Vi tích phân A2 Chương 4. Phương trình vi phân
Dạng. y00+ py0+ qy = 0 (1) với p, q là các hằng số. Phương trình đặc trưng. k2+ pk + q = 0 (2)
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Vi tích phân A2 Chương 4. Phương trình vi phân, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
VI TÍCH PHÂN A2
CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CBGD. Lê Hoài Nhân
Ngày 20 tháng 4 năm 2013
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 1 / 31
Mục lục
1 Phương trình vi phân cấp 1
Phương trình tách biến
Phương trình thuần nhất
Phương trình vi phân toàn phần
Phương trình tuyến tính cấp một
Phương trình Bernulli
2 Phương trình vi phân cấp 2
Phương trình giảm cấp được
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 2 / 31
Phương trình tách biến
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 3 / 31
Phương trình tách biến
Dạng. M(x)dx + N(y)dy = 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 3 / 31
Phương trình tách biến
Dạng. M(x)dx + N(y)dy = 0.
Tích phân tổng quát.
∫
M(x)dx +
∫
N(y)dy = C
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 3 / 31
Phương trình tách biến
Dạng. M(x)dx + N(y)dy = 0.
Tích phân tổng quát.
∫
M(x)dx +
∫
N(y)dy = C
Ví dụ 1. Giải phương trình:
x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 3 / 31
Phương trình tách biến
Dạng. M(x)dx + N(y)dy = 0.
Tích phân tổng quát.
∫
M(x)dx +
∫
N(y)dy = C
Ví dụ 1. Giải phương trình:
x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = 0.
Ví dụ 2. Giải phương trình: y ′ = xy(y + 2).
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 3 / 31
Phương trình tách biến
Dạng. M(x)dx + N(y)dy = 0.
Tích phân tổng quát.
∫
M(x)dx +
∫
N(y)dy = C
Ví dụ 1. Giải phương trình:
x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = 0.
Ví dụ 2. Giải phương trình: y ′ = xy(y + 2).
Ví dụ 3. Giải phương trình: y ′ = cos(x − y − 1).
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 3 / 31
Phương trình thuần nhất
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 4 / 31
Phương trình thuần nhất
Hàm thuần nhất. Hàm số thỏa
f (k.x ; k.y) = f (x , y),∀k 6= 0
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 4 / 31
Phương trình thuần nhất
Hàm thuần nhất. Hàm số thỏa
f (k.x ; k.y) = f (x , y),∀k 6= 0
Nếu f (x , y) là hàm thuần nhất thì
f (x , y) = f (1,
y
x
) = g(
y
x
), ∀x 6= 0
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 4 / 31
Phương trình thuần nhất
Hàm thuần nhất. Hàm số thỏa
f (k.x ; k.y) = f (x , y),∀k 6= 0
Nếu f (x , y) là hàm thuần nhất thì
f (x , y) = f (1,
y
x
) = g(
y
x
), ∀x 6= 0
Dạng phương trình thuần nhất. y ′ = f (x , y) với f (x , y) là hàm
thuần nhất.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 4 / 31
Phương trình thuần nhất
Hàm thuần nhất. Hàm số thỏa
f (k.x ; k.y) = f (x , y),∀k 6= 0
Nếu f (x , y) là hàm thuần nhất thì
f (x , y) = f (1,
y
x
) = g(
y
x
), ∀x 6= 0
Dạng phương trình thuần nhất. y ′ = f (x , y) với f (x , y) là hàm
thuần nhất.
Cách giải. Đổi biến u = y
x
hay y = ux .
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 4 / 31
Phương trình thuần nhất
Hàm thuần nhất. Hàm số thỏa
f (k.x ; k.y) = f (x , y),∀k 6= 0
Nếu f (x , y) là hàm thuần nhất thì
f (x , y) = f (1,
y
x
) = g(
y
x
), ∀x 6= 0
Dạng phương trình thuần nhất. y ′ = f (x , y) với f (x , y) là hàm
thuần nhất.
Cách giải. Đổi biến u = y
x
hay y = ux . Suy ra:
y ′ =
dy
dx
= u + x .
du
dx
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 4 / 31
Phương trình thuần nhất
Hàm thuần nhất. Hàm số thỏa
f (k.x ; k.y) = f (x , y),∀k 6= 0
Nếu f (x , y) là hàm thuần nhất thì
f (x , y) = f (1,
y
x
) = g(
y
x
), ∀x 6= 0
Dạng phương trình thuần nhất. y ′ = f (x , y) với f (x , y) là hàm
thuần nhất.
Cách giải. Đổi biến u = y
x
hay y = ux . Suy ra:
y ′ =
dy
dx
= u + x .
du
dx
Thay y và y ′ vào phương trình ban đầu ta thu được phương trình
tách biến theo u.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 4 / 31
Phương trình thuần nhất
Ví dụ 1. Giải phương trình: y ′ = x
2 − xy + y2
xy
.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 5 / 31
Phương trình thuần nhất
Ví dụ 1. Giải phương trình: y ′ = x
2 − xy + y2
xy
.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
dy
dx
=
y +
√
x2 − y2
x
với x > 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 5 / 31
Phương trình thuần nhất
Ví dụ 1. Giải phương trình: y ′ = x
2 − xy + y2
xy
.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
dy
dx
=
y +
√
x2 − y2
x
với x > 0.
Ví dụ 3. Giải phương trình:
(2x + 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy = 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 5 / 31
Phương trình thuần nhất
Ví dụ 1. Giải phương trình: y ′ = x
2 − xy + y2
xy
.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
dy
dx
=
y +
√
x2 − y2
x
với x > 0.
Ví dụ 3. Giải phương trình:
(2x + 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy = 0.
Ví dụ 4. Giải phương trình:
(x + y + 2)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 5 / 31
Phương trình vi phân toàn phần
Định nghĩa. Phương trình P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 với ∂P
∂y
=
∂Q
∂x
được gọi là phương trình vi phân toàn phần.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 6 / 31
Phương trình vi phân toàn phần
Định nghĩa. Phương trình P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 với ∂P
∂y
=
∂Q
∂x
được gọi là phương trình vi phân toàn phần.
Tích phân tổng quát.
φ(x , y) = C
với φ(x , y) là hàm thế của trường
−→
F = P
−→
i + Q
−→
j
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 6 / 31
Phương trình vi phân toàn phần
Định nghĩa. Phương trình P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 với ∂P
∂y
=
∂Q
∂x
được gọi là phương trình vi phân toàn phần.
Tích phân tổng quát.
φ(x , y) = C
với φ(x , y) là hàm thế của trường
−→
F = P
−→
i + Q
−→
j
Hàm φ(x , y) được xác định nhờ định lý bốn mệnh đề tương đương.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 6 / 31
Phương trình vi phân toàn phần
Ví dụ 1. Giải phương trình:
(3y2 + 2xy + 2x)dx + (6xy + x2 + 3)dy = 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 7 / 31
Phương trình vi phân toàn phần
Ví dụ 1. Giải phương trình:
(3y2 + 2xy + 2x)dx + (6xy + x2 + 3)dy = 0.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
(x + y − 1)dx + (ey + x)dy = 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 7 / 31
Thừa số tích phân
Giả sử phương trình M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 không phải là phương
trình vi phân toàn phần.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 8 / 31
Thừa số tích phân
Giả sử phương trình M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 không phải là phương
trình vi phân toàn phần.
Định nghĩa. Hàm số µ = µ(x , y) được gọi là thừa số tích phân của
phương trình trên nếu phương trình
µ(x , y).M(x , y)dx + µ(x , y).N(x , y)dy = 0
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 8 / 31
Thừa số tích phân
Giả sử phương trình M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 không phải là phương
trình vi phân toàn phần.
Định nghĩa. Hàm số µ = µ(x , y) được gọi là thừa số tích phân của
phương trình trên nếu phương trình
µ(x , y).M(x , y)dx + µ(x , y).N(x , y)dy = 0
là phương trình vi phân toàn phần.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 8 / 31
Thừa số tích phân
Giả sử phương trình M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 không phải là phương
trình vi phân toàn phần.
Định nghĩa. Hàm số µ = µ(x , y) được gọi là thừa số tích phân của
phương trình trên nếu phương trình
µ(x , y).M(x , y)dx + µ(x , y).N(x , y)dy = 0
là phương trình vi phân toàn phần.
Ví dụ. Hàm số
µ(x , y) = ey
là thừa số tích phân của phương trình dx + xdy = 0 vì phương trình
eydx + xeydy = 0
là phương trình vi phân toàn phần.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 8 / 31
Thừa số tích phân
Trường hợp 1. Nếu
M ′y − N
′
x
N
= f (x) - hàm một biến x thì phương
trình có thừa số tích phân dạng µ = µ(x) và
µ(x) = e
∫
f (x)dx
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 9 / 31
Thừa số tích phân
Trường hợp 1. Nếu
M ′y − N
′
x
N
= f (x) - hàm một biến x thì phương
trình có thừa số tích phân dạng µ = µ(x) và
µ(x) = e
∫
f (x)dx
Ví dụ. Giải phương trình
(2xy + x2y +
y3
3
)dx + (x2 + y2)dy = 0
bằng cách tìm thừa số tích phân.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 9 / 31
Thừa số tích phân
Trường hợp 2. Nếu
N ′x −M
′
y
M
= f (y) - hàm một biến y thì phương
trình có thừa số tích phân dạng µ = µ(y) và
µ(y) = e
∫
f (y)dy
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 10 / 31
Thừa số tích phân
Trường hợp 2. Nếu
N ′x −M
′
y
M
= f (y) - hàm một biến y thì phương
trình có thừa số tích phân dạng µ = µ(y) và
µ(y) = e
∫
f (y)dy
Ví dụ. Giải phương trình
y(1 + xy)dx − xdy = 0
bằng cách tìm thừa số tích phân.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 10 / 31
Phương trình tuyến tính cấp một
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 11 / 31
Phương trình tuyến tính cấp một
Dạng thuần nhất. y ′ + P(x).y = 0
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 11 / 31
Phương trình tuyến tính cấp một
Dạng thuần nhất. y ′ + P(x).y = 0
Nghiệm. y = C .e−
∫
P(x)dx
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 11 / 31
Phương trình tuyến tính cấp một
Dạng không thuần nhất. y ′ + P(x).y = Q(x) với Q(x) không đồng
nhất 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 12 / 31
Phương trình tuyến tính cấp một
Dạng không thuần nhất. y ′ + P(x).y = Q(x) với Q(x) không đồng
nhất 0.
Nghiệm. y = e−
∫
P(x)dx
(∫
Q(x)e
∫
P(x)dxdx + C
)
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 12 / 31
Phương trình tuyến tính cấp một
Dạng không thuần nhất. y ′ + P(x).y = Q(x) với Q(x) không đồng
nhất 0.
Nghiệm. y = e−
∫
P(x)dx
(∫
Q(x)e
∫
P(x)dxdx + C
)
Ví dụ 1. Giải phương trình:
y ′ − y sin x = 2xe− cos x
với y(0) = 1.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 12 / 31
Phương trình tuyến tính cấp một
Dạng không thuần nhất. y ′ + P(x).y = Q(x) với Q(x) không đồng
nhất 0.
Nghiệm. y = e−
∫
P(x)dx
(∫
Q(x)e
∫
P(x)dxdx + C
)
Ví dụ 1. Giải phương trình:
y ′ − y sin x = 2xe− cos x
với y(0) = 1.
Ví dụ 2. Giải phương trình: y ′ − y tan x = sin x .
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 12 / 31
Phương trình Bernulli
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 13 / 31
Phương trình Bernulli
Dạng. y ′ + P(x).y = Q(x).yα với Q(x) không đồng nhất 0 và α là
hằng số.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 13 / 31
Phương trình Bernulli
Dạng. y ′ + P(x).y = Q(x).yα với Q(x) không đồng nhất 0 và α là
hằng số.
Cách giải.
Chia hai vế của phương trình cho yα
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 13 / 31
Phương trình Bernulli
Dạng. y ′ + P(x).y = Q(x).yα với Q(x) không đồng nhất 0 và α là
hằng số.
Cách giải.
Chia hai vế của phương trình cho yα
Đổi biến z = y1−α
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 13 / 31
Phương trình Bernulli
Dạng. y ′ + P(x).y = Q(x).yα với Q(x) không đồng nhất 0 và α là
hằng số.
Cách giải.
Chia hai vế của phương trình cho yα
Đổi biến z = y1−α
Thu được phương trình tuyến tính cấp một ẩn hàm z. Giải phương
trình này và suy ra nghiệm y .
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 13 / 31
Phương trình Bernulli
Ví dụ 1. Giải phương trình: y ′ + 1
x
y = xy2.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 14 / 31
Phương trình Bernulli
Ví dụ 1. Giải phương trình: y ′ + 1
x
y = xy2.
Ví dụ 2. Giải phương trình: dy
dx
.x3 sin y + 2y = x
dy
dx
.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 14 / 31
Phương trình giảm cấp được - không chứa y và y ′
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 15 / 31
Phương trình giảm cấp được - không chứa y và y ′
Dạng. y ′′ = f (x).
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 15 / 31
Phương trình giảm cấp được - không chứa y và y ′
Dạng. y ′′ = f (x).
Cách giải. Lấy tích phân hai lần theo x .
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 15 / 31
Phương trình giảm cấp được - không chứa y và y ′
Dạng. y ′′ = f (x).
Cách giải. Lấy tích phân hai lần theo x .
Ví dụ. Giải phương trình y ′′ = x4.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 15 / 31
Phương trình giảm cấp được - không chứa y
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 16 / 31
Phương trình giảm cấp được - không chứa y
Dạng. F (x , y ′, y ′′) = 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 16 / 31
Phương trình giảm cấp được - không chứa y
Dạng. F (x , y ′, y ′′) = 0.
Cách giải. Đặt z = y ′.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 16 / 31
Phương trình giảm cấp được - không chứa y
Dạng. F (x , y ′, y ′′) = 0.
Cách giải. Đặt z = y ′.
Ví dụ. Giải phương trình y ′′ + 2y ′ = ex .y ′2.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 16 / 31
Phương trình giảm cấp được - không chứa x
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 17 / 31
Phương trình giảm cấp được - không chứa x
Dạng. F (y , y ′, y ′′) = 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 17 / 31
Phương trình giảm cấp được - không chứa x
Dạng. F (y , y ′, y ′′) = 0.
Cách giải. Đặt z = y ′.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 17 / 31
Phương trình giảm cấp được - không chứa x
Dạng. F (y , y ′, y ′′) = 0.
Cách giải. Đặt z = y ′.Suy ra:
y ′′ =
dz
dx
=
dz
dy
.
dy
dx
= z .
dz
dy
.
Thay vào phương trình, với y là biến tự do và ẩn hàm là z .
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 17 / 31
Phương trình giảm cấp được - không chứa x
Dạng. F (y , y ′, y ′′) = 0.
Cách giải. Đặt z = y ′.Suy ra:
y ′′ =
dz
dx
=
dz
dy
.
dy
dx
= z .
dz
dy
.
Thay vào phương trình, với y là biến tự do và ẩn hàm là z .
Ví dụ. Giải phương trình
y .y ′′ − y ′2 = 0
với y(0) = 1 và y ′(0) = 2.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 17 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 18 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = 0
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 18 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = 0
Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng
y = C1y1 + C2y2
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 18 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = 0
Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng
y = C1y1 + C2y2
với y1, y2 là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính và C1,C2 là các hằng
số.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 18 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = 0
Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng
y = C1y1 + C2y2
với y1, y2 là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính và C1,C2 là các hằng
số.
Công thức cầu phương Nếu y1 là một nghiệm riêng của phương
trình thì
y2 = y1.
∫
e−
∫
a1(x)dx
y2
1
dx
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 18 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Ví dụ. hãy viết nghiệm tổng quát của phương trình
x2(ln x − 1)y ′′ − xy ′ + y = 0
biết một nghiệm riêng của nó là y = x .
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 19 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = f (x)
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = f (x)
Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng
y = y + Y
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = f (x)
Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng
y = y + Y
với y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và Y là một
nghiệm riêng.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = f (x)
Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng
y = y + Y
với y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và Y là một
nghiệm riêng.
Các bước giải.
1 Tìm nghiệm tổng quát ycủa phương trình thuần nhất.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = f (x)
Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng
y = y + Y
với y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và Y là một
nghiệm riêng.
Các bước giải.
1 Tìm nghiệm tổng quát ycủa phương trình thuần nhất.
2 Tìm nghiệm riêng Y của phương trình không thuần nhất bằng phương
pháp biến thiên hằng số Lagrange.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = f (x)
Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng
y = y + Y
với y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và Y là một
nghiệm riêng.
Các bước giải.
1 Tìm nghiệm tổng quát ycủa phương trình thuần nhất.
2 Tìm nghiệm riêng Y của phương trình không thuần nhất bằng phương
pháp biến thiên hằng số Lagrange.
3 Tổng hợp nghiệm.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
Dạng. y ′′ + a1(x)y ′ + a2(x)y = f (x)
Cấu trúc nghiệm. Mọi nghiệm của phương trình đều có dạng
y = y + Y
với y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và Y là một
nghiệm riêng.
Các bước giải.
1 Tìm nghiệm tổng quát ycủa phương trình thuần nhất.
2 Tìm nghiệm riêng Y của phương trình không thuần nhất bằng phương
pháp biến thiên hằng số Lagrange.
3 Tổng hợp nghiệm.
Ví dụ. Giải phương trình: y ′′ − y
′
x
= x .
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 20 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần
nhất
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 21 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần
nhất
Dạng. y ′′ + py ′ + qy = 0 (1) với p, q là các hằng số.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 21 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần
nhất
Dạng. y ′′ + py ′ + qy = 0 (1) với p, q là các hằng số.
Phương trình đặc trưng. k2 + pk + q = 0 (2)
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 21 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần
nhất
Dạng. y ′′ + py ′ + qy = 0 (1) với p, q là các hằng số.
Phương trình đặc trưng. k2 + pk + q = 0 (2)
Nghiệm tổng quát.
1 Nếu (2) có hai nghiệm k1, k2 phân biệt thì phương trình (1) có nghiệm
tổng quát là
y = C1e
k1x + C2e
k2x
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 21 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần
nhất
Dạng. y ′′ + py ′ + qy = 0 (1) với p, q là các hằng số.
Phương trình đặc trưng. k2 + pk + q = 0 (2)
Nghiệm tổng quát.
1 Nếu (2) có hai nghiệm k1, k2 phân biệt thì phương trình (1) có nghiệm
tổng quát là
y = C1e
k1x + C2e
k2x
2 Nếu (2) có nghiệm kép k0 thì phương trình (1) có nghiệm tổng quát là
y = ek0x(C1 + C2x)
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 21 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần
nhất
Dạng. y ′′ + py ′ + qy = 0 (1) với p, q là các hằng số.
Phương trình đặc trưng. k2 + pk + q = 0 (2)
Nghiệm tổng quát.
1 Nếu (2) có hai nghiệm k1, k2 phân biệt thì phương trình (1) có nghiệm
tổng quát là
y = C1e
k1x + C2e
k2x
2 Nếu (2) có nghiệm kép k0 thì phương trình (1) có nghiệm tổng quát là
y = ek0x(C1 + C2x)
3 Nếu (2) có hai nghiệm phức α± iβ thì phương trình (1) có nghiệm
tổng quát là
y = eαx(C1. cosβx + C2 sinβx)
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 21 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần
nhất
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
1 y ′′ + 5y ′ − 6y = 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 22 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần
nhất
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
1 y ′′ + 5y ′ − 6y = 0.
2 y ′′ − 4y = 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 22 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần
nhất
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
1 y ′′ + 5y ′ − 6y = 0.
2 y ′′ − 4y = 0.
3 y ′′ + 2y ′ = 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 22 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần
nhất
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
1 y ′′ + 5y ′ − 6y = 0.
2 y ′′ − 4y = 0.
3 y ′′ + 2y ′ = 0.
4 y ′′ + 2y ′ + y = 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 22 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần
nhất
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
1 y ′′ + 5y ′ − 6y = 0.
2 y ′′ − 4y = 0.
3 y ′′ + 2y ′ = 0.
4 y ′′ + 2y ′ + y = 0.
5 y ′′ + 2y ′ + 2y = 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 22 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần
nhất
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
1 y ′′ + 5y ′ − 6y = 0.
2 y ′′ − 4y = 0.
3 y ′′ + 2y ′ = 0.
4 y ′′ + 2y ′ + y = 0.
5 y ′′ + 2y ′ + 2y = 0.
6 y ′′ + 9y = 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 22 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần
nhất
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
1 y ′′ + 5y ′ − 6y = 0.
2 y ′′ − 4y = 0.
3 y ′′ + 2y ′ = 0.
4 y ′′ + 2y ′ + y = 0.
5 y ′′ + 2y ′ + 2y = 0.
6 y ′′ + 9y = 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 22 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng không
thuần nhất
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 23 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng không
thuần nhất
Dạng. y ′′ + py ′ + qy = f (x)
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 23 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng không
thuần nhất
Dạng. y ′′ + py ′ + qy = f (x)
Các bước giải. Bài toán tìm nghiệm tổng quát
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 23 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng không
thuần nhất
Dạng. y ′′ + py ′ + qy = f (x)
Các bước giải. Bài toán tìm nghiệm tổng quát
1 Tìm nghiệm tổng quát y của phương trình thuần nhất.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 23 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng không
thuần nhất
Dạng. y ′′ + py ′ + qy = f (x)
Các bước giải. Bài toán tìm nghiệm tổng quát
1 Tìm nghiệm tổng quát y của phương trình thuần nhất.
2 Tìm nghiệm riêng Y của phương trình (3)
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 23 / 31
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng không
thuần nhất
Dạng. y ′′ + py ′ + qy = f (x)
Các bước giải. Bài toán tìm nghiệm tổng quát
1 Tìm nghiệm tổng quát y của phương trình thuần nhất.
2 Tìm nghiệm riêng Y của phương trình (3)
3 Tổng hợp nghiệm.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 23 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x)
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 24 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x)
Trường hợp 1. α không là nghiệm của phương trình đặc trưng.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 24 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x)
Trường hợp 1. α không là nghiệm của phương trình đặc trưng.
Nghiệm riêng
Y = eαxQn(x)
với hệ số của đa thức Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 24 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x)
Trường hợp 1. α không là nghiệm của phương trình đặc trưng.
Nghiệm riêng
Y = eαxQn(x)
với hệ số của đa thức Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất.
Ví dụ. Giải phương trình y ′′ − 3y ′ + 2y = 4x .
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 24 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x)
Trường hợp 2. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt và α
là nghiệm của phương trình đặc trưng.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 25 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x)
Trường hợp 2. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt và α
là nghiệm của phương trình đặc trưng. Nghiệm riêng
Y = eαxxQn(x)
với hệ số của đa thức Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 25 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x)
Trường hợp 2. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt và α
là nghiệm của phương trình đặc trưng. Nghiệm riêng
Y = eαxxQn(x)
với hệ số của đa thức Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất.
Ví dụ. Giải phương trình y ′′ − 3y ′ + 2y = ex(3− 4x).
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 25 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x)
Trường hợp 3. Phương trình đặc trưng có nghiệm kép và α là
nghiệm của phương trình đặc trưng.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 26 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x)
Trường hợp 3. Phương trình đặc trưng có nghiệm kép và α là
nghiệm của phương trình đặc trưng. Nghiệm riêng
Y = eαxx2Qn(x)
với hệ số của đa thức Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 26 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với f (x) = eαx .Pn(x)
Trường hợp 3. Phương trình đặc trưng có nghiệm kép và α là
nghiệm của phương trình đặc trưng. Nghiệm riêng
Y = eαxx2Qn(x)
với hệ số của đa thức Qn được xác định nhờ phương pháp đồng nhất.
Ví dụ. Giải phương trình y ′′ − 4y ′ + 4y = 4.e2x .
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 26 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với
f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx)
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 27 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với
f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx)
Trường hợp 1. α± i .β không là nghiệm của phương trình đặc
trưng.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 27 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với
f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx)
Trường hợp 1. α± i .β không là nghiệm của phương trình đặc
trưng. Nghiệm riêng
Y = eαx (Pn(x). cos βx + Qn(x). sin βx)
với hệ số của đa thức Pn và Qn được xác định nhờ phương pháp
đồng nhất.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 27 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với
f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx)
Trường hợp 1. α± i .β không là nghiệm của phương trình đặc
trưng. Nghiệm riêng
Y = eαx (Pn(x). cos βx + Qn(x). sin βx)
với hệ số của đa thức Pn và Qn được xác định nhờ phương pháp
đồng nhất.
Ví dụ. Giải phương trình y ′′ + y ′ − 2y = cos x − 3 sin x .
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 27 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với
f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx)
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 28 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với
f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx)
Trường hợp 2. α± i .β là nghiệm phức của phương trình đặc trưng.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 28 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với
f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx)
Trường hợp 2. α± i .β là nghiệm phức của phương trình đặc trưng.
Nghiệm riêng
Y = eαxx (Pn(x). cos βx + Qn(x). sin βx)
với hệ số của đa thức Pn và Qn được xác định nhờ phương pháp
đồng nhất.
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 28 / 31
Nghiệm riêng của phương trình với
f (x) = eαx (Ur(x). cosβx + Vs(x). sinβx)
Trường hợp 2. α± i .β là nghiệm phức của phương trình đặc trưng.
Nghiệm riêng
Y = eαxx (Pn(x). cos βx + Qn(x). sin βx)
với hệ số của đa thức Pn và Qn được xác định nhờ phương pháp
đồng nhất.
Ví dụ. Giải phương trình y ′′ + y = 4x . sin x .
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 28 / 31
Nguyên lý chồng chất nghiệm
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 29 / 31
Nguyên lý chồng chất nghiệm
Nguyên lý. Nếu Y1 và Y2 lần lượt là nghiệm của phương trình:
y ′′ + py ′ + qy = f1(x)
và
y ′′ + py ′ + qy = f2(x)
thì Y1 + Y2 là nghiệm của phương trình
y ′′ + py ′ + qy = f1(x) + f2(x)
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 29 / 31
Nguyên lý chồng chất nghiệm
Ví dụ. Tìm dạng nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 30 / 31
Nguyên lý chồng chất nghiệm
Ví dụ. Tìm dạng nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
1 y ′′ + y = xex + 2e−x .
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 30 / 31
Nguyên lý chồng chất nghiệm
Ví dụ. Tìm dạng nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
1 y ′′ + y = xex + 2e−x .
2 y ′′ − 2y ′ = 2 cos2 x .
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 30 / 31
Nguyên lý chồng chất nghiệm
Ví dụ. Tìm dạng nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
1 y ′′ + y = xex + 2e−x .
2 y ′′ − 2y ′ = 2 cos2 x .
3 y ′′ − 4y ′ + 4y = sin x sin 3x .
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 30 / 31
HẾT CHƯƠNG 4
CBGD. Lê Hoài Nhân () CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ngày 20 tháng 4 năm 2013 31 / 31
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- slide_vi_tich_phan_a2_chuong_4_phuong_trinh_vi_phan_4598.pdf