Vi tích phân A2 Chương 3. Tích phân đường
Một miền D hữu hạn có biên là đường cong kín L có diện tích được tính bởi công thức Ví dụ. Dùng tích phân đường loại 2 tìm diện tích hình tròn bán kính R .
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Vi tích phân A2 Chương 3. Tích phân đường, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
CBGD. Lê Hoài Nhân
Ngày 12 tháng 4 năm 2013
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 1 / 33
1 Tích phân đường loại 1
Định nghĩa - Cách tính
Ứng dụng
2 Trường vector
3 Tích phân đường loại 2
Định nghĩa - Cách tính
Tích phân trên đường cong kín
Tích phân của trường bảo toàn
Ứng dụng
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 2 / 33
Định nghĩa
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Định nghĩa
Cho hàm số f (x , y , z) xác định trên cung L từ A đến B .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Định nghĩa
Cho hàm số f (x , y , z) xác định trên cung L từ A đến B .
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm
chia liên tiếp: A ≡ A0,A1, ...,An ≡ B .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Định nghĩa
Cho hàm số f (x , y , z) xác định trên cung L từ A đến B .
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm
chia liên tiếp: A ≡ A0,A1, ...,An ≡ B . Ký hiệu độ dài cung Ai−1Ai là
∆si .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Định nghĩa
Cho hàm số f (x , y , z) xác định trên cung L từ A đến B .
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm
chia liên tiếp: A ≡ A0,A1, ...,An ≡ B . Ký hiệu độ dài cung Ai−1Ai là
∆si .
Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân
In =
n∑
i=1
f (Mi).∆si .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Định nghĩa
Cho hàm số f (x , y , z) xác định trên cung L từ A đến B .
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm
chia liên tiếp: A ≡ A0,A1, ...,An ≡ B . Ký hiệu độ dài cung Ai−1Ai là
∆si .
Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân
In =
n∑
i=1
f (Mi).∆si .
Cho n →∞ sao cho max∆si → 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Định nghĩa
Cho hàm số f (x , y , z) xác định trên cung L từ A đến B .
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm
chia liên tiếp: A ≡ A0,A1, ...,An ≡ B . Ký hiệu độ dài cung Ai−1Ai là
∆si .
Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân
In =
n∑
i=1
f (Mi).∆si .
Cho n →∞ sao cho max∆si → 0. Nếu In có giới hạn hữu hạn I
không phụ thuộc và các chia cung AB và cách chọn Mi thì I được
gọi là tích phân đường loại 1 của f trên cung AB .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Định nghĩa
Cho hàm số f (x , y , z) xác định trên cung L từ A đến B .
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm
chia liên tiếp: A ≡ A0,A1, ...,An ≡ B . Ký hiệu độ dài cung Ai−1Ai là
∆si .
Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân
In =
n∑
i=1
f (Mi).∆si .
Cho n →∞ sao cho max∆si → 0. Nếu In có giới hạn hữu hạn I
không phụ thuộc và các chia cung AB và cách chọn Mi thì I được
gọi là tích phân đường loại 1 của f trên cung AB .
Ký hiệu I =
∫
L
f (x , y , z).ds.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Cách tính
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 4 / 33
Cách tính
Tùy thuộc vào phương trình của đường cong L mà ta chuyển tích
phân đường loại 1 về tích phân xác định.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 4 / 33
Cách tính
Tùy thuộc vào phương trình của đường cong L mà ta chuyển tích
phân đường loại 1 về tích phân xác định.
Ta xét hai trường hợp lớn: L là đường cong phẳng và L là đường
cong trong không gian.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 4 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 5 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L :
{
x = x(t)
y = y(t)
với t ∈ [a, b] thì
ds =
√
x ′2(t) + y ′2(t)dt
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 5 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L :
{
x = x(t)
y = y(t)
với t ∈ [a, b] thì
ds =
√
x ′2(t) + y ′2(t)dt
Công thức
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 5 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L :
{
x = x(t)
y = y(t)
với t ∈ [a, b] thì
ds =
√
x ′2(t) + y ′2(t)dt
Công thức
∫
L
f (x , y).ds =
b∫
a
f (x(t), y(t))
√
x ′2(t) + y ′2(t)dt
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 5 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 6 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Ví dụ 1. Tính tích phân I =
∫
L
x2ds với L là phần tư thứ nhất của
đường tròn x2 + y2 = 4.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 6 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Ví dụ 1. Tính tích phân I =
∫
L
x2ds với L là phần tư thứ nhất của
đường tròn x2 + y2 = 4.
Ví dụ 2. Tính tích phân I =
∫
L
(x
4
3 + y
4
3 )ds với L là x
2
3 + y
2
3 = a
2
3 .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 6 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 7 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L : y = y(x) với x ∈ [a, b] thì
ds =
√
1+ y ′2(x)dx
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 7 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L : y = y(x) với x ∈ [a, b] thì
ds =
√
1+ y ′2(x)dx
Công thức
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 7 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L : y = y(x) với x ∈ [a, b] thì
ds =
√
1+ y ′2(x)dx
Công thức
∫
L
f (x , y).ds =
b∫
a
f (x , y(x))
√
1+ y ′2(x)dx
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 7 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 8 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Ví dụ 1. Tính tích phân I =
∫
L
xds với L là phần parabol y =
x2
2
từ
x = 0 đến x = 2.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 8 / 33
Cách tính - L là đường cong trong không gian
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 9 / 33
Cách tính - L là đường cong trong không gian
Phương trình của L :
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
với t ∈ [a, b] thì
ds =
√
x ′2(t) + y ′2(t) + z ′2(t)dt
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 9 / 33
Cách tính - L là đường cong trong không gian
Phương trình của L :
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
với t ∈ [a, b] thì
ds =
√
x ′2(t) + y ′2(t) + z ′2(t)dt
Công thức
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 9 / 33
Cách tính - L là đường cong trong không gian
Phương trình của L :
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
với t ∈ [a, b] thì
ds =
√
x ′2(t) + y ′2(t) + z ′2(t)dt
Công thức
∫
L
f (x , y , z).ds =
b∫
a
f (x(t), y(t), z(t))
√
x ′2(t) + y ′2(t) + z ′2(t)dt
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 9 / 33
Cách tính - L là đường cong trong không gian
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 10 / 33
Cách tính - L là đường cong trong không gian
Ví dụ 1. Tính tích phân I =
∫
L
x2ds với L là đường giao tuyến của
hai mặt phẳng x − y + z = 0 và x + y + 2z = 0 từ gốc đến điểm
(3, 1,−2).
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 10 / 33
Cách tính - L là đường cong trong không gian
Ví dụ 1. Tính tích phân I =
∫
L
x2ds với L là đường giao tuyến của
hai mặt phẳng x − y + z = 0 và x + y + 2z = 0 từ gốc đến điểm
(3, 1,−2).
Ví dụ 2. Tính tích phân I =
∫
L
√
2y2 + z2ds với L là đường giao
tuyến của mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 và mặt phẳng y = x . Đs: pia2
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 10 / 33
Ứng dụng hình học
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 11 / 33
Ứng dụng hình học
Độ dài cung L =
∫
L
ds.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 11 / 33
Ứng dụng hình học
Độ dài cung L =
∫
L
ds.
Ví dụ 1. Tính độ dài một nhịp của đường Cycloid
x = a.(t − sint), y = a.(1− cos t) với t ∈ [0, 2pi].
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 11 / 33
Ứng dụng hình học
Độ dài cung L =
∫
L
ds.
Ví dụ 1. Tính độ dài một nhịp của đường Cycloid
x = a.(t − sint), y = a.(1− cos t) với t ∈ [0, 2pi].
Ví dụ 2. Tính độ dài một nhịp của đường lò xo
x = a. cos t, y = a. sin t, z = b.t với t ∈ [0, 2pi].
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 11 / 33
Ứng dụng cơ học
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 12 / 33
Ứng dụng cơ học
Khối lượng cung. Một cung L có khối lượng riêng tại mỗii điểm M
là δ(M) có khối lượng là:
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 12 / 33
Ứng dụng cơ học
Khối lượng cung. Một cung L có khối lượng riêng tại mỗii điểm M
là δ(M) có khối lượng là: m =
∫
L
δ(M)ds.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 12 / 33
Ứng dụng cơ học
Khối lượng cung. Một cung L có khối lượng riêng tại mỗii điểm M
là δ(M) có khối lượng là: m =
∫
L
δ(M)ds.
Moment tĩnh. Moment tĩnh của cung L đối với các mặt tọa độ xy ,
xz , yz là:
Mxy =
∫
L
zδ(M)ds;
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 12 / 33
Ứng dụng cơ học
Khối lượng cung. Một cung L có khối lượng riêng tại mỗii điểm M
là δ(M) có khối lượng là: m =
∫
L
δ(M)ds.
Moment tĩnh. Moment tĩnh của cung L đối với các mặt tọa độ xy ,
xz , yz là:
Mxy =
∫
L
zδ(M)ds; Mxz =
∫
L
yδ(M)ds;
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 12 / 33
Ứng dụng cơ học
Khối lượng cung. Một cung L có khối lượng riêng tại mỗii điểm M
là δ(M) có khối lượng là: m =
∫
L
δ(M)ds.
Moment tĩnh. Moment tĩnh của cung L đối với các mặt tọa độ xy ,
xz , yz là:
Mxy =
∫
L
zδ(M)ds; Mxz =
∫
L
yδ(M)ds; Myz =
∫
L
xδ(M)ds
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 12 / 33
Ứng dụng cơ học
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 13 / 33
Ứng dụng cơ học
Tâm khối. Tâm khối lượng của cung L
xc =
Myz
m
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 13 / 33
Ứng dụng cơ học
Tâm khối. Tâm khối lượng của cung L
xc =
Myz
m
yc =
Mxz
m
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 13 / 33
Ứng dụng cơ học
Tâm khối. Tâm khối lượng của cung L
xc =
Myz
m
yc =
Mxz
m
zc =
Mxy
m
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 13 / 33
Ứng dụng cơ học
Tâm khối. Tâm khối lượng của cung L
xc =
Myz
m
yc =
Mxz
m
zc =
Mxy
m
Ví dụ 1. Tìm khối lượng và tâm khối của dây có dạng đường đinh ốc
x = cos t, y = sin t, z = t với 0 ≤ t ≤ pi) biết rằng δ(x , y , z) = z .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 13 / 33
Ứng dụng cơ học
Tâm khối. Tâm khối lượng của cung L
xc =
Myz
m
yc =
Mxz
m
zc =
Mxy
m
Ví dụ 1. Tìm khối lượng và tâm khối của dây có dạng đường đinh ốc
x = cos t, y = sin t, z = t với 0 ≤ t ≤ pi) biết rằng δ(x , y , z) = z .
Ví dụ 2. Tìm khối lượng và tâm khối của dây y =
a
2
(e
x
a + e−
x
a ) với
0 ≤ x ≤ a biết rằng δ(x , y) =
1
y
.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 13 / 33
Ứng dụng cơ học
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 14 / 33
Ứng dụng cơ học
Tọa độ trọng tâm. Khi cung L đồng chất thì tọa độ trọng tâm được
tính theo công thức:
xc =
1
L
∫
L
xds
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 14 / 33
Ứng dụng cơ học
Tọa độ trọng tâm. Khi cung L đồng chất thì tọa độ trọng tâm được
tính theo công thức:
xc =
1
L
∫
L
xds yc =
1
L
∫
L
yds
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 14 / 33
Ứng dụng cơ học
Tọa độ trọng tâm. Khi cung L đồng chất thì tọa độ trọng tâm được
tính theo công thức:
xc =
1
L
∫
L
xds yc =
1
L
∫
L
yds zc =
1
L
∫
L
zds
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 14 / 33
Ứng dụng cơ học
Tọa độ trọng tâm. Khi cung L đồng chất thì tọa độ trọng tâm được
tính theo công thức:
xc =
1
L
∫
L
xds yc =
1
L
∫
L
yds zc =
1
L
∫
L
zds
Ví dụ 1. Tìm tọa độ trọng tâm của nửa trên đường tròn tâm O bán
kính R .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 14 / 33
Định nghĩa
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 15 / 33
Định nghĩa
Trường vector xác định trên miền Ω là một hàm vector
−→
F (x , y , z)
với (x , y , z) ∈ Ω.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 15 / 33
Định nghĩa
Trường vector xác định trên miền Ω là một hàm vector
−→
F (x , y , z)
với (x , y , z) ∈ Ω.
Ta có,
−→
F (x , y , z) = Fx(x , y , z)
−→
i + Fy(x , y , z)
−→
j + Fz(x , y , z)
−→
k
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 15 / 33
Đường cong tích phân
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 16 / 33
Đường cong tích phân
Định nghĩa. Đường cong tích phân của trường vector là đường cong
mà vector tiếp tuyến của nó cùng phương với vector của trường đi
qua điểm đó.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 16 / 33
Đường cong tích phân
Định nghĩa. Đường cong tích phân của trường vector là đường cong
mà vector tiếp tuyến của nó cùng phương với vector của trường đi
qua điểm đó.
Đường cong tích phân của trường vector
−→
F thỏa mãn hệ phương
trình vi phân:
dx
Fx
=
dy
Fy
=
dz
Fz
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 16 / 33
Trường bảo toàn
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 17 / 33
Trường bảo toàn
Định nghĩa. Trường vector
−→
F được gọi là trường bảo toàn nếu tồn
tại hàm số φ(x , y , z) sao cho
−→
F (x , y , z) = ∇φ(x , y , , z) =
∂φ
∂x
−→
i +
∂φ
∂y
−→
j +
∂φ
∂y
−→
k
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 17 / 33
Trường bảo toàn
Định nghĩa. Trường vector
−→
F được gọi là trường bảo toàn nếu tồn
tại hàm số φ(x , y , z) sao cho
−→
F (x , y , z) = ∇φ(x , y , , z) =
∂φ
∂x
−→
i +
∂φ
∂y
−→
j +
∂φ
∂y
−→
k
Hàm φ(x , y , z) được gọi là hàm thế vị của trường bảo toàn
−→
F . Mặt
mức của φ(x , y , z) được gọi là mặt đẳng thế. Nếu
−→
F là trường vector
phẳng thì đường mức của hàm thế vị được gọi là đường đẳng thế.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 17 / 33
Định nghĩa
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
Định nghĩa
Cho trường vector
−→
F xác định trên đường cong L : −→r = −→r (t) với
t ∈ [a, b].
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
Định nghĩa
Cho trường vector
−→
F xác định trên đường cong L : −→r = −→r (t) với
t ∈ [a, b].
Chia cung L bởi các điểm chia liên tiếp A ≡ A0,A1, ...,An ≡ B .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
Định nghĩa
Cho trường vector
−→
F xác định trên đường cong L : −→r = −→r (t) với
t ∈ [a, b].
Chia cung L bởi các điểm chia liên tiếp A ≡ A0,A1, ...,An ≡ B . Ta ký
hiệu,
−−−−→
Ai−1Ai =
−→
∆ri , i = 1, 2, ..., n.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
Định nghĩa
Cho trường vector
−→
F xác định trên đường cong L : −→r = −→r (t) với
t ∈ [a, b].
Chia cung L bởi các điểm chia liên tiếp A ≡ A0,A1, ...,An ≡ B . Ta ký
hiệu,
−−−−→
Ai−1Ai =
−→
∆ri , i = 1, 2, ..., n.
Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
Định nghĩa
Cho trường vector
−→
F xác định trên đường cong L : −→r = −→r (t) với
t ∈ [a, b].
Chia cung L bởi các điểm chia liên tiếp A ≡ A0,A1, ...,An ≡ B . Ta ký
hiệu,
−−−−→
Ai−1Ai =
−→
∆ri , i = 1, 2, ..., n.
Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân
In =
n∑
i=1
−→
F (Mi ).
−→
∆ri
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
Định nghĩa
Cho trường vector
−→
F xác định trên đường cong L : −→r = −→r (t) với
t ∈ [a, b].
Chia cung L bởi các điểm chia liên tiếp A ≡ A0,A1, ...,An ≡ B . Ta ký
hiệu,
−−−−→
Ai−1Ai =
−→
∆ri , i = 1, 2, ..., n.
Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân
In =
n∑
i=1
−→
F (Mi ).
−→
∆ri
Cho n →∞ sao cho max |
−→
∆ri | → 0. Nếu In có giới hạn hữu hạn I ,
không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn Mi thì I được
gọi là tích phân đường loại 2 trên cung AB .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
Định nghĩa
Cho trường vector
−→
F xác định trên đường cong L : −→r = −→r (t) với
t ∈ [a, b].
Chia cung L bởi các điểm chia liên tiếp A ≡ A0,A1, ...,An ≡ B . Ta ký
hiệu,
−−−−→
Ai−1Ai =
−→
∆ri , i = 1, 2, ..., n.
Trên mỗi cung Ai−1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân
In =
n∑
i=1
−→
F (Mi ).
−→
∆ri
Cho n →∞ sao cho max |
−→
∆ri | → 0. Nếu In có giới hạn hữu hạn I ,
không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn Mi thì I được
gọi là tích phân đường loại 2 trên cung AB .
Ta ký hiệu tích phân đường loại 2 như sau: I =
∫
L
−→
F .d−→r
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 18 / 33
Định nghĩa
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 19 / 33
Định nghĩa
Nếu −→r = (x , y , z) thì d−→r = (dx , dy , dz)
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 19 / 33
Định nghĩa
Nếu −→r = (x , y , z) thì d−→r = (dx , dy , dz) và giả sử rằng
−→
F (x , y , z) = (P ,Q,R)
thì
−→
F .d−→r = Pdx + Qdy + Rdz .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 19 / 33
Định nghĩa
Nếu −→r = (x , y , z) thì d−→r = (dx , dy , dz) và giả sử rằng
−→
F (x , y , z) = (P ,Q,R)
thì
−→
F .d−→r = Pdx + Qdy + Rdz .
Do đó người ta còn ký hiệu tích phân đường loại 2 ở dạng:
I =
∫
L
Pdx + Qdy + Rdz .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 19 / 33
Cách tính tích phân đường loại 2
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 20 / 33
Cách tính tích phân đường loại 2
Giống như tích phân đường loại 1, ta tính tích phân đường loại 2
bằng cách chuyển về tích phân xác định.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 20 / 33
Cách tính tích phân đường loại 2
Giống như tích phân đường loại 1, ta tính tích phân đường loại 2
bằng cách chuyển về tích phân xác định.
Tùy thuộc vào phương trình đường cong L mà ta có công thức tính
tích phân đường loại 2.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 20 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 21 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L :
{
x = x(t)
y = y(t)
ứng với t = a đến t = b.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 21 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L :
{
x = x(t)
y = y(t)
ứng với t = a đến t = b. Ta có
công thức
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 21 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L :
{
x = x(t)
y = y(t)
ứng với t = a đến t = b. Ta có
công thức
∫
L
Pdx + Qdy =
b∫
a
(P .x ′(t) + Q.y ′(t))dt
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 21 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L :
{
x = x(t)
y = y(t)
ứng với t = a đến t = b. Ta có
công thức
∫
L
Pdx + Qdy =
b∫
a
(P .x ′(t) + Q.y ′(t))dt
Ví dụ. Hãy tính tích phân I =
∫
L
xdy − ydx với L là đường hình sao
x = a cos3 t, y = a sin3 t từ điểm A(a, 0) đến B(0, a).
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 21 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 22 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L : y = y(x) ứng với x = a đến x = b.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 22 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L : y = y(x) ứng với x = a đến x = b. Ta có công
thức
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 22 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L : y = y(x) ứng với x = a đến x = b. Ta có công
thức ∫
L
Pdx + Qdy =
b∫
a
(P + Q.y ′(x))dx
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 22 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L : y = y(x) ứng với x = a đến x = b. Ta có công
thức ∫
L
Pdx + Qdy =
b∫
a
(P + Q.y ′(x))dx
Ví dụ. Hãy tính tích phân I =
∫
L
x2dx + y2dy với
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 22 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L : y = y(x) ứng với x = a đến x = b. Ta có công
thức ∫
L
Pdx + Qdy =
b∫
a
(P + Q.y ′(x))dx
Ví dụ. Hãy tính tích phân I =
∫
L
x2dx + y2dy với
a) L : y = x , A(0, 0), B(1, 1), tích phân lấy từ A đến B .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 22 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L : y = y(x) ứng với x = a đến x = b. Ta có công
thức ∫
L
Pdx + Qdy =
b∫
a
(P + Q.y ′(x))dx
Ví dụ. Hãy tính tích phân I =
∫
L
x2dx + y2dy với
a) L : y = x , A(0, 0), B(1, 1), tích phân lấy từ A đến B .
b) L : y = x2, tích phân lấy từ A đến B .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 22 / 33
Cách tính - L là đường cong trong không gian
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 23 / 33
Cách tính - L là đường cong trong không gian
Phương trình của L :
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
ứng với t = a đến t = b.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 23 / 33
Cách tính - L là đường cong trong không gian
Phương trình của L :
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
ứng với t = a đến t = b. Ta có
công thức
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 23 / 33
Cách tính - L là đường cong trong không gian
Phương trình của L :
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
ứng với t = a đến t = b. Ta có
công thức
∫
L
Pdx + Qdy + Rdz =
b∫
a
(P .x ′(t) + Q.y ′(t) + R .z ′(t))dt
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 23 / 33
Cách tính - L là đường cong trong không gian
Phương trình của L :
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
ứng với t = a đến t = b. Ta có
công thức
∫
L
Pdx + Qdy + Rdz =
b∫
a
(P .x ′(t) + Q.y ′(t) + R .z ′(t))dt
Ví dụ. Tìm công sản sinh bởi lực
−→
F = (x + y)
−→
i + (x − z)
−→
j + (z − y)
−→
k di chuyển vật từ điểm
A(1, 0,−1) đến điểm B(0,−2, 3) dọc theo đường thẳng AB .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 23 / 33
Định lý Green
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 24 / 33
Định lý Green
Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng
trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, ta có
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 24 / 33
Định lý Green
Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng
trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, ta có
∮
L
Pdx + Qdy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dxdy
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 24 / 33
Định lý Green
Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng
trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, ta có
∮
L
Pdx + Qdy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)
dxdy
với L là biên của miền D và tích phân đường lấy theo chiều dương.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 24 / 33
Định lý Green
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 25 / 33
Định lý Green
Ví dụ 1. Cho I =
∮
L
(1− x2)ydx + x(1+ y2)dy với L là đường tròn
x2 + y2 = R2 bằng hai cách
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 25 / 33
Định lý Green
Ví dụ 1. Cho I =
∮
L
(1− x2)ydx + x(1+ y2)dy với L là đường tròn
x2 + y2 = R2 bằng hai cách
a) Tính trực tiếp.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 25 / 33
Định lý Green
Ví dụ 1. Cho I =
∮
L
(1− x2)ydx + x(1+ y2)dy với L là đường tròn
x2 + y2 = R2 bằng hai cách
a) Tính trực tiếp.
b) Dùng công thức Green.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 25 / 33
Định lý Green
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 26 / 33
Định lý Green
Ví dụ 2. Tính tích phân
I =
∫
L
(ex sin y − ky)dx + (ex cos y − k)dy
với L là nửa trên hình tròn x2 + y2 = ax , tích phân lấy từ điểm
A(a, 0) đến gốc O(0, 0).
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 26 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 27 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương
Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng
trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương
nhau:
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 27 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương
Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng
trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương
nhau:
1 Tồn tại hàm φ(x , y) sao cho dφ(x , y) = Pdx + Qdy , ∀(x , y) ∈ D.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 27 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương
Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng
trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương
nhau:
1 Tồn tại hàm φ(x , y) sao cho dφ(x , y) = Pdx + Qdy , ∀(x , y) ∈ D.
2
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
, ∀(x , y) ∈ D.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 27 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương
Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng
trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương
nhau:
1 Tồn tại hàm φ(x , y) sao cho dφ(x , y) = Pdx + Qdy , ∀(x , y) ∈ D.
2
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
, ∀(x , y) ∈ D.
3
∮
L
Pdx + Qdy = 0 với mọi đường cong kín L nằm hoàn toàn trong D.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 27 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương
Định lý. Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêng
trên miền phẳng D hữu hạn. Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương
nhau:
1 Tồn tại hàm φ(x , y) sao cho dφ(x , y) = Pdx + Qdy , ∀(x , y) ∈ D.
2
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
, ∀(x , y) ∈ D.
3
∮
L
Pdx + Qdy = 0 với mọi đường cong kín L nằm hoàn toàn trong D.
4
∫
AB
Pdx + Qdy không phụ thuộc vào đường lấy tích phân mà chỉ phụ
thuộc vào A và B.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 27 / 33
Tích phân của trường bảo toàn - Ví dụ
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 28 / 33
Tích phân của trường bảo toàn - Ví dụ
Ví dụ 1. Tính tích phân
(3,2)∫
(1,1)
(x + 2y)dx + ydy
(x + y)2
.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 28 / 33
Tích phân của trường bảo toàn - Ví dụ
Ví dụ 1. Tính tích phân
(3,2)∫
(1,1)
(x + 2y)dx + ydy
(x + y)2
.
Ví dụ 2. Tìm các hằng số a, b sao cho tích phân
I =
∫
L
y(1− x2 + ay2)dx + x(1− y2 + bx2)dy
(1+ x2 + y2)2
không phụ thuộc vào đường lấy tích phân. Hãy tính tích phân trên
với a, b vừa tìm trong trường hợp L có điểm đầu là O(0, 0) và điểm
cuối A(1, 1).
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 28 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 29 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú
Hàm φ(x , y) trong định lý trên được gọi là hàm thế vị của trường
−→
F = P
−→
i + Q
−→
j .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 29 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú
Hàm φ(x , y) trong định lý trên được gọi là hàm thế vị của trường
−→
F = P
−→
i + Q
−→
j .
Hàm thế vị có thể tìm theo một trong hai công thức sau:
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 29 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú
Hàm φ(x , y) trong định lý trên được gọi là hàm thế vị của trường
−→
F = P
−→
i + Q
−→
j .
Hàm thế vị có thể tìm theo một trong hai công thức sau:
φ(x , y) =
x∫
x0
P(x , y0)dx +
y∫
y0
P(x , y)dy + C
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 29 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú
Hàm φ(x , y) trong định lý trên được gọi là hàm thế vị của trường
−→
F = P
−→
i + Q
−→
j .
Hàm thế vị có thể tìm theo một trong hai công thức sau:
φ(x , y) =
x∫
x0
P(x , y0)dx +
y∫
y0
P(x , y)dy + C
hoặc
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 29 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú
Hàm φ(x , y) trong định lý trên được gọi là hàm thế vị của trường
−→
F = P
−→
i + Q
−→
j .
Hàm thế vị có thể tìm theo một trong hai công thức sau:
φ(x , y) =
x∫
x0
P(x , y0)dx +
y∫
y0
P(x , y)dy + C
hoặc
φ(x , y) =
x∫
x0
P(x , y)dx +
y∫
y0
P(x0, y)dy + C
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 29 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú
Hàm φ(x , y) trong định lý trên được gọi là hàm thế vị của trường
−→
F = P
−→
i + Q
−→
j .
Hàm thế vị có thể tìm theo một trong hai công thức sau:
φ(x , y) =
x∫
x0
P(x , y0)dx +
y∫
y0
P(x , y)dy + C
hoặc
φ(x , y) =
x∫
x0
P(x , y)dx +
y∫
y0
P(x0, y)dy + C
trong đó (x0, y0) ∈ D.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 29 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 30 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú
Nếu φ(x , y) là hàm thế vị của trường bảo toàn
−→
F = P
−→
i + Q
−→
j thì
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 30 / 33
Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú
Nếu φ(x , y) là hàm thế vị của trường bảo toàn
−→
F = P
−→
i + Q
−→
j thì
∫
AB
Pdx + Qdy = φ(x , y)|BA = φ(B)− φ(A)
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 30 / 33
Tích phân của trường bảo toàn - Ví dụ
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 31 / 33
Tích phân của trường bảo toàn - Ví dụ
Ví dụ 3. Tính tích phân
(1,1)∫
(0,0)
(x + y)dx + (x + y)dy .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 31 / 33
Tích phân của trường bảo toàn - Ví dụ
Ví dụ 3. Tính tích phân
(1,1)∫
(0,0)
(x + y)dx + (x + y)dy .
Ví dụ 4. Tính tích phân
(1,1)∫
(0,0)
xdx + ydy .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 31 / 33
Diện tích hình phẳng
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 32 / 33
Diện tích hình phẳng
Một miền D hữu hạn có biên là đường cong kín L có diện tích được
tính bởi công thức
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 32 / 33
Diện tích hình phẳng
Một miền D hữu hạn có biên là đường cong kín L có diện tích được
tính bởi công thức
S(D) =
1
2
∮
L
xdy − ydx
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 32 / 33
Diện tích hình phẳng
Một miền D hữu hạn có biên là đường cong kín L có diện tích được
tính bởi công thức
S(D) =
1
2
∮
L
xdy − ydx
Ví dụ. Dùng tích phân đường loại 2 tìm diện tích hình tròn bán kính
R .
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 32 / 33
Tính công của lực
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 33 / 33
Tính công của lực
Một lực
−→
F = P
−→
i + Q
−→
j + R
−→
k là di chuyển chất điểm từ A đến B
theo quỹ đạo L có công được tính theo công thức
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 33 / 33
Tính công của lực
Một lực
−→
F = P
−→
i + Q
−→
j + R
−→
k là di chuyển chất điểm từ A đến B
theo quỹ đạo L có công được tính theo công thức
W =
∫
L
Pdx + Qdy + Rdz
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 33 / 33
Tính công của lực
Một lực
−→
F = P
−→
i + Q
−→
j + R
−→
k là di chuyển chất điểm từ A đến B
theo quỹ đạo L có công được tính theo công thức
W =
∫
L
Pdx + Qdy + Rdz
Ví dụ. Hãy tính công của lực
−→
F = −y
−→
i + x
−→
j + z
−→
k là di chuyển
chất điểm trên cung lò xo x = cos t, y = sin t, z = t từ điểm ứng với
t = 0 đến điểm ứng với t = 2pi.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 33 / 33
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- slide_vi_tich_phan_a2_chuong_3_tich_phan_duong_7896.pdf