theo công thức ta có   1,4 1,3 1,2 1,3 0,01 0,01 P X                                                  1 1 2 1 2. ?0,3413        Củng cố  III.1. ĐỊNH NGHĨA và PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN.  Các loại đại lượng ngẫu nhiên: rời rạc và liên tục.  Phân phối xác suất: * Bảng phân phối xác suất (rời rạc). * Hàm mật độ phân phối xác suất (liên tục).  Hàm phân phối xác suất. III.2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC  Kì vọng, Phương sai, độ lệch chuẩn.  Một số phân phối xác suất thông dụng