Xác định kỳ vọng, phương sai và độ tin cậy của dầm có vết nứt chịu uốn khi độ cứng EI(x) phân bố ngẫu nhiên - Dương Thế Hùng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên | 130 XÁC ĐỊNH KỲ VỌNG, PHƢƠNG SAI VÀ ĐỘ TIN CẬY CỦA DẦM CÓ VẾT NỨT CHỊU UỐN KHI ĐỘ CỨNG EI(x) PHÂN BỐ NGẪU NHIÊN Dƣơng Thế Hùng* Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Bài báo đề cập đến tính toán kết cấu thanh theo mô hình ngẫu nhiên. Dựa vào phương pháp phần tử hữu hạn, đã thiết lập mô hình tính toán kết cấu thanh chịu uốn có vết nứt, có tham số ngẫu nhiên về độ cứng uốn EI(x) để xác định kỳ vọng và phương sai của chuyển vị nút, sau đó xác định được kỳ vọng và phương sai của nội lực. Từ đó, đã xác định độ tin cậy theo phương pháp mức hai của kết cấu dầm chịu uốn. Kết quả của bài báo là xác suất an toàn của kết cấu dầm, sẽ là cơ sở để đánh giá và kiểm tra sự làm việc của kết cấu trong điều kiện làm việc theo mô hình, đồng thời tham khảo cho tính toán trên thực tế. Từ khóa: vết nứt, độ tin cậy, mô hình ngẫu nhiên.  MỞ ĐẦU Hiện nay trong giáo trình giảng dạy đại học các trường kỹ thuật môn học sức bền vật liệu, cơ học kết cấu hay trong các môn chuyên môn như Kết cấu bê tông cốt thép, Kết cấu thép việc tính toán độ bền của kết cấu nói chung thường tính theo tiêu chuẩn về bền, nghĩa là ứng suất (hay chuyển vị) không vượt qua ứng suất (hay chuyển vị) cho phép. Việc tính toán kết cấu như trên được gọi là tính theo mô hình tiền định. Tuy nhiên, sự ra đời và phát triển trên cơ sở các môn lý thuyết xác suất, thống kê toán học và lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên từ lâu đã cho ra đời việc tính toán các bài toán kết cấu cơ học theo mô hình ngẫu nhiên [5], [6], [7]. Lý thuyết độ tin [4] cậy xuất phát từ nhu cầu về sự đánh giá, kiểm tra chất lượng sản phẩm cơ khí, thiết bị máy, hàng hoá, đặc biệt là những mặt hàng chất lượng cao sản xuất hàng loạt như hàng điện tử, cơ khí chính xácTuy vậy trong các công trình xây dựng độ tin cậy chưa được quan tâm đúng mức vì sản phẩm  Tel: 0982 746081, Email: hungduongxd@gmail.com không có tính chất hàng loạt; các công trình lớn được xem là vĩnh cửu. Trong bài báo này sẽ giới thiệu tính toán kết cấu thanh chịu uốn một cách có hệ thống theo mô hình ngẫu nhiên, sau đó xác định độ tin cậy của kết cấu này. Việc tính toán theo mô hình ngẫu nhiên sẽ cho kết quả đặc trưng xác suất của các thông số đầu ra (như nội lực, chuyển vị,..) khi biết đặc trưng xác suất của các thông số đầu vào (như tải trọng, các tham số kết cấu). Ngoài ra, bài báo cũng đề cập đến vấn đề tính toán dầm có vết nứt được mô hình là lò xo đàn hồi có độ cứng c [1]. Việc xem xét dầm đồng thời có vết nứt và kể đến sự phân bố ngẫu nhiên của độ cứng uốn EI(x) là một vấn đề mới. Ví dụ minh họa dưới đây là kết cấu dầm chịu uốn chịu tải trọng tiền định. Kết cấu dầm có độ cứng uốn EI(x) phân bố ngẫu nhiên theo quy luật như trong tài liệu [6]. Tính toán kết cấu dầm theo phương pháp phần tử hữu hạn, sử dụng chương trình TK.mw [2], [3] để nhận được kết quả kỳ vọng và phương sai của nội lực, từ đó vận dụng lý thuyết độ tin cậy để Dương Thế Hùng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 74(12): 130 - 134 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên | 131 đánh giá mức độ an toàn của kết cấu theo tiêu chuẩn về bền [4]. THIẾT LẬP MÔ HÌNH TÍNH TOÁN Vết nứt đƣợc mô hình hóa làm việc nhƣ lò xo đàn hồi Khi có vết nứt, tính chất cơ lý, độ cứng của dầm có những gián đoạn nhất định, không còn tính liên tục. Chuyển vị của mặt cắt hoặc tiết diện nằm sát ở hai bên vết nứt không còn liên tục mà có chuyển vị tương đối với nhau, nói cách khác, chúng được liên kết với nhau bằng các liên kết mềm, có độ cứng hữu hạn. Vì thế, vết nứt được mô hình hoá thành những liên kết lò xo. Để đơn giản và phù hợp chung với sơ đồ tính của kết cấu, ta có thể xem những liên kết này là đàn hồi tuyến tính: chuyển vị tỷ lệ bậc nhất với lực tác động. Đối với dầm chịu uốn, vết nứt được mô phỏng bằng lò xo có độ cứng đàn hồi tương đương theo công thức trong [1]: 2 0 0 0 2 2 3 4 36 (0,5033 0,9022 3, 412 3,18 5,793 )       b h E c      (1) trong đó 02 / a h với a là chiều sâu vết nứt; b0,h0 là chiều rộng và chiều cao tiết diện dầm hình chữ nhật tại vị trí vết nứt; E0 là môdun đàn hồi. Độ cứng uốn EI(x) của kết cấu thanh đƣợc mô hình hóa là đại lƣợng ngẫu nhiên Các tham số trong kết cấu như kích thước hình học và đặc trưng vật lý thường được xác định thông qua việc đo đạc và ta thường lấy giá trị trung bình của một số mẫu thử để đem ra tính toán. Các đại lượng độ cứng và phân bố khối lượng sẽ được tính toán hoặc đo đạc thông qua việc xử lý thống kê số liệu của nhiều tham số khác nhau. Một mô hình tính toán độ cứng là biến ngẫu nhiên có tham số bé đã được sử dụng trong các tài liệu [6], [7]:  0 1 1( ) (1 ( ) EI x EI g x (2) trong đó EI0 biểu thị giá trị kỳ vọng của các đại lượng EI(x); 1 là hằng số 0<1<<1, được gọi là tham số bé; g1(x) là hàm ngẫu nhiên có giá trị kỳ vọng bằng không và độ lệch chuẩn đơn vị với hàm tương quan là R11() đã biết. Mô hình tính toán phần tử thanh chịu uốn ngang phẳng có vết nứt Xét phần tử thanh chịu uốn thứ “i” có vết nứt ở hai đầu như ở hình 1. Giả thiết thanh làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính và xét biến dạng trong thanh là bé. Ta gọi phần tử loại 1 (PTL1) là đoạn nằm giữa hai mặt cắt 1- 2 (hình 1a) và phần tử loại 2 (PTL2) là đoạn nằm giữa hai mặt cắt 1’-2’ (hình 1b). ' ' 1 2,i iu u là góc xoay tại mặt cắt 1’ và 2’ của phần tử loại 2; 1 2, c c i iu u là góc xoay của lò xo tương đương tại vết nứt; 1 2,i iu u là góc xoay tại điểm 1 và 2 của phần tử loại 1; P1i, P2i, P3i, P4i là các lực nút tương đương tại hai đầu phần tử. Từ mô hình thanh chịu uốn ở hình 1, góc xoay tại mặt cắt 1,2 sẽ được biểu diễn qua góc xoay tại mặt cắt 1’, 2’ theo công thức sau: '  ci i iu u u (3) c iu là góc xoay của lò xo tương đương tại vết nứt, được xác định theo công thức: c ii i P u c (4) ở đây ic là độ cứng tương đương của vết nứt, được tính toán theo công thức (1); Pi lấy giá trị bằng P2i hoặc P4i (là các giá trị mômen) trên hình 1. Phần tử loại 2 dễ dàng xác định được ma trận độ cứng và lực nút tương đương. Sau đó, sẽ xác định được ma trận độ cứng và lực nút tương đương của phần tử loại 1 theo phần tử loại 2 theo công thức [2]:          (1) (2)             c T VD I B D I B K (5) {Lực PTL1}=([I]+[B])T*{lực PTL2} (6) trong đó: [D(2)] – là ma trận độ cứng của PTL2; I – là ma trận đơn vị cấp 4x4. B và cV K – là ma trận có chứa các độ cứng tương đương của vết nứt tại hai đầu phần tử. Nhận thấy rằng vì độ cứng EI(x) là đại lượng ngẫu Dương Thế Hùng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 74(12): 130 - 134 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên | 132 nhiên theo công thức (2) nên ma trận độ cứng [D (2)] là ma trận ngẫu nhiên có các “tích phân trọng số” đã biết [6]. Vì vậy, ma trận độ cứng [D (1)] cũng là ma trận ngẫu nhiên. i 1i l c P2i 1i P 1' 2'1 1iu u2i 4iP P 3i y x c2i 2 1' 2' u' P P 3i P P4i 2i u'Y(x,t) 1i 2i i u1i c u c 2i a) b) Hình 1. Mô hình phần tử thanh chịu uốn có vết nứt Sau khi nhận được ma trận độ cứng của các phần tử, rồi chuyển về hệ tọa độ chung, ta tiến hành ghép nối các ma trận độ cứng này thành ma trận tổng thể, tiến hành khử các điều kiện biên, được ma trận của hệ kết cấu là K. Cuối cùng phương trình cân bằng của cả hệ có dạng:     K Z F (7) Z là véc tơ biên độ của chuyển vị nút cần phải xác định; Ma trận độ cứng tổng thể K có thể viết tách thành hai phần xác định và ngẫu nhiên như sau:    0    K K K (8) Để giải (7), phải nghịch đảo ma trận độ cứng K, ở đây ta sử dụng phương pháp khai triển Neumann. Dùng (8), viết (7) dưới dạng:    0    K K Z F (9) Ký hiệu Z0 là nghiệm khi không có ngẫu nhiên, nghĩa là:     1 0 0     Z K F (10) Sử dụng khai triển Neumann [6], ta được: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ...                               n K K K K I K K K K KK K KK KK (11) Do đó: 1 0 0 2 0 ...    Z K F Z TZ T Z (12) Với 10 T K K là ma trận ngẫu nhiên. Sau khi có giá trị Z theo (12), tùy mức độ phức tạp hoặc yêu cầu đặt ra, ta có thể lấy xấp xỉ bậc nhất hay bậc cao của khai triển Neumann. Nếu lấy xấp xỉ bậc nhất ta tính được biểu thức kỳ vọng và phương sai của Z bằng số hạng thứ nhất trong công thức (12). Sau đó ta sẽ tính được kỳ vọng và phương sai của nội lực như sau: Biểu thức kỳ vọng:        e eNL D Z (13) Phương sai, đồng phương sai:             0 0 0 [ ]                           e e e e e e e e e e e e NL D D Z Z D Z D Z D Z D Z (14) VÍ DỤ TÍNH TOÁN 3.1. Xác định kỳ vọng và phương sai của mômen tại vị trí vết nứt Xét dầm có một vết nứt tại giữa nhịp, vết nứt được quy đổi về lò xo có độ cứng c như hình 2. Dầm có tiết diện chữ nhật b0xh0. L L1 L2  c c  L2L1 1 1 2 3 6 5 4 2 3 7 8 9 a) b) 1 2 q Hình 2. Dầm hai đầu khớp Yêu cầu cần xác định kỳ vọng và phương sai của mômen tại vị trí vết nứt. Sử dụng chương trình TK.mw [2], [3] tính được: Kỳ vọng: /2 2 /2 8   LM L qL M (15) Phương sai:   2 0 0 2 6 2 2 12 2 /2 4 0 2304 672. . . 49. . ar[ ] . 8           L EI L EI c L c q L c V M c L EI      (16) Dương Thế Hùng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 74(12): 130 - 134 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên | 133 Trong trường hợp dầm có hai đầu là ngàm cứng, nhận được kết quả mômen tại vết nứt có: Kỳ vọng: /2 3 /2 0 1 24   L M L qL c M EI Lc    (15’) Phương sai:     6 5 0 0 2 4 2 3 3 3 0 0 2 6 2 2 14 2 4 5 5 0 0 6 6 /2 4 4 0 0 18496 20400. . . 17321. . . 8082. . . 2749. . . 516. . . 36. . ar[ ] . 8 .                      L EI L EI c L EI c L EI c L c q L EI c L EI c L c V M c L EI c L EI           (16’) Để ý rằng khi độ cứng c (dầm không có vết nứt) kết quả tính toán trong các công thức (15’), (16), (16’) sẽ trùng với kết quả tính dầm không nứt thông thường. Xác định xác suất an toàn Khoảng an toàn và chỉ số độ tin cậy  Khoảng an toàn của phần tử kết cấu, ký hiệu M, là hiệu số giữa khả năng của phần tử kết cấu, ký hiệu là R, và trạng thái của nó dưới tác động của nguyên nhân bên ngoài gây ra, ký hiệu là Q: ( ) 0   iM f x R Q (17) Khoảng an toàn M là hàm của các biến ngẫu nhiên xi. Đại lượng ngẫu nhiên M có kỳ vọng là M và độ lệch chuẩn M xác định theo: 2 2;    M R Q M R Q      (18) Chỉ số độ tin cậy [4] của phần tử kết cấu được định nghĩa là M M M    (19) Độ tin cậy hay xác suất làm việc an toàn của phần tử kết cấu là 1 1 Pr ( 0)    s fP P ob M (20) Xác suất phá hoại Pf đối với phần tử kết cấu khi M có phân bố chuẩn xác định theo:             M f M P    (21)   21 exp 22           t dt    (22) Sử dụng phương pháp mức 2 và chỉ số độ tin cậy Conell [4] đại lượng ( )        i i i f x x i x M x   (23) gọi là độ lệch chuẩn của các biến ngẫu nhiên không tương quan. Từ đó xác định được độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫn nhiên M: 1/2 2 ( ) 1         i n M f x i   (24) Độ tin cậy về bền của dầm chịu uốn Quãng an toàn của dầm theo điều kiện bền chịu uốn tại điểm mép trên và mép dưới dầm ở trạng thái ứng suất đơn, được xác định theo công thức: /2 /2 ( , ) [ ] [ ] . 0 ( ) 2         L L M f M EI h E EI x    (25) ở đây ML/2 là mô men uốn tại vị trí vết nứt có giá trị kỳ vọng và phương sai tính theo công thức (15), (16); [ ] là ứng suất cho phép. Giá trị phương sai của độ cứng uốn EI(x) được tính theo công thức sau:       2 0 1 0 2 2 0 1 ( ) [1 ( )]    gg Var EI x EI g x EI EI    (26) Với giả thiết 2 2 1 2( ) /2 11( )   x x dR c e . Ở đây khi chọn c=1, d (hệ tương quan đầy đủ) theo [5], ta tính được: 2 (0) ( ) 1     gg gg ggR S d   (27) và:         2 0 1 0 2 22 0 1 0 1 ( ) [1 ( )]    gg Var EI x EI g x EI EI EI     (28) Dưới đây ta tính toán độ lệch chuẩn của quãng an toàn M theo (24) với hai biến ngẫu nhiên là ML/2 và EI(x), với giả thiết hai biến ngẫu nhiên ML/2 và EI(x) không tương quan. Dương Thế Hùng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 74(12): 130 - 134 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên | 134 Số liệu không ngẫu nhiên khác lấy trong bảng 1. Kết quả tính toán độ tin cậy của dầm ở bảng 2. Bảng 1 Bảng 2 Số liệu tính toán Kết quả tính độ tin cậy Tên biến Giá trị q (KN/m) 5 L (m) 4 E (KN/m2) 24821128 b (m) 0.22 h (m) 0.35 EI0 (KNm2) 19510 cphi(KNm) 123456 [](KN/m2) 2300 Các số liệu đầu vào TT 1  Ps 1 0.01 3.299 0.99951485 2 0.02 1.650 0.95052853 3 0.03 1.100 0.86433394 4 0.04 0.825 0.79531420 5 0.05 0.660 0.74537309 6 0.06 0.550 0.70884031 7 0.07 0.471 0.68117963 8 0.08 0.412 0.65983029 9 0.09 0.367 0.64319049 10 0.1 0.330 0.62930002 MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRAO ĐỔI Trong mô hình trên đây ta giả thiết vết nứt đã biết trước về vị trí và độ sâu, từ đó thiết lập mô hình tính toán kết cấu thanh chịu uốn theo mô hình ngẫu nhiên để nhận được giá trị kỳ vọng và phương sai của nội lực. Sau đó, dựa vào lý thuyết độ tin cậy để tính toán xác suất an toàn của dầm theo điều kiện bền. Việc cho ra kết quả xác suất an toàn sẽ đem lại nhiều ý nghĩa trong thực tế khi kiểm định hoặc đánh giá kết cấu, đặc biệt là kết cấu có vết nứt. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Ngọc Hồng và nhóm tác giả (2002), Nghiên cứu khả năng làm việc tĩnh của kết cấu khung bị giảm yếu sau thiết kế. Đề tài khoa học cấp Bộ, Trường Đại học Xây dựng, Hà nội. [2] Dương Thế Hùng (2009). “Xây dựng ma trận độ cứng của phần tử thanh có liên kết nửa cứng và có tham số ngẫu nhiên”. Tuyển tập hội nghị toàn quốc 30 năm thành lập Viện cơ học và 30 năm Tạp chí cơ học. Nxb Khoa học tự nhiên và Công nghệ, Hà Nội. 57-65. [3] Dương Thế Hùng (2009), “Tính toán kết cấu thanh có tham số ngẫu nhiên”. Tuyển tập hội nghị toàn quốc 30 năm thành lập Viện cơ học và 30 năm Tạp chí cơ học. Nxb Khoa học tự nhiên và Công nghệ, Hà Nội. 66-73. [4] Phan Văn Khôi (2001), Lý thuyết độ tin cậy. Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội. [5] Isaac Elishakoff and Yongjian Ren (2003), Finite Element Methods for Structures with Large Stochastic Variations. Oxford University Press. [6] Sondipon Adikari and C.S. Manohar (1999), “Dynamic analysis of framed structures with statistical uncertainties”, Int, J. Numer. Meth. Engng. 44, 1157-78. Takada,T.(1990).“Weighted integral method in stochastic finite element analysis”. Journal of Probabilistic Engineering Mechanics 5, 145-56. SUMMARY DETERMINE THE EXPECTATION, VARIANCE AND RELIABILITY IN SOME BENDING BEAMS WITHIN THEIR CRACKS AND FLEXUAL STIFFNESS EI(X) WHICH IS THE STOCHASTIC PARAMETER Duong The Hung Thai Nguyen University of Technology This paper presents calculating the bending beams following the stochastic method. Under the finite element method, the structural model is established to determine the expectation, variance of node displacements, and then of inner forces. The structres have cracks, flexual stiffness EI(x) which is the stochastic parameter. The results of these models are the safe probability of the beams, will are applied to examine, explore the structres as on theory models as on reality models. Key words: crack; reliability; stochastic model; Dương Thế Hùng Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 74(12): 130 - 134 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên | 135