Xác suất thống kê - Chương 6: Lý thuyết ước lượng

Chương 6. Lý thuyết ước lượng §1. Khái niệm chung về ước lượng. -Ký hiệu là a,p, hoặc -Việc dùng kết quả của mẫu để đánh giá 1 tham số nào đó của tổng thể được gọi là ước lượng 1.Ước lượng điểm:  2   Chọn G=G(W),sau đó lấy 1.Không chệch: 2.Vững: 3.Hiệu quả: 4.Ước lượng có tính hợp lý tối đa( ứng với xác suất lớn nhất-xem SGK) G  ( )E G  lim n G    ( ) minD G  1 Kết quả: có đủ 4 tính chất trên. có đủ 4 tính chất trên. Không chệch Hợp lý tối đa 2.Ước lượng khoảng: :a x 2 2 2 2 : : : p f S S       2 Định nghĩa: Khoảng được gọi là khoảng ước lượng của tham số với độ tin cậy nếu: -độ dài khoảng ước lượng hay khoảng tin cậy.  1 2,   1    1 2 1        2 1I    Sơ đồ giải: Chọn sao cho G có quy luật phân phối xác suất đã biết, tìm 2 số sao cho  W,G  1 2,g g     1 2 1 2 1 2 1 , g G g g g w g                 3 §2. Ước lượng khoảng của tỷ lệ tổng thể p. Bài toán: từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có tỷ lệ mẫu f. Với độ tin cậy ,hãy tìm khoảng tin cậy của p. 1   Giải: Chọn Xét             0,1 neáu n ñuû lôùn 1 f p n G U f f     1 2 1 2 1 2 1 , 0 : 1u U u                       1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 . . f p n Z u u Z f f f f f f f Z p f Z n n                       4   1 2 2 1 1) , 0 . (öôùc löôïng tyû leä toái ña) f f p f Z n               1 2 2 1 2) 0, . (öôùc löôïng tyû leä toái thieåu) f f f Z p n               1f f 5 (Ước lượng đối xứng) (Độ dài khoảng tin cậy)       1 2 .3) - ñoä chính xaùc 2 Z n f p f     2I     2 2 1 . 1 f f n Z         .Quy ước: Nếu đề bài không nói rõ thì ta xét ước lượng 0 : n f      0  yes no STOP   2 2 0 1 . 1 f f n Z         6 đối xứng. Ví dụ 2.1: Để điều tra số cá trong hồ ,cơ quan quản lý đánh bắt 300 con,làm dấu rồi thả xuống hồ,lần 2 bắt ngẫu nhiên 400 con thấy 60 con có dấu. Hãy xác định số cá trong hồ với độ tin cậy bằng 0.95. Giải: Gọi N là số cá trong hồ P là tỷ lệ cá bị đánh dấu trong hồ : 300 N   400, 60 0,15   n m f 7 0,05 .(1 ) 0,15.0,85 . .1,96 400 300 ? ?                 f f Z n f f N N Ví dụ 2.2:Cần lập một mẫu ngẫu nhiên với kích thước bao nhiêu để tỷ lệ phế phẩm của mẫu là 0,2 ;độ dài khoảng tin cây đối xứng là 0,02 và độ tin cây là 0.95. Bài giải: 0,95, 0,02, 0,2I f n         2 2 0,02 0,01 0,2.0,8 . 1,96 1 0,01 I n            8 §3. Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể a Bài toán: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có trung bình mẫu và phương sai điều chỉnh mẫu . Với độ tin cậy , tìm khoảng ước lượng của trung bình tổng thể a. Bài giải.Ta xét 3 trường hợp: TH1. Đã biết phương sai tổng thể x 2S 2 1   Chọn Xét    ~ 0,1 x a n G U N     9 2 11,2 1 2 2 2 0: . .              x Z a x Z n n (Ước lượng trung bình tối đa) (Ước lượng trung bình tối thiểu) 1 2 21. , 0 .a x Z n            1 2 22. 0, , .x Z a n                   1 2 3 . -ñ o ä ch ín h . x a ùc 2 Z n      (ö ô ùc lö ô ïn g ñ o ái x ö ùn g )x a x 2 - ñoä daøi khoaûng öôùc löôïng ñoái xöùngI  10 2 . 1 .n Z               TH2. Chưa biết phương sai tổng thể Chọn: 2, 30 n    ~ 0,1 x a n G U N S S S    11 Kết quả tương tự TH1, thay bằng S ta có: 2 11,2 1 2 2 2 0; . .x Z a x Z n n              .(Ước lượng trung bình tối đa) (Ước lượng trung bình tối thiểu) 1 2 21 . , 0 .          S a x Z n 1 2 22 . 0 , , .          S x Z a n         1 2 3 . -ño ä chính a ùc 2 . x S Z n (ö ô ùc lö ô ïn g ñ o ái x ö ùn g )x a x      2 - ñoä daøi khoaûng öôùc löôïng ñoái xöùngI  Khoa Khoa Học và Máy Tính 12Xác Suất Thống Kê. Chương 6 @Copyright 2010 2 . 1 .            S n Z . TH3.Chưa biết phương sai tổng thể        1 21 1t T t                       1,2 1 2 ~ 1 Xe ùt 0; x a n Cho ïn G T T n S 2, 30n  13 Kết quả tương tự TH2 , thay bằng ta có:         1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2. n n n n x a n T T S S S x T a x T n n                   Z  1nT  .(Ước lượng trung bình tối đa) (Ước lượng trung bình tối thiểu)  1 1 2 21 . , 0 .            nS a x T n  1 1 2 22 . 0 , , .          n S x T a n            1 1 2 3 . -ño ä chính xa. ùc 2 nS T n (ö ô ùc lö ô ïn g ñ o ái x ö ùn g )x a x      2 - ñoä daøi khoaûng öôùc löôïng ñoái xöùngI  Khoa Khoa Học và Máy Tính 14Xác Suất Thống Kê. Chương 6 @Copyright 2010 2 ( 1). 1.             nSn T Ví dụ 3.1. Hao phí nguyên liệu cho 1 sản phẩm là 1 đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn vớí độ lệch chuẩn Người ta sản xuất thử 36 sản phẩm và thu được bảng số liệu: Mức hao phí nguyên liệu(gam) 19,5-19,7 19,7-19,9 19,9-20,1 20,1-20,3 0,03.  15 Với độ tin cậy 0,99,hãy ước lượng mức hao phí nguyên liệu trung bình cho 1 sản phẩm nói trên. Số sản phẩm 6 8 18 4 TH1. 0,010,03, 19,91111, 0,01 2,575 0,03 .2,575 0,012875 36 . x n Z a x Z x                     16 Cách bấm máy: .03 2.575 : 36    SH S VAR x ANS x      2 SH S VAR x ANS x       Ví dụ 3.2. Để ước lượng xăng hao phí trung bình cho 1 loại xe ô tô chạy trên đoạn đường từ A đến B ,chạy thử 49 lần trên đoạn đường này ta có bảng số liệu: Lượng xăng hao phí(lit) 9,6-9,8 9,8-10,0 10,0-10,2 10,2-10,4 10,4-10,6 17 Với độ tin cậy 0.95,hãy tìm khoảng tin cậy cho mức hao phí xăng trung bình của loại xe nói trên. Số lần 4 8 25 8 4 Giải . 0,05 2 : 49 30; 10,1 ; 0, 2 1 0,95 1,96 0,2 1,96 0,056 7 10,044 10,1 6 . 5 TH n x S Z S Z a n                    18 Cách bấm máy 1 1.96 : 49SH STAT VAR x n SH STO A     SH STAT VAR x A x     ALPHA SH STAT VAR x A x     ALPHA §4. Ước lượng khoảng của phương sai tổng thể Bài toán: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n, có phương sai hiệu chỉnh mẫu . Với độ tin cậy hãy tìm khoảng ước lượng của phương sai tổng thể Bài giải Chọn 2 2S  2   22 2 1,2 1 2 1 . ( 1), 0 : n S G n              Quy ước: Ta lấy (nếu không cho )       2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 ( 1) ( 1 ( 1) ) ( 1) 1n n S n n S n n                            1 2 2     1 2,  19 Ví dụ 3.1: Để định mức gia công 1 chi tiết máy,người ta theo dõi quá trình gia công 25 chi tiết máy,và thu được bảng số liệu sau: Thời gian gia công (phút) 15-17 17-19 19-21 21-23 23-25 25-27 Số chi tiết máy 1 3 4 12 3 2 20 a)Với độ tin cậy 0,95 , hãy tìm khoảng tin cậy cho thời gian gia công trung bình 1 chi tiết máy. b)Với độ tin cậy 0,95 , hãy tìm khoảng tin cậy cho phương sai. Giải a)TH3   ( 24 ) 0 ,05 24:0 ,025 1 25 ; 21, 52 ; 2, 4 0, 95 2, 064 2, 4 .2, 0 4 5 . 6 nS T n n x S T t            b) x a x     2 2 0 ,975 0 ,025 2 2 2 (24) 12, 40 ; (24) 39, 36 24.2, 4 24.2, 4 39, 36 12, 40         21